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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio Microeconomia II Prof. Marcos Antonio C. da Silveira Nota de Aula 18: Teoria do Equilíbrio Geral em Concorrência Perfeita com Produção Bibliografia: Varian, cap. 32, nona edição 1 Eficiência de Pareto 1.1 Alocação Eficiente de Pareto Definição 1 Numa economia com produção, uma alocação é um vetor¡ x1A, x 2 A, x 1 B, x 2 B, L 1,K1, L2, K2 ¢ que especifica: • quanto cada indivíduo consome de cada bem: x1A, x2A, x1B, x2B • quanto cada firma emprega de cada insumo: L1,K1, L2, K2 Definição 2 Uma alocação qualquer¡ x1A, x 2 A, x 1 B, x 2 B, L 1,K1, L2, K2 ¢ é factível quando L1 + L2 ≤ LA + LB K1 +K2 ≤ KA +KB x1A + x 1 B ≤ y1z }| { F 1 ¡ L1, K1 ¢ x2A + x 2 B ≤ y2z }| { F 2 ¡ L2, K2 ¢ 1 Definição 3 Uma alocação factível¡ x1A, x 2 A, x 1 B, x 2 B, L 1,K1, L2, K2 ¢ é eficiente de Pareto quando não existe uma outra alocação factível³ x˜1A,x˜ 2 A,x˜ 1 B,x˜ 2 B,L˜ 1,K˜1,L˜2,K˜2 ´ tal que ocorre um dos seguintes casos: 1. Bem-estar de A e B aumentam: uA(x˜ 1 A,x˜ 2 A) > uA(x 1 A, x 2 A) uB(x˜1B,x˜ 2 B) > uB(x 1 B, x 2 B) 2. Bem-estar de A aumenta e bem-estar de B fica constante: uA(x˜1A,x˜ 2 A) > uA(x 1 A, x 2 A) uB(x˜1B,x˜ 2 B) = uB(x 1 B, x 2 B) 3. Bem-estar de B aumenta e bem-estar de A fica constante: uA(x˜1A,x˜ 2 A) = uA(x 1 A, x 2 A) uB(x˜1B,x˜ 2 B) > uB(x 1 B, x 2 B) Definição 4 A curva de Pareto é o conjunto de todas as alocações eficientes de Pareto • A curva de contrato depende exclusivamente... — das dotações totais iniciais dos insumos: LA + LB, KA +KB — das funções de produção — das preferências dos indivíduos A e B 2 1.2 Caracterização Matemática das Alocações Eficientes de Pareto • Considere uma economia com preferências e tecnologias bem comportadas: monó- tonas, contínuas, convexas, suaves • Ignorando casos de fronteira, uma alocação qualquer¡ x1A, x 2 A, x 1 B, x 2 B, L 1, K1, L2,K2 ¢ é eficiente de Pareto se e somente se satisfaz as seguintes condições: Condições de factibilidade (monotonicidade =⇒ pleno uso dos fatores) : L1 + L2 = LA + LB K1 +K2 = KA +KB x1A + x 1 B = y1z }| { F 1 ¡ L1, K1 ¢ x2A + x 2 B = y2z }| { F 2 ¡ L2, K2 ¢ Condições marginais de eficiência de Pareto : 1. Condição Marginal de Eficiência no Consumo: TMgSA(x1A,x2A)z }| { ∂uA (x1A, x 2 A) ∂x1A Á ∂uA (x1A, x 2 A) ∂x2A = TMgSB(x1B ,x2B)z }| { ∂uB (x1B, x 2 B) ∂x1B Á ∂uB (x1B, x 2 B) ∂x2B (1) 2. Condição Marginal de Eficiência na Produção: TMST1(L1,K1)z }| { ∂F 1 (L1,K1) ∂L1 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 = TMST 2(L2,K2)z }| { ∂F 2 (L2, K2) ∂L2 Á ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 (2) 3. Condição Marginal de Eficiência entre Consumo e Produção: TMgSA(x1A,x2A)z }| { ∂uA (x1A, x 2 A) ∂x1A Á ∂uA (x1A, x 2 A) ∂x2A = TMgSB(x1B ,x2B)z }| { ∂uB (x1B, x 2 B) ∂x1B Á ∂uB (x1B, x 2 B) ∂x2B (3) = TMT(y1,y2)z }| { ∂F 2 (L2,K2) ∂K2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂K1 = TMT(y1,y2)z }| { ∂F 2 (L2,K2) ∂L2 Á ∂F 1 (L1,K1) ∂L1 3 1.3 DerivaçãoMatemática das CondiçõesMarginais de Eficiência de Pareto • Uma alocação Z = ¡ x1A,x 2 A,x 1 B,x 2 B,L 1,K1,L2,K2 ¢ é eficiente de Pareto se e somente Z resolve o problema de maximização abaixo: max (x1A, x 2 A, x 1 B, x 2 B, , L1, K1, L2,K2) uA(x1A, x 2 A) (4) sujeito a uB(x1B, x 2 B) = uB(x 1 B,x 2 B) (5) L1 + L2 = LA + LB (6) K1 +K2 = KA +KB (7) x1A + x 1 B = y1z }| { F 1 ¡ L1,K1 ¢ (8) x2A + x 2 B = y2z }| { F 2 ¡ L2,K2 ¢ (9) • Lagrangeano do problema de max (4) s.a. (5)-(9): $ ¡ x1A, x 2 A, x 1 B, x 2 B, L 1,K1, L2, K2, λ, µ1, µ2, β1, β2 ¢ = uA(x1A, x 2 A)− λ £ uB(x1B, x 2 B)− uB(x1B,x2B) ¤ −µ1 £ x1A + x 1 B − F 1 ¡ L1, K1 ¢¤ −µ2 £ x2A + x 2 B − F 2 ¡ L2, K2 ¢¤ −βL £ L1 + L2 − LA − LB ¤ −βK £ K1 +K2 −KA −KB ¤ onde λ, µ1, µ2, β1, β2 são os multiplicadores de Lagrange 4 • Condições marginais de primeira ordem: ∂$ ∂x1A = ∂uA(x1A,x 2 A) ∂x1A − µ1 = 0 (10) ∂$ ∂x2A = ∂uA(x1A,x 2 A) ∂x2A − µ2 = 0 (11) ∂$ ∂x1B = −λ∂uB(x 1 B,x 2 B) ∂x1B − µ1 = 0 (12) ∂$ ∂x2B = −λ∂uB(x 1 B,x 2 B) ∂x2B − µ2 = 0 (13) ∂$ ∂L1 = µ1 ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂L1 − βL = 0 (14) ∂$ ∂K1 = µ1 ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂K1 − βK = 0 (15) ∂$ ∂L2 = µ2 ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂L2 − βL = 0 (16) ∂$ ∂K2 = µ2 ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂K2 − βK = 0 (17) • Condição marginal para o consumo (derivação da condição (1)): — Eqs.(10) e (11) =⇒ TMgSA ¡ x1A,x 2 A ¢ = ∂uA(x1A,x 2 A) ∂x1A Á ∂uA(x1A,x 2 A) ∂x2A = µ1 µ2 (18) — Eqs.(12) e (13) =⇒ TMgSB ¡ x1B,x 2 B ¢ = ∂uB(x1B,x 2 B) ∂x1B Á ∂uB(x1B,x 2 B) ∂x2B = µ1 µ2 (19) — Eqs.(18) a (19) =⇒ TMgSA ¡ x1A,x 2 A ¢ = TMgSB ¡ x1B,x 2 B ¢ (1) 5 • Condição marginal para a produção (derivação da condição (2)):: — Eqs.(14) e (15) =⇒ TMST 1 ¡ L1,K1 ¢ = ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂L1 , ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂K1 = βL βK (20) — Eqs.(16) e (17) =⇒ TMST 2 ¡ L1,K1 ¢ = ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂L2 , ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂K2 = βL βK (21) — Eqs.(20) e (21) =⇒ TMST 1 ¡ L1,K1 ¢ = TMST 2 ¡ L2,K2 ¢ (2) • Condição marginal entre consumo e produção (derivação da condição (3)): — Eqs.(14) e (16) =⇒ TMT ¡ y1,y2 ¢ = ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂L2 , ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂L1 = µ1 µ2 (22) — Eqs.(15) e (17) =⇒ TMT ¡ y1,y2 ¢ = ∂F 2 ¡ L2,K2 ¢ ∂K2 , ∂F 1 ¡ L1,K1 ¢ ∂K1 = µ1 µ2 (23) • Eqs.(18), (19), (22) e (23) =⇒ TMgSA ¡ x1A,x 2 A ¢ = TMgSB ¡ x1B,x 2 B ¢ = TMT ¡ y1,y2 ¢ (3) • Com preferências e tecnologias bem comportadas (monótonas, contínuas, con- vexas, suaves), pode-se afirmar que... — as condições marginais de eficiência de Pareto [eqs.(1), (2) e (3)] e... — as restrições de factibilidade [eqs.(6) a (9)].... são, além de necessárias, também suficientes para Z resolver o problema de max (4) s.a. (5)-(9) • Consequententemente, uma alocação é eficiente de Pareto se e somente se for factível e satisfizer as condições marginais de eficiência de Pareto 6
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