Gemetria Espacial

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GEOMETRIA ESPACIAL 
1. (Uerj) Dois cubos cujas arestas medem 2 cm 
são colados de modo a formar o paralelepípedo 
’B’CABCDA ’D’. Esse paralelepípedo é seccionado 
pelos planos ADEF e BCEF, que passam pelos 
pontos médios F e E das arestas A’B’ e C’D’, res-
pectivamente. 
A parte desse paralelepípedo compreendida entre 
esses planos define o sólido ABCDEF, conforme in-
dica a figura a seguir. 
 
 
 
O volume do sólido ABCDEF, em 3cm , é igual a: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
 
2. (Ufpr) A piscina usada nas competições de na-
tação das Olimpíadas Rio 2016 possui as medidas 
oficiais recomendadas: 50 metros de extensão, 25 
metros de largura e 3 metros de profundidade. Su-
pondo que essa piscina tenha o formato de um pa-
ralelepípedo retângulo, qual dos valores abaixo 
mais se aproxima da capacidade máxima de água 
que essa piscina pode conter? 
a) 37.500 litros. 
b) 375.000 litros. 
c) 3.750.000 litros. 
d) 37.500.000 litros. 
e) 375.000.000 litros. 
3. (Famema) Um cilindro circular reto A, com raio 
da base igual a 6 cm e altura H, possui a mesma 
área lateral que um cilindro circular reto B, com raio 
da base r e altura h, conforme mostram as figuras. 
 
 
 
Sabendo que 
h
1,2
H
= e que o volume do cilindro B 
é 3240 cm ,π é correto afirmar que a diferença entre 
os volumes dos cilindros é 
a) 350 cm .π 
b) 342 cm .π 
c) 345 cm .π 
d) 348 cm .π 
e) 337 cm .π 
 
4. (Eear) Uma esfera está inscrita num cilindro 
equilátero cuja área lateral mede 216 cm .π O vo-
lume da esfera inscrita é 
a) 8π 
b) 16π 
c) 
32
3
π 
d) 
256
3
π 
 
5. (Ufrgs) Considere um cubo de aresta a. Os pon-
tos I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, 
BCFG, DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectiva-
mente, conforme representado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
O octaedro regular, cujos vértices são os pontos 
I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo 
a) a 3. 
b) a 2. 
c) 
a 3
.
2
 
d) 
a 5
.
2
 
e) 
a 2
.
2
 
 
6. (Enem) Um petroleiro possui reservatório em for-
mato de um paralelepípedo retangular com as di-
mensões dadas por 60 m 10 m de base e 10 m de 
altura. Com o objetivo de minimizar o impacto am-
biental de um eventual vazamento, esse reservató-
rio é subdividido em três compartimentos, A, B e C, 
de mesmo volume, por duas placas de aço retan-
gulares com dimensões de 7 m de altura e 10 m de 
base, de modo que os compartimentos são interli-
gados, conforme a figura. Assim, caso haja rompi-
mento no casco do reservatório, apenas uma parte 
de sua carga vazará. 
 
 
 
Suponha que ocorra um desastre quando o petro-
leiro se encontra com sua carga máxima: ele sofre 
um acidente que ocasiona um furo no fundo do 
compartimento C. 
Para fins de cálculo, considere desprezíveis as es-
pessuras das placas divisórias. 
 
Após o fim do vazamento, o volume de petróleo 
derramado terá sido de 
a) 3 31,4 10 m 
b) 3 31,8 10 m 
c) 3 32,0 10 m 
d) 3 33,2 10 m 
e) 3 36,0 10 m 
 
7. (Ufpr) Um prisma possui 17 faces, incluindo as 
faces laterais e as bases inferior e superior. Uma 
pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, 
possui quantas arestas? 
a) 26. 
b) 28. 
c) 30. 
d) 32. 
e) 34. 
 
8. (G1 - ifpe) Uma folha retangular de papelão de 
40 cm por 30 cm será utilizada para confeccionar 
uma caixa, sem tampa, em forma de paralelepí-
pedo, de base retangular. Para isso, deve-se, a 
partir desta folha de papelão, retirar 4 quadrados 
de lado 5 cm, de cada um dos vértices e, em se-
guida, dobrar os lados, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Determine, em litros, o volume dessa caixa. 
a) 3 litros 
b) 2 litros 
c) 1 litro 
d) 4 litros 
e) 5 litros 
 
9. (Enem) Em regiões agrícolas, é comum a pre-
sença de silos para armazenamento e secagem da 
produção de grãos, no formato de um cilindro reto, 
sobreposta por um cone, e dimensões indicadas na 
figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é 
feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 
320 m . Uma região possui um silo cheio e apenas 
um caminhão para transportar os grãos para a 
usina de beneficiamento. 
 
 
 
 
 
Utilize 3 como aproximação para .π 
O número mínimo de viagens que o caminhão pre-
cisará fazer para transportar todo o volume de 
grãos armazenados no silo é 
a) 6. 
b) 16. 
c) 17. 
d) 18. 
e) 21. 
 
10. (Espcex (Aman)) Um recipiente cilíndrico, cujo 
raio da base tem medida R, contém água até uma 
certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada 
nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem 
haver transbordamento de água. Se a altura da 
água subiu 
9
R,
16
 então o raio da esfera mede 
a) 
2
R
3
 
b) 
3
R
4
 
c) 
4
R
9
 
d) 
1
R
3
 
e) 
9
R
16
 
 
11. (Enem 2ª aplicação) A bocha é um esporte jo-
gado em canchas, que são terrenos planos e nive-
lados, limitados por tablados perimétricos de ma-
deira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, 
que são bolas feitas de um material sintético, de 
maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, 
que é uma bola menor feita, preferencialmente, de 
aço, previamente lançada. 
 
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram 
jogados em uma cancha. Suponha que um jogador 
tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha 
ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme 
ilustra a Figura 2. 
 
 
 
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o 
ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e 
B são os pontos em que a bocha e o bolim, respec-
tivamente, tocam o chão da cancha, e que a distân-
cia entre A e B é igual a d. 
 
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do 
bolim? 
a) 1 
b) 
2 10
5
 
c) 
10
2
 
d) 2 
e) 10 
 
12. (Uern) A peça geométrica, desenvolvida atra-
vés de um software de modelagem em três dimen-
sões por um estudante do curso de engenharia e 
estagiário de uma grande indústria, é formada a 
partir de dois prismas de base hexagonal regular e 
assemelha-se ao formato de uma porca de para-
fuso. 
 
 
 
Considerando que o lado do hexágono maior mede 
8cm; que o comprimento do prisma é igual a 35cm; 
e, que o lado do hexágono menor mede 6cm, então 
o volume da peça, de forma que se possa calcular, 
posteriormente, a quantidade de matéria-prima ne-
cessária à sua produção em massa em determi-
nado período de tempo é, em 3cm : 
(Considere 3 1,7.= ) 
a) 1.064. 
b) 1.785. 
c) 2.127. 
d) 2.499. 
 
13. (Enem PPL) Uma fábrica que trabalha com ma-
téria-prima de fibra de vidro possui diversos mode-
los e tamanhos de caixa-d’água. Um desses mode-
los é um prisma reto com base quadrada. 
 
 
Com o objetivo de modificar a capacidade de arma-
zenamento de água, está sendo construído um 
novo modelo, com as medidas das arestas da base 
duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a 
mesma forma. 
Em relação ao antigo modelo, o volume do novo 
modelo é 
a) oito vezes maior. 
b) quatro vezes maior. 
c) duas vezes maior. 
d) a metade. 
e) a quarta parte. 
 
14. (Enem PPL) Uma fábrica brasileira de exporta-
ção de peixes vende para o exterior atum em con-
serva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de al-
tura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura des-
conhecida e raio de 3 cm, respectivamente, con-
forme figura. Sabe-se que a medida do volume da 
lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a me-
dida do volume da lata que possui raio menor, V2. 
 
 
 
A medida da altura desconhecida vale 
a) 8 cm. 
b) 10 cm. 
c) 16 cm. 
d) 20 cm. 
e) 40 cm. 
 
15. (Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 
faixas iguais, como indica a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que o volume da bola é 32304 cm ,π en-
tão a área da superfície de cada faixa é de: 
a) 220 cmπ 
b) 224 cmπ 
c) 228 cmπ 
d) 227cmπ 
e) 225 cmπ 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A(s) quest(ões) abaixo se referem às informa-
ções do quadro a seguir. 
 
É possível construir um dado redondo e honesto, 
isto é, com probabilidade 1 6 para cada um dos seis 
valores que ele pode sortear. As marcações do 
dado redondo são pintadas sobre a superfície de 
uma esfera, usando-se uma disposição análoga à 
do cubo convencional. Dentro da esfera, encontra-
se uma cavidade na forma de um octaedro. Dentro 
da cavidade, coloca-se uma pequena esfera metá-
lica pesada, que fica solta. Quando o dado redondo 
é lançado, toda a estrutura tende a se equilibrar 
com a pequena esfera, ocupando a posição de um 
dos seis vértices do octaedro e fazendo com que o 
topo da superfície esférica apresente uma das seis 
marcações. 
 
 
(Disponível em: http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-br.html. Acesso em 10 
abr. 2015) 
 
16. (Upf) Se o diâmetro do dado redondo mede 
4 cm, a soma das medidas das arestas do octae-
dro dentro do dado é: 
a) 16 cm c) 8 2 cm e) 24 2 cm 
b) 24 cm d) 12 2 cm 
 
 
17. (G1 - ifsp) A figura a seguir representa uma 
piscina em forma de bloco retangular. 
 
 
 
De acordo com as dimensões indicadas, podemos 
afirmar corretamente que o volume dessa piscina 
é, em m3, igual a 
a) 5 10. 
b) 6 10. 
c) 6 15. 
d) 5 30. 
e) 6 30. 
 
18. (Insper) Uma empresa fabrica porta-joias com 
a forma de prisma hexagonal regular, com uma 
tampa no formato de pirâmide regular, como mos-
trado na figura. 
 
 
 
As faces laterais do porta-joias são quadrados de 
lado medindo 6 cm e a altura da tampa também 
vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do 
porta-joias e de sua tampa são revestidas com um 
adesivo especial, sendo necessário determinar a 
área total revestida para calcular o custo de fabri-
cação do produto. A área da parte revestida, em 
cm2, é igual a 
a) 72(3 3).+ 
b) 36(6 5).+ 
c) 108(2 5).+ 
d) 27(8 7).+ 
e) 54(4 7).+ 
 
19. (Espm) No sólido representado abaixo, sabe-
se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de 
áreas 26cm e 210cm , respectivamente. 
 
 
 
O volume desse sólido é de: 
a) 8 cm3 
b) 10 cm3 
c) 12 cm3 
d) 16 cm3 
e) 24 cm3 
 
20. (Enem PPL) Um lojista adquiriu novas embala-
gens para presentes que serão distribuídas aos 
seus clientes. As embalagens foram entregues 
para serem montadas e têm forma dada pela figura. 
 
 
 
Após montadas, as embalagens formarão um só-
lido com quantas arestas? 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
O sólido ABCDEF é um prisma triangular de bases 
ABF e DCE. Portanto, a resposta é dada por 
 
31 1AB AA AD 2 4 2 8cm .
2 2
   =    = 
 
Resposta da questão 2: [C] 
 
Sabendo que 
31m 1.000 L,= podemos concluir que 
a resposta é 50 25 3 1000 3.750.000 L.   = 
 
Resposta da questão 3: [D] 
 
Como os cilindros possuem a mesma área lateral 
podemos escrever que: 
h
2 6 H 2 r h 6 r 6 1,2 r r 5 cm
H
h
1,2 h 1,2 H
H
π π   =     =   =   =
=  = 
 
 
O volume do cilindro B é 
3240 cm ,π logo: 
25 h 240 h 9,6 cm e H 8 cmπ π  =   = = 
 
Portanto, a diferença entre os volumes será dada 
por: 
2 3
A BV V 6 8 240 48 cmπ π π− =   −  =   
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
Sabendo que a área lateral de um cilindro equilá-
tero de raio r é dada por 24 r ,π temos 
 
24 r 16 r 2cm.=  =π π 
 
Portanto, sendo o raio da esfera inscrita igual ao 
raio do cilindro, podemos concluir que o volume da 
esfera é 
 
3 3 34 4 32r 2 cm .
3 3 3
 =  =
π π π
 
 
Resposta da questão 5: [E] 
 
 
Admitindo x a medida do lado do octaedro da figura 
podemos escrever que: 
2 2
2
2
2
a a
x
2 2
2 a
x
4
a 2
x
2
   
= +   
   

=

=
 
 
Resposta da questão 6: [D] 
 
O volume total de petróleo contido no reservatório 
é igual a 
 
3 360 10 10 6,0 10 m .  =  
 
Desse volume, após o vazamento, restarão apenas 
 
3 32 60 10 7 2,8 10 m .
3
   =  
 
Em consequência, a resposta é 
 
3 3 3 36,0 10 2,8 10 3,2 10 m . −  =  
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
1 face superior
Total de faces 17 1 face inf erior possui 15 arestas na base
15 faces laterais


=  


 
 
Portanto, como será construído uma pirâmide tere-
mos 15 arestas laterais também. 
 
Logo, 15 arestas na base + 15 arestas laterais = 
30 arestas. 
 
Resposta da questão 8: [A] 
 
Cálculo do volume do paralelepípedo, utilizando as 
dimensões em 3dm , temos: 
3V (4 1)(3 1)(0,5) 3dm= − − = que equivale a 3 litros. 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
 
 
O volume do silo é dado por 
 
2 2 313 12 3 3 324 27 351m .
3
π π  +     +  
 
Portanto, se n é o número de viagens que o cami-
nhão precisará fazer para transportar todo o vo-
lume de grãos armazenados no silo, então 
 
351
n 17,55.
20
 = 
 
A resposta é 18. 
 
Resposta da questão 10: [B] 
 
 
 
Considerando que x seja o raio da esfera e escre-
vendo que o volume da esfera é igual ao volume da 
água deslocada, pode-se escrever: 
 
3
3 2 34 9R 27R 3x R x x R
3 16 64 4
π π  =    =  =  
 
Resposta da questão 11: [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
Seja D o pé da perpendicular baixada de O sobre 
AC. Assim, como CD 3cm= e CO 7cm,= pelo Te-
orema de Pitágoras, obtemos 
2 2 2d 7 3 d 2 10 cm.= −  = 
 
A resposta é 
2 10
10.
2
= 
 
Resposta da questão 12: [D] 
 
O volume total da peça será dado por: 
peça baseV S h=  
 
A área S da base será dada por: 
base hex.maior hex.menorS S S= − 
 
Pode-se calcular a área de cada um dos hexágo-
nos regulares (maior e menor), por: 
2
hex.reg
2
hex.maior hex.maior
2
hex.menor hex.menor
6 L 3
S
4
6 8 3
S S 96 3
4
6 6 3
S S 54 3
4
 
=
 
= → =
 
= → =
 
 
Assim, a área S da base será: 
base hex.maior hex.menor base baseS S S S 96 3 54 3 S 42 3= − → = − → = 
 
Por fim, pode-se calcular o volume total da peça, 
em 3cm : 
3
peça base peça peçaV S h V 42 3 35 V 2.499 cm=  → =  → = 
 
Resposta da questão 13: [B] 
 
Sendo a o comprimento das arestas da base e b 
a altura, pode escrever: 
( )
2
antigo
2 2
novo novo
novo antigo
V a b
V 2a b V 4a b
V 4 V
= 
=  → = 
= 
 
 
Resposta da questão 14: [B] 
 
Fazendo os cálculos: 
2
1
2
2
1 2
2 2
V 6 4
V 3 x
V 1,6 V
6 4 1,6 3 x
144 14,4x
x 10 cm
π
π
π π
=  
=  
= 
  =   
=
=
 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
Seja r o raio da esfera. Sabendo que o volume da 
esfera é 32304 cm ,π temos 
 
34 r 2304 r 12cm.
3
π π  =  = 
 
Portanto, a área da superfície de cada faixa é igual 
a 
 
2 2 21 1r 12 24 cm .
6 6
π π π  =   = 
 
 
 
Resposta da questão 16: [E] 
 
O diâmetro do dado corresponde à diagonal da 
base de uma das pirâmides quadrangulares que 
constituem o octaedro. Logo, se D é o diâmetro do 
dado e é a medida da aresta do octaedro, temos 
 
4
D 2 2 2cm.
2
=  =  = 
 
Em consequência, a resposta é 12 24 2 cm.= 
 
Resposta da questão 17: [E] 
 
3v 3 5 2 3 2 6 30m .=   = 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâ-
mide, O é o centro da base e M é o ponto médio 
da aresta AB. 
 
 
 
Desse modo, como AB 6cm,= vem 
 
AB 6
OM OM 3 3 cm.
2tg30 3
2
3
=  = =


 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
OVM, encontramos 
 
2 2 2 2 2 2VM OV OM VM 6 (3 3)
VM 3 7 cm.
= +  = +
 =
 
 
Portanto, o resultado pedido é dado por 
 
2 2
2
AB VM
6 AB 6 (6 3 3 7)
2
54(4 7)cm .
 
 + =  +  
 
 
= +
 
 
Resposta da questão 19: [C] 
 
Temos 
 
(ABCD) AB BC AB 2 6
AB 3cm
=    =
 =
 
 
e 
 
(BCFE) BC BE 2 BE 10
BE 5cm.
=    =
 =
 
 
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triân-
gulo ABE, obtemos AE 4cm.= 
 
Por conseguinte, o resultado pedido é3AB AE 3 4BC 2 12cm .
2 2
 
 =  = 
 
Resposta da questão 20: [D] 
 
O sólido formado será um prisma pentagonal. 
Logo, o número de arestas é igual a 3 5 15. =