Questão resolvida - Uma calha horizontal possui 100 cm de comprimento e tem como seção transversal um triangulo isósceles de 8 cm de base e 10 cm de altura conforme mostra as figuras abaixo. Devido á

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma calha horizontal possui 100 cm de comprimento e tem como seção transversal 
um triangulo isósceles de 8 cm de base e 10 cm de altura, conforme mostra a figura 
abaixo. Devido á chuva, a água em seu interior está se elevando. Quão rápido o 
volume de água em seu interior estará aumentando no instante em que o nível da 
água for de 5 cm e estiver aumentando a uma razão de cm/min? (O volume da 
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calha é igual ao produto de seu comprimento pela área da sua seção transversal). 
 
Resolução: 
 
Queremos a taxa de variação do volume em função do tempo, ou seja: 
dV
dt
Observe a figura seguinte:
 
Por semelhança de triângulo chegamos na relação;
 
 
10 cm
8 cm
seção da calha
triângulo da parte de cima
b
y - 10
b
y
= 10b = 8 y - 10 b =
8
b
10
y - 10
→ ( ) →
8 y - 10
10
( )
 
A seção da água dentro da calha forma um trapézio de base menor b, base maior 8 e altura y
Com isso, sua área é dada por :
 
A = A = A =
8 + ⋅ y
2
8 y-10
10
( )
→
8 + ⋅ y
2
4 y-10
5
( )
→
4 2 + ⋅ y
2
y-10
5
A = 2 2 + ⋅ y A = 4y + A = 4y + - 2y A = + 2y
y - 10
5
→
y - 10y
5
2
→
y
5
2
→
y
5
2
 
Derivando os 2 membros em relação ao tempo, fica :
 
= + 2
dA
dt
2y
5
dy
dt
 
V = A ⋅H Derivando V em relação ao tempo = ⋅H→ →
dV
dt
dA
dt
H = 100
 
= + 2 ⋅ 100
dV
dt
2y
5
dy
dt
 
 é a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, esse valor foi dado no
dy
dt
enunciado como sendo = 12 cm / min, netse instante a altura da água é de y = 5 cm. 
dy
dt
 
Substituindo, temos :
 
= + 2 ⋅ ⋅ 100 = 2 + 2 ⋅ 50 = 4 ⋅ 50
dV
dt
2 ⋅ 5
5
1
2
→
dV
dt
( ) →
dV
dt
 
= 200 cm /min
dV
dt
3
 
 
(Resposta )