ATIVIDADE PRÁTICA CONTROLE DISCRETO NOTA 100

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL UNINTER 
ESCOLA SUPERIOR POLITÉCNICA 
BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA CONTROLE DISCRETO 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE PRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ALUNO: ANTONIO CARLOS ISIDIO 
PROFESSOR: CARLA DE MORAES DE LARA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PATOS DE MINAS - MG 
2021 
SUMÁRIO 
 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1 
1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................. 1 
1.2 OBJETIVO ..................................................................................................................... 1 
2 METODOLOGIA ............................................................................................................. 2 
2.1 ROTEIRO DA ATIVIDADE PRÁTICA....................................................................................2 
3 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 14 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1 INTRODUÇÂO 
Nesta atividade prática realizada com software Scilab, serão executados comandos que nos 
exige uma dedicação extra sala de aula devido o grau de complexidade da atividade prática. O 
que exige do aluno uma dedicação maior para futuros projetos científicos, onde lhe trará 
desenvolvimento durante atividades práticas que o leve a entender o conteúdo de forma real, 
confrontado o com as dificuldades e erros possíveis, isso gera experiência e consolidação da 
disciplina, este é o objetivo deste trabalho, colocar em prática o que foi trabalhado nas aulas 
teórica da disciplina controle discreto. 
1.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
A lei dos nós de Kirchhoff é baseada na lei da conservação da carga. Ela afirma que, em 
um nó, a soma algébrica de todas as correntes que chegam e saem é igual a zero. A lei das 
malhas de Kirchhoff é baseada na lei da conservação da energia e na natureza conservativa dos 
campos eletrostáticos. Ela afirma que as soma algébrica de todas as diferenças de potencial ao 
longo de um percurso fechado de qualquer malha deve ser igual a zero. (YOUNG FREEDMAN 
2014). 
1.2 OBJETIVO 
Durante esta atividade foram realizadas práticas com objetivo de desenvolver a capacidade 
de modelagem de sistemas pelo método de sistemas de controle em espaço de estados. Além de 
desenvolver a capacidade de realizar a discretização de sistemas, bem como a análise dos 
sistemas tanto no domínio da frequência quanto nos planos Z e W. 
2 METODOLOGIA 
ROTEIRO DA ATIVIDADE PRÁTICA 
a) ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E REPRESENTAÇÃO EM ESPAÇO 
DE ESTADOS. 
RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 
1 7 3 4 7 1 2 
 
2 
 
 
Para o desenvolvimento desta experiência, considere o circuito elétrico apresentado na 
 
Figura 1. 
 
 Figura 1 
 
1) Para o circuito apresentado na Figura 1, determine sua representação em espaço de estados, 
considerando como variáveis de estado: x1(t) = iL(t), x2(t) = vc1(t) e x3(t) = vc2(t). 
Apresentar cálculos. 
 
2.1 EQUAÇÕES 
 
−𝑣𝑖𝑛𝑡(𝑡) + 𝑣𝑐1(𝑡) + 𝑣𝑙(𝑡) = 0 
−𝑣𝑖𝑛𝑡(𝑡) + 𝐿
𝑑𝑣𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐1(𝑡) = 0 
𝐿
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑣𝑖𝑛𝑡(𝑡) − 𝑣𝑐1(𝑡) 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑣𝑖𝑛𝑡(𝑡)
𝐿
−
𝑣𝑐1(𝑡)
𝐿
 
 
𝑖𝑐1(𝑡) = 𝑖𝐿(𝑡) − 𝑖𝑅1(𝑡) 
𝐶1
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑖𝐿(𝑡) −
𝑣𝐿(𝑡)
𝑅1
 
𝐶1
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑖𝐿(𝑡) −
𝐿
𝑅1
∗
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
 𝑖𝑐2(𝑡) = 𝑖𝑙(𝑡) −
𝑣𝐿(𝑡)
𝑅3
 
𝐶2
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑖𝑙(𝑡) −
𝐿
𝑅3
∗
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
 
3 
 
𝐶1
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑖𝐿(𝑡) −
𝐿
𝑅1
(
𝑣𝑖𝑛𝑡(𝑡)
𝐿
−
𝑣𝑐1(𝑡)
𝐿
 
 
 
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= −
𝑣𝑐1(𝑡)
𝑅1𝐶1
−
𝑖𝐿(𝑡)
𝑅1𝐶1
+
𝑣𝑖𝑛𝑡(𝑡)
𝑅1𝐶1
 
 
𝐶2
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑖𝐿(𝑡) −
𝐿
𝑅3
(
𝑣𝑖𝑛𝑡(𝑡)
𝐿
−
𝑣𝑐1(𝑡)
𝐿
) 
 
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= −
𝑣𝑐2(𝑡)
𝑅3𝐶2
+
𝑖𝐿(𝑡)
𝑅3𝐶2
 
 
X1(t)= 
𝑑𝑖𝐿(𝑡)
𝑑𝑡
=
1
𝐿
𝑢(𝑡) −
1
𝐿
𝑣𝑐1(𝑡) 
X2(t)=
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= −
1
𝑅1𝐶1
𝑣𝑐1(𝑡) −
1
𝑅1𝐶1
𝑖𝐿(𝑡) +
1
𝑅1𝐶1
𝑢(𝑡) 
X3(t)= 
𝑑𝑣𝐶(𝑡)
𝑑𝑡
= −
1
𝑅3𝐶2
𝑣𝑐2(𝑡) +
1
𝑅3𝐶2
𝑖𝐿(𝑡) 
 
𝑋1(𝑡)̇
𝑋2(𝑡)̇
𝑋3(𝑡)̇
 = 
0 −
1
𝐿
0
−
1
𝑅1𝐶1
−
1
𝑅1𝐶1
0
1
𝑅3𝐶2
0 −
1
𝑅3𝐶2
 
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
 + 
1
𝐿
1
𝑅1𝐶1
0
 u(t) 
 
 
𝑦(𝑡) =
1
𝑅3𝐶2
 0 −
1
𝑅3𝐶2
 
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
2) A partir da representação em espaços de estados para o circuito, obtida no item 1, determine 
a função de transferência do sistema considerando que: C1 = RU1, L = RU3 e C2 = RU6, caso 
algum dos valores do RU utilizado seja zero, substituir por 1. Já os resistores R1, R2 e R3 
possuem resistência de 1 ohm. Apresentar código implementado no Scilab. 
 
C1=1; 
C2=1 
L=3 
RU1=1; 
RU2=7; 
RU3=3; 
RU4=4; 
RU5=7; 
RU6=1; 
RU7=2; 
 
R1=1; 
R2=1; 
R3=1; 
 
A=[0 (-1/L) 0 ; (-1/C1*R1) (-1/C1*R1) 0 ; (1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
B=[(1/L) ; (1/C1*R1) ; 0]; 
C=[(1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
D=0; 
s=%s 
G=syslin('c',A,B,C,D); 
FT=ss2tf(G); 
EE=tf2ss(FT) 
 
G = 
G(1) (state-space system:) 
"lss" "A" "B" "C" "D" "X0" "dt" 
 
G(2)= A matrix = 
 0. -0.3333333 0. 
-1. -1. 0. 
 1. 0. -1. 
 
G(3)= B matrix = 
5 
 
 0.3333333 
 1. 
 0. 
G(4)= C matrix = 
1. 0. -1. 
 
G(5)= D matrix = 
0. 
 
G(6)= X0 (initial state) = 
0. 
0. 
0. 
 
G(7)= Time domain = 
c 
FT = 
 1.110D-16 +1.110D-15s +0.3333333s² 
 ------------------------------------------------ 
 -0.3333333 +0.6666667s +2s² +s³ 
 
--> EE=tf2ss(FT) 
 EE = 
 
EE(1) (state-space system:) 
"lss" "A" "B" "C" "D" "X0" "dt" 
 
 EE(2)= A matrix = 
 -2. -0.942809 -2.220D-16 
 0.7071068 -0.25 -0.25 
 0.7071068 0.25 0.25 
 
EE(3)= B matrix = 
6 
 
 -0.5773503 
 1.090D-15 
1.602D-15 
EE(4)= C matrix = 
-0.5773503 1.887D-18 -2.922D-17 
 
EE(5)= D matrix = 
0. 
 
EE(6)= X0 (initial state) = 
0. 
0. 
0. 
 
EE(7)= Time domain = 
"c" 
 
3) Determine se o sistema é controlável. Apresentar código implementado no Scilab. 
R: A matriz de controlabilidade CM, possui posto 3, portanto o sistema é completamente 
controlável. 
RU1=1; 
RU2=7; 
RU3=3; 
RU4=4; 
RU5=7; 
RU6=1; 
RU7=2; 
 
R1=1; 
R2=1; 
R3=1; 
 
A=[0 (-1/L) 0 ; (-1/C1*R1) (-1/C1*R1) 0 ; (1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
B=[(1/L) ; (1/C1*R1) ; 0]; 
C=[(1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
D=0; 
s=%s 
G=syslin('c',A,B,C,D); 
FT=ss2tf(G); 
EE=tf2ss(FT); 
7 
 
z=%z; 
T=0.1; 
Gz_ss=dscr(EE,T); 
Gz=ss2tf(Gz_ss) 
 
Gw=horner(Gz,(1+T*s/2)/(1-T*s/2)); 
Cm = cont_mat(A,B); 
rank(Cm); 
 
Cm = 
 
 0.3333333 -0.3333333 0.4444444 
 1. -1.3333333 1.6666667 
 0. 0.3333333 -0.6666667 
 
--> rank(Cm) 
 ans = 
 
 3. 
 
4) Determine se o sistema é observável. Apresentar código implementado no Scilab. 
R: A matriz de observabilidade OM, possui posto 3, portanto o sistema é completamente observável. 
C1=1 
C2=1 
L=3 
 
RU1=1; 
RU2=7; 
RU3=3; 
RU4=4; 
RU5=7; 
RU6=1; 
RU7=2; 
 
R1=1; 
R2=1; 
R3=1; 
 
A=[0 (-1/L) 0 ; (-1/C1*R1) (-1/C1*R1) 0 ; (1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
B=[(1/L) ; (1/C1*R1) ; 0]; 
C=[(1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
D=0; 
s=%s 
8 
 
G=syslin('c',A,B,C,D); 
FT=ss2tf(G); 
EE=tf2ss(FT); 
z=%z; 
T=0.1; 
Gz_ss=dscr(EE,T); 
Gz=ss2tf(Gz_ss) 
Gw=horner(Gz,(1+T*s/2)/(1-T*s/2)); 
Cm = cont_mat(A,B); 
rank(Cm); 
Om = obsv_mat(A,C); 
rank(Om); 
 
--> Om 
 Om= 
 
 1. 0. -1. 
 -1. -0.3333333 1. 
 1.3333333 0.6666667 -1. 
 
--> rank(Om) 
 ans = 
 
 3. 
B) ANÁLISE DE SISTEMAS DISCRETO 
 
1) A partir da representação em espaço de estados do circuito em tempo contínuo (obtida na 
experiência A), obtenha a representação em espaço de estados discretizada. Considere que o 
tempo de amostragem deve ser 100 ms. Apresentar código implementado no Scilab. 
C1=1 
C2=1 
L=3 
RU1=1; 
RU2=7; 
RU3=3; 
RU4=4; 
RU5=7; 
RU6=1; 
RU7=2; 
R1=1; 
R2=1; 
9 
 
R3=1; 
A=[0 (-1/L) 0 ; (-1/C1*R1) (-1/C1*R1) 0 ; (1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
 
B=[(1/L) ; (1/C1*R1) ; 0]; 
C=[(1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
D=0; 
s=%s 
G=syslin('c',A,B,C,D); 
FT=ss2tf(G); 
EE=tf2ss(FT); 
z=%z; 
T=0.1; 
Gz_ss=dscr(EE,T); 
Gz=ss2tf(Gz_ss) 
Gz = 
 
--> Gz= 
 Gz = 
 
 0.0301776 - 0.060356z +0.0301784z² 
 ------------------------------------------------------- 
 -0.8187308 +2.6312766z -2.8128478z² +z³ 
 
Gz_ss = 
Gz_ss(1) (state-space system:) 
"lss" "A" "B" "C" "D" "X0" "dt" 
 
Gz_ss(2)= A matrix = 
 
 0. -0.3333333 0. 
 -1. -1. 0. 
 0.5 0. -0.5 
 
Gz_ss(3)= B matrix = 
 
0.3333333 
 1. 
 0. 
10 
 
Gz_ss(4)= C matrix = 
 
0.5 0. -0.5 
 
Gz_ss(5)= D matrix = 
 
0. 
 
Gz_ss(6)= X0 (initial state) = 
0. 
0. 
0. 
Gz_ss(7)= Time domain = 
“c” 
2) A partir da representação em espaço de estados discreta, obtenha a função de transferência 
discreta. Apresentar código implementado no Scilab. 
C1=1 
C2=1 
L=3 
RU1=1; 
RU2=7; 
RU3=3; 
RU4=4; 
RU5=7; 
RU6=1; 
RU7=2; 
 
R1=1; 
R2=1; 
R3=1; 
A=[0 (-1/L) 0 ; (-1/C1*R1) (-1/C1*R1) 0 ; (1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
B=[(1/L) ; (1/C1*R1) ; 0]; 
C=[(1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
D=0; 
s=%s 
G=syslin('c',A,B,C,D); 
FT=ss2tf(G); 
EE=tf2ss(FT); 
z=%z; 
T=0.1; 
Gz_ss=dscr(EE,T); 
Gz=ss2tf(Gz_ss) 
11 
 
Gz1=syslin('d',Gz); 
Gz1 = 
 0.0301776 -0.060356z +0.0301784z² 
 --------------------------------------- 
 -0.8187308 +2.6312766z -2.8128478z² +z³ 
 
 3) Com o auxílio do Scilab, apresente o diagrama de polos e zeros do sistema, discutindo sobre 
sua estabilidade, ou seja, avalie se o sistema é estável ou instável. Apresentar código 
implementado no Scilab. 
s=poly(0,'s'); 
z=%z; 
Gz=syslin('d',(0.0154725 – 0.060356*z + 0.0301784*z^2)/(0.860708 + 2.719793*z - 
2.8592398*z^2 + z^3)); 
 
--> Gz= 
 
 0.0301776 -0.060356z +0.0301784z² 
 ---------------------------------------------------- 
 -0.8187308 +2.6312766z -2.8128478z² +z³ 
 
Plzr = (Gz) 
 
 
FIGURA01: Resultado do comando plzr(Gz) 
Análise: O sistema é instável devido a um dos polos estar fora do limite do círculo de raio 
unitário. 
12 
 
4) Apresente a função de transferência discreta no plano W, para o mesmo período de 
amostragem do item 1. Apresentar código implementado no Scilab. 
C1=1 
C2=1 
L=3 
RU1=1; 
RU2=7; 
RU3=3; 
RU4=4; 
RU5=7; 
RU6=1; 
RU7=2; 
 
R1=1; 
R2=1; 
R3=1; 
 
A=[0 (-1/L) 0 ; (-1/C1*R1) (-1/C1*R1) 0 ; (1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
B=[(1/L) ; (1/C1*R1) ; 0]; 
C=[(1/C2*R3) 0 (-1/C2*R3)]; 
D=0; 
s=%s 
G=syslin('c',A,B,C,D); 
FT=ss2tf(G); 
EE=tf2ss(FT); 
z=%z; 
T=0.1; 
Gz_ss=dscr(EE,T); 
Gz=ss2tf(Gz_ss) 
Gw=horner(Gz,(1+T*s/2)/(1-T*s/2)); 
 
 
Gw = 
 
 
 7.902D-09 +0.0000881s +0.3324048s² -0.0166205s³ 
 --------------------------------------------------------- 
 -0.3326515 +0.6646423s +1.9975032s² +s³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Plzr = (Gw) 
 
 
FIGURA 02: Resultado do comando plzr(Gw) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
3 CONCLUSÕES 
Nesta atividade foram realizados experimentos com o programa scilab, aproximando a 
teoria com a prática experimental. Foram realizados experimentos com comandos no Scilab e 
acompanhando os resultados através de plotagem dos polos zeros de transmissão, assim 
melhorando o nosso aprendizado na teoria com a prática durante as atividades realizadas. Foi 
um bom desafio para podermos está adquirindo mais conhecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Aulas teóricas e práticas da disciplina Controle Discreto. Disponível em: <http://www.unin-
ter.com> Acesso em: 15 Julho. 2021. 
 
YOUNG FREEDMAN 2014. Física III eletromagnetismo 12ª edição. São Paulo: 2014. 
 
ALEXANDER, C.K.; SADUKI, M, N.O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5ª ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013. (Minha Biblioteca) 
 
MARKUS, O. Circuitos Elétricos – Corrente Contínua e Corrente Alternada – Teoria e 
Exercícios, 9ª edição. São Paulo: Érica, 2011.MB