Diagonalização de Operadores Lineares em Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 10- DIAGONALIZAÇÃO DOS OPERADORES LINEARES – 
APLICAÇÕES DE AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES – APLICAÇÕES DE AUTOVETORES E ANTEVETORES– AULA 10 
ÁLGEBRA LINEAR 
Conteúdo Programático desta aula 
 
. Diagonalização dos Operadores Lineares 
 
. Polinômio de Matriz 
 
. Polinômio Minimal 
 
. Exercícios 
 
 
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES – APLICAÇÕES DE AUTOVETORES E ANTEVETORES– AULA 10 
ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
DIAGONALIZAÇÃO 
DEFINIÇÃO 
 Dizemos que uma matriz A, de ordem n x n é 
DIAGONALIZÁVEL se A tem n autovetores linearmente 
independentes. 
 Em outras palavras, uma matriz quadrada A é dita 
diagonalizável se existir uma matriz invertível P tal que 
PA-1P é uma matriz diagonal; dizemos, então, que a matriz 
P diagonaliza A. 
 
 
TEOREMA 
 Se A é uma matriz n x n, então são equivalentes as 
seguintes afirmações: 
i) A é diagonalizável 
ii) A tem n autovetores linearmente independentes. 
 
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ROTEIRO PARA DIAGONALIZAÇÃO DE UMA MATRIZ A 
 
i) Determine os autovalores de A. 
 
ii) Determine três autovetores para A linearmente 
independentes (LI). 
 
iii) Monte P a partir dos vetores determinados em (ii) 
 
iv) Monte D a partir dos autovalores associados. 
 
 
 
 
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EXEMPLO: 1 3 3 
1. Se possível, diagonalize a matriz A = -3 -5 -3 . 
 3 3 1 
 Observe que o que pretendemos é determinar uma matriz 
inversível P e uma matriz diagonal D tal que A=PDP-1 . 
SOLUÇÃO 
 i) A equação característica é: 
0 = det(A-I)=-³-3²+4=-(-1)(+2)² 
Os autovalores são: =1 e =-2 
 ii) Temos uma base para cada auto-espaço. 
Assim: 1 
 Para =1 ; v1 = -1 
 1 
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 -1 -1 
Para =-2 ; v2 = 1 e v3 = 0 
 0 1 
 
Observe que o conjunto {v1,v2,v3} é linearmente independente 
(LI). 
 
 1 -1 -1 
iii) P = [v1 v2 v3] = -1 1 0 
 1 0 1 
 
 
 1 0 0 
iv) D = 0 -2 0 
 0 0 -2 
 
 
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POLINÔMIO DE MATRIZ 
 
 Seja A uma matriz quadrada de ordem n, isto é, n x n 
e seja p(x) = a0 + a1x + ... + anx
n um polinômio qualquer. 
 Definimos então p(A) = a0I + a1A + ... + anA
n , onde I é 
a matriz identidade m x m. (POLINÔMIO DE MATRIZ) 
 
Exemplo: 
 Se p(x)=2x²+4x-3 e A = 1 2 , determine p(A). 
 0 -1 
 
SOLUÇÃO 
 
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POLINÔMIO MINIMAL 
DEFINIÇÃO 
 Seja A uma matriz quadrada. O polinômio minimal de A é o 
polinômio definido por 
 m(x) = xp + ap-1x
p-1+ap-2x
p-2 + ... + a1x + a0 
tal que m(x) anula A , isto é, m(A)=0 e m(x) é o polinômio de 
menor grau dentre todos aqueles que anulam a matriz A. O 
coeficiente do termo de maior grau deve ser igual a 1. 
 
Obs: 
 i) As raízes do polinômio minimal são as mesmas raízes do 
polinômio característico. 
 ii) p() = det(A - I) , I é a matriz identidade 
 p(A) = det(A – AI) 
 
 
 
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Como determinar? 
 
 Suponha, por exemplo, que o polinômio característico 
de uma matriz A seja do tipo: p(x) = (x-2)2 . (x-5)4 -> dimensão 
de V é: 2 + 4 = 6 
 
 p1(x) = (x-2)
2 . (x-5)4 
 p2(x) = (x-2) . (x-5)
4 
 p3(x) = (x-2) . (x-5)
3 
 p4(x) = (x-2) . (x-5)
2 
 p5(x) = (x-2) . (x-5) <--- este é o polinômio minimal 
desde que anule a matriz A 
 
 
 
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EXEMPLO 
 Seja T:R²->R² um operador linear dado por T(3y,x). 
Determine o polinômio minimal e verifique se é 
diagonalizavel. 
SOLUÇÃO 
. Matriz associada a T: [T]α
2 = 0 3 -> p() = det([T]α
2- I) . 
 1 0 
 
. p() = det 0- 3 = 0- 3 = ² - 3 = ( - ) ( + ) . 
 1 0- 1 0- 
 
. O polinômio característico é: p() = ² - 3. 
 
. Os autovalores são: 1 = e 2 = - (distintos) 
3 3
3 3
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.p([T]α
2) = 0 3 . 0 3 -3 1 0 = 3 0 - 3 0 = 0 0 
 1 0 1 0 0 1 0 3 0 3 0 0 
 
 
. P() é o polinômio de menor grau que anula p([T]α
2) -> 
 
 -> p(x) = (x - ) . ( x + ) = p() é o polinômio minimal 
de T. 
 
 
. p(x) é do tipo m(x) = (x-1) . (x-2) -> T é diagonalizavel. 
3 3
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Na aula de hoje estudamos: 
 
 
. Diagonalização dos Operadores Lineares 
 
. Polinômio de Matriz 
 
. Polinômio Minimal 
 
. Exercícios