Otimização em sistemas de produção

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Recursos computacionais (algoritmos e softwares) para uma revolução no âmbito da pesquisa operacional
(PO), com eficiência na aquisição e no tratamento dos dados nos sistemas logísticos de produção.
PROPÓSITO
Aprender a aplicar técnicas para a otimização em sistemas de produção, fundamental para a obtenção de
resultados eficientes na área da logística.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora, preferencialmente que execute
cálculo de exponenciais. Como apoio para a solução dos problemas que serão apresentados, se possível,
tenha um computador com aplicativo Microsoft Excel ou Apache OpenOffice.
OBJETIVOS
Processing math: 100%
MÓDULO 1
Identificar os problemas de produção
MÓDULO 2
Reconhecer os problemas de escala de produção
INTRODUÇÃO
Bem-vindo à otimização em sistemas de produção
A constante evolução no campo da pesquisa operacional (PO) tem desenvolvido importantes adventos nos
ramos de metodologia e de aplicação de redes modelos de otimização de dados. Variadas inovaçõesProcessing math: 100%
algorítmicas tiveram um grande impacto na área, assim como ideias da ciência da computação sobre
estruturas e manipulação eficiente de dados. Consequentemente, algoritmos e softwares estão disponíveis e
sendo usados rotineiramente para resolver grandes problemas que seriam de complexa resolução há duas
ou três décadas.
Entenderemos, ao longo deste estudo, como identificar os problemas de produção e os problemas de escala,
e quais métodos podemos usar para resolvê-los.
MÓDULO 1
 Identificar os problemas de produção
Bem-vindo à otimização em sistemas de produção
CONCEITOS DE MODELO DE DECISÃOProcessing math: 100%
Os problemas de tomada de decisão podem ser classificados em duas categorias: modelos de decisão
determinísticos e probabilísticos. Em modelos determinísticos, boas decisões trazem bons resultados, você
consegue o que espera, portanto, o resultado é determinístico, livre de risco. O resultado de uma decisão
depende muito da influência de fatores incontroláveis e da quantidade de informação que o tomador de
decisão possui para prever esses fatores.
Aqueles que gerenciam e controlam sistemas de homens e equipamentos enfrentam o problema contínuo de
melhorar o desempenho do sistema. O objetivo pode ser reduzir o custo de operação, mantendo um nível
aceitável de serviço e o lucro das operações atuais, fornecer um nível mais alto de serviço sem aumentar o
custo, manter uma operação lucrativa enquanto atende os regulamentos governamentais impostos, ou
"melhorar" um aspecto da qualidade do produto sem reduzir a qualidade em outro. Para identificar métodos
de melhoria da operação do sistema, deve-se construir uma representação sintética ou modelo do sistema
físico, que pode ser usado para descrever o efeito de uma variedade de soluções propostas.
Um modelo é uma representação que captura "a essência" da realidade. Uma fotografia é um modelo da
realidade retratada na imagem. A pressão arterial pode ser usada como um modelo da saúde de um
indivíduo. Uma campanha piloto de vendas pode ser usada para modelar a resposta de indivíduos a um novo
produto. Em cada caso, o modelo captura algum aspecto da realidade que tenta representar.
 
Foto: Shutterstock.com
Processing math: 100%
 
Foto: Shutterstock.com
Uma vez que um modelo captura apenas certos aspectos da realidade, pode ser inadequado para uso em
uma aplicação específica, pois pode capturar os elementos errados da realidade. Temperatura é um modelo
de condições climáticas, mas pode ser inapropriado se alguém estiver interessado em pressão barométrica.
A fotografia de uma pessoa é um modelo desse indivíduo, mas fornece poucas informações sobre seu
desempenho acadêmico. Uma equação que prevê as vendas anuais de determinado produto é um modelo
desse produto, mas tem pouco valor se estivermos interessados no custo de produção por unidade. Assim, a
utilidade do modelo depende do aspecto da realidade que ele representa.
Se um modelo captura os elementos apropriados da realidade, mas o faz de maneira distorcida ou
enviesada, ele não será útil. Uma equação que prevê o volume de vendas mensal pode ser exatamente o
que o gerente de vendas está procurando, mas pode levar a sérias perdas se produzir consistentemente
altas estimativas de vendas. Um termômetro com leitura muito alta ou muito baixa seria de pouca utilidade
em diagnósticos médicos. Um modelo útil é aquele que captura os elementos adequados da realidade com
precisão aceitável.
A OTIMIZAÇÃO MATEMÁTICA É O RAMO DA CIÊNCIA
COMPUTACIONAL QUE BUSCA RESPONDER À PERGUNTA “O
QUE É MELHOR?” PARA PROBLEMAS EM QUE A QUALIDADE
DA RESPOSTA PODE SER EXPRESSA COMO UM VALOR
NUMÉRICO.
Tais problemas de otimização surgem em diversos ramos: Negócios, Economia, Finanças, Gestão, Química,
Ciência dos Materiais, Física, Astronomia, Biologia Estrutural e Molecular, Engenharia, Ciência da
Computação, Medicina e Arquitetura. A gama de técnicas disponíveis para resolvê-los é quase tão ampla.Processing math: 100%
Um modelo de otimização matemática consiste em uma função objetivo e um conjunto de restrições
expressos na forma de um sistema de equações ou desigualdades, e esses modelos são usados
extensivamente em quase todas as áreas de tomada de decisão, como projeto de engenharia e seleção de
portfólio financeiro.
Se o modelo matemático é uma representação válida do desempenho do sistema, conforme demonstrado
pela aplicação das técnicas analíticas apropriadas, então, a solução obtida do modelo também deve ser a
solução para o problema do sistema. A eficácia de qualquer técnica de otimização se deve, em grande parte,
ao grau de representação do modelo sobre o sistema estudado. Os problemas de otimização são
onipresentes na modelagem matemática de sistemas do mundo real e cobrem um amplo conjunto de
aplicações: Economia, Finanças, Química, Ciência dos Materiais, Astronomia, Física, Biologia Estrutural e
Molecular, Engenharia, Ciência da Computação e Medicina.
A MODELAGEM DE OTIMIZAÇÃO REQUER TEMPO
APROPRIADO.
A seguir, o procedimento geral a ser usado no processo de modelagem:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Descrever o problema.

 
Imagem: Danielle Ribeiro
Prescrever uma solução.

Processing math: 100%
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Controlar o problema avaliando e atualizando a solução ótima continuamente, enquanto altera os parâmetros
e estrutura do problema. Claramente, sempre há ciclos de feedback entre essas etapas gerais.
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA
Assim que você detectar um problema, pense e entenda-o para descrevê-lo adequadamente por escrito.
Desenvolva um modelo matemático ou estrutura para representar a realidade a fim de conceber ou utilizar
um algoritmo de solução de otimização. A formulação do problema deve ser validada antes de ser oferecida
uma solução. Uma boa formulação matemática para otimização deve ser inclusiva – inclui o que pertence ao
problema – e exclusiva – elimina o que não pertence ao problema.
ENCONTRE UMA SOLUÇÃO IDEAL
Esta é a identificação de um algoritmo de solução e seu estágio de implementação. O único bom plano é um
plano implementado que permanece implementado! 
 
Interpretações gerenciais da solução ideal: Depois de reconhecer o algoritmo e determinar o módulo de
software apropriado a ser aplicado, utilize-o para obter a estratégia ideal. Em seguida, a solução será
apresentada ao tomador de decisão no mesmo estilo e linguagem usados pelo tomador de decisão. Isso
significa fornecer interpretações gerenciais da solução estratégica em termos leigos, não apenas entregar ao
tomador de decisão uma impressão do computador.
ANÁLISE PÓS-SOLUÇÃO
Essas atividades incluem a atualização da solução ideal para controlar o problema. Neste mundo em
constante mudança, é crucial atualizar periodicamente a solução ideal para qualquer problema de
otimização. Um modelo que era válido pode perder a validade devido a mudanças nas condições, tornando-se uma representação imprecisa da realidade e afetando adversamente a capacidade decisiva do tomador
de decisão. O modelo de otimização que você cria deve ser capaz de lidar com as mudanças.
IMPORTÂNCIA DO FEEDBACK E CONTROLE
É necessário enfatizar a importância de pensar sobre os aspectos de feedback e controle de um problema de
otimização. Seria um erro discutir o contexto do processo de modelagem de otimização e ignorar que uma
solução imutável para um problema de decisão nunca deve ser esperada. A própria natureza do ambiente da
estratégia ideal está mudando e, portanto, o feedback e o controle são partes importantes do processo de
modelagem de otimização.
O processo acima é descrito como os estágios de Análise, Projeto e Controle de Sistemas no fluxograma a
seguir, incluindo as atividades de validação e verificação:Processing math: 100%
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
PROGRAMAÇÃO LINEAR
A programação linear (PL) costuma ser o tópico favorito de professores e alunos. A capacidade de introduzir
a PL usando uma abordagem gráfica, a relativa facilidade do método de solução, a ampla disponibilidade de
pacotes de software para PL e os numerosos aplicativos tornam a PL acessível até mesmo para alunos com
conhecimentos matemáticos relativamente limitados. Além disso, a PL oferece uma excelente oportunidade
para introduzir a ideia de análise what-if, devido às poderosas ferramentas para análise pós-otimização
desenvolvidas para o modelo de PL.
A PROGRAMAÇÃO LINEAR É UM PROCEDIMENTO
MATEMÁTICO PARA DETERMINAR A ALOCAÇÃO ÓTIMA DE
RECURSOS ESCASSOS E QUE ENCONTROU APLICAÇÃO
PRÁTICA EM QUASE TODAS AS FACETAS DOS NEGÓCIOS,
DA PROPAGANDA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO.
Problemas de transporte, distribuição e planejamento de produção agregada são os objetos mais típicos da
análise por meio de PL. Na indústria do petróleo, por exemplo, um gerente de processamento de dados em
uma grande empresa petrolífera estimou recentemente que de 5% a 10% do tempo do computador da
empresa era dedicado ao processamento de PL e de modelos semelhantes aos de PL.
Ao formular um problema de tomada de decisão como um programa linear, você deve verificar as seguintes
condições:
Processing math: 100%
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A função objetivo deve ser linear, por isso, verifique se todas as variáveis têm potência de 1 e são
adicionadas ou subtraídas (não divididas ou multiplicadas).
 
Imagem: Danielle Ribeiro
O objetivo deve ser a maximização ou a minimização de uma função linear e deve representar a meta do
tomador de decisão.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
As restrições também devem ser lineares e sempre fechadas, das seguintes formas: ≥, ≤ ou =.
Veja a seguir um modelo de PL:
Maximizar 5x1 + 3x2
Sujeito a:
2x1 + x2 ≤ 40 Restrição de mão de obra
x1 + 2x2 ≤ 50 Restrição de material
x1, x2 Não negativo
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Processing math: 100%
VEJAMOS UM EXEMPLO DE UM PROBLEMA DE MISTURA
A YDVQS Pizza é uma fabricante de pizzas congeladas. A empresa obtém um lucro líquido de R$1,00 para
cada pizza regular e R$1,50 para cada pizza de luxo produzida. A empresa tem atualmente 150kg de mistura
de massa e 50kg de mistura de cobertura. Cada pizza regular usa 1kg de mistura de massa e 0,125kg de
mistura de cobertura. Cada pizza de luxo usa 1kg de mistura de massa e 0,25kg de mistura de cobertura.
Com base na demanda anterior por semana, YDVQS pode vender pelo menos 50 pizzas regulares e pelo
menos 25 pizzas de luxo. O problema é determinar o número de pizzas regulares e de luxo que a empresa
deve produzir para maximizar o lucro líquido. Formule este problema como um problema de LP.
Sejam x1 e x2 o número de pizzas regulares e de luxo, então a formulação PL é:
Maximizar x1 + 1,5x2
Sujeito a:
x1 + x2 ≤ 150 Restrição de mistura de massa
0,125 x1 + 0,5 x2 ≤ 50 Restrição de mistura de cobertura
x1 ≥ 50
x2 ≥ 25
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Não negativo
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ALGORÍTMO BRANCH AND BOUND (B&B)
Um algoritmo B&B para um problema de minimização/minimização consiste, portanto, em três componentes
principais:
BOUNDING FUNCTION
STRATEGY FOR SELECTING
BRANCHING RULE
Processing math: 100%
BOUNDING FUNCTION
Cálculo dos limites inferiores e/ou superiores para o valor da função objetivo do subproblema.
STRATEGY FOR SELECTING
Uma estratégia para selecionar o subespaço de soluções a ser investigado na iteração atual.
BRANCHING RULE
Regra de ramificação a ser aplicada se um subespaço, após a investigação, não puder ser descartado,
subdividindo-o em dois ou mais subespaços a serem investigados em iterações subsequentes.
As etapas do método branch and bound para determinar uma solução inteira ótima para um modelo de
maximização (com ≤ restrições) podem ser resumidas da forma a seguir:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Encontre a solução ótima para o modelo de programação linear com as restrições de número inteiro
relaxadas.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Na raiz, nó 0, a solução relaxada deve ser o limite superior; a solução inteira arredondada, o limite inferior.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Processing math: 100%
Selecione a variável com a maior parte fracionária para ramificação. Crie duas restrições para essa variável,
refletindo os valores inteiros particionados. O resultado será uma nova restrição ≤ e uma nova restrição ≥.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Crie dois nós, um para a restrição ≤ e outro para a restrição ≥.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Resolva o modelo de programação linear relaxado com a nova restrição adicionada em cada um desses nós.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
A solução relaxada é o limite superior em cada nó, e a solução inteira máxima existente (em qualquer nó) é o
limite inferior.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Se o processo produzir uma solução viável inteira com o maior valor limite superior dentre qualquer nó final,
a solução inteira ideal foi atingida. Se uma solução inteira viável não aparecer, ramifique o nó com o maior
limite superior.
Processing math: 100%
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Volte ao passo 3.
VAMOS A UM EXEMPLO SIMPLES PARA ENTENDER O
MÉTODO: DEVE-SE ENCONTRAR A SOLUÇÃO PARA O
SEGUINTE PROBLEMA:
MAX Z = 21X1 + 11X2 
 
SUJEITO A: 
 
7X1 + 4X2 ≤ 13 
 
X1, X2 ≥ 0 E INTEIROS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Olhando a restrição, vamos fazer x1 = 0 e determinar o valor de x2, e posteriormente x2 = 0 e determinar
x2:
X1 = 0 ENTÃO X2 = 13 ÷ 4 = 3, 25 
 
X2 = 0 ENTÃO X1 = 13 ÷ 7 = 1, 86 
 
PORTANTO: Z = 21 × 0 + 11 × 3, 25 = 35, 75 
Processing math: 100%
 
Z = 21 × 1, 86 + 11 × 0 = 39, 06
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo o problema relaxado, tem-se:
Valor ótimo da solução: 39,06.
Valores das variáveis x1 = 1, 86 e x2 = 0.
Logo, o valor de x1 não é inteiro, então dividimos o problema em dois subproblemas:
Um em que consideramos o valor de x1 ≥ 2, que vamos chamar de subproblema A.
Outro em que consideramos x1 ≤ 1, chamado de subproblema B.
Subproblema A Subproblema B
Max Z = 21x1 + 11x2 Max Z = 21x1 + 11x2
Sujeito a: Sujeito a:
7x1 + 4x2 ≤ 13 7x1 + 4x2 ≤ 13
x1 ≥ 2 x1 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Não encontramos solução factível ao resolver o problema A: na restrição 7 × 2 = 14, não é menor do que
13. Então, aplicando o critério para poda, podemos eliminá-lo (teste de sondagem 1, o problema relaxado é
infactível).
Resolvendo o subproblema B, se temos x1 = 1, então x2 = 1, 5 e Z = 37, 5. Agora x2 não é inteiro, logo,
particionamos o problema em dois, considerando o subproblema C com a variável x2 ≤ 1 e o subproblema
D com x2 ≥ 2.
Subproblema C Subproblema D
Max Z = 21x1 + 11x2 Max Z = 21x1 + 11x2Processing math: 100%
Subproblema C Subproblema D
Sujeito a: Sujeitoa:
7x1 + 4x2 ≤ 13 7x1 + 4x2 ≤ 13
x1 ≤ 1 x1 ≤ 1
x2 ≤ 1 x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A solução do subproblema C é igual a 32, x1 = 1 e x2 = 1, as duas variáveis são inteiras, logo,
considerando o teste de sondagem (TS2), esse problema pode ser sondado por otimalidade.
Resolvendo o subproblema D, temos Z = 37, x1 = 0, 72 e x2 = 2. Note que a variável x1 novamente não é
inteira, então particionamos o subproblema, gerando dois novos subproblemas como mostramos a seguir:
Subproblema E Subproblema F
Max Z = 21x1 + 11x2 Max Z = 21x1 + 11x2
Sujeito a: Sujeito a:
7x1 + 4x2 ≤ 13 7x1 + 4x2 ≤ 13
x1 ≤ 1 x1 ≤ 1
x2 ≥ 2 x2 ≥ 1
x1 ≤ 0 x1 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Processing math: 100%
O subproblema F é infactível, logo, podemos usar TS1 e eliminá-lo. O subproblema E tem solução igual a
35,75, x1 = 0 e x2 = 3, 25.
Subproblema G Subproblema H
Max Z = 21x1 + 11x2 Max Z = 21x1 + 11x2
Sujeito a: Sujeito a:
7x1 + 4x2 ≤ 13 7x1 + 4x2 ≤ 13
x1 ≤ 1 x1 ≤ 1
x2 ≥ 2 x2 ≥ 2
x1 ≤ 0 x1 ≤ 0
x2 ≤ 3 x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
No subproblema G, temos então x1 = 0 e x2 = 3, obtendo Z = 33. O problema H, com x4 = 4, é
infactível. Obtemos a solução ótima no problema G.
UTILIZANDO O SOLVER
Para o Solver, vamos montar a planilha:
Processing math: 100%
 
 Captura de tela do Software Excel
As células têm o seguinte significado:
D4:E4 → varáveis do problema
F7 → =SOMARPRODUTO(D7:E7;D4:E4)
G7 → limite da restrição
D9 → =21*D4+11*E4 — função objetivo
O Solver será:
Definir objetivo → $D$9
Para → Max
Alterando células variáveis → $D$4:$E$4
Restrição 1 → D4:E4 = número inteiro
Restrição 2 → $F$7 ≤ $G$7
Método de solução → LP Simplex
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Processing math: 100%
 
 Captura de tela do Software Excel
Clicando em “Resolver” obtemos:
 
 Captura de tela do Software Excel
PROBLEMA DE ESCALA
A otimização do cronograma é o processo de garantir que cada tarefa ou ação individual em um cronograma
esteja alinhada com o seu objetivo final e pode ser usada por indivíduos e empresas para manter suas
prioridades na vanguarda, ao definir os horários para a realização das tarefas. As empresas de entrega
costumam usar a otimização do cronograma para garantir que uma rota de entrega seja planejada com a
menor quilometragem possível e, portanto, com o menor custo de combustível.
Processing math: 100%
 
Foto: Shutterstock.com
 
Foto: Shutterstock.com
Organizações cujos funcionários trabalham em vários turnos precisam programar trabalhadores suficientes
para cada turno diário. Normalmente, os horários terão restrições, como "nenhum funcionário deve trabalhar
em dois turnos consecutivos". Encontrar um cronograma que satisfaça todas as restrições pode muitas vezes
ser computacionalmente complexo.
Muitas empresas de logística fornecem serviços em massa aos clientes, mas, atualmente, também atendem
uma crescente demanda por serviços de logística customizados e consideram modificar o modo de serviço.
Especialmente, essas empresas tentam fornecer serviços de logística de customização em massa em vez de
serviços de logística em massa. O tempo de conclusão é um índice importante para a qualidade desse
serviço e o problema de programação de tempo é um dos principais da área. Inúmeras empresas de logística
têm se dedicado a melhorar o desempenho da programação de tempo.
Processing math: 100%
EM PRODUÇÃO, EM LOGÍSTICA, EM SERVIÇOS ETC., É
IMPORTANTE QUE SE ORGANIZE UMA ESCALA DE
TRABALHO A FIM DE OBTER UMA MAIOR EFICIÊNCIA DO
PROCESSO. A ALOCAÇÃO DE MÁQUINAS OU DE PESSOAS É
DE SUMA IMPORTÂNCIA PARA A MANUTENÇÃO DA
RENTABILIDADE DO NEGÓCIO.
PARA MELHOR ENTENDER SUA IMPORTÂNCIA, VAMOS VER
O SEGUINTE EXEMPLO
O administrador de um hospital deseja otimizar o número de enfermeiros montando uma escala de trabalho
para o primeiro turno. O hospital funciona sete dias por semana e o primeiro turno é das 8h às 14h. Cada
enfermeiro trabalha cinco dias consecutivos e folga dois, com um salário semanal de R$800,00. Caso
trabalhe no sábado, recebe um acréscimo de 10% no salário; caso trabalhe no domingo, de 25%. A tabela a
seguir apresenta a necessidade mínima diária de profissionais. Quanto será o gasto semanal com salários?
Dia seg ter qua qui sex sáb dom
Número de enfermeiros 51 58 62 41 32 19 23
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Vamos inicialmente montar a escala de funcionários, informando que, caso trabalhe em determinado dia, o
valor será 1, e caso contrário, 0. Veja a escala:
seg ter qua qui sex sáb dom
Inicia o 
trabalho na (o)
seg 1 1 1 1 1 0 0
ter 0 1 1 1 1 1 0
qua 0 0 1 1 1 1 1
qui 1 0 0 1 1 1 1
sex 1 1 0 0 1 1 1
Processing math: 100%
seg ter qua qui sex sáb dom
sáb 1 1 1 0 0 1 1
dom 1 1 1 1 0 0 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, montar a planilha para a otimização do custo:
 
 Captura de tela do Software Excel
A formulação será:
K5:K11 → variáveis de decisão (número de funcionários que iniciam no dia)
D12 → =SOMARPRODUTO(D5:D11;$K$5:$K$11) (número de funcionários trabalhando no dia)
E16 → =SOMARPRODUTO(K5:K11;L5:L11) (função objetivo)
Podemos então montar o solver:
Definir objetivo → $E$16
Para → Min
Alterando células variáveis → $K$5:$K$11
Restrição 1 → $K$5:$K$11 = número inteiro
Processing math: 100%
Podemos então montar o solver:
Restrição 2 → $D$13:$J$13 ≥ =$D$12:$J$12
Método de solução → LP Simplex
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 
 Captura de tela do Software Excel
E obtemos a seguinte solução:
 
 Captura de tela do Software Excel
Na solução obtida, 39 começam na segunda, 4 na quarta e 19 no sábado, atendendo a necessidade mínima
diária.
Processing math: 100%
MÃO NA MASSA
1. UMA CIDADE DO INTERIOR PAULISTA É ATENDIDA POR UMA EMPRESA DE
TRANSPORTES URBANOS QUE TRANSPORTA, EM MÉDIA, 30.000 PESSOAS POR
DIA. A FINALIDADE DO CASO É DETERMINAR A ESCALA DOS MOTORISTAS DE
FORMA A ATENDER AS NECESSIDADES DOS USUÁRIOS E QUE TAMBÉM LEVE EM
CONTA UM REGIME DE TRABALHO RAZOÁVEL. AS NECESSIDADES DE
MOTORISTAS, POR TURNO, ESTÃO NAS TABELAS QUE SE SEGUEM:
TURNOS HORÁRIO
1 6 A 12H
2 12 A 18H
3 18 A 24H
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
NECESSIDADE NO SÁBADO
TURNOS NÚMERO DE MOTORISTAS
1 26
2 22
3 16
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
NECESSIDADE NO DOMINGO
TURNOS NÚMERO DE MOTORISTAS
Processing math: 100%
NECESSIDADE NO DOMINGO
TURNOS NÚMERO DE MOTORISTAS
1 16
2 16
3 16
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
NECESSIDADE DE 2ª A 6ª FEIRA
TURNOS NÚMERO DE MOTORISTAS
1 26
2 32
3 18
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
CONSIDERANDO QUE OS MOTORISTAS NÃO PODEM TRABALHAR MAIS DO QUE 6
HORAS POR DIA E TÊM DESCANSO DE 2 DIAS CONSECUTIVOS POR SEMANA,
FORMULE E RESOLVA O PROBLEMA OBJETIVANDO MINIMIZAR A QUANTIDADE DE
MOTORISTAS QUE A EMPRESA DEVE CONTRATAR. DESCONSIDERE A
POSSIBILIDADE DE O FUNCIONÁRIO TROCAR DE TURNO. QUANTOS
FUNCIONÁRIOS A EMPRESA DEVERÁ CONTRATAR?
A) 100
B) 120
C) 80
D) 90
E) 75
Processing math: 100%
2. A YDVQS MOTORES RECEBEU RECENTEMENTE UMA ENCOMENDA PARA
ENTREGAR TRÊS MODELOS DIFERENTES DE MOTORES. CADA MOTOR
NECESSITA DE DETERMINADO NÚMERO DE HORAS DE TRABALHO NOS SETORES
DE MONTAGEM E DE ACABAMENTO. PARA ATENDER A ENCOMENDA, A YDVQS
PODE TAMBÉM TERCEIRIZAR PARTE DE SUA PRODUÇÃO. 
 
A TABELA A SEGUIR RESUME AS INFORMAÇÕES SOBRE A DEMANDA DE CADA
MODELO DE MOTOR, O TEMPO NECESSÁRIO PARA MONTAR UMA UNIDADE DECADA MODELO, A QUANTIDADE DE HORAS DISPONÍVEIS NO SETOR DE
MONTAGEM, O TEMPO NECESSÁRIO PARA DAR ACABAMENTO A UMA UNIDADE
DE CADA MODELO, A QUANTIDADE DE HORAS DISPONÍVEIS NO SETOR DE
ACABAMENTO, O CUSTO DE PRODUÇÃO E O CUSTO DE TERCEIRIZAÇÃO DE UMA
UNIDADE DE CADA MODELO. QUAL SERÁ O CUSTO TOTAL DA ESTRATÉGIA
ÓTIMA A SER ADOTADA PELA EMPRESA DE FORMA A ATENDER OS PEDIDOS?
MODELO 1 2 3 TOTAL
DEMANDA 3.000 2.500 500 6.000
MONTAGEM 1 2 0,5 6.000
ACABAMENTO 2,5 1 4 10.000
CUSTO DE PRODUÇÃO R$ 50,00 R$ 90,00 R$ 120,00
TERCEIRIZADO R$ 65,00 R$ 92,00 R$ 140,00
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) R$ 457.000,00
B) R$ 439.000,00
C) R$ 435.000,00
D) R$ 495.000,00
E) R$ 385.000,00
Processing math: 100%
3. CONSIDERE O SEGUINTE PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO INTEIRA:
MAX Z = 6X1 + 11X2 
SUJEITO A: 
5X1 + 3X2 ≤ 17 
X1, X2 ≥ 0 E INTEIRO
A SOLUÇÃO ÓTIMA SERÁ OBTIDA PARA
A) x1 = 0 e x2 = 5.
B) x1 = 3 e x2 = 0.
C) x1 = 1 e x2 = 4.
D) x1 = 2 e x2 = 3.
E) x1 = 0 e x2 = 3.
4. UMA EMPRESA DE CONSTRUÇÃO CIVIL COMPRA MENSALMENTE TIJOLOS EM
PALETES E PREVÊ, PARA OS PRÓXIMOS 6 MESES, A PROCURA MÉDIA DE 50, 30,
40, 20, 40 E 20 PALETES, RESPECTIVAMENTE. O FORNECEDOR SATISFAZ, EM
PRAZO MÁXIMO DE 48 HORAS, ENCOMENDAS TIPIFICADAS DE 10, 20, 30, 40 OU 50
PALETES COM CUSTO UNITÁRIO DE 3U.M. (UNIDADES MONETÁRIAS) E OFERECE
OS SEGUINTES DESCONTOS DE QUANTIDADE:
ENCOMENDA (PALETES) DESCONTO NA AQUISIÇÃO (U.M.)
10 3%
20 5%
30 10%
40 20%
50 30%
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTALProcessing math: 100%
MENSALMENTE, A DIFERENÇA ENTRE O ESTOQUE E A PROCURA NÃO DEVE
EXCEDER 40 PALETES POR QUESTÕES DE ARMAZENAGEM. O CUSTO DE
ENCOMENDA É DE 12U.M. O CUSTO DE ESTOQUE POR MÊS É DE 0.2U.M./PALETE
INCIDINDO SOBRE O ESTOQUE NO FINAL DE CADA MÊS. ADMITINDO QUE A
GESTÃO SE INICIA COM ESTOQUE NULO E SE PRETENDE QUE TAMBÉM TERMINE
COM ESTOQUE NULO NO FINAL DO SEXTO MÊS, QUAL O CUSTO TOTAL DA
COMPRA MEDIANTE A POLÍTICA ÓTIMA DE GESTÃO DO ESTOQUE?
A) 530
B) 280
C) 577
D) 384
E) 306
5. A YDVQS TRADING LTDA. POSSUI UM ARMAZÉM COM CAPACIDADE DE
ARMAZENAMENTO DE 300.000 TONELADAS DE GRÃOS. NO INÍCIO DO MÊS DE
JANEIRO, A YDVQS TINHA 17.000 TONELADAS DE GRÃOS DE TRIGO
ARMAZENADAS. EM CADA MÊS, É POSSÍVEL COMPRAR OU VENDER TRIGO A
PREÇOS PREFIXADOS PELO GOVERNO EM QUALQUER QUANTIDADE DESEJADA.
POR QUESTÕES FISCAIS, SÓ É POSSÍVEL VENDER EM CADA MÊS O QUE ESTAVA
ESTOCADO NO INÍCIO DESTE MÊS, OU SEJA, NO FIM DO MÊS ANTERIOR.
MÊS PREÇO DE VENDA CUSTO DE COMPRA
JANEIRO R$ 3,00 R$ 5,00
FEVEREIRO R$ 4,00 R$ 7,00
MARÇO R$ 8,00 R$ 2,00
ABRIL R$ 2,00 R$ 5,00
MAIO R$ 4,00 R$ 3,00
JUNHO R$ 5,00 R$ 3,00
Processing math: 100%
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
CONSIDERANDO QUE A YDVQS TRADING VAI PLANEJAR SUAS OPERAÇÕES DE
COMPRA E VENDA NOS PRÓXIMOS SEIS MESES DE FORMA A MAXIMIZAR O
LUCRO, QUAL SERÁ O VALOR DO LUCRO?
A) 51.000
B) 535.000
C) 874.000
D) 951.000
E) 1.058.000
6. O ADMINISTRADOR DE UM HOSPITAL DESEJA DETERMINAR A ESCALA DOS
ENFERMEIROS. PARA ISSO, ELE ORGANIZA UM SISTEMA DE PLANTÃO DIVIDINDO
O DIA EM 6 PERÍODOS DE 4 HORAS. A TABELA A SEGUIR MOSTRA O NÚMERO
MÍNIMO DE ENFERMEIROS QUE DEVEM ESTAR PRESENTES EM CADA HORÁRIO.
HORÁRIO 8H-12H 12H-16H 16H-20H 20H-24H 0H-04H 4H-8H
NÚMERO DE ENFERMEIROS 51 58 62 41 32 19
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
CADA ENFERMEIRO CUMPRE UM PLANTÃO NORMAL DE 8 HORAS, QUE PODE
COMEÇAR APENAS NO INÍCIO DE UM DESSES PERÍODOS. NO HORÁRIO DE 8H A
20H, O ENFERMEIRO RECEBE R$100,00 POR HORA DE TRABALHO E R$125,00 POR
HORA NO HORÁRIO NOTURNO, DE 20H A 8H. COMO O ADMINISTRADOR DEVE
ESCALAR OS ENFERMEIROS DE FORMA A MINIMIZAR O CUSTO COM A MÃO DE
OBRA?
A) R$125.200
B) R$132.800
C) R$175.700
D) R$148.300
E) R$ 158.900
Processing math: 100%
GABARITO
1. Uma cidade do interior paulista é atendida por uma empresa de transportes urbanos que
transporta, em média, 30.000 pessoas por dia. A finalidade do caso é determinar a escala dos
motoristas de forma a atender as necessidades dos usuários e que também leve em conta um regime
de trabalho razoável. As necessidades de motoristas, por turno, estão nas tabelas que se seguem:
Turnos Horário
1 6 a 12h
2 12 a 18h
3 18 a 24h
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Necessidade no sábado
Turnos Número de motoristas
1 26
2 22
3 16
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Necessidade no domingo
Turnos Número de motoristas
1 16
2 16
3 16
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Necessidade de 2ª a 6ª feira
Turnos Número de motoristasProcessing math: 100%
Necessidade de 2ª a 6ª feira
Turnos Número de motoristas
1 26
2 32
3 18
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Considerando que os motoristas não podem trabalhar mais do que 6 horas por dia e têm descanso de
2 dias consecutivos por semana, formule e resolva o problema objetivando minimizar a quantidade
de motoristas que a empresa deve contratar. Desconsidere a possibilidade de o funcionário trocar de
turno. Quantos funcionários a empresa deverá contratar?
A alternativa "A " está correta.
O primeiro passo é montar a escala de trabalho para os três turnos, na qual 1 significa que o funcionário está
trabalhando e 0, de folga.
seg ter qua qui sex sáb dom
6h a 12h
seg 1 1 1 1 1 0 0
ter 0 1 1 1 1 1 0
qua 0 0 1 1 1 1 1
qui 1 0 0 1 1 1 1
sex 1 1 0 0 1 1 1
sáb 1 1 1 0 0 1 1
dom 1 1 1 1 0 0 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
seg ter qua qui sex sáb dom
Processing math: 100%
seg ter qua qui sex sáb dom
12h a 18h
seg 1 1 1 1 1 0 0
ter 0 1 1 1 1 1 0
qua 0 0 1 1 1 1 1
qui 1 0 0 1 1 1 1
sex 1 1 0 0 1 1 1
sáb 1 1 1 0 0 1 1
dom 1 1 1 1 0 0 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
seg ter qua qui sex sáb dom
18h a 24h
seg 1 1 1 1 1 0 0
ter 0 1 1 1 1 1 0
qua 0 0 1 1 1 1 1
qui 1 0 0 1 1 1 1
sex 1 1 0 0 1 1 1
sáb 1 1 1 0 0 1 1
dom 1 1 1 1 0 0 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Vamos agora montar a planilha para a solução do problema:Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
A formulação será: 
 
L4:L10 → número de pessoas a serem contratadas para o 1º turno 
L13:L19 → número de pessoas a serem contratadas para o 2º turno 
L22:L28 → número de pessoas a serem contratadas para o 3º turno 
R5 → =SOMA(L4:L10)+SOMA(L13:L19)+SOMA(L22:L28) → função objetivo 
E12 → =SOMARPRODUTO(E4:E10;$L$4:$L$10) → número de pessoas trabalhando na segunda no 1º
turno (arrastar até K12) 
E21 → =SOMARPRODUTO(E13:E19;$L$13:$L$19) → número de pessoas trabalhando na segunda no 2º
turno (arrastar até K19) 
E30 → =SOMARPRODUTO(E22:E28;$L$22:$L$28) → número de pessoas trabalhando na segunda no 3º
turno (arrastar até K30) 
 
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $R$5 
Para → Min 
Alterando células variáveis → $L$4:$L$10;$L$13:$L$19;$L$22:$L$28 
Restrição 1 → $L$4:$L$10 = número inteiro 
Restrição 2 → $L$13:$L$19 = número inteiro 
Restrição 3 → $L$22:$L$28 = número inteiro 
Restrição 4 → $E$12:$K$12 ≥ $E$11:$K$11 
Restrição 5 → $E$21:$K$21 ≥ $E$20:$K$20 
Restrição 6 → $E$30:$K$30 ≥ $E$29:$K$29 
Método de solução → LP Simplex
Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
E a solução será:
 Captura de tela do Software Excel
2. A YDVQS Motores recebeu recentemente uma encomenda para entregar três modelos diferentes de
motores. Cada motor necessita de determinado número de horas de trabalho nos setores de
montagem e de acabamento. Para atender a encomenda, a YDVQS pode também terceirizar parte de
sua produção. 
 
A tabela a seguir resume as informações sobre a demanda de cada modelo de motor, o tempo
necessário para montaruma unidade de cada modelo, a quantidade de horas disponíveis no setor de
montagem, o tempo necessário para dar acabamento a uma unidade de cada modelo, a quantidade
de horas disponíveis no setor de acabamento, o custo de produção e o custo de terceirização de uma
Processing math: 100%
unidade de cada modelo. Qual será o custo total da estratégia ótima a ser adotada pela empresa de
forma a atender os pedidos?
Modelo 1 2 3 Total
Demanda 3.000 2.500 500 6.000
Montagem 1 2 0,5 6.000
Acabamento 2,5 1 4 10.000
Custo de produção R$ 50,00 R$ 90,00 R$ 120,00
Terceirizado R$ 65,00 R$ 92,00 R$ 140,00
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Vamos montar a planilha para solucionar pelo Solver.
 Captura de tela do Software Excel
A formulação será:
Célula Fórmula Copiar até Função
D12 =SOMA(D10:D11) F12 Total produzido por tipo
D17 =SOMARPRODUTO(D10:F10;D5:F5) Horas gastas na montagem
Processing math: 100%
Célula Fórmula Copiar até Função
D18 =SOMARPRODUTO(D10:F10;D6:F6) Horas gastas no acabamento
D14 =SOMARPRODUTO(D10:F11;D7:F8) Custo total
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $D$14 
Para → Min 
Alterando células variáveis → $D$10:$F$11 
Restrição 1 → $D$10:$F$10 = número inteiro 
Restrição 2 → $D$11:$F$11 = número inteiro 
Restrição 3 → $D$17:$D$18 ≤ $G$5:$G$6 
Restrição 4 → $D$12:$F$12 = $D$4:$F$4 
Método de solução → LP Simplex
 Captura de tela do Software Excel
E obtemos a seguinte solução:
Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
Observe que a demanda foi atendida e as restrições de horas da montagem e do acabamento foram
respeitadas. O custo total será de R$439.000,00.
3. Considere o seguinte problema de programação inteira:
Max Z = 6x1 + 11x2 
Sujeito a: 
5x1 + 3x2 ≤ 17 
x1, x2 ≥ 0 e inteiro
A solução ótima será obtida para
A alternativa "A " está correta.
Se x1 = 0, temos que x2 = 5, 67. Como a solução não é inteira, vamos subdividir em dois submodelos, um
com x2 ≤ 5 e outro com x2 ≤ 6.
Submodelo A Submodelo B
Max Z = 6x1 + 11x2 Max Z = 6x1 + 11x2
Sujeito a: Sujeito a:
5x1 + 3x2 ≤ 17 5x1 + 3x2 ≤ 17
x2 ≤ 5 x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0 e inteiro x1, x2 ≥ 0 e inteiro
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Processing math: 100%
Podemos observar que:
A solução encontrada para o PLA é dada por x1 = 0, 4 e x2 = 5, que fornece Z = 57, 4.
O PLB não tem solução. Observando as restrições, não há valor de x2 que as satisfaça
simultaneamente, visto que x1 não pode ser negativo e o mínimo valor para x2 é 6 (restrição x2 ≥ 6).
A restrição 5x1 + 3x2 ≤ 17 não aceita valores de x2 maiores que 6.
O PLB é eliminado, porque não tem solução, e a solução encontrada para o PLA ainda não é viável, porque 
x1 não é inteiro. Então, seguimos a resolução do problema com o PLA, lembrando que temos novamente
uma variável com valor decimal. Dessa vez, temos que pensar em 0 ≤ x1 ≤ 1 e, a partir disso, criar dois
PLs, ramificando mais uma vez nosso problema.
Submodelo C Submodelo D
Max Z = 6x1 + 11x2 Max Z = 6x1 + 11x2
Sujeito a: Sujeito a:
5x1 + 3x2 ≤ 17 5x1 + 3x2 ≤ 17 
x2 ≤ 5 x2 ≤ 5
x1 ≤ 0 x1 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0 e inteiro x1, x2 ≥ 0 e inteiro
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Analisando as restrições do PLC, percebemos que as restrições x1 ≥ 0 e x1 ≤ 0 só aceitam uma solução: 
x1 = 0. Em consequência disso, usando a restrição 5x1 + 3x2 ≤ 17, temos x2 = 5, que é o máximo valor
aceito pela restrição x2 ≤ 5. Assim, para o PLC temos: x1 = 0, x2 = 5 e Z = 6 x 0 + 11 x 5 = 55.
4. Uma empresa de construção civil compra mensalmente tijolos em paletes e prevê, para os
próximos 6 meses, a procura média de 50, 30, 40, 20, 40 e 20 paletes, respectivamente. O fornecedor
satisfaz, em prazo máximo de 48 horas, encomendas tipificadas de 10, 20, 30, 40 ou 50 paletes com
custo unitário de 3u.m. (unidades monetárias) e oferece os seguintes descontos de quantidade:
Encomenda (paletes) Desconto na aquisição (u.m.)
10 3%Processing math: 100%
Encomenda (paletes) Desconto na aquisição (u.m.)
20 5%
30 10%
40 20%
50 30%
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Mensalmente, a diferença entre o estoque e a procura não deve exceder 40 paletes por questões de
armazenagem. O custo de encomenda é de 12u.m. O custo de estoque por mês é de 0.2u.m./palete
incidindo sobre o estoque no final de cada mês. Admitindo que a gestão se inicia com estoque nulo e
se pretende que também termine com estoque nulo no final do sexto mês, qual o custo total da
compra mediante a política ótima de gestão do estoque?
A alternativa "C " está correta.
Vamos montar a planilha para utilizar o Solver.
 Captura de tela do Software Excel
Para solucionar problemas desse tipo, temos que fazer o balanço dos estoques: 
Estoque Final = Estoque Inicial + Compras - vendas 
 
Lembrando que o Estoque Inicial do mês em análise é o Estoque Final do mês anterior. 
Vamos às fórmulas:Processing math: 100%
Célula Fórmula Copiar atéCélula Fórmula Copiar até
C9 =C6+C7-C8
D9 =D6+D7-D8 H9
C17 =SE(C7=0;0;C21/C7) H17
C20 =SE(C7=0;0;12) H20
C21
=SE(C7>=$H$14;$H$16*C7;SE(C7>=$G$14;$G$16* 
C7;SE(C7>=$F$14;$F$16*C7;SE(C7>=$E$14;$E$16*C7;SE 
(C7>=$D$14*C7;$D$16*C7;$C$16*C7)))))
H21
C22 =C9*0,2 H22
C23 =SOMA(C20:C22) H23
I20 =SOMA(C20:H20) I23
C25 =SOMA(C20:H22)
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $C$25 
Para → Min 
Alterando células variáveis → $C$7:$H$7 
Restrição 1 → $C$7:$H$7= número inteiro 
Restrição 2 → H9 = 0 
Restrição 3 → $C$9:$H$9 ≥ 0 
Método de solução → GRG Não Linear
Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
Obtendo como solução:
 Captura de tela do Software Excel
5. A YDVQS Trading Ltda. possui um armazém com capacidade de armazenamento de 300.000
toneladas de grãos. No início do mês de janeiro, a YDVQS tinha 17.000 toneladas de grãos de trigo
armazenadas. Em cada mês, é possível comprar ou vender trigo a preços prefixados pelo governo em
qualquer quantidade desejada. Por questões fiscais, só é possível vender em cada mês o que estava
estocado no início deste mês, ou seja, no fim do mês anterior.
Mês Preço de venda Custo de compra
Processing math: 100%
Mês Preço de venda Custo de compra
Janeiro R$ 3,00 R$ 5,00
Fevereiro R$ 4,00 R$ 7,00
Março R$ 8,00 R$ 2,00
Abril R$ 2,00 R$ 5,00
Maio R$ 4,00 R$ 3,00
Junho R$ 5,00 R$ 3,00
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Considerando que a YDVQS Trading vai planejar suas operações de compra e venda nos próximos
seis meses de forma a maximizar o lucro, qual será o valor do lucro?
A alternativa "D " está correta.
Vamos, inicialmente, montar a planilha com os dados apresentados.
 Captura de tela do Software Excel
A formulação será:
Célula Fórmula Copiar até
E4 =G3 E9
G4 =G3+F4-E4 G9
Processing math: 100%
Célula Fórmula Copiar até
C11 =SOMARPRODUTO(C4:C9;E4:E9)
D11 =SOMARPRODUTO(D4:D9;F4:F9)
C13 =C11-D11
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $C$13 
Para → Max 
Alterando células variáveis → $F$4:$F$9 
Restrição 1 → $G$4:$G$9 ≤ $H$4:$H$9 
Método de solução → LP Simplex
 Captura de tela do Software Excel
Obtendo-se:
Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
6. O administrador de um hospital deseja determinar a escala dos enfermeiros. Para isso, ele organiza
um sistema de plantão dividindo o dia em 6 períodos de 4 horas. A tabela a seguir mostra o número
mínimo de enfermeiros que devem estar presentes em cada horário.
Horário 8h-12h 12h-16h 16h-20h 20h-24h0h-04h 4h-8h
Número de enfermeiros 51 58 62 41 32 19
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Cada enfermeiro cumpre um plantão normal de 8 horas, que pode começar apenas no início de um
desses períodos. No horário de 8h a 20h, o enfermeiro recebe R$100,00 por hora de trabalho e
R$125,00 por hora no horário noturno, de 20h a 8h. Como o administrador deve escalar os
enfermeiros de forma a minimizar o custo com a mão de obra?
A alternativa "A " está correta.
Resolvendo um problema de escala
Processing math: 100%
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O problema a ser analisado é retirado da prática de usinagem de uma empresa de fabricação de máquinas
CNC. Existem vários processos diferentes e para cada um deles é preciso obedecer a diferentes restrições
tecnológicas. Para cada operário, existem várias operações a serem realizadas em máquinas diferentes, e
cada operação corresponde a um tempo de processamento predefinido.
É evidente que apenas um dos processos pode ser realizado uma única vez na mesma máquina. O ótimo da
programação deve dar a distribuição dos tempos de operação, o início da operação e os momentos finais de
cada processo entre as máquinas, reduzindo o tempo de processamento e o tempo ocioso. As máquinas
disponíveis estão em número limitado e não são substituíveis entre si. Todos os processos devem ser
realizados e estar disponíveis no momento prefixado para a montagem.
Existem cinco processos (D1, D2, D3, D4 e D5) que realizam diferentes operações (O1, O2, ..., O8) com
tempos de duração de processamento específicos em quatro máquinas de processamento (M1, M2, M3 e
M4). Existem também ordens predefinidas do processamento. Todas as informações necessárias são
mostradas a seguir.
Processamento
Nº Processo Operação técnica Tempo de processamento (h) Máquina
1 D1
O1 8 M1
O2 6 M2
O3 6 M4
2 D2 O1 8 M1
Processing math: 100%
Processamento
Nº Processo Operação técnica Tempo de processamento (h) Máquina
O4 8 M3
O2 8 M2
O3 4 M4
3 D3
O5 4 M1
O6 1 M2
O7 2 M3
4 D4
O5 6 M1
O7 8 M3
5 D5
O4 6 M1
O8 8 M5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Nota: O processo D5 pode ser executado a qualquer momento — não precisa ser necessariamente o último
—, desde que as máquinas M3 e M4 não estejam ocupadas.
Os principais problemas relacionados ao processamento são os seguintes:
A montagem é feita em algumas empresas externas e o momento entrega deve ser definido. As
entregas anteriores ocuparam o armazém e não foram eficientes em termos de custos. As entregas
atrasadas influenciam o processo de montagem e afetam os custos.
Apenas um processo pode ser executado em uma única máquina por vez. A máquina estará disponível
para o próximo processo após a conclusão do anterior. Cada um dos processos está alocado a cada
máquina, conforme demonstrado previamente.
A sequência de processamento será?Processing math: 100%
RESOLUÇÃO
Resolvendo um problema de sequenciamento de produção
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A COMPANHIA BRASILEIRA DE CAFÉ, PRESENTE EM TRÊS PLANTAÇÕES BEM
LOCALIZADAS, TRITURA OS GRÃOS DE CAFÉ ATÉ SE TORNAREM PÓ.
SEMANALMENTE, O CAFÉ EM PÓ É EMBARCADO COM DESTINO A QUATRO
ARMAZÉNS EM DIFERENTES CIDADES, PARA TORREFAÇÃO, DISTRIBUIÇÃO E
EXPORTAÇÃO. O CUSTO DE TRANSPORTE EM UNIDADES MONETÁRIAS (U.M.) DE
UMA TONELADA DE CAFÉ DA PLANTAÇÃO I PARA O ARMAZÉM J É
APRESENTADO A SEGUIR.
PLANTAÇÕES
Processing math: 100%
ARMAZÉNS 1 2 3 4PLANTAÇÕES
ARMAZÉNS 1 2 3 4
1 9 8 3 4
2 7 6 2 1
3 5 4 7 9
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
AS CAPACIDADES SEMANAIS DAS PLANTAÇÕES 1, 2 E 3 SÃO 40, 60 E 80
TONELADAS RESPECTIVAMENTE, ENQUANTO AS NECESSIDADES DOS
ARMAZÉNS 1, 2, 3 E 4 SÃO 50, 40, 30 E 60 TONELADAS RESPECTIVAMENTE. O
OBJETIVO DA COMPANHIA CONSISTE EM DETERMINAR AS QUANTIDADES DE
CAFÉ QUE DEVEM SER TRANSPORTADAS DE CADA UMA DAS PLANTAÇÕES PARA
CADA UM DOS ARMAZÉNS MINIMIZANDO O CUSTO TOTAL DE TRANSPORTE. A
PARTE DA FUNÇÃO OBJETIVO SOBRE O ARMAZÉM 1 SERÁ IGUAL A:
A) 9x11 + 8x12 + 3x13 + 4x14
B) 9x11 + 7x21 + 3x13 + 4x31
C) 7x11 + 6x12 + 2x13 + x14
D) 8x11 + 7x21 + 5x13
E) 5x11 + 4x21 + 7x13 + 9x31
2. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO UTILIZAM MODELOS MATEMÁTICOS PARA
REPRESENTAR PROBLEMAS E AUXILIAR NO PROCESSO DE TOMADA DE
DECISÃO. O ESTUDO DE UM PROBLEMA POR MEIO DA PESQUISA OPERACIONAL
PODE SER DIVIDIDO EM FASES. SOBRE TAIS FASES É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) A primeira etapa é a resolução de um modelo matemático para qualificar o problema em questão.
B) Variações no resultado do modelo podem ser realizadas para adequá-lo às modificações de última hora.
C) Os resultados do modelo podem ser implantados diretamente no problema real, sem passarem por
qualquer validação.
Processing math: 100%
D) Uma das fases do estudo é a formulação de um modelo matemático baseado no escopo do problema a
ser resolvido.
E) A validação de um modelo matemático não é uma etapa do processo de solução de um problema.
GABARITO
1. A Companhia Brasileira de Café, presente em três plantações bem localizadas, tritura os grãos de
café até se tornarem pó. Semanalmente, o café em pó é embarcado com destino a quatro armazéns
em diferentes cidades, para torrefação, distribuição e exportação. O custo de transporte em unidades
monetárias (u.m.) de uma tonelada de café da plantação i para o armazém j é apresentado a seguir.
Plantações
Armazéns 1 2 3 4
1 9 8 3 4
2 7 6 2 1
3 5 4 7 9
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
As capacidades semanais das plantações 1, 2 e 3 são 40, 60 e 80 toneladas respectivamente,
enquanto as necessidades dos armazéns 1, 2, 3 e 4 são 50, 40, 30 e 60 toneladas respectivamente. O
objetivo da companhia consiste em determinar as quantidades de café que devem ser transportadas
de cada uma das plantações para cada um dos armazéns minimizando o custo total de transporte. A
parte da função objetivo sobre o Armazém 1 será igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
Como estamos procurando minimizar o custo de transporte, o armazém 1 contribuirá com as quantidades
enviadas multiplicadas pelo custo do envio:
9x11 + 8x12 + 3x13 + 4x14
2. Métodos de resolução utilizam modelos matemáticos para representar problemas e auxiliar no
processo de tomada de decisão. O estudo de um problema por meio da pesquisa operacional pode
ser dividido em fases. Sobre tais fases é correto afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
Processing math: 100%
A alternativa A está errada, pois a primeira etapa não é a resolução do modelo matemático e sim a sua
elaboração. A alternativa B também está errada, porque um modelo matemático é para solucionar um
problema e qualquer modificação resultará em um novo modelo matemático. Todo modelo tem que ser
validado para que tenha aplicação efetiva e, por isso, a alternativa C está errada. A alternativa E está errada
pois a escolha e validação de um modelo matemático é parte do processo de solução de um problema. A
alternativa D é a correta, visto que o escopo define o que se deseja.
MÓDULO 2
 Reconhecer os problemas de escala de produção
Os problemas de escala de produção
VARIAÇÕES DE DEMANDAProcessing math: 100%
Na vida real, os requisitos de oferta e demanda raramente serão iguais, devido às variações na produção da
parte do fornecedor e na previsão da parte do cliente. As variações na produção podem ocorrer por causa de
escassez de matéria-prima, problemas de mão de obra, planejamento inadequado e agendamento. As
variações da demanda podem acontecer em razão de mudanças na preferência do cliente, mudanças nos
preços e introdução de novos produtos pelos concorrentes.
Esses desequilíbrios podem ser facilmente resolvidos pela introdução de fontes e destinos fictícios (dummy).
Se a oferta total for maior que a demanda total, um destino fictício (coluna fictícia) com demanda igual ao
excedente de oferta é adicionado. Se a demanda total for maiorque a oferta total, uma fonte fictícia (linha
fictícia) com oferta igual ao excedente de demanda é adicionada. O custo de transporte unitário para a
coluna e linha fictícias é definido como zero, porque nenhuma remessa é realmente feita no caso de origem
e destino fictícios.
DEMANDA MENOR QUE OFERTA
Vamos verificar se o problema de transporte mostrado a seguir é equilibrado. Caso não seja, vamos
converter o problema desequilibrado em um problema de transporte equilibrado.
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3
1 25 45 10 200
2 30 65 15 100
3 15 40 55 400
Demanda 200 100 300
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO:
Para o problema em questão, a oferta total não é igual à demanda total. 
 
Oferta = 200 + 100 + 400 = 700 
Demanda = 200 + 100 + 300 = 600
O problema apresentado é um problema de transporte desequilibrado. Para convertê-lo em um problema
equilibrado, adicione um destino fictício (coluna fictícia). A demanda do destino fictício é igual a:
Processing math: 100%
∑ 3I = 1AI = ∑
3
J = 1BJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, um destino fictício é adicionado à tabela com uma demanda de 100 unidades. A destinação dummy
(4) é apresentada na tabela, que foi convertida em um problema de transporte balanceado. A unidade custos
de transporte de destinos fictícios é definida como zero.
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 25 45 10 0 200
2 30 65 15 0 100
3 15 40 55 0 400
Demanda 200 100 300 100
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
DEMANDA MAIOR QUE OFERTA
Acompanhe agora o problema apresentado a seguir:
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 10 16 9 12 200
2 12 12 13 15 300
3 14 8 13 4 300
Demanda 100 200 450 250
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontalProcessing math: 100%
Para o problema em questão, a oferta total não é igual à demanda total. 
 
Oferta = 200 + 300 + 300 = 800 
Demanda = 100 + 200 + 450 + 250 = 1.000
Aqui, uma origem fictícia é adicionada à tabela com uma oferta de 200 unidades. A origem dummy (4) é
apresentada na tabela, que foi convertida em um problema de transporte balanceado. A unidade custos de
transporte de destinos fictícios é definida como zero.
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 10 16 9 12 200
2 12 12 13 15 300
3 14 8 13 4 300
4 0 0 0 0 200
Demanda 100 200 450 250
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO INICIAL VIÁVEL
ETAPA 1: FORMULE O PROBLEMA.
Formule o problema fornecido e configure-o em uma forma de matriz. Verifique se o problema é um problema
de transporte equilibrado ou desequilibrado. Se for desequilibrado, adicione origem fictícia (linha) ou destino
fictício (coluna) conforme necessário.

Processing math: 100%
ETAPA 2: OBTENHA A SOLUÇÃO VIÁVEL INICIAL.
A solução viável inicial pode ser obtida por qualquer um dos três métodos a seguir: 
 
1. Método do Canto Noroeste (NWC). 
2. Método mínimo de linha e coluna (RCMM). 
3. Método de aproximação de Vogel (VAM).
No cálculo do custo de transporte da solução viável básica inicial por meio da aproximação de Vogel, o VAM
será o mínimo quando comparado aos outros dois métodos que fornecem o valor mais próximo da solução
ótima ou o valor da própria solução ótima. Os algoritmos para todos os três métodos são conhecidos.
ALGORITMO PARA MÉTODO DO CANTO NOROESTE
O método tem as seguintes etapas na busca da solução:
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Selecione a célula do canto noroeste, superior esquerdo, da tabela e aloque o máximo unidades possíveis
entre os requisitos de oferta e demanda. Durante a alocação, o custo de transporte não é levado em
consideração.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Exclua a linha ou coluna que não tem valores (totalmente esgotados) para oferta ou demanda.
 
Imagem: Danielle RibeiroProcessing math: 100%
Agora, com a nova tabela reduzida, selecione novamente a célula do canto noroeste e aloque os valores
disponíveis.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Repita as etapas (2) e (3) até que todos os valores de oferta e demanda sejam zero.
 
Imagem: Danielle Ribeiro
Obtenha a solução básica viável inicial.
ETAPA 1
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 100 200 – 100 = 100
2 300
3 300
4 200
Demanda 100 – 100 = 0 200 450 250
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ETAPA 2Processing math: 100%
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 100 100 200 – 200 = 0
2 300
3 300
4 200
Demanda 100 – 100 = 0 200 – 100 = 100 450 250
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ETAPA 3
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 100 100 200 – 200 = 0
2 100 300 – 100 = 200
3 300
4 200
Demanda 100 – 100 = 0 200 – 200 = 0 450 250
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ETAPA 4Processing math: 100%
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 100 100 200 – 200 = 0
2 100 200 300 – 300 = 0
3 300
4 200
Demanda 100 – 100 = 0 200 – 200 = 0 450 – 200 = 250 250
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ETAPA 5
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 100 100 200 – 200 = 0
2 100 200 300 – 300 = 0
3 250 300 – 250 = 50
4 200
Demanda 100 – 100 = 0 200 – 200 = 0 450 – 450 = 0 250
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ETAPA 6
Processing math: 100%
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 100 100
200 – 200 =
0
2 100 200
300 – 300 =
0
3 250 50
300 – 300 =
0
4 200
Demanda
100 – 100 =
0
200 – 200 =
0
450 – 450 =
0
250 – 50 =
200
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
ETAPA 7
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
1 100 100
200 – 200 =
0
2 100 200
300 – 300 =
0
3 250 50
300 – 300 =
0
4 200
200 – 200 =
0
Processing math: 100%
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3 4
Demanda
100 – 100 =
0
200 – 200 =
0
450 – 450 =
0
250 – 250 =
0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
O custo total será: 
100 x 10 + 100 x 16 + 100 x 12 + 200 x 13 + 250 x 13 + 50 x 4 + 200 x 0 = 9.850
RESOLVENDO NO SOLVER
Vamos montar a planilha para encontrar a solução:
 
 Captura de tela do Software Excel
A formulação será:
Célula Fórmula Copiar até
H4 =SOMASE($D$4:$D$19;G4;$F$4:$F$19)-SOMASE($C$4:$C$19;G4;$F$4:$F$19) H11
I15 =SOMARPRODUTO(E4:E19;F4:F19)
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para a montagem do Solver, teremos: 
 
Definir objetivo → $I$15 Processing math: 100%
Para → Min 
Alterando células variáveis → $F$4:$F$19 
Restrição 1 → $H$4:$H$11 = $I$4:$I$11 
Método de solução → LP Simplex
 
 Captura de tela do Software Excel
Obtendo a seguinte solução:
 
 Captura de tela do Software Excel
Observe que o Solver sempre encontrará a solução ótima.
MÃO NA MASSA
Processing math: 100%
1. ENCONTRE A SOLUÇÃO VIÁVEL BÁSICA INICIAL PARA O PROBLEMA DE
TRANSPORTE, APRESENTADO A SEGUIR, USANDO O MÉTODO DO CANTO
NOROESTE.
DE
PARA
DISPONÍVEL
A B C
I 50 30 220 1
II 90 45 170 3
III 250 200 50 4
REQUERIDO 4 2 2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 930
B) 820
C) 680
D) 530
E) 490
2. UM FABRICANTE DE BATATAS FRITAS POSSUI TRÊS FÁBRICAS E QUATRO
DEPÓSITOS. O CUSTO DE TRANSPORTE DAS FÁBRICAS PARA OS ARMAZÉNS, A
DISPONIBILIDADE DA FÁBRICA E OS REQUISITOS DOS ARMAZÉNS SÃO
APRESENTADOS A SEGUIR:
FÁBRICA
DEPÓSITOS
CAPACIDADE
D1 D2 D3 D4
F1 7 4 3 5 235
Processing math: 100%
FÁBRICA
DEPÓSITOS
CAPACIDADE
D1 D2 D3 D4
F2 6 8 7 4 280
F3 5 6 9 10 110
ARMAZENAGEM 125 160 110 230
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A SOLUÇÃO UTILIZANDO O MÉTODO DO CANTO NOROESTE DARÁ UM CUSTO DE
TRANSPORTE IGUAL A
A) 3.075
B) 3.584
C) 4.065
D) 5.038
E) 6.042
3. A YDVQS CO. PRODUZ UM ÚNICO PRODUTOEM TRÊS FÁBRICAS PARA QUATRO
CLIENTES. AS TRÊS FÁBRICAS VÃO PRODUZIR 60, 80 E 40 UNIDADES,
RESPECTIVAMENTE, DURANTE O PRÓXIMO PERÍODO. A FIRMA FEZ UM
COMPROMISSO DE VENDER 40 UNIDADES AO CLIENTE 1, 60 UNIDADES AO
CLIENTE 2, E PELO MENOS 20 UNIDADES PARA O CLIENTE 3. AMBOS OS
CLIENTES 3 E 4 TAMBÉM DESEJAM COMPRAR O MÁXIMO POSSÍVEL DAS
UNIDADES RESTANTES. O LUCRO ASSOCIADO AO ENVIO DE UMA UNIDADE DA
PLANTA I PARA VENDA AO CLIENTE J É DADO PELA SEGUINTE TABELA:
CLIENTE
1 2 3 4
FÁBRICA 1 800 700 500 200
2 500 200 100 300
Processing math: 100%
CLIENTE
1 2 3 4
3 600 400 300 500
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A ADMINISTRAÇÃO DESEJA SABER QUANTAS UNIDADES VENDER AOS CLIENTES
3 E 4 E QUANTAS UNIDADES ENVIAR DE CADA FÁBRICA PARA CADA CLIENTE
PARA MAXIMIZAR O LUCRO. O LUCRO ESPERADO SERÁ IGUAL A
A) 50.000
B) 70.000
C) 80.000
D) 90.000
E) 100.000
4. CONSIDERE O PROBLEMA DE TRANSPORTE COM A SEGUINTE TABELA DE
PARÂMETROS.
DESTINO
CAPACIDADE
1 2 4
ORIGEM
1 15 9 13 7
2 11 -- 17 5
3 9 11 9 3
DEMANDA 7 3 5
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
OS VALORES DA ORIGEM E DESTINO REFEREM-SE AO LUCRO GERADO PELA
ENTREGA. UTILIZANDO O MÉTODO DO CANTO NOROESTE, OBTEREMOS OProcessing math: 100%
SEGUINTE LUCRO:
A) 223
B) 348
C) 187
D) 245
E) 284
5. UMA EMPREITEIRA, SUSAN MEYER, TEM QUE TRANSPORTAR CASCALHO PARA
TRÊS EMPREENDIMENTOS QUE ESTÁ CONSTRUINDO. ELA PODE COMPRAR ATÉ
18 TONELADAS EM UMA MINA DE CASCALHO NO NORTE DA CIDADE E 14
TONELADAS DE UMA NO SUL. ELA PRECISA DE 10, 5 E 10 TONELADAS NOS
LOCAIS 1, 2 E 3, RESPECTIVAMENTE. O PREÇO DE COMPRA POR TONELADA EM
CADA MINA E O CUSTO DE TRANSPORTE POR TONELADA SÃO FORNECIDOS NA
TABELA A SEGUIR.
CUSTO POR TONELADA
TRANSPORTADA
PREÇO POR
TONELADA
1 2 3
NORTE 100 190 160 300
SUL 180 110 140 420
NECESSIDADE 10 5 10
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
QUAL SERÁ O CUSTO MÍNIMO DESSE TRANSPORTE?
A) 3750
B) 3550
C) 7500
D) 11050
E) 12050Processing math: 100%
6. A INDÚSTRIA YDVQS FABRICA UM ÚNICO PRODUTO EM QUATRO
LOCALIDADES, CURITIBA, CAMPINAS, ITABUNA E CAMPOS. O CUSTO UNITÁRIO
DE PRODUÇÃO DE CADA LOCALIDADE É RESPECTIVAMENTE $35,50, $37,50,
$39,00 E $36,25, E A CAPACIDADE ANUAL DE PRODUÇÃO DE CADA PLANTA É
18.000, 15.000, 25.000 E 20.000 UNIDADES. A EMPRESA ESTÁ PLANEJANDO
ESTABELECER SETE CENTROS DE DISTRIBUIÇÃO PARA ATENDER A SUA
DEMANDA. O CUSTO UNITÁRIO DE TRANSPORTE ENTRE CADA UM DOS LOCAIS É
APRESENTADO NA TABELA A SEGUIR, BEM COMO A DEMANDA DE CADA
REGIÃO:
CUSTO UNITÁRIO DE TRANSPORTE PARA O CENTRO DE DISTRIBUIÇÃO
FÁBRICA SP RJ SA RE BH CO PA
CURITIBA
$
2,50
$ 2,75 $ 1,75 $ 2,00 $ 2,10 $ 1,80
$
1,65
CAMPINAS
$
1,85
$ 1,90 $ 1,50 $ 1,60 $ 1,00 $ 1,90
$
1,85
ITABUNA
$
2,30
$ 2,25 $ 1,85 $ 1,25 $ 1,50 $ 2,25
$
2,00
CAMPOS
$
1,90
$ 0,90 $ 1,60 $ 1,75 $ 2,00 $ 2,50
$
2,65
DEMANDA 8.500 14.500 13.500 12.600 18.000 15.000 9.000
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A EMPRESA DESEJA DETERMINAR COMO ATENDER A DEMANDA DE CADA
LOCAL COM O MENOR CUSTO DE FABRICAÇÃO E DE TRANSPORTE, MAS COMO A
DEMANDA GERAL EXCEDE A CAPACIDADE DE FABRICAÇÃO, DESEJA TER
CERTEZA DE QUE PELO MENOS 80% DAS ORDENS RECEBIDAS POR CADA
CENTRO DE DISTRIBUIÇÃO SEJAM ATENDIDAS. COMO VOCÊ SOLUCIONARIA
ESTE PROBLEMA? QUAL SERÁ O CUSTO MÍNIMO DE TRANSPORTE?
Processing math: 100%
A) 3.011.360,00
B) 2.901.500,00
C) 2.596.620,00
D) 3.128.540,00
E) 2.420.480,00
GABARITO
1. Encontre a solução viável básica inicial para o problema de transporte, apresentado a seguir,
usando o método do Canto Noroeste.
De
Para
Disponível
A B C
I 50 30 220 1
II 90 45 170 3
III 250 200 50 4
Requerido 4 2 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Etapa 1
De
Para
Disponível
A B C
I 1 1 – 1 = 0
II 3
III 4
Requerido 4 – 1 = 3 2 2
Processing math: 100%
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 2
De
Para
Disponível
A B C
I 1 1 – 1 = 0
II 3 3 – 3 = 0
III 4
Requerido 4 – 4 = 0 2 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 3
De
Para
Disponível
A B C
I 1 1 – 1 = 0
II 3 3 – 3 = 0
III 2 4 – 2 = 2
Requerido 4 – 4 = 0 2 – 2 = 0 2
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 4
De
Para
Disponível
A B C
I 1 1 – 1 = 0
II 3 3 – 3 = 0
Processing math: 100%
De
Para
Disponível
A B C
III 2 2 4 – 4 = 0
Requerido 4 – 4 = 0 2 – 2 = 0 2 – 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
O custo será: 1 x 50 + 3 x 90 + 2 x 200 + 2 x 50 = 820
2. Um fabricante de batatas fritas possui três fábricas e quatro depósitos. O custo de transporte das
fábricas para os armazéns, a disponibilidade da fábrica e os requisitos dos armazéns são
apresentados a seguir:
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
F1 7 4 3 5 235
F2 6 8 7 4 280
F3 5 6 9 10 110
Armazenagem 125 160 110 230
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A solução utilizando o método do Canto Noroeste dará um custo de transporte igual a
A alternativa "C " está correta.
Etapa 1
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
F1 125 235 – 125 = 110
F2 280
F3 110
Processing math: 100%
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 110 230
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 2
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
F1 125 110 235 – 235 = 0
F2 280
F3 110
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 – 110 = 50 110 230
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 3
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
F1 125 110 235 – 235 = 110
F2 280 – 50 = 230
F3 110
Armazenagem 125 – 125 = 0 160 – 160 = 0 110 230
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 4
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
Processing math: 100%
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
F1 125 110
235 – 235 =
110
F2 50 100
280 – 160 =
120
F3 110
Armazenagem
125 – 125 =
0
160 – 160 =
0
110 – 110 =
0
230
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 5
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
F1 125 110
235 – 235 =
110
F2 50 100 120
280 – 280 =
0
F3 110
Armazenagem
125 – 125
= 0
160 – 160
= 0
110 – 110
= 0
230 -120 =
110
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 6
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
Processing math: 100%
Fábrica
Depósitos
Capacidade
D1 D2 D3 D4
F1 125 110
235 – 235 =
110
F2 50 100 120
280 – 280 =
0
F3 110 110 – 110 = 0
Armazenagem
125 – 125
= 0
160 – 160
= 0
110 – 110
= 0
230 -230
= 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
O custo total será: 125 x 7 + 110 x 4 + 50 x 8 + 110 x 7 + 120 x 4 + 110 x 10 = 4.065
3. A YDVQS Co. produz um único produto em três fábricas para quatro clientes. As três fábricas vão
produzir 60, 80 e 40 unidades, respectivamente, durante o próximo período. A firma fez um
compromisso de vender 40 unidades ao cliente 1, 60 unidades ao cliente 2, e pelo menos 20 unidades
para o cliente 3. Ambos os clientes 3 e 4 também desejam comprar o máximo possível das unidades
restantes. O lucro associado ao envio de uma unidade da planta i para venda ao cliente j é dado pela
seguinte tabela:
Cliente
1 2 3 4
Fábrica
1 800 700 500 200
2 500 200 100 300
3 600 400 300 500
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A administração deseja saber quantas unidades vender aos clientes 3 e 4 e quantas unidades enviar
de cada fábrica para cada cliente para maximizar o lucro. O lucro esperado será igual a
A alternativa "D " está correta.
Montando a planilha:
Processing math: 100%
 Capturade tela do Software Excel
O Solver será:
 Captura de tela do Software Excel
Obtendo-se a seguinte solução:
 Captura de tela do Software ExcelProcessing math: 100%
4. Considere o problema de transporte com a seguinte tabela de parâmetros.
Destino
Capacidade
1 2 4
Origem
1 15 9 13 7
2 11 -- 17 5
3 9 11 9 3
Demanda 7 3 5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Os valores da origem e destino referem-se ao lucro gerado pela entrega. Utilizando o método do
Canto Noroeste, obteremos o seguinte lucro:
A alternativa "A " está correta.
Etapa 1
Destino
Capacidade
1 2 4
Origem
1 7 7 – 7 = 0
2 5
3 3
Demanda 7 – 7 = 0 3 5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 2
Destino
Capacidade
1 2 4
Origem 1 7 7 – 7 = 0
Processing math: 100%
Destino
Capacidade
1 2 4
2 5
3 3 3 – 3 = 0
Demanda 7 – 7 = 0 3 – 3 = 0 5
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Etapa 3
Destino
Capacidade
1 2 4
Origem
1 7 7 – 7 = 0
2 5 5 - 5 = 0
3 3 3 – 3 = 0
Demanda 7 – 7 = 0 3 – 3 = 0 5 - 5 = 0
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
O lucro será: 7 x 15 + 3 x 11 + 5 x 17 = 223
5. Uma empreiteira, Susan Meyer, tem que transportar cascalho para três empreendimentos que está
construindo. Ela pode comprar até 18 toneladas em uma mina de cascalho no norte da cidade e 14
toneladas de uma no sul. Ela precisa de 10, 5 e 10 toneladas nos locais 1, 2 e 3, respectivamente. O
preço de compra por tonelada em cada mina e o custo de transporte por tonelada são fornecidos na
tabela a seguir.
Custo por tonelada transportada
Preço por tonelada
1 2 3
Norte 100 190 160 300
Sul 180 110 140 420
Processing math: 100%
Custo por tonelada transportada
Preço por tonelada
1 2 3
Necessidade 10 5 10
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Qual será o custo mínimo desse transporte?
A alternativa "D " está correta.
Vamos montar a planilha.
 Captura de tela do Software Excel
O Solver será:
 Captura de tela do Software Excel
A solução:Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
6. A Indústria YDVQS fabrica um único produto em quatro localidades, Curitiba, Campinas, Itabuna e
Campos. O custo unitário de produção de cada localidade é respectivamente $35,50, $37,50, $39,00 e
$36,25, e a capacidade anual de produção de cada planta é 18.000, 15.000, 25.000 e 20.000 unidades.
A empresa está planejando estabelecer sete centros de distribuição para atender a sua demanda. O
custo unitário de transporte entre cada um dos locais é apresentado na tabela a seguir, bem como a
demanda de cada região:
Custo unitário de transporte para o centro de distribuição
Fábrica SP RJ SA RE BH CO PA
Curitiba $ 2,50 $ 2,75 $ 1,75 $ 2,00 $ 2,10 $ 1,80 $ 1,65
Campinas $ 1,85 $ 1,90 $ 1,50 $ 1,60 $ 1,00 $ 1,90 $ 1,85
Itabuna $ 2,30 $ 2,25 $ 1,85 $ 1,25 $ 1,50 $ 2,25 $ 2,00
Campos $ 1,90 $ 0,90 $ 1,60 $ 1,75 $ 2,00 $ 2,50 $ 2,65
Demanda 8.500 14.500 13.500 12.600 18.000 15.000 9.000
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A empresa deseja determinar como atender a demanda de cada local com o menor custo de
fabricação e de transporte, mas como a demanda geral excede a capacidade de fabricação, deseja ter
certeza de que pelo menos 80% das ordens recebidas por cada centro de distribuição sejam
atendidas. Como você solucionaria este problema? Qual será o custo mínimo de transporte?
Processing math: 100%
A alternativa "A " está correta.
Um exemplo de distribuição
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma indústria de produtos alimentícios produz quatro produtos: gordura, óleo refinado de algodão, óleo
refinado de soja e margarina. O processo de fabricação dos produtos é descrito na imagem a seguir:
Processing math: 100%
 
Imagem: Mauro Rezende Filho
 Processo de fabricação dos produtos.
MATÉRIAS-PRIMAS
A partir da imagem anterior, observa-se a utilização de duas matérias-primas: óleo bruto de algodão e óleo
bruto de soja. A disponibilidade no próximo mês será de 2.000 toneladas de óleo bruto de algodão e 4.500
toneladas de óleo bruto de soja.
MERCADO
Quanto ao mercado para os produtos, segundo previsões geradas, foram estabelecidas as quantidades de
cada produto que o mercado absorverá. Contudo, como essas quantidades estão sujeitas a flutuações, é
preferível trabalhar com uma faixa para cada produto, compreendida entre o máximo e o mínimo:
Produto Máximo (toneladas) Mínimo (toneladas)
Gordura 800 200
Margarina 1.500 600
Óleo de algodão 2.000 1.000
Processing math: 100%
Produto Máximo (toneladas) Mínimo (toneladas)
Óleo de soja 3.000 2.000
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
COMPOSIÇÃO DOS PRODUTOS
A gordura é produzida a partir da mistura de óleo clarificado (76%) e outros componentes (24%), como
estearina e materiais residuais, adicionados na etapa de hidrogenação de gorduras. Já para a produção de
margarina, 82,7% de sua composição é de óleo de soja e os 17,3% restantes são de leite, salmoura e
demais ingredientes, adicionados na etapa de preparação da margarina. Em relação aos óleos de algodão e
de soja, 100% da composição é de óleo de algodão e de soja, respectivamente.
RECURSOS PRODUTIVOS
Os dados referentes aos equipamentos utilizados nas diversas fases dos processos de fabricação, bem
como as suas respectivas capacidades, estão detalhados abaixo:
Processo Capacidade máxima (toneladas/mês)
Neutralização 6.500
Clarificação 6.500
Desodorização (WS) 4.000
Desodorização (EW) 3.000
Hidrogenação de gorduras 2.000
Clarificação de gorduras 1.750
Acondicionamento de gorduras 2.000
Processing math: 100%
Processo Capacidade máxima (toneladas/mês)
Acondicionamento de óleo 6.000
Preparação de margarina 2.000
Acondicionamento de margarina 2.750
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Além disso, os fluxos de materiais são afetados pelos valores dos rendimentos, detalhados abaixo:
Fase do processo Rendimento
Neutralização 88,4%
Clarificação 99,8%
Desodorização 99,1%
Clarificação de gorduras 97,6%
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
As fases do processo, cujos rendimentos não estão especificados, não sofrem perdas, ou seja, têm
rendimento unitário.
PREÇOS E CUSTOS
Como o interesse é estabelecer uma programação que dê o máximo de resultado para a empresa, a melhor
unidade para medir esse resultado é o valor monetário, em termos de preços e custos dos produtos. Os
preços de venda líquidos, subtraindo os impostos e as despesas diretas de vendas como fretes, são:
Produto Preço líquido (R$/tonelada)
Óleo de algodão 1.377,05
Óleo de soja 1.279,94
Processing math: 100%
Produto Preço líquido (R$/tonelada)
Gordura 1.240,62
Margarina 1.849,27
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Já custo das matérias-primas são:
Produto Preço líquido (R$/tonelada)
Óleo de algodão bruto 1.014,47
Óleo de soja bruto 979,40
Estearina e matérias residuais 1.053,86
Leite, salmoura e demais ingredientes 996,64
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Em relação aos custos industriais, como será feita uma análise de renda marginal de cada produto, o que
nos interessa são apenas os custos variáveis, apresentados a seguir:
Processo Custo variável (R$/tonelada)
Neutralização 3,97
Clarificação 4,89
Desodorização (WS) 11,55
Desodorização (EW) 13,27
Hidrogenação de gorduras 21,86
Clarificação de gorduras 20,00
Processing math: 100%
Processo Custo variável (R$/tonelada)
Acondicionamento de gorduras 35,14
Acondicionamento de óleo 139,82
Preparação de margarina 10,64
Acondicionamento de margarina 231,43
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Nos custos de acondicionamento, já está incluído ocusto da embalagem.
Determinar as quantidades ótimas de matérias-primas a serem adquiridas e as quantidades ótimas a serem
fabricadas dos produtos finais de modo que seja maximizada a diferença entre as receitas e os custos
(lucro).
RESOLUÇÃO
Uma análise de programação de escala de produção
Processing math: 100%
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. HÁ UM PROBLEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE PRODUTOS DE UMA ORIGEM PARA
DESTINOS DIFERENTES, APRESENTADO NA TABELA A SEGUIR:
ORIGEM
DESTINOS
CAPACIDADE
1 2 3
1 65 45 8 200
2 30 10 15 100
3 12 40 55 400
DEMANDA 200 100 300
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A SOLUÇÃO INICIAL PELO MÉTODO DO CANTO NOROESTE SERÁ IGUAL À:
A) da origem 1 para o destino 1, 65.
B) da origem 1 para o destino 1, 200.
C) da origem 1 para o destino 3, 300.
D) da origem 2 para o destino 2, 100.
Processing math: 100%
E) da origem 3 para o destino 3, 200.
2. CONSIDERANDO O PROBLEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE PRODUTOS DE UMA
ORIGEM PARA DESTINOS APRESENTADO NA TABELA A SEGUIR, QUAL SERÁ O
CUSTO TOTAL DE TRANSPORTE?
ORIGEM
DESTINOS
CAPACIDADE
1 2 3
1 65 45 8 200
2 30 10 15 100
3 12 40 55 400
DEMANDA 200 100 300
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 9500
B) 8700
C) 10300
D) 6600
E) 4800
GABARITO
1. Há um problema de distribuição de produtos de uma origem para destinos diferentes, apresentado
na tabela a seguir:
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3
1 65 45 8 200
Processing math: 100%
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3
2 30 10 15 100
3 12 40 55 400
Demanda 200 100 300
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A solução inicial pelo método do Canto Noroeste será igual à:
A alternativa "B " está correta.
 
O método do Canto Noroeste tem sua solução inicial começando pelo canto superior da esquerda da matriz,
alocando o máximo possível da demanda ou da capacidade, portanto, devemos alocar 200 unidades da
origem 1 deslocando para o destino 1.
2. Considerando o problema de distribuição de produtos de uma origem para destinos apresentado
na tabela a seguir, qual será o custo total de transporte?
Origem
Destinos
Capacidade
1 2 3
1 65 45 8 200
2 30 10 15 100
3 12 40 55 400
Demanda 200 100 300
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
 
Resolvendo com auxílio do Solver, temos:
Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
O Solver será:
 Captura de tela do Software Excel
Obtendo-se:
Processing math: 100%
 Captura de tela do Software Excel
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Redes de algum tipo surgem em uma ampla variedade de contextos e as representações de rede são muito
úteis para retratar as relações e conexões entre os componentes de sistemas. Frequentemente, o fluxo de
algum tipo deve ser enviado através de uma rede, portanto, uma decisão precisa ser tomada sobre a melhor
maneira de fazer isso. O algoritmo apresentado e o Solver são ferramentas poderosas para tomar tais
decisões.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
Processing math: 100%
REFERÊNCIAS
BALLOU, R. H. Business logistics management. 3. ed. Londres: Prentice Hall, 1992.
BARNHART, G.; LAPORTE, G. (eds.). Handbook in operation research and management science:
transportation. Amsterdam: Elsevier, 2007, vol. 14, 783 p.
GHIANI, G.; LAPORTE, G.; MUSMANNO, R. (eds.). Introduction to logistics systems planning and
control. Nova York: John Wiley & Sons, 2004.
RUSHTON, A.; CROUCHE, P. H.; BAKER, P. The handbook of logistics and distribution management. 3.
ed. Londres/Filadélfia: Kogan Page Limited, 2006.
WATER, D. Inventory control and management. 2. ed. Chichester: John Wiley & Sons, 2003.
EXPLORE+
Se você deseja se aprofundar neste conteúdo, recomendamos explorar os períodos no portal do
Capes, ou ainda buscar sobre Otimização em Sistemas de Produção na Biblioteca Digital de
Domínio Público.
CONTEUDISTA
Mauro Rezende Filho
 CURRÍCULO LATTES
Processing math: 100%
javascript:void(0);