Geometria Analítica e Álgebra Linear: Diagonalização

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UFSJ

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Leandro Rodrigues

28/09/2021

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Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
Diagonalização
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 1 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Definição
Dizemos que uma matriz A, n × n, é diagonalizável, se existem matrizes P e D
tais que A = PDP−1, ou equivalentemente, D = P−1AP, em que D é uma matriz
diagonal.
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 2 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
EXEMPLO: A matriz A =
[
1 −1
−4 1
]
é diagonalizável.
De fato, considere a matriz P =
[
1 1
−2 2
]
P tem inversa e sua inversa é P−1 =
[
1/2 −1/4
1/2 1/4
]
. Assim,
P−1A =
[
1/2 −1/4
1/2 1/4
] [
1 −1
−4 1
]
=
[
3/2 −3/4
−1/2 −1/4
]
e
P−1AP =
[
3/2 −3/4
−1/2 −1/4
] [
1 1
−2 2
]
=
[
3 0
0 −1
]
que é uma matriz diagonal.
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 3 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Suponha A uma matriz diagonalizável, então existe P tal que
P−1AP = D
AP = PD
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 4 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Sejam
D =

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn

n×n
e
P = [v1 v2 . . . vn]
em que vj é a coluna j de P.
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 5 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Por um lado
AP = A[v1 v2 . . . vn] = [Av1 Av2 . . . Avn]
Por outro lado,
PD = [v1 v2 . . . vn]

λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . λn

= [λ1v1 λ2v2 . . . λnvn]
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 6 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Assim, AP = PD pode ser reescrita como
[A1v1 A2v2 . . . Anvn] = [λ1v1 λ2v2 . . . λnvn]
Logo, Avj = λjvj para j = 1, . . . , n.
Ou seja, as colunas de P, vj , e os elementos da diagonal de D, λj , satisfazem a
equação
Av = λv
em que λ e v são incógnitas. Isto motiva a seguinte definição
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 7 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Definição
Seja A uma matriz n× n. Um número real λ é chamado autovalor (real) de A, se
existe um vetor não nulo, chamado de autovetor, v =
 x1...
xn
 de Rn, tal que
Av = λv . (1)
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 8 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Note que
Av = λv
pode ser reescrito com
Av − λv = 0
observe que λv = λIv , assim
(A− λI )v = 0 (sistema homogêneo)
Lembre que v 6= 0, ou seja, procuramos soluções diferentes da trivial. Logo
det(A− λIn) = 0
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 9 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Seja A uma matriz n × n.
Os autovalores (reais) de A são as ráızes reais do polinômio caracteŕıstico
p(λ) = det(A− λIn). (2)
Para cada autovalor λ, os autovetores associados a λ são os vetores não
nulos da solução do sistema
(A− λIn)v = 0̄ . (3)
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 10 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Exemplo: Encontre os autovalores e autovetores da matriz A, sendo
A =
 4 2 22 4 2
2 2 4

Devemos calcular
p(λ) = det(A− λI3)
temos
A− λIn =
 4 2 22 4 2
2 2 4
− λ
 1 0 00 1 0
0 0 1
 =
 4− λ 2 22 4− λ 2
2 2 4− λ

Assim,
p(λ) = det
 4− λ 2 22 4− λ 2
2 2 4− λ

(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 11 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Que leva ao polinômio caracteŕıstico
p(λ) = −λ3 + 12λ2 − 36λ+ 32
Uma raiz é 2.
Reescrevendo o polinômio caracteŕıstico
−λ3 + 12λ2 − 36λ+ 32 = (λ− 2)(−λ2 − 10λ− 16) = (λ− 2)(λ− 2)(λ− 8)
Vemos que suas ráızes são 8 e 2 com multiplicidade 2.
Logo, λ = 2 e λ = 8 são os autovalores.
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 12 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Devemos encontrar os autovetores associados aos autovalores.
Ou seja, devemos resolver o sistema linear (A− λI )v = 0.
• Para o autovalor λ = 2, temos que resolver (A− 2I )v = 0.
Observe que
A− 2I =
 4 2 22 4 2
2 2 4
− 2
 1 0 00 1 0
0 0 1
 =
 2 2 22 2 2
2 2 2

(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 13 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
E o sistema (A− 2I )v = 0, fica 2 2 22 2 2
2 2 2
 x1x2
x3
 =
 00
0

Escalonando a matriz e reescrevendo 1 1 10 0 0
0 0 0
 x1x2
x3
 =
 00
0

 x1 + x2 + x3 = 0x2 = α
x3 = β
x1 = −α− β
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 14 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
v = [−α− β α β]>
[−α− β α β]> = α[−1 1 0]> + β[−1 0 1]>
Portanto, v1 = [−1 1 0]> e v2 = [−1 0 1]> são os autovetores associados a
λ = 2
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 15 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
• Para o autovalor λ = 8, temos que resolver (A− 8I )v = 0.
Observe que
A− 8I =
 4 2 22 4 2
2 2 4
− 8
 1 0 00 1 0
0 0 1
 =
 −4 2 22 −4 2
2 2 −4

(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 16 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
E o sistema (A− 8I )v = 0, fica −4 2 22 −4 2
2 2 −4
 x1x2
x3
 =
 00
0

Escalonando a matriz e reescrevendo 1 −1/2 −1/20 1 −1
0 0 0
 x1x2
x3
 =
 00
0

 x1 − 1/2x2 − 1/2x3 = 0x2 − x3 = 0
x3 = γ
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 17 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
 x1 = 1/2x2 + 1/2x3x2 = γ
x3 = γ
x1 =
1
2γ +
1
2γ = γ
Logo, v = [γ γ γ]>
[γ γ γ]> = γ[1 1 1]>
Portanto, v3 = [1 1 1]
> é o autovetor associado a λ = 8
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 18 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Teorema
Uma matriz quadrada An×n é diagonalizável se, e somente se, A possui n
autovetores linearmente independente.
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 19 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Teorema
Autovalores associados a autovetores distintos são linearmente independente.
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 20 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Corolário
Seja A uma matriz n × n. Se o seu polinômio caracteŕıstico possui n ráızes
distintas então A é diagonalizável.
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 21 / 24
Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear Diagonalização
Exemplo:
A =
[
−1 2
0 1
]
(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 22 / 24
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(CAP/UFSJ) GAAL GAAL 23 / 24
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Obrigada!
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