Gabarito de Estruturas Algébricas

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Gabarito
utoatividades
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2017
Prof.ª Maricélia Soares
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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia , nº .BR 470 Km 71, 1 040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
I daialn - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2017
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Sendo A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}, determine:
a) n(A × B); 
R.: n(A × B) = 12 pares ordenados
b) a representação cartesiana ortogonal de A × B;
R.:
c) a representação cartesiana ortogonal de B × A.
R.:
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2 Determine o produto cartesiano dos conjuntos A = {0, 1} e B = {0, 2, 
4} e construa um gráfico. Mostre que (A × B) ≠ (B × A), o que significa 
que a lei comutativa não é válida para o produto cartesiano.
R.: A × B = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (1, 0), (1, 2), (1, 4)}
B × A = {(0, 0), (0, 1), (2, 0), (2, 1), (4, 0), (4, 1)}
3 Sejam S = {a, A}, T = {b, B}, U = {c, C}. Defina todas as possíveis ternas 
ordenadas resultantes do produto cartesiano S × T U.
R.: S × T × U = {(a, b, c), (a, b, C), (a, B, c), (a, B, C), (A, b, c), (A, b, C), (A, 
B, c), (A, B, C)}
4 Seja A = {0, 1, 2, 3, 4}. A desigualdade x + y ≥ 3 define uma relação no 
produto cartesiano (A × A), ou seja, R = {(x, y)  x A, y ∈ A e x + y ≥ 3}. 
Quantos dos 25 pares (x, y) ∈ (A × A) satisfazem a esta desigualdade?
R.:
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19 pares, são eles: R = {(0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 
3), (2, 4), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
5 Sejam A = {a, b, c, d} e B = {x, y, z, w, t}.
a) Escreva cinco pares ordenados de A e B.
R.: (a, x), (a, y), (a, z), (a, w), (a, t), (b, x), entre outros.
b) Por que (a, a), (x, a), (w, c), (x, x) não são pares ordenados de A e B?
R.: (a, a) é um par ordenado da relação A × A. 
(x, a) e (w, c) são pares ordenados da relação B × A, pois a primeira 
coordenada desses pares pertence a A e a segunda coordenada pertence a B. 
(x, x) é um par ordenado da relação B × B.
c) Quantos pares ordenados podemos obter de A e B?
R.: n(A) ⋅ n(B) = 4 ⋅ 5 = 20 pares ordenados.
d) Escreva três pares ordenados em que o 2º elemento é t.
R.: (a, t), (b, t), (c, t), entre outros.
e) Escreva A × B.
R.:
f) Escreva B × A.
R.:
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6 Seja A = B = {x, y, z, t, u}. Escreva:
 
Obs.: Há várias possibilidades de respostas a essa questão; apresentamos 
algumas:
a) Duas relações reflexivas.
R.: R1 = {(x, x), (y, y)}
R2 = {(x, x), (y, y), (z, z), (t, t), (u, u)}
b) Duas relações simétricas.
R.: R1 = {(x, y), (y, x)}
R2 = {(z, t), (t, z), (u, t), (t, u)}
c) Três relações transitivas.
R.: R1 = {(x, y), (y, z), (x, z)}
R2 = {(z, t), (t, u), (z, u)}
R3 = {(y, x), (x, t), (y, t)}
d) Duas relações reflexivas e simétricas.
R.: R1 = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)}
R2 = {(t, t), (t, z), (z, t), (z, z)}
e) Duas relações reflexivas, simétricas e transitivas.
R.: R1 = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y), (x, t), (y, t), (t, x), (t, y), (t, t)}
R2 = {(z, z), (z, t), (t, u), (z, u), (t, t), (u, u), (t, z), (u, t), (u, z)}
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7 Para as relações seguintes, indique as suas propriedades. Diga se 
a relação é reflexiva, irreflexiva, simétrica, antissimétrica, transitiva. 
Todas as relações são consideradas no conjunto dos seres humanos:
a) “x é irmão de y”
R.: Irreflexiva, simétrica, transitiva.
b) “x é pai de y”
R.: Irreflexiva.
c) “x é casado com y”
R.: Irreflexiva, simétrica.
d) “x é primo de y”
R.: Irreflexiva, simétrica.
8 Para cada uma das tabelas operatórias a seguir, verifique quais 
propriedades das operações binárias são válidas:
a) Considere o conjunto A = { -1, 1}, cuja operação binária é a 
multiplicação usual: 
R.: Dessa tabela operatória podemos identificar as 
seguintes propriedades:
 O conjunto A é fechado, ou seja, todos os 
elementos resultantes da operação binária 
pertencem a A. 
 A associatividade é verificada para todos os 
elementos.
 A simetria dos elementos em relação à diagonal principal apresenta a 
comutatividade da operação sobre A.
 O elemento neutro é 1. 
 O simétrico de -1 é -1, o simétrico de 1 é 1.
b) Considere o conjunto B = {1, i, -1, -i} de números complexos que são 
raízes da equação x4 – 1 = 0, cuja operação binária é a multiplicação 
usual:
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R.:  O conjunto B é fechado, ou seja, todos os 
elementos resultantes da operação binária 
pertencem a B. 
 A associatividade é verificada para todos 
os elementos.
 A simetria dos elementos em relação à 
diagonal principal apresenta a comutatividade 
da operação sobre B.
 O elemento neutro é 1. 
 O simétrico de 1 é 1, o simétrico de i é –i, o simétrico de -1 é -1 e o simétrico 
de –i é i.
c) Considere o conjunto C = {0, 1}, cuja operação binária é a adição ⊕: 
R.:  O conjunto C é fechado. 
 A associatividade é verificada para todos os 
elementos.
 A simetria dos elementos em relação à diagonal 
principal apresenta a comutatividade da operação 
sobre C.
 O elemento neutro é 0. 
 O simétrico de 0 é 1, o simétrico de 1 é 0.
TÓPICO 2
Questão única: Prove os seguintes teoremas, utilizando o Princípio da 
Indução Matemática:
1 ∀n ∈ N, temos que 1 + 5 + 9 + ... + (4n + 1) = (n + 1)(2n + 1).
R.: i) Mostrar que P(1) é verdadeira:
P(1): 1 + 5 = (1 + 1)⋅(2⋅1 + 1)
 6 = 2 ⋅ (2 + 1)
 6 = 6
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k ∈ N.
P(k): 1 + 5 + 9 + ... + (4k + 1) = (k + 1)⋅(2k + 1)
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1):
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 Atenção!
A expressão 2k2 + 7k + 6 foi reescrita através das suas raízes. Observe:
O polinômio ax2 + bx + c, pode ser escrito como a⋅(x – α1)⋅ (x – α2), onde α1 
e α2 são suas raízes. Assim: 2k
2 + 
2 ∀n ∈ N, temos que 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
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R.: i) Mostrar que P(1) é verdadeira:
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k ∈ N.
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1):
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3 ∀n ∈ N, temos que 20 + 21 + 22 + ... + 2n = 2n + 1 
R.: i) Mostrar que P(1) é verdadeira:
P(1): 20 + 21 = 21+1 – 1 
 1 + 2 = 4 – 1 
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k ∈ N.
P(k): 20 + 21 + 22 + ... + 2k = 2k + 1 – 1 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1):
4 ∀n ∈ N, temos que 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) =
R.: i) Mostrar que P(1) é verdadeira:
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k ∈ N.
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5 ∀n ∈ N, temos que 
R.: i) Mostrar que P(1) é verdadeira:
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ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k ∈ N.
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1):
6 Demonstre que a soma dos n primeiros números pares é n⋅(n + 1), 
ou seja, que ∀n ∈ N, temos que 2 + 4 + 6 +…+ 2n = n⋅(n + 1).
R.: i) Mostrar que P(1) é verdadeira:
 P(1): 2 = 1⋅(1 + 1) 
 2 = 2
ii) Supõe-se P(k) como verdadeira, para k∈ N.
 P(k): 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k⋅(k + 1) 
iii) Prova-se que P(k) é válida para (k + 1):
P(k + 1): 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k⋅(k + 1) + 2(k + 1)
 k⋅(k + 1) + 2(k + 1) = k⋅(k + 1) + 2(k + 1)
 . . . = k2 + k + 2k + 2
 . . . = k2 + 3k + 2
 . . . = (k + 1)⋅(k + 2) c.q.d.
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TÓPICO 3
Questão única: Segue um pequeno teste, envolvendo erros conceituais 
e operacionais comuns. Todas as afirmações são falsas. Corrija cada 
uma delas tornando todas verdadeiras; procure buscar justificativas 
conceituais ou de propriedades para fazer a correção.
FONTE: MARQUIS, June. Erros comuns em Álgebra. In: COXFORD, Arthur 
F.; SHULTE, Albert P. (Orgs.). As ideias da Álgebra. Traduzido por Hygino 
H. Domingues. São Paulo: Atual, 1995.
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TÓPICO 4
1 (BOULOS, 2001, p. 4) Complete, usando a propriedade especificada:
R.: a) 23 + 31 = 31 + 23 (comutativa) 
b) 37 ⋅ 45 = 45 ⋅ 37 (comutativa)
c) 6 + (5 + 3) = (6 + 5) + 3 (associativa) 
d) (23 ⋅ 54) ⋅ 5 = 23 ⋅ (54 ⋅ 5) (associativa)
e) 4 + 0 = 4 (elemento neutro) 
f) 7 ⋅ 1 = 7 (elemento neutro)
g) 3 + (-3) = 0 (elemento oposto) 
h) 4⋅
4
1
= 1 (elemento inverso)
i) 8⋅(3 + 5) = (8 ⋅ 3) + (8 ⋅ 5) (distributiva) j) (9 + 8)⋅4 = (4 ⋅ 9) + (4 ⋅ 8) 
(distributiva)
2 Classifique como V ou F cada uma das afirmações:
a) (V) O oposto de um número inteiro é inteiro.
b) (V) O oposto de um número racional é racional.
c) (V) O oposto de zero é o próprio zero. 
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d) (V) O inverso de um número racional não nulo é um número racional.
e) (F) O inverso de um número inteiro não nulo é um número inteiro. 
f) (F) O inverso de zero é o próprio zero.
g) (F) O oposto de 
 
 é 
3
4
− .
h) (F) O oposto de 5 é 
i
r .
i) (F) Todo número racional tem inverso.
j) (V) Todo número racional tem oposto.
3 (PAIVA, 2000, p. 63 – adaptado) Classifique como V ou F cada uma 
das afirmações:
a) (V) Toda dízima não periódica é número irracional.
b) (F) Toda dízima é um número irracional.
c) (V) Toda dízima periódica é um número racional. 
d) (V) Todo número que pode ser escrito sob a forma decimal é real.
e) (F) Números reais são somente aqueles que podem ser representados 
pela razão entre dois números inteiros. 
f) (F) O produto de um número racional por um número irracional é um número 
irracional.
g) (V) O oposto de um número irracional é irracional.
h) (V) O inverso de um número irracional é irracional.
4 Prove que o quociente de um número racional, não nulo, por um 
número irracional é um número irracional.
R.: Demonstração: Sejam: r um número racional não nulo, i um número 
irracional e k um número real, tais que k = 
i
r .
Queremos mostrar que k é um número irracional. Então, vamos supor que
k é racional, é chegar a um absurdo. Como k = 
k
r , podemos escrever i como
i = 
k
r . Visto que r é racional e usando o fato de k ser racional, segue que
 k
r
 também é racional (Q é fechado para divisão), ou seja, i = k
r precisa ser
racional. Mas isso é um absurdo, pois i é irracional por hipótese. Segue que k 
não pode ser racional e, portanto, é irracional, como queríamos demonstrar.
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5 Prove a lei do corte para a adição: Quaisquer que sejam a, b e c ∈ R, 
a igualdade: a + b = a + c implica em b = c.
R.: Demonstração: Se a, b, c ∈ R, existe (-a) ∈ R tal que a + (-a) = -a + a = 0. 
Por outro lado:
a + b = a + c ⇒ (-a) + (a + b) = (-a) + (a + c) ⇒ (-a + a) + b = (-a + a) 
+ c ⇒ 0 + b = 0 + c ⇒ 
⇒ b = c, como queríamos demonstrar.
6 (Fatec-SP – adaptado) Sejam a e b números irracionais quaisquer. 
Das afirmações:
I. ab é um número irracional.
II. a + b é um número irracional.
III. a – b pode ser um número racional.
Pode-se concluir que:
a) ( ) As três afirmativas são falsas.
b) ( ) As três afirmativas são verdadeiras.
c) ( ) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) ( ) Somente a afirmativa I é verdadeira.
e) (x) Somente as afirmativas I e II são falsas.
7 (UFPR) Uma das instruções de um exame vestibular afirmava que 
cada teste que compunha a prova apresentava cinco alternativas, 
das quais apenas uma era correta. Passados alguns dias da prova, 
foi divulgado que um dos testes havia sido anulado. O teste anulado 
apresentava as seguintes alternativas:
a) ( ) x é um número natural.
b) ( ) x é um número inteiro.
c) ( ) x é um número racional.
d) ( ) x é um número irracional.
e) ( ) x é um número real.
Explique por que o teste foi anulado.
R.: Como todo número natural ou inteiro ou racional ou irracional é também 
número real, temos, pelo menos, duas alternativas corretas.
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 (IEZZI, DOMINGUES, 1982, p. 91) Mostre que cada uma das tabelas 
operatórias abaixo define uma operação que confere ao conjunto E 
= {e, a, b, c} uma estrutura de grupo:
R.: a) I. Fechamento: E é fechado para a 
operação ♦, pois todos os elementos 
resultantes da operação são elementos 
de E.
II. Associativa: A associativa é válida 
(verifique as possíveis combinações entre 
os elementos de E).
III. Existência do Elemento Identidade: O elemento neutro é e.
IV. Elemento Inverso: O elemento inverso de a é a, o elemento inverso de 
b é b, o elemento inverso de c é c e o elemento inverso de e é ele próprio.
A simetria com relação à diagonal principal nos faz validar a propriedade 
comutativa para a operação binária ♦ sobre E.
Portanto (E, ♦) é um grupo abeliano.
b) I. Fechamento: E é fechado para a operação 
, pois todos os elementos resultantes da 
operação são elementos de E.
II. Associativa: A associativa é válida (verifique 
as possíveis combinações entre os elementos 
de E).
III. Existência do Elemento Identidade: O elemento neutro é e.
IV. Elemento Inverso: O elemento inverso de a é a, o elemento inverso de 
b é c, o elemento inverso de c é b e o elemento inverso de e é ele próprio.
 A simetria com relação à diagonal principal nos faz validar a propriedade 
comutativa para a operação binária  sobre E.
Portanto (E, ) é um grupo abeliano.
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2 Seja G = {e, a, b, c} um grupo com relação à operação binária dada 
pela seguinte tabela operatória:
a) Complete a tabela.
R.:
b) Por que (G, ) é um grupo abeliano? Justifique.
R.: Porque todas as propriedades são verificadas, inclusive a comutativa. G 
é fechado para operação . A propriedade associativa é válida para todas 
as possíveis combinações entre os elementos de G. O inverso de e é ele 
próprio, o inverso de a é c, o inverso de b é ele próprio e o inverso de c é a. 
O elemento identidade é e. A simetria com relação à diagonal principal nos 
faz validar a propriedade comutativa para a operação binária  sobre G, o 
que o caracteriza como um grupo abeliano.
3 Com relação ao grupo (G, ) apresentado na questão anterior, crie 
os subgrupos possíveis de ordem 1, 2 e 4.
R.:
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4 Considere o conjunto dos números reais R munido da operação  
definida por x  y = x + y – 3. Mostre que (R, ) é um grupo abeliano.
R.:Todas as propriedades que definem um grupo são válidas.
A adição é comutativa para os reais, logo, (R, ) é um grupo abeliano.
5 Construa a tábua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que:
I. G é abeliano
II. o neutro é e
III. a operação binária envolvida é ()
IV. a  f = b  d =e
V. a  d = b  c = f
VI. a  c = b  b = d
VII. c  d = a
R.:
6 Seja o conjunto dos números reais R munido da operação (♦) definida 
por: x ♦ y = x + y – 3. Prove que (R, ♦) é um grupo comutativo.
R.: Idem questão 4.
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7 Prove que (M2×2, +) é um grupo abeliano.
R.: • Fechamento: Sejam A, B, C matrizes de ordem 2.
Considere amn + bmn = cmn, com a, b, c ∈ M2.
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Como amn, bmn R, por restrição, a comutatividade é válida. Logo, (M2×2, +) é 
um grupo abeliano.
8 Por que o conjunto dos inteiros Z com a operação de multiplicação 
usual não é um grupo?
R.: Porque não há elemento inverso. O elemento neutro multiplicativo é 1 e não 
existe um número inteiro que multiplicado por outro número inteiro resulte 1.
9 Prove o item (ii) da propriedade “Lei do Cancelamento” para os 
grupos: Seja (G, ♦) um grupo, então ∀ a, b, c ∈ G, vale:
(i) a ♦ b = a ♦ c ⇒ b = c
(ii) b ♦ a = c ♦ a ⇒ b = c
(Dica: coloque o elemento inverso à direita)
R.: Demonstração: 
(ii) Partimos da hipótese de que:
b ♦ a = c ♦ a
Como a, b, c ∈ G e (G, ♦) é grupo, todo elemento possui um único inverso. 
Vamos simbolizar o inverso de a como a´:
(b ♦ a) ♦ a´ = (c ♦ a) ♦ a´
Pela lei associativa, temos:
b ♦ (a ♦ a´) = c ♦ (a ♦ a´)
Todavia, pela definição de inverso, um elemento operado com seu inverso 
resulta no elemento identidade da operação, o qual vamos simbolizar por 
e, logo:
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b ♦ (a ♦ a´) = c ♦ (a ♦ a´)
b ♦ e = c ♦ e
Por fim, pela definição de elemento identidade, temos que todo elemento 
operado com o elemento identidade da operação resulta nele próprio, donde 
concluímos:
b = c
10 Prove o item (ii) da propriedade “Equação Algébrica de Solução 
Única”: Seja (G, ♦) um grupo, então ∀ a, b ∈ G, a equação algébrica:
(i) a ♦ x = b tem solução única
(ii) y ♦ a = b tem solução única
R.: Demonstração: 
(ii) Partimos da hipótese de que:
y ♦ a = b
Como a, b ∈ G e (G, ♦) é grupo, em um grupo todo elemento possui um único 
inverso. Vamos simbolizar o inverso de a como a´:
(y ♦ a ) ♦ a´ = b ♦ a´
Pela lei associativa, temos:
y ♦ (a ♦ a´) = b ♦ a´
Todavia, pela definição de inverso, um elemento operado com seu inverso 
resulta no elemento identidade da operação, o qual vamos simbolizar por e, 
obtendo assim:
y ♦ (a ♦ a´) = b ♦ a´
y ♦ e = b ♦ a´
Por fim, pela definição de elemento identidade, temos que todo elemento 
operado com o elemento identidade da operação resulta nele próprio, donde 
concluímos:
y = b ♦ a´
Devemos provar agora que essa solução é única. Para tanto, vamos admitir 
a existência de duas soluções e provar que ambas são iguais.
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Vamos considerar que são válidas as duas soluções: y e q; assim, temos:
y ♦ a = b e q ♦ a = b
Pela lei do cancelamento, temos:
y ♦ a = q ♦ a
y = q
Portanto, a solução é única.
TÓPICO 2
1 Seja dado o conjunto Q dos números racionais sobre o qual se define 
as operações binárias (♦) e (), a saber:
x ♦ y  x + y – 3
x  y  x + y –
Responda, justificando: (Q, ♦, ) é um anel comutativo com elemento 
unidade?
R.: Sim, todas as propriedades são válidas. Portanto, (Q, ♦, ) é anel 
comutativo e com elemento unidade, pois as operações de adição e 
multiplicação são comutativas em Q e 1 é elemento neutro multiplicativo. 
2 Seja dado (Q, ⊕, ⊗), define-se:
x ⊕ y  x + y – 1
x ⊗ y  x + y – xy
Pergunta-se: (Q, ⊕, ⊗) é um anel? É comutativo? Tem unidade? Justifique.
R.: Idem questão 1.
3 Dê exemplos que mostrem a validade dos seguintes teoremas:
a) Se dois polinômios P(x) e Q(x) não nulos têm graus m e n, então: 
gr(PQ) = m + n.
R.: Os exemplos ficam a critério do(a) acadêmico(a). Porém, uma das 
possibilidades é apresentada na questão 5, letra (a), onde:
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P(x) = 4x2 – (2i)x + 1 gr(P) = 2, então m = 2.
Q(x) = 3x + 2i gr(Q) = 1, então (n = 1)
E o produto P(x) ⋅ Q(x) = 12x3 + (2i)x2 + 7x + 2i gr(PQ) = m + n = 3
b) Sejam P(x) e Q(x) polinômios não nulos de graus m e n, respectivamente, 
com m ≥ n, então:
Se m ≠ n: gr(P + Q) = gr(P – Q) = m
Se m = n: gr(P + Q) ≤ m e gr(P – Q) ≤ m ou o polinômio resultante é nulo
R.: Os exemplos ficam a critério do(a) acadêmico(a).
4 Dados os polinômios P(x) = 2x3 – 3x2 + 5i e Q(x) = x4 – x3 + 2x2 + 6, 
determine:
a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) c) Q(x) – P(x)
R.: a) P(x) + Q(x) = (2x3 – 3x2 + 5i) + (x4 – x3 + 2x2 + 6) = 
= 2x3 – 3x2 + 5i + x4 – x3 + 2x2 + 6 = x4 + x3 – x2 + 6 + 5i
b) P(x) – Q(x) = (2x3 – 3x2 + 5i) – (x4 – x3 + 2x2 + 6) =
= 2x3 – 3x2 + 5i – x4 + x3 – 2x2 – 6 = -x4 + 3x3 – 5x2 – 6 + 5i 
c) Q(x) – P(x) = (x4 – x3 + 2x2 + 6) – (2x3 – 3x2 + 5i) =
= x4 – x3 + 2x2 + 6 – 2x3 + 3x2 – 5i = x4 – 3x3 + 5x2 + 6 – 5i
5 Dados os polinômios P(x) = 4x2 – (2i)x + 1 e Q(x) = 3x + 2i, determine:
a) P(x) ⋅ Q(x) 
R.: P(x) ⋅ Q(x) = (4x2 – (2i)x + 1) ⋅ (3x + 2i) = 12x3 + (8i)x2 – (6i)x2 – (4i2)
x + 3x + 2i = 12x3 + (2i)x2 + 4x + 3x + 2i = 12x3 + (2i)x2 + 7x + 2i
 
b) [P(x)]2 
R.: [P(x)]2 = P(x) ⋅ P(x) = (4x2 – (2i)x + 1) ⋅ (4x2 – (2i)x + 1) = 
= 16x4 – (8i)x3 + 4x2 – (8i)x3 + (4i2)x2 – (2i)x + 4x2 – (2i)x + 1 =
= 16x4 – (16i)x3 + 4x2 – 4x2 – (4i)x + 4x2 + 1 = 16x4 – (16i)x3 + 4x2 – (4i)x + 1
c) 2Q(x) ⋅ 3P(x)
R.: 2Q(x) ⋅ 3P(x) = 2⋅(3x + 2i) ⋅ 3⋅(4x2 – (2i)x + 1) = (6x + 4i) ⋅ (12x2 – 6ix + 3) = 
= 72x3 – (36i)x2 + 18x + (48i)x2 – (24i2)x + 12i = 72x3 + (12i)x2 + 18x + 24x + 12i =
= 72x3 + (12i)x2 + 42x + 12i
6 Encontre o quociente e o resto da divisão de P(x) por D(x) nos 
seguintes casos, fazendo uso do método da chave:
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a) P(x) = 2x4 + 9x3 + x2 – 15x + 6 D(x) = x2 + 3x – 2 
R.: P(x) = 2x4 + 9x3 + x2 – 15x + 6 D(x) = x2 + 3x – 2 
Então: Q(x) = 2x2 + 3x – 4 e R(x) = 3x – 2
b) P(x) = -2x5 + 4x4 – 6x – 1 + 4i D(x) = 2x3 + ix – 4
R.: P(x) = -2x5 + 4x4 – 6x – 1 + 4i D(x) = 2x3 + ix – 4
Então: Q(x) = -x2 + 2x – 0,5i e R(x) = -(4 + 2i)x2 + 2,5x – 1 + 6i
7 Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, encontre o quociente e o 
resto da divisão de P(x) por D(x):
R.: a) P(x) = 3x2 + 2x – 4 b) P(x) = x4 + x3 – x2 + x – 1 
 
D(x) = x + 3 D(x) = x + i
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Então: Q(x) = 3x – 7 e R(x) = 17 
Então: Q(x) = x3 + (1 – i)x2 – (2 + i)x + 2i e R(x) = 1
c) P(x) = 5x4 – 14x3 – 10x2 – 7x + 7 
D(x) = x – 2 
Então: Q(x) = 5x3 – 4x2 – 18x – 43 e R(x) = -79
TÓPICO 3
1 Indique quais das relações a seguir são relações de equivalência 
sobre o conjunto A = {a, b, c}:
a) ( ) R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}
b) ( ) R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)}
c) ( ) R3 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)}
d) ( ) R4 = A × A
e) ( ) R5 = ∅
R.: Alternativas (a) e (d).
Em uma relação de equivalência, verificam-se, simultaneamente, as 
propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
A relação R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)} é uma relação de equivalência 
sobre A = {a, b, c}, ou seja, apresenta as propriedades reflexiva, simétrica 
e transitiva.
Observe que a propriedade reflexiva é expressa nos pares ordenados (a, a), 
(b, b) e (c, c) pertencentes à relação R1. A propriedade simétrica se verifica 
nos pares ordenados (a, b) e (b, a) e a propriedade transitiva é expressa pela 
tríade de pares ordenados (a, b), (b, a), (a, a).
A relação R4 = A × A também expressa uma relação de equivalência, haja 
vista que, R4 = A × A = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), 
(c, b)}, apresentando as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
2 Quais são as relaçõesde equivalência sobre A = {a, b}?
R.: São duas, sendo R1 = {(a, a), (b, b)} e R2 = A × A = {(a, a), (b, b), (b, a), (a, b)}.
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3 Quantas são as relações de equivalência sobre B = {a, b, c, d}?
R.: São 15 relações de equivalência sobre o conjunto B = {a, b, c, d}, a saber:
R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)}
R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}
R3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a)}
R4 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (d, a)}
R5 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, c), (c, b)}
R6 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, d), (d, b)}
R7 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (c, d), (d, c)}
R8 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a)}
R9 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (a, d), (d, a)}
R10 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b)}
R11 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (b, d), (d, b)}
R12 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}
R13 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a)}
R14 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b)}
R15 = B × B = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, 
d), (c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)}
4 Seja A o conjunto dos triângulos do espaço euclidiano. Seja R a 
relação em A definida por: xRy ⇔ x é semelhante a y. Mostre que R 
é uma relação de equivalência.
R.: R é uma relação de equivalência, pois, sendo x e y dois triângulos 
semelhantes quaisquer, então verificam-se as três seguintes condições:
1. x é semelhante com x como também y é semelhante com y.
2. Se x é semelhante com y, então y é semelhante com x.
3. Se x é semelhante com y e, se y é semelhante com x, então x é semelhante 
com x.
5 Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas:
a) ( ) 25 1 (mod 12)
b) ( ) -5 ≡ -14 (mod 3)
c) ( ) 12 ≡ -2 (mod 3)
d) ( ) 5 + 7t ≡ 5 (mod 7), ∀t ∈ Z
R.: a) (V) 25 º 1 (mod 12) pois 12 | (25 – 1), ou seja, 12 | 24.
b) (V) -5 º -14 (mod 3) pois 3 | [-5 – (-14)], ou seja, 3 | 9.
c) (F) 12 º -2 (mod 3) pois 3 | [12 – (-2)], ou seja, 3 | 14.
d) (V) 5 + 7t º 5 (mod 7) pois 7 | [(5 + 7t) – 5), ou seja, 7 | 7t, "t Î Z.
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6 Construa as tabelas de soma e de multiplicação de Z5 na aritmética 
modular.
TÓPICO 4
1 Calcule k sabendo que 1 é uma das raízes da equação x4 – 8x3 + kx2 
– 32x + 15 = 0.
R.: Se 1 é raiz da equação x4 – 8x3 + kx2 – 32x + 15 = 0, então: 
(1)4 – 8(1)3 + k(1)2 – 32(1) + 15 = 0
1 – 8 + k – 32 + 15 = 0
-24 + k = 0
k = 24
2 (BIANCHINI, 2004, p. 128) Resolva as equações abaixo, sendo U = C:
a) 2x3 + 10x = 0 b) x3 – 9x2 + 18x = 0
c) x3 + 2x2 – 9x – 18 = 0 d) x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0
R.:
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3 Escreva o polinômio P(x) = 2x4 – 2 na forma fatorada, sendo 1, -1, i e 
-i as suas raízes.
R.: P(x) = 2⋅(x – 1)⋅[x – (-1)]⋅(x – i)⋅[(x – (-i)]
P(x) = 2⋅(x – 1)⋅(x + 1)⋅(x – i)⋅(x + i)
4 Encontre as raízes de x3 – 4x2 – 19x – 14 = 0, sabendo que a soma de 
duas delas é 5.
R.: x3 – 4x2 – 19x – 14 = 0
Temos a = 1, b = -4, c = -19 e d = -14
Raízes: α1, α2 e α3 
Pelas Relações de Girard, temos que α1 + α2 + α3 = a
b
− . Porém, temos que 
α1 + α2 = 5, então:
α1 + α2 + α3 = a
b
−
5 + α3 = 




 −−
1
4
5 + α3 = 4 ⇒ α3 = -1
Agora que já sabemos que -1 é uma das raízes da equação, vamos dividi-la 
por (x + 1):
x2 – 5x – 14 = 0 ⇒ x = 7 (α2 = 7) ou x = -2 (α1 = -2) 
Então: S = {-2, -1, 7}
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5 Resolva a equação x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0, sabendo que o produto de 
duas de suas raízes é 8.
R.: x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0
Temos a = 1, b = 4, c = -4 e d = -16
Raízes: α1, α2 e α3 
Pelas Relações de Girard, temos que α1 ⋅ α2 ⋅ α3 = . Porém, temos que 
α1 ⋅ α2 = 8, então:
α1 ⋅ α2 ⋅ α3 = .
8 ⋅ α3 = 
8 ⋅ α3 = 16 ⇒ α3 = 2
Agora que já sabemos que 2 é uma das raízes da equação, vamos dividi-la 
por (x – 2):
x2 + 6x + 8 = 0 ⇒ x = -2 (α2 = -2) ou x = -4 (α1 = -4) 
Então: S = {-4, -2, 2}
6 Fatore o polinômio P(x) = x3 – 8x2 + 4x + 48, sabendo que P(6) = 0.
R.: Se P(6) = 0, então 6 é raiz do polinômio P(x) = x3 – 8x2 + 4x + 48. Então 
P(x) é divisível por x – 6.
Daí, temos que: P(x) = (x – 6) ⋅ Q(x). Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, 
vamos dividir P(x) por (x – 6):
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Resolvendo a equação x2 – 2x – 8 = 0, encontramos -2 e 4 como raízes. Logo, 
podemos decompor P(x) em: P(x) = (x – 4)⋅(x + 2)⋅(x – 6)
7 Fatore o polinômio P(x) = x4 + 2x3 – 10x2 + 10x – 75, sabendo que duas 
de suas raízes são 3 e -5.
R.: 3 e -5 são raízes de P(x). Então, P(x) é divisível por x – 3 e por x + 5.
P(x) = (x – 3)⋅(x + 5)⋅Q(x)
Aplicando Briot-Ruffini, vamos dividir P(x) por x – 3 e por x + 5:
Logo: Q(x) = x2 + 5
Resolvendo a equação x2 + 5 = 0, encontramos - 5 i e 5 i como raízes. 
Logo, podemos decompor P(x) em: P(x) = (x – 3)⋅(x + 5)⋅(x + 5 i)⋅(x – 5 i)
8 Fatore o primeiro membro da equação x3 – x2 + 10x – 10 = 0 e determine 
suas raízes.
R.: x3 – x2 + 10x – 10 = 0 ⇒ x2⋅(x – 1) + 10⋅(x – 1) = 0 ⇒ (x – 1)⋅(x2 + 10) 
= 0 (forma fatorada)
Agora vamos calcular as raízes:
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b) x3 – 15x2 + 74x – 120 = 0
R.: x3 – 15x2 + 74x – 120 = 0
Temos a3 = 1, a2 = -15, a1 = 74, a0 = -120
Raízes: α1, α2 e α3 
10 Demonstre as relações de Girard para coeficientes e raízes de uma 
equação do 3º grau.
R.: Considere a equação do 3º grau ax3 + bx2 + cx + d = 0 cujas raízes são 
α1, α2 e α3. Pelo Teorema da Decomposição, temos que:
9 Estabeleça as relações de Girard para as equações:
a) 3x4 + 19x3 – 23x2 – 59x + 30 = 0
b) x3 – 15x2 + 74x – 120 = 0
R.: a) 3x4 + 19x3 – 23x2 – 59x + 30 = 0
Temos a4 = 3, a3 = 19, a2 = -23, a1 = -59, a0 = 30
Raízes: α1, α2, α3 e α4
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Agora, vamos desenvolver o produto no 2º membro e agrupar os termos 
semelhantes, obtendo:
Observe que, pela identidade de polinômios, obtemos as seguintes relações:
ax3 + bx2 + cx + d = a ⋅ (x – α1) ⋅ (x – α2) ⋅ (x – α3)
Como a ≠ 0, pois trata-se de uma equação polinomial do 3º grau, podemos 
dividir membro a membro da expressão acima por a:
Então:
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Qual o significado correto do sinal de igualdade? Como o uso de 
sentenças verdadeiro/falso e sentenças abertas ajuda os estudantes 
a compreenderem esse símbolo?
R.: O símbolo “=” tem diversos significados que dependem do contexto no 
qual aparece e da maneira como ele é utilizado. No contexto aritmético, por 
exemplo, o símbolo “=” aparece nas operações e nas igualdades, usualmente 
representadas por ‘3 + 4 =’ e ‘3 + 4 = 7’, respectivamente. No contexto 
algébrico correspondem às equações e funções, representadas comumente 
por expressões como x + 5 = 10 e y = 3x + 5, respectivamente.
Cavalcanti (2008, p. 4) apresenta uma síntese da finalidade do símbolo “=” e 
das suas principais características, nos contextos supracitados.
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As sentenças verdadeiro/falso permitem que o aluno entenda o símbolo “=” 
como uma relação estabelecida entre os dois lados da igualdade.
Já as sentenças abertas possibilitam entender o símbolo “=” como a 
enunciação de um cálculo a ser realizado.
2 Considere duas explicações completamentediferentes de por que o 
número 5 preenche a caixa na sentença aberta 7 
Aluno A: “Como 6 - 4 é 2, você precisa pegar 7 e obter 2. Então, como 7 - 5 
= 2, é o número 5 que preenche a caixa”.
Aluno B: “Sete é um a mais que 6 no outro lado da igualdade. Isso significa 
que você precisa tirar mais um no lado esquerdo para conseguir o mesmo 
número. Um a mais de 4 é 5, assim 5 preenche a caixa. Assim: [6 + 1 - 4 - 1, 
pois +1 - 1 = 0 e não altera nada].”
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R.: O aluno A verificaria o resultado do primeiro membro da igualdade: 534 
+ 175 = 709 e buscaria um número que adicionado a 174 resultasse 709, 
ou seja, 535.
Já o aluno B entenderia que 174 é 1 a menos que 175, então acrescentaria 
1 unidade ao segundo membro da igualdade, assim: (534 + 175 = 174 + 1 + 
534); concluindo que o valor procurado é 535.
4 O simbolismo, especialmente envolvendo equações e variáveis, é 
usado para expressar as generalizações aritméticas e a estrutura 
do sistema numérico. Por exemplo, a generalização de que (a + b) = 
(b + a) nos diz que 83 + 27 = 27 + 83 sem precisar calcular as somas 
em cada lado da igualdade. Em sua opinião, qual a melhor forma de 
introduzir esse simbolismo algébrico ao estudante e em que fase do 
processo de escolarização?
R.: Resposta particular, a critério do(a) acadêmico(a).
5 “As variáveis são símbolos que tomam o lugar de números ou domínio 
de números. Eles são usados para representar quantidades que 
variam ou mudam (variáveis), valores desconhecidos específicos 
(incógnitas) e como parâmetros em expressões ou fórmulas 
generalizadas.” (WALLE, 2009, p. 287).
 Como você explicaria a um aluno a diferença entre os conceitos de 
variável, incógnita e parâmetro? Dê um exemplo.
R.: Resposta particular, a critério do(a) acadêmico(a).
Em que exatamente essas duas respostas corretas são diferentes? 
R.: A diferença fundamental está em como os dois alunos fizeram uso da 
ideia de igualdade.
O aluno A utilizou o símbolo de igualdade de forma aritmética: verificou o 
resultado do segundo membro da igualdade e, buscou um número que 
subtraído de 7 faz com que a sentença se torne verdadeira.
O aluno B utilizou o símbolo de igualdade de forma algébrica: fazendo uso da 
noção de equação, procurou “equilibrar” os dois lados da sentença, buscando 
a incógnita que tornasse a sentença verdadeira. 
3 Como cada um dos alunos da questão anterior resolveria essa 
sentença aberta: 534 + 175 = 174 + ?
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TÓPICO 2
1 No ábaco dos inteiros, desenvolvido por Coelho (2005), você estudou 
vários exemplos de operações manipulando o material concreto. Um 
dos exemplos que você estudou foi a operação (-2) x (+3). Explique 
como se daria a sua comutativa, ou seja, (+3) x (-2). Esboce uma 
ilustração para se tornar compreensível.
R.: • Vamos iniciar com a representação do zero, colocando três argolas em 
cada uma das hastes. 
• A partir daí, acrescente um conjunto de duas argolas pretas (1 x (-2)); na 
sequência, outro conjunto de duas argolas pretas (1 x (-2)) e, novamente, outro 
conjunto de duas argolas (1 x (-2)), totalizando 9 argolas pretas e 3 cinzas. 
• Como cada argola cinza “anula” uma preta, o resultado será seis argolas 
pretas, o que simboliza (-6) como produto da operação.
2 Faça uso do modelo da reta numérica e dos contadores coloridos 
para calcular:
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a) (-10) + (+13) 
b) (-4) - (-9) 
c) (+6) - (-7) 
d) (-4) × (-3) 
e) (+15) ÷ (-5) 
f) (-12) ÷ (-3)
g) (-8) ÷ (+2) 
h) (+9) ÷ (-3)
R.: Representação a critério do(a) acadêmico(a).
3 Examine o sumário de livros didáticos de matemática para 6ª série 
(7º ano) do Ensino Fundamental de duas ou três editoras diferentes. 
Usando estes livros como guia, desenvolva um roteiro indicando 
como estes autores introduzem o ensino das operações com números 
inteiros relativos.
R.: Representação a critério do(a) acadêmico(a).
4 “O siri da figura a seguir anda para a esquerda, para a direita, para 
frente e para trás, mas não em diagonal. Todo dia ele sai da toca e 
vai tomar um banho de mar, sempre pelo mesmo caminho. Qual? Ele 
só passa de um número para outro maior.” 
a) Descubra o caminho dele! 
R.:
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b) Que conceitos a criança deverá dominar para resolver esta atividade?
R.: Ordem no conjunto dos números inteiros.
5 Analise a atividade proposta no quadrinho a seguir:
FONTE: Imenes; Jakubo; Lellis (1992, p. 42)
Que conceitos matemáticos estão envolvidos nesta atividade?
R.: Eles estão subindo a escada. A pista é simples: se x – y dá -5, é porque y 
é maior que x. Nesta atividade também a criança deverá dominar o conceito 
de ordenação no conjunto dos números inteiros.
6 Complete os quadradinhos com números inteiros de -4 a 4, sem 
repeti-los. Em todas as direções indicadas, a soma dos três números 
deve ser zero.
R.: 
1 2 -3
-4 0 4
3 -2 -1
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7 Em cada tijolo sem número, escreva um número. Da 2ª camada para 
cima, o número de cada tijolo é a soma dos números escritos nos 
dois tijolos em que ele se apoia.
R.:
8 Indique os conceitos matemáticos que a criança deve dominar para 
realizar as atividades propostas nas questões 5 e 6. Que obstáculos 
epistemológicos ela poderá se deparar ao realizar estas atividades?
R.: Operação de adição no conjunto dos Números Inteiros. 
Um dos obstáculos pode se referir à dificuldade em aceitar que a adição entre 
dois números pode gerar uma soma inferior às parcelas aditivas, no caso em 
que uma das parcelas é negativa.
TÓPICO 3
Questão única: Prezado(a) acadêmico(a)! As autoatividades a seguir 
foram elaboradas por Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas 
Batista, com a finalidade de mostrar algumas das inúmeras formas de 
aplicação do software GeoGebra como recurso didático.
Estas e muitas outras atividades estão disponíveis no site: <http://
www.es.cefetcampos.br/softmat/projetotic/download/atividades1/
apostilageogebra.pd>.
Baixe o software e tente executá-las. 
Atividade 1
a) Abra um arquivo novo.
b) Construa uma circunferência pelo centro e um de seus pontos.
c) Construa um quadrilátero convexo inscrito na circunferência traçada.
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d) Marque os ângulos internos do quadrilátero. Na janela algébrica aparecerá 
a medida destes ângulos.
e) Utilizando recursos do software, calcule a soma das medidas dos ângulos 
opostos, determinados no item anterior (no Campo de entrada, solicite a 
soma das medidas de cada par de ângulos, usando para isso as letras gregas 
apresentadas em uma janela à direita do campo de entrada. Tecle enter ao 
final de cada soma). Compare os resultados encontrados.
f) Movimente um dos vértices do quadrilátero (tendo o cuidado de preservar 
o quadrilátero convexo) e observe novamente as somas dos ângulos, na 
janela algébrica. 
g) Enuncie, com suas palavras, a propriedade que você observou.
R.:
Propriedade dos quadriláteros inscritos em uma circunferência: 
Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, então os ângulos 
opostos são suplementares, isto é, a soma dos ângulos opostos é 180º e a 
soma de todos os quatro ângulos é 360º.
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Atividade 2
a) Abra um arquivo novo.
b) Crie uma circunferência pelo centro (A) e um de seus pontos (B).
c) Marque dois outros pontos (C e D) da circunferência.
d) Marque um ponto E no interior da circunferência.
e) Trace EC e marque a outra interseção desta reta com a circunferência (F).
f) Trace EC e marque a outra interseção desta reta com a circunferência (G).g) Trace EC , EF , EF e EC e observe suas medidas na janela algébrica.
h) Utilizando recursos do software, determine o produto de EC por EG e o 
produto de EG por ED (no Campo de entrada solicite os referidos produtos 
utilizando as letras com as quais os segmentos foram nomeados e usando 
símbolo * para a multiplicação). Compare os produtos obtidos.
i) Movimente um dos pontos da circunferência e observe, novamente, os 
referidos produtos.
j) Enuncie, com suas palavras, a propriedade que você observou.
R.: 
Propriedade das cordas que se interceptam dentro de uma circunferência:
Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto 
E dentro da circunferência, então, o produto das medidas das duas partes de 
uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda. 
Por isso verificamos, na construção realizada, que: