PC_2019-1_EP05_Funcao Parte de Circulo ou Parabola_Funcao Composta

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EP 05 – 2019-1 – Função Parte de Círculo ou Parábola – Função Composta Pré-Cálculo 
 
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Maria Lúcia Campos 
Marlene Dieguez 
CEDERJ 
EP 05 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
Caro aluno. 
O tema "Função cujo gráfico é parte de um círculo ou de uma parábola. Como esboçar esse gráfico?" é 
mais um importante exemplo de como podemos obter novas e importantes funções. Esse tema está 
contemplado no livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4, nas Aulas 24 e 25, mas está diluído pelas 
aulas. Para ajudá-lo com esse tema, colocamos na introdução do EP05 um texto sobre esse assunto. 
E também vamos estudar as Funções Compostas! Esse tema está contemplado no livro de Pré-Cálculo, 
Volume 2, Módulo 4, na Aula 26. Vamos lá! 
Função cujo gráfico é parte de um círculo ou de uma 
parábola. Como esboçar esse gráfico? 
CIRCUNFERÊNCIA. LEMBRA DELA? 
Uma circunferência com centro no ponto 𝐶(𝑎, 𝑏). e raio 𝑟 é o 
conjunto de todos os pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) do plano que estão 
localizados à mesma distância 𝑟 do centro 𝐶(𝑎, 𝑏). 
Dessa definição, segue que: 𝑃(𝑥, 𝑦). 
𝑑(𝑃, 𝐶) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 ⟹ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 
A equação (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 é chamada equação reduzida da circunferência. 
Quando o centro da circunferência é a origem, 𝐶(0,0), 
a equação da circunferência será: (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑟2 ⟺ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência: 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 ⟺ 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏2 = 𝑟2 ⟺ 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0 
Fazendo 𝐷 = −2𝑎 , 𝐸 = −2𝑏, 𝐹 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2, a equação geral da circunferência será sempre do 
tipo: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 (coeficientes dos termos de grau 2 são iguais a 1) 
 
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Um círculo não é gráfico de uma função, 
pois retas verticais cortam esse gráfico em mais de um ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, o semicírculo superior é gráfico de uma função. 
 
 
 
 
 
 
Assim como o semicírculo inferior 
 
 
 
 
 
Como encontrar a expressão da função cujo gráfico é um semicírculo superior? E a expressão da função 
cujo gráfico é um semicírculo inferior? 
 
PROCEDEMOS DA SEGUINTE FORMA: 
EXEMPLO 1: 
Resolução: 
Dada a equação 𝑥2 + 𝑦2 = 4 do círculo de centro 𝐶(0, 0) raio 𝑟 = 2, vamos explicitar a variável 𝑦 em 
função da variável 𝑥. 
Observe que nesse caso, −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 e −2 ≤ 𝑦 ≤ 2 . 
 𝑥2 + 𝑦2 = 4 ⟺ 𝑦2 = 4 − 𝑥2 ⟺ √𝑦2 = √4 − 𝑥2 ⟺ |𝑦| = √4 − 𝑥2 
 
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• Se 𝑦 ≥ 0 , então |𝑦| = 𝑦, donde: 
|𝑦| = √4 − 𝑥2 e 𝑦 ≥ 0 ⟹ 𝑦 = √4 − 𝑥2. Esta é a expressão que define o semicírculo superior. 
 
Observe também que: 
4 − 𝑥2 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 ≤ 4 ⟺ √𝑥2 ≤ √4 ⟺ 
|𝑥| ≤ 2 ⟺ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 
 
Portanto, a função f cujo gráfico é o semicírculo superior de centro na origem e raio 𝑟 = 2 é a função 
𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2, onde o domínio da função é o intervalo [−2 , 2] e a imagem da função é o intervalo 
[0 , 2]. 
• Se 𝑦 ≤ 0 , então |𝑦| = −𝑦 donde: 
|𝑦| = √4 − 𝑥2 e 𝑦 ≤ 0 ⟺ −𝑦 = √4 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 = −√4 − 𝑥2 . 
Esta é a expressão que define o semicírculo inferior. 
Observe também que, como no caso anterior: 
4 − 𝑥2 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 ≤ 4 ⟺ √𝑥2 ≤ √4 ⟺ |𝑥| ≤ 2 ⟺
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 . 
 
Portanto, a função 𝑓, cujo gráfico é o semicírculo inferior de centro na origem e raio 𝑟 = 2, é a função 
𝑔(𝑥) = −√4 − 𝑥2, onde o domínio da função é o intervalo [−2 , 2] e a imagem da função é o intervalo 
[−2 , 0]. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
EXEMPLO 2: 
Resolução: 
Dada a equação 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 3 = 0 , encontre a curva que 
ela define. 
Para isso, vamos completar o quadrado na variável 𝑥 : 
 
 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4 + 𝑦2 + 3 = 0 ⟺ 
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 − 1 = 0 ⟺ (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 1 
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 1 define um círculo de 𝐶(2,0).e raio 𝑟 = 1. 
Observe que nesse caso, 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 e −1 ≤ 𝑦 ≤ 1 . 
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Como encontrar a expressão que define a função cujo gráfico é 
o semicírculo superior ao lado? 
Vamos explicitar a variável 𝑦 em função da variável 𝑥 na equação 
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 1: 
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 1 ⟺ 𝑦2 = 1 − (𝑥 − 2)2 ⟺ 
√𝑦2 = √1 − (𝑥 − 2)2 ⟺ |𝑦| = √1 − (𝑥 − 2)2 
Observe que, 1 − (𝑥 − 2)2 ≥ 0 ⟺ (𝑥 − 2)2 ≤ 1 ⟺ |𝑥 − 2| ≤ 1 ⟺ −1 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 1 
⟺ −1 + 2 ≤ 𝑥 ≤ 1 + 2 ⟺ 1 ≤ 𝑥 ≤ 3. 
Se 𝑦 ≥ 0 , então |𝑦| = 𝑦 e |𝑦| = √1 − (𝑥 − 2)2 ⟹ 𝑦 = √1 − (𝑥 − 2)2 . 
Esta é a expressão que define o semicírculo superior acima. 
Portanto, a função 𝑓(𝑥) = √1 − (𝑥 − 2)2 , 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [1 , 3] e 𝐼𝑚(𝑓) = [0 , 1] 
tem como gráfico o semicírculo superior de centro no ponto )0,2( e raio 𝑟 = 1. 
No outro caso, se 𝑦 ≤ 0 , então |𝑦| = −𝑦 e 
−𝑦 = √1 − (𝑥 − 2)2 ⟺ 𝑦 = −√1 − (𝑥 − 2)2 
com 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 e −1 ≤ 𝑦 ≤ 0 . 
 
Esta expressão define o semicírculo inferior ao lado. 
Portanto, a função 𝑔(𝑥) = −√1 − (𝑥 − 2)2 , 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [1 , 3] e 𝐼𝑚(𝑔) = [−1 , 0], tem como gráfico o 
semicírculo inferior de centro no ponto 𝐶(2 , 0) e raio 𝑟 = 1. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
EXEMPLO 3: 
Vamos considerar as funções 𝑓(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 1 − √9 − 𝑥2 . 
Sabendo que o gráfico de cada uma dessas funções é parte de uma curva conhecida, esboçar o gráfico 
de cada uma delas. 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥2 
Consideremos 𝑦 = 1 + √9 − 𝑥2 e vamos fazer algumas contas: 
𝑦 = 1 + √9 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 − 1 = √9 − 𝑥2 ⟹ ( 𝑦 − 1)2 = (√9 − 𝑥2 )
2
 ⟺ 
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( 𝑦 − 1)2 = 9 − 𝑥2 ⟺ 𝑥2 + ( 𝑦 − 1)2 = 9 . 
 
Esta é a equação reduzida de um círculo de centro 𝐶(0 , 1) e 
raio 𝑟 = 3. 
Observando o gráfico, temos que com −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 e 
 −2 ≤ 𝑦 ≤ 4 . 
De fato, sendo 𝑓(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥2 , temos que, 
9 − 𝑥2 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 ≤ 9 ⟺ √ 𝑥2 ≤ √9 ⟺ 
 |𝑥| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 . 
 Observe também que, √9 − 𝑥2 ≥ 0 e 𝑦 = 1 + √9 − 𝑥2 ≥ 1 
Assim, expressão 𝑦 = 1 + √9 − 𝑥2 define o semicírculo superior 
ao lado. 
Portanto a função 𝑓(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥2 é tal que o seu gráfico é o 
semicírculo superior de centro 𝐶(0 , 1) e raio 𝑟 = 3. 
Temos também que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−3 , 3] e 𝐼𝑚(𝑓) = [1 , 4] 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 𝑔(𝑥) = 1 − √9 − 𝑥2 
Consideremos 𝑦 = 1 − √9 − 𝑥2 e vamos fazer algumas contas: 
𝑦 = 1 − √9 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 − 1 = −√9 − 𝑥2 ⟹ ( 𝑦 − 1)2 = (−√9 − 𝑥2 )
2
 ⟺ 
( 𝑦 − 1)2 = 9 − 𝑥2 ⟺ 𝑥2 + ( 𝑦 − 1)2 = 9 . Esta é a equação reduzida de um círculo de centro 
𝐶(0 , 1) e raio 𝑟 = 3. 
Observe que, 
9 − 𝑥2 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 ≤ 9 ⟺ √𝑥2 ≤ √9 ⟺ |𝑥| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ 𝑥 ≤ 3 
Observe também que, 
√9 − 𝑥2 ≥ 0 e 𝑦 = 1 − √9 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 − 1 = −√9 − 𝑥2 ≤ 0 ⟺ 𝑦 − 1 ≤ 0 ⟺ 𝑦 ≤ 1. 
Assim, expressão 𝑦 = 1 − √9 − 𝑥2 define o semicírculo inferior ao lado. 
Portanto a função 𝑔(𝑥) = 1 − √9 − 𝑥2 é tal que 
o seu gráfico é o semicírculo inferior de centrono ponto 𝐶(0 , 1) e raio 𝑟 =
3. Assim, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [−3 , 3] e 𝐼𝑚(𝑔) = [−2 , 1]. 
 
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LEMBRAM DAS PARÁBOLAS? 
Vamos recordar parábolas definidas por equações do tipo: 
▪ 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 ≠ 0 que são parábolas com eixo de simetria vertical (paralelo ao eixo 𝑦), 
cuja concavidade estará voltada para cima se 𝑎 > 0 e voltada para baixo se 𝑎 < 0. Completando o 
quadrado na variável 𝑥, reescrevermos a equação acima na forma canônica 𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0)
2, 
identificando o seu vértice, que é o ponto (𝑥0 , 𝑦0) e o seu eixo de simetria, que é a reta 𝑥 = 𝑥0. Essas 
parábolas são gráficos de funções. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑎 = 1 > 0 𝑎 = −1 < 0 
 
▪ 𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 que são parábolas com eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo 𝑥), 
com concavidade voltada para direita se 𝑎 > 0 e voltada para esquerda se 𝑎 < 0. Completando o 
quadrado na variável 𝑦, reescrevermos a equação acima na forma canônica 𝑥 − 𝑥0 = 𝑎(𝑦 − 𝑦0)
2, 
identificando o seu vértice, que é o ponto (𝑥0 , 𝑦0) e o seu eixo de simetria, que é a reta 𝑦 = 𝑦0. Essas 
parábolas não são gráficos de funções. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑎 = −1 < 0 𝑎 = 1 > 0 
 
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EXEMPLO 4: 
Vamos agora considerar as funções 𝒉(𝒙) = 𝟏 + √𝟗 − 𝒙 .e 𝒋(𝒙) = 𝟏 − √𝟗 − 𝒙 . 
Sabendo que o gráfico de cada uma dessas funções é parte de uma curva conhecida, esboçar o gráfico 
de cada uma delas. 
Resolução: 
a) ℎ(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥 
Consideremos 𝑦 = 1 + √9 − 𝑥 e vamos fazer algumas contas: 
𝑦 = 1 + √9 − 𝑥 ⟺ 𝑦 − 1 = √9 − 𝑥 ⟹ ( 𝑦 − 1)2 = (√9 − 𝑥 )
2
 ⟺ ( 𝑦 − 1)2 = 9 − 𝑥 ⟺ 
𝑥 − 9 = −( 𝑦 − 1)2 . 
 
Esta é a equação canônica de uma parábola com 
eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo 𝑥), 
cuja concavidade está voltada para esquerda, 
já que 𝑎 = −1 < 0 e o seu vértice é o ponto (9,1). 
 
Considerando a função ℎ(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥 , observe que, 9 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 9 
e observe também que, √9 − 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 = 1 + √9 − 𝑥 ≥ 1 
 
 
Portanto, a função ℎ(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥 
é tal que 𝑥 ≤ 9 e 𝑦 ≥ 1 e o seu gráfico é: 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
Temos uma outra forma de saber qual ramo da curva parábola devemos considerar. Podemos escolher 
um ponto de cada ramo da curva para testar se suas coordenadas satisfazem a função dada. Neste caso, 
podemos, por exemplo, escolher os pontos 𝐴(0 , 4) e 𝐵(0 , −2) . 
Testando o ponto 𝐵(0 , −2): 
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ℎ(0) = 1 + √9 = 1 + 3 = 4 ≠ −2 . Portanto, o gráfico da função ℎ(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥 não é o ramo 
da parábola que contém o ponto 𝐵(0 , −2) . 
Como ℎ(0) = 1 + √9 = 1 + 3 = 4 , então o gráfico da função ℎ(𝑥) = 1 + √9 − 𝑥 contém o ponto 
𝐴(0 , 4) e é o gráfico que já mostramos acima. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 𝒋(𝒙) = 𝟏 − √𝟗 − 𝒙 
Consideremos 𝑦 = 1 − √9 − 𝑥 e vamos fazer algumas contas: 
𝑦 = 1 − √9 − 𝑥 ⟺ 𝑦 − 1 = −√9 − 𝑥 ⟹ ( 𝑦 − 1)2 = (−√9 − 𝑥 )
2
 
 ⟺ ( 𝑦 − 1)2 = 9 − 𝑥 ⟺ 𝑥 − 9 = −( 𝑦 − 1)2 . 
Esta é a equação da parábola encontrada no item a), cuja concavidade está voltada para esquerda, já que 
 𝑎 = −1 < 0 e o vértice no ponto (9, 1) . 
Considerando a função 𝑗(𝑥) = 1 − √9 − 𝑥 , observe que, 9 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 9 e observe 
também que, √9 − 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 = 1 − √9 − 𝑥 ⟹ 𝑦 − 1 = −√9 − 𝑥 ≤ 0 ⟺ 
 𝑦 − 1 ≤ 0 ⟺ 𝑦 ≤ 1 . 
Portanto a função 𝑗(𝑥) = 1 − √9 − 𝑥 é tal que 𝑥 ≤ 9 e 𝑦 ≤ 1 e o seu gráfico é: 
 
Observe que as coordenadas do ponto 𝐵(0 , −2), 
satisfazem a função 𝑗(𝑥) = 1 − √9 − 𝑥 . 
𝑗(0) = 1 − √9 − 0 = 1 − √9 = 1 − 3 = −2. 
 
FUNÇÕES COMPOSTAS 
Já vimos que podemos combinar duas funções 𝑓 e 𝑔 para formar novas funções. Por exemplo: 
𝑓 + 𝑔 , 𝑓 − 𝑔 , 𝑓 × 𝑔 ,
 𝑓 
𝑔
 . 
Vamos falar de uma outra de forma de combinar duas funções 𝑓 e 𝑔: composição de funções. 
Em geral, dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, para construir a nova função, que chamamos de 𝑓 composta com 
𝑔 e denotamos por 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑓 bola 𝑔), começamos com um número 𝑥 no domínio de 𝑔 e encontramos 
sua imagem 𝑔(𝑥). Se esse número 𝑔(𝑥) estiver no 𝐷𝑜𝑚(𝑓), então podemos calcular o valor de (𝑓 ∘
𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). E é assim que construímos essa nova função, a composição (ou composta) de 𝑓 e 𝑔, 
denotada por 𝑓 ∘ 𝑔. 
 
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Preste atenção: A notação 𝑓 ∘ 𝑔 significa que a primeira função a ser aplicada é a 𝒈 e depois é 
a função 𝒇. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, temos a definição: 
Dadas 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟶ ℝ e 𝑔: 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ⟶ ℝ , a composição (ou composta) de 𝑓 e 𝑔 
é a função: 
𝑓 ∘ 𝑔: 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ⟶ ℝ definida por: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), para 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔), tal que 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓). 
 
O domínio de 𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto dos 𝑥 no domínio de 𝑔 tais que 𝑔(𝑥) está no domínio de 𝑓 . 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 ∘ 𝑔) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔): 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)} = 
= {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)} ∩ {𝑥: 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)} 
Note que, 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
Você também pode procurar o domínio da função composta, por exemplo 𝑓 ∘ 𝑔 , da seguinte forma: 
▪ Primeiro: analisar a expressão da função 𝑓 ∘ 𝑔 para encontrar o conjunto 𝑪 
 dos números reais que satisfazem essa expressão, isto é, 
 encontrar o domínio da expressão da função composta. 
▪ Segundo: é preciso comparar esse conjunto 𝑪 com 𝑫𝒐𝒎(𝒈), pois 
 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
 Quando C não é igual ao 𝐷𝑜𝑚(𝑔) e 
 nem está contido no 𝐷𝑜𝑚(𝑔), 
 então 𝑫𝒐𝒎(𝒇 ∘ 𝒈) = 𝑪 ∩ 𝑫𝒐𝒎(𝒈). 
 
PRESTE BEM ATENÇÃO: para encontrar o domínio da função composta não basta encontrar o 
domínio da expressão da função composta. 
Os exemplos 2 e 3, a seguir, ilustrarão bem essa situação. 
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Exemplo 1: Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 
Encontre as expressões (ou leis de formação) das funções compostas 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 e 
seus respectivos domínios. 
Encontrando a expressão (ou lei de formação) de cada composta: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)3 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥3) = 𝑥3 − 2 
Note que 𝑓 ∘ 𝑔 é a função que primeiro subtrai 2 e então eleva ao cubo e 𝑔 ∘ 𝑓 é a função que primeiro 
eleva ao cubo e então subtrai 2 . 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 são funções polinomiais, então: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑔) = ℝ 
As expressões das funções 𝑓 e 𝑔 que definem as funções compostas (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑥 − 2)3 e 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥3 − 2 também são polinômios e portanto, não temos restrições a fazer: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ e 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exemplo 2: Considere a função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1,, com domínio restrito a 𝑥 ≥ 0 e a função 𝑓(𝑥) =
 √𝑥 . 
Encontre as expressões (ou leis de formação) das funções compostas 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 e 
seus respectivos domínios. 
Resolução: 
Sendo 𝑓(𝑥) = √𝑥 , então 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0 , +∞) e sendo 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1, 𝑥 ≥ 0, então 
 𝐷𝑜𝑚(𝑔)= [0, ∞). 
 
Determinando a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 : (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2 − 1) = √𝑥2 − 1 . 
Para determinar o domínio de 𝑓 ∘ 𝑔 , primeiro, vamos determinar o domínio da expressão da função 
composta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1 .. 
É preciso que 𝑥2 − 1 ≥ 0 , para que √𝑥2 − 1 seja calculada. 
Como o gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 1 é uma parábola de concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do 
termo 𝑥2 é 1 > 0 e de raízes 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1, então 𝑥2 − 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1. 
Portanto o domínio da expressão da composta 𝑓 ∘ 𝑔 é (−∞ , −1] ∪ [1 , +∞) . 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0 , +∞) , então 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = [(−∞ , −1] ∪ [1 , +∞)] ∩ [0 , +∞) = [1 , +∞). 
Observe que nesse caso, o domínio da composta é diferente do domínio da função que começou a 
composição, ou seja, 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = [1 , +∞) ≠ [0 , +∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔). 
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Determinando a expressão de 𝑔 ∘ 𝑓 ∶ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√𝑥 ) = (√𝑥 )
2
− 1 = 𝑥 − 1 . 
Para determinar o domínio de 𝑔 ∘ 𝑓 , primeiro, observamos que o domínio da expressão da função 
composta (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 − 1 é ℝ. 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0 , +∞) , então, 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ ∩ [0 , +∞) . 
Neste caso 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = [0 , +∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exemplo 3: Sejam 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥−1
 𝑒 𝑔 (𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1
. 
Encontre as expressões das funções compostas 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 e seus respectivos 
domínios. 
Sendo 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥−1
 , então 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {1} e sendo 𝑔(𝑥) = 
𝑥−1
𝑥+1
 , então 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {−1}. 
 
Determinando a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 : 
(𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ( 
𝑥 − 1
𝑥 + 1
) = 
1
 
𝑥 − 1
𝑥 + 1 − 1 
= 
1
 
𝑥 − 1 − (𝑥 + 1)
𝑥 + 1 
= 
𝑥 + 1
−2
= −
1
2
 (𝑥 + 1) 
Para determinar o domínio de gf  , primeiro, observamos que o domínio da expressão da função 
composta (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = −
1
2
 (𝑥 + 1) é ℝ . 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {−1} , então 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ ∩ ℝ − {−1} = ℝ − {−1}. 
 
Neste caso 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ℝ − {−1} = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) . 
Determinando a expressão de 𝑔 ∘ 𝑓 : 
 
(𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 ( 
1
𝑥 − 1
) = 
1
𝑥 − 1 − 1
 
1
𝑥 − 1 + 1 
= 
1 − (𝑥 − 1)
𝑥 − 1
 
1 + (𝑥 − 1)
𝑥 − 1 
= 
−𝑥 + 2
𝑥
 
Primeiro, observamos que o domínio da expressão da função composta (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) =
−𝑥+2
𝑥
 é ℝ − {0}. 
Como 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {1} , então 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {0} ∩ ℝ − {1} = ℝ − {0 , 1} . 
Neste caso 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {0 , 1} ≠ ℝ − {1} = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) . 
 
Preste atenção: Dos exemplos anteriores concluímos que em geral, 
 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 
Portanto, a ordem na qual as funções são compostas, em geral, faz 
diferença. A operação de composição de funções não é comutativa. 
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Exemplo 4: Para cada uma das funções abaixo, escreva ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥), com 𝑓 e 𝑔 diferentes da 
identidade. 
a) ℎ(𝑥) = (𝑥3 + 5)7 b) ℎ(𝑥) = √1 − 𝑥2 c) ℎ(𝑥) = 
2
𝑥−3
 d) ℎ(𝑥) = 2|𝑥| − 5 
 
Resolução: 
 
a) Se ℎ(𝑥) = (𝑥3 + 5)7 então 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 5 e 𝑓(𝑥) = 𝑥7. De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥3 + 5) = (𝑥3 + 5)7 . 
b) Se ℎ(𝑥) = √1 − 𝑥2 então 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥2 e 𝑓(𝑥) = √𝑥 . De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(1 − 𝑥2) = √1 − 𝑥2 . 
c) Se ℎ(𝑥) =
2
𝑥−3
 então 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 e 𝑓(𝑥) =
2
𝑥 
 . De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 3) = 
2
 𝑥−3 
 . 
d) Se ℎ(𝑥) = 2|𝑥| − 5 então 𝑔(𝑥) = |𝑥| e 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 . De fato: 
 ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(|𝑥| ) = 2|𝑥| − 5 . 
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Exemplo 5: Considere as funções: 
 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 𝑔(𝑥) = {
1
 𝑥 
 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
√𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
a) Encontre as expressões das funções ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) e 𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥). 
b) Esboce os gráficos de 𝑓 , 𝑔 , 𝑓 ∘ 𝑔 , 𝑔 ∘ 𝑓 . 
Resolução: 
a) Vamos encontrar a expressão de ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) . 
Vamos considerar a partição do domínio da função ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) , como a partição do domínio da 
função 𝑔 , a função que inicia a composição: 
▪ Se 𝑥 < 0 ∶ então 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 e 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ( 
1
𝑥
 ) = −
1
𝑥
 , se 𝑥 < 0 então 
1
𝑥
< 0 também. 
▪ Se 𝑥 > 0 ∶ então 𝑔(𝑥) = √𝑥 e 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓( √𝑥 ) = (√𝑥 )
2
= 𝑥 , pois √𝑥 > 0 . 
EP 05 – 2019-1 – Função Parte de Círculo ou Parábola – Função Composta Pré-Cálculo 
 
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▪ Se 𝑥 = 0 então 𝑔(0) = √0 = 0 e 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(0) = 𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(√0 ) = 𝑓(0) = 02 = 0 . Logo, 
 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) = {−
1
𝑥
 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Vamos considerar a partição do domínio da função 𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) , como a partição do domínio da 
função 𝑓 , a função que inicia a composição: 
▪ Se 𝑥 < 0 ∶ então 𝑓(𝑥) = −𝑥 e 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(−𝑥 ) = √−𝑥 , se 𝑥 < 0 então − 𝑥 > 0 e temos que 
usar a lei de formação da função 𝑔 para valores positivos da variável de 𝑔 . 
▪ Se 𝑥 > 0 ∶ então 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e: 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2) = √𝑥2 = |𝑥| = 𝑥 , pois, como 𝑥2 > 0 , temos 
que usar a lei de formação da função 𝑔 para valores positivos da variável de 𝑔 . Sendo 
inicialmente 𝑥 > 0 , |𝑥| = 𝑥 . 
▪ Se 𝑥 = 0 então 𝑓(0) = 02 = 0 e 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(0) = 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(02) = √0 = 0 . Logo, 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) = {√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
 
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b) Vamos esboçar os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 6: 
Use os gráficos dados de 𝑓 e 𝑔 para determinar o valor de cada uma das expressões abaixo ou para 
explicar por que elas não estão definidas. 
a) (𝑔 ∘ 𝑓)(2) b) (𝑓 ∘ 𝑔)(0) 
c) 𝑔(𝑓(0)) d) (𝑔 ∘ 𝑓)(6) 
e) 𝑔(𝑔(−2)) f) 𝑓(𝑓(2)) 
Resolução: 
As informações para resolver os itens acima serão 
encontradas nos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 ao 
lado. Dado um valor para a abscissa 𝒙 é só 
procurar a ordenada 𝑓(𝑥) ou 𝑔(𝑥) 
correspondente, conforme seja o caso e se existir, 
é claro! 
a) (𝑔 ∘ 𝑓)(2) = 𝑔(𝑓(2)) = 𝑔(−2) = 1 
b) (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(3) = 0 
c) 𝑔(𝑓(0)) = 𝑔(0) = 3 
d) (𝑔 ∘ 𝑓)(6) = 𝑔(𝑓(6)) = 𝑔(6). Como 𝑥 = 6 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , então a composição (𝑔 ∘ 𝑓)(6) não 
pode ser calculada. 
e) 𝑔(𝑔(−2)) = 𝑔(1) = 4 
f) 𝑓(𝑓(2)) = 𝑓(−2) . Como 𝑥 = −2 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) , então a composição (𝑓 ∘ 𝑓)(2) não podeser 
calculada. 
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E agora, aos exercícios: 
 
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Exercício 1: Nas equações a seguir, complete o quadrado na variável adequada e encontre o vértice e o 
eixo de simetria das parábolas definidas por essas equações. Esboce os gráficos dessas parábolas. 
Dê e expressão de cada uma das seis funções, cujos gráficos são os ramos superior e inferior dessas três 
parábolas a seguir. 
a) 𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦 − 3 = 0 b) 𝑦2 − 4𝑦 + 5 − 𝑥 = 0 c) 𝑦2 − 𝑥 − 4 = 0 
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Exercício 2: Encontre a equação reduzida das seguintes circunferências. Identifique o seu centro e o seu 
raio. 
a) 2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 4𝑦 = 0 b) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 = 0 
Dê e expressão de cada uma das seis funções, cujos gráficos são os semicírculos superior e inferior 
dessas três circunferências acima. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Sabendo que o gráfico de cada uma dessas funções é parte de uma curva conhecida, esboce 
o gráfico de cada uma delas. Explique a construção desses gráficos identificando as curvas que dão origem 
aos mesmos. Desenhe essas curvas. 
a) 𝑓(𝑥) = −√9 − (𝑥 + 2)2 b) 𝑔(𝑥) = √4 − (𝑥 − 1)2 − 2 
c) ℎ(𝑥) = −√𝑥 + 1 − 1 d) 𝑗(𝑥) = −2√1 − 𝑥 + 3 
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Exercício 4: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma 
função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em 
torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
b) 𝑓(𝑥) = 2√1 − 𝑥2 b) 𝑓(𝑥) =
1
2
√1 − 𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) = √1 − (2𝑥)2 d) 𝑓(𝑥) = √1 − (
1
2
𝑥)
2
 e) 𝑓(𝑥) =
1
2
√1 − (
1
2
𝑥)
2
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Complete a tabela a seguir e dê os domínios das respectivas )()( xgf  . 
 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 
a) 𝑥 − 7 √𝑥 ? 
b) 
𝑥
 𝑥 − 1 
 
𝑥
 𝑥 − 1 
 ? 
c) 
1
 𝑥 
 ? 𝑥 
d) ? 2𝑥 + 1 2𝑥2 + 4𝑥 + 1 
e) 𝑥2 − 4𝑥 ? |𝑥 − 2| 
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Exercício 6: Para cada uma das funções abaixo, escreva )()()( xgfxj = , com f e g diferentes da 
identidade. 
a) 𝑗(𝑥) = (1 + 𝑥4)
2
3 b) 𝑗(𝑥) =
1
√𝑥−𝑥3
5 
c) 𝑗(𝑥) = |𝑥 − 4| − 1 
 
 d) 𝑗(𝑥) = 𝑥2 + |𝑥| − 6 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: 
I) Sejam 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
 𝑥+1 
 e 𝑔(𝑥) =
1
 𝑥−1 
 
a) Encontre (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) e (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) 
b) O domínio natural da função ℎ(𝑥) = 
3−𝑥
𝑥
 é o mesmo da função (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ? Explique. 
 
II) Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 5(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) . Se 𝑔(1) = 2 , obtenha os valores de: 
a) 𝑔(2) b) 𝑔(3) c) 𝑔(0) d) 𝑔(−1). 
e) Conhecendo os valores de 𝑔(3) , 𝑔(2) , 𝑔(1) , 𝑔(0) , 𝑔(−1) , você é capaz de intuir uma fórmula 
para 𝑔(𝑛) , ∀ 𝑛 ∈ ℤ ? 
Nesse momento do curso, você ainda não pode provar uma lei para 𝑔(𝑛) , ∀ 𝑛 ∈ ℤ , mas é importante 
tentar fazer uma conjectura, uma proposta, já é um primeiro passo. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 8: Considere as funções: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1 
−(𝑥 − 1)2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 𝑔(𝑥) = {−√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
 
a) Encontre as expressões das funções ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔 )(𝑥) e 𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) . 
b) Esboce os gráficos de 𝑓 , 𝑔 , 𝑓 ∘ 𝑔 , 𝑔 ∘ 𝑓 . 
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Exercício 9: 
Use os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 dados a seguir e determine 
o valor de cada uma das expressões apresentadas nos itens 
abaixo. Justifique sempre que não for possível determinar 
algum desses valores. 
a) (𝑓 ∘ 𝑔 )(2) b) (𝑓 ∘ 𝑔 )(0) 
c) ))3(( fg d) (𝑔 ∘ 𝑓 )(5) 
e) 𝑔(𝑔(−2)) f) 𝑓(𝑓(5)) 
 
 
 
 
Bom trabalho!