SOLUÇÃO P3-PROBEST_2011-1

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P3 - Probabilidade e Estatística – 2011.1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras 
 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
1.1- 5 = (X1, X2,... Xn), n observações de uma v.a. X. Qual a condição que 
estas observações devem satisfazer para que ela seja considerada uma amostra 
aleatória. 
SOLUÇÃO 
A olução é qu l m “iid” ind nd n id n ic m n di ribuíd . 
 
1.2- (0,5 pts) Seja X ~Qui-quadrado 1 . Qu l é Prob 4 87 ≤ X ≤9 34 ? 
 
 
-Pela tabela“χ2”, n-1=10 
 
a= 4,87 e b=9,34 
 
 
90,0
 
 (1-α)= 0,40 
 
 
 
 50,0 
 
 a= 4,87 b=9,34 
 
- Intervalo de confiança [1-α] = 0,40 
 
 
 
 
1.3- (0,5 pt) Qual a diferença entre as densidade Normal e T-Student. Em que 
situação elas ficam aproximadamente iguais? 
 
SOLUÇÃO 
A t-student é quando a sua curva com relação a Normal é mais achatada, e 
quando o seu grau de liberdade passa a ser >30 ela vira uma Normal. 
 
 
 
 
 
1.4- (0.5 pt) Qual a relação entre Correlação e Independência entre duas ou mais 
variáveis? 
 
SOLUÇÃO 
Para as variáveis serem Independentes a correlação entre elas é sempre igual a 
zero (elas não se correlatam), mas nem sempre podemos dizer que quando a 
Correlação é igual a zero as variáveis são Independentes. 
 
 
 
Problema 2 (2,0 pts) 
Seja 
)(~ EXPX
; λ> > . C lcul : 
 
a) (1.5 pt.) - Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste 
modelo, mostrar todos os passos da solução. 
 
b) (0.5 pt.) - Admitindo-se que a = (2.3, 3.0, 2.6, 2.2, 2.4) qu l ri o v lor d “ λ ”. 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
a) (1.5 pt.) - Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste 
modelo, mostrar todos os passos da solução. 
 
 
X ~ Exponencial (θ) 
 
 
 
 
 
Obtenção da função de verossimilhança “

” 
 
L(

 ) = f(x1, x2,...xn) 
 
 = 
    
n
i
x
1
.exp. 
 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
l(

 ) = log[ L(

 )] 
  0 e 0 onde .exp.),(  xxxf i 
 
 
 = log 
    
n
i
x
1
.exp. 
 
 = log







  

n
i
ixn e 1
)(
.


 
 = n log

 -
)(
1


n
i
ix
 
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “

” 
 
1ª derivada - 



n
i
ix
nl
1

 
Iguala a zero - 
0

l
 
 
0
1
 

n
i
ix
nl

  

n
x
n
i
i 
1
 

 



n
i
ix
n
1

 
 Substituir 
MV
^
  então 
X
MV
1^

 
 
 
 
b) (0.5 pt.) - Admitindo-se que a = (2.3, 3.0, 2.6, 2.2, 2.4) qu l ri o v lor d “ λ ”. 
 
~
X
= (2.3, 3.0, 2.6, 2.2, 2.4) 
 
 = 
 
4,0
5,2
11^

X
MV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5,2
5
5,121
1
 

n
i
iX
n
X
 
Problema 3(3.0 pts) 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 
f(x, y) = c.x.y.exp{ -x2 - y2} para x  0, y  0 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
SOLUÇÃO 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
 
 
1.).,(),(
0 0
  
 
dydxyxfyxf
 
 
  1.....
0 0
22
 
 
 dydxeyxc yx
 

 
  1....
0 0
22






 
 
 dydxexeyc
y x
xy
 
 
1..
2
1
..
00
22









 dyeeyc
y
xy
 

 
1.
2
..
0
2



 
dy
eyc
y y 
 
1.
2
1
2 0
2







 ye
c  
1
4

c
 

 c=4 
 
b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
0




 , onde 
0
0


y
x
 
 
 dyeeyxxf
y
y
yx .....4)(
0
22




 

 
 dyeyexxf yx ....4)(
0
22



 

 









0
22
2
1
..4)( yx eexxf
 
 






 
222 0
2
1
2
1
..4)( eeexxf x
 

 
2
1
...4)(
2xexxf 
 

 
2
..2)( xexxf 
 
 
 
 c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
 
 
Analogamente a marginal de Y segue a Marginal de X, ou seja: 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
0




 , onde 
0
0


y
x
 
 
 dxeeyxyf
x
x
yx .....4)(
0
22




 

 
 dxexeyyf xy ....4)(
0
22



 

 









0
22
2
1
..4)( xy eeyyf
 

 
 






 
222 0
2
1
2
1
..4)( eeeyyf y
 

 
2
1
...4)(
2yeyxf 
 

 
2
..2)( yeyyf 
 
 
 
d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
)(
),(
)(
yf
yxf
yYXf 
 , onde 
0
0


y
x
 
 
2
22
..2
...4
)(
y
yx
ey
eyx
yYxf



 

 
2
..2)( xexyYXf 
 
 
 
e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
22
....4),( yx eeyxyxf 
 
 
  22 ..2...2)().( yx eyexyfxf 
 
 
22
....4)().( yx eeyxyfxf 
 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y são independentes. 
 
 
Problema 4 ( 3.0 pts) 
4.1- um v riáv l l óri con ínu qu gu um Norm l com médi “μ” 
V riânci “σ2” mb d conh cid . 
 = (3. 7, 2. 4, 4. 9, 6. 8, 5. 2), uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população: 
 Pede-se: 
 
a)- (1.0 pt) O in rv lo d confi nç o nív l d ignificânci d 7 % 9 % r “μ”. 
 
b)- 1. O in rv lo d confi nç o nív l d ignificânci d 9 % 99% r “σ2”. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
VARIÂNCIA: 
 
 = 6 
 
DESVIO PADRÃO: 
2s
 
6
 
MÉDIA: 
X
= 


n
 5 
 
a) O in rv lo d confi nç o nív l d ignificânci d 7 % 9 % r “S”. 
 
X
= 5 
 S = 
6
 
n=10 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Desconhecido - Caso II 
 - TABELA “T” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1






 
n
S
tX
n
S
tX
n
S
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 70% 
 
 Tabela “t” - 
100,12/1,1  nt 
 
 
 (1-α)=0,70 
 
 
 
 15,0
2


 
 
 100,121,1  nt 
 
 
 
 
 
 
 [ 4,148 ; 5,852 ] 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 90% 
 
 Tabela “t” - 
833,12/1,1  nt 
 
 (1-α)=0,90 
 
 
 
 05,0
2


 
 
 833,121,1  nt 
 
 
 
 
 
 
 [ 3,58 ; 6,42 ] 
 
 








 
10
6
100,15;
10
6
100,1521,1
n
S
tXIC n 
 
n
S
tXIC n 2/1,1 
 
n
S
tXIC n 2/1,1 








 
10
6
833,15;
10
6
833,1521,1
n
S
tXIC n 
 
 
 
b)- 1. O in rv lo d confi nç o nív l d ignificânci d 9 % 99% r “ 2”. 
S
2
 = 6 
n=10 
 
IC para a Variância 
 
 - TABELA “χ2” 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 90% 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,90 
 
 
 
 05,0
2


 
 
 
 a= 3,33b=16,92 
 
 
 
 
 
 
 [ 3,19 ; 16,22 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
   











 


33,3
69
92,16
6911
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
IC
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
  05,0Pr 2 1  bn
  95,0Pr 2 1  an
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 99% 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,99 
 
 
 
 005,0
2


 
 
 
 a= 1,735 b=23,6 
 
 
 
 
 
 [ 2,29 ; 31,12 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IC
  005,0Pr 2 1  bn
  995,0Pr 2 1  an
   











 


735,1
69
6,23
6911
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
 
 
4.2- Uma certa empresa de pesquisa resolveu analisar 2 resultados distintos das alturas dos 
estudantes de Engenharia Civil da PUC e da UFRJ, tomou-se uma amostra de 20 alunos da 
PUC e 18 alunos da UFRJ, e obteve os seguintes resultados amostrais: 
 Puc = 1,78m SPuc= 0,5m 
 UFRJ = 1,72m SUFRJ = 0,6m 
Pede-se: 
 
O Intervalo de confiança para a diferença das médi d du univ r id d μPuc –μUFRJ) ao 
nível de significância de 90%. Pelo resultado pode-se afirmar que a média das alturas dos 
alunos da PUC é estatisticamente maior do que a média da UFRJ? 
 
 
SOLUÇÃO 
 
PUC : n=20 Puc = 1,78 SPuc= 0,50 
UFRJ: n=18 UFRJ = 1,72 SUFRJ = 0,60 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
 
g = n + m – 2 = 36 
 b l “Z” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 90% 
 
 Tabela “Z” - 
64,12/1 z 
 
 (1-α)=0,90 
 
 
 
 05,0
2


 
 
 64,12/1 z 
 















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -0,2327 ; 0,35274 ] 
 
 
 
Não, O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas 
podem ser iguais ao nível de significância de 90%. 
 
 
 
 
BOA SORTE!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   





 







36
6,0175,019
.
18
1
20
1 22 xx
R
     
  
















2
S.1S.1
.
11
2
UFRJ
2
PUC
mn
mn
mn
R
1785,0R
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   
    1785,064,172,178,121 xRzYXIC  
IC
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
 
Tabelas