analise Rn - prova 1

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Análise no Rn
Questão 1 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Definimos a bola aberta, a bola fechada (disco) e a esfera, todos com centro a e raio r,
como os conjuntos, respectivamente:
B(a,r)={x∈Rn;|x−a|}
B[a,r]={x∈Rn;|x−a|≤r}
S[a,r]={x∈Rn;|x−a|=r}
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 01 - Topologia do Espaço Euclidiano, assinale a
alternativa que relaciona, corretamente, os três conjuntos.
A
B[a,r]=B(a,r)∪S[a,r]
A união da bola aberta com a esfera resulta na bola fechada, conforme Aula 01 -
Topologia do Espaço Euclidiano.
B B[a,r]=B(a,r)∩S[a,r]
C B(a,r)=B[a,r]∪S[a,r]
D S[a,r]=B(a,r)∪B[a,r]
E B(a,r)=B[a,r]∩S[a,r]
Questão 2 - Analise no Rn
Observe o seguinte problema:
Buscamos maximizar V=x1x2x3 com uma restrição dada por
 g(x1,x2,x3)=2x1x3+2x2x3+x1x2=12.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 03 - Funções Implícitas, assinale a alternativa que
apresenta os valores de x1,x2,x3 que maximizam V.
A x1=1,x2=2,x3=2
B x1=2,x2=2,x3=2
C
x1=2,x2=2,x3=1
A partir do método de multiplicadores de Lagrange, encontramos λ=1/2,
conforme a Aula 03 - Funções Implícitas.
D x1=2,x2=1,x3=2
E x1=1,x2=1,x3=1
Questão 3 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Dizemos que um ponto a∈X⊂Rn é um ponto interior se, ∃r>0,B(a,r)⊂X. Note que, um
ponto que não é interior, é ponto de exterior ou ponto de fronteira.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 01 - Topologia do Espaço Euclidiano, assinale a
alternativa que apresenta uma característica válida dos pontos de fronteira.
A
Para qualquer ponto de fronteira, qualquer bola de centro nele possui pontos de
X, mas não de seu complemento, Rn−X.
B
Para qualquer ponto de fronteira, qualquer bola de centro nele não possui pontos
de X mas possui de seu complemento, Rn−X.
C
Para qualquer ponto de fronteira, qualquer bola de centro nele possui pontos de
X e de seu complemento, Rn−X
Sendo ponto de fronteira, qualquer bola escolhida com r>0 deverá conter pontos
interiores e exteriores. Aula 01 - Topologia do Espaço Euclidiano.
D
Para qualquer ponto de fronteira, existe uma única bola de centro nele que
possui pontos de X e de seu complemento, Rn−X.
E
Para qualquer ponto de fronteira, existe uma única bola de centro nele que
possui pontos de X mas não de seu complemento, Rn−X.
Questão 4 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Para que um caminho f:I→Rn seja diferenciável em determinado ponto to∈I, deve existir o
limite conhecido como derivada, definido por:
Considerando os conteúdos da Aula 02 - Cálculo Diferencial de Caminhos, assinale a
 alternativa que indica a condição necessária para que o caminho seja diferenciável como
um todo.
A
Para que o caminho, f:I→Rn, seja diferenciável como um todo, é necessário que
seja diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Essa é a condição de diferenciabilidade para todos os pontos, conforme a Aula
02 - Cálculo Diferencial de Caminhos.
B
Para que o caminho, f:I→Rn, seja diferenciável como um todo, é necessário que
seja diferenciável em todos os pontos de sua imagem.
C
Para que o caminho, f:I→Rn, seja diferenciável como um todo, é necessário que
seja diferenciável em todos os pontos de seu contradomínio.
D
Para que o caminho, f:I→Rn, seja diferenciável como um todo, é necessário que
seja diferenciável em alguns pontos de seu domínio.
E
Para que o caminho, f:I→Rn, seja diferenciável como um todo, é necessário que
seja diferenciável em alguns pontos de sua imagem.
Questão 5 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Definimos que X⊂Rn é um conjunto limitado quando X⊂B[a,r]. De forma equivalente,
note que B[a,r]⊂B[0,k] em que k=r+|a|.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 01 - Topologia do Espaço Euclidiano, assinale a
alternativa que apresenta um teste que pode ser realizado para verificar a continuidade de
determinado conjunto.
A X é um conjunto limitado quando ∀K∈R, tal que |x|≤k,∀k∈R
B X é um conjunto limitado quando ∃K∈R, tal que |x|≤k,∀k∈R.
Sendo nenhum dos elementos do conjunto X exteriores à alguma bola fechada,
então confirmamos que o conjunto é limitado, conforme a aula 01 - Topologia do
Espaço Euclidiano.
C X é um conjunto limitado quando ∃K∈R, tal que |x|≥k,∀k∈R
D X é um conjunto limitado quando ∀K∈R, tal que |x|≥k,∀k∈R
E X é um conjunto limitado quando ∃K∈R, tal que |x|=k,∀k∈R
Questão 6 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Definimos o vetor gradiente de uma função diferenciável f:U→R no ponto a∈U como:
Considerando os conteúdos da Aula 02 - Cálculo Diferencial de
Caminhos, assinale a alternativa que indica a principal característica do vetor gradiente.
A
O vetor gradiente não traz nenhuma interpretação significativa a respeito da
função analisada.
B O vetor gradiente aponta para a direção do máximo global.
C
O vetor gradiente aponta para a direção contrária ao de maior crescimento da
função f no ponto a.
D
O vetor gradiente aponta para a direção de maior crescimento da função f no
ponto a.
O vetor gradiente é um vetor que tem como direção o crescimento maior da
função, conforme a Aula 02 - Cálculo Diferencial de Caminhos.
E
O vetor gradiente aponta para a direção de menor crescimento da função f no
ponto a.
Questão 7 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Aos pontos que contém derivadas parciais de segunda ordem, podemos definir a matriz
hessiana da função f. Essa será dada pelos números:
Considerando os conteúdos da Aula 02 - Cálculo Diferencial de Caminhos, assinale a
 alternativa que indica a matriz hessiana para uma função de duas variáveis de classe C2.
Questão 8 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Para uma determinada aplicação f:X→Rn, dizemos que se trata de uma uniformidade
contínua se, e somente se, para qualquer par de sequências de pontos (xk)(yk)∈X,
quando ∀ϵ>0,∃δ>0 tal que |x−y|<δ⇒|f(x)−f(y)|<ϵ, independente do valor de x,y∈X.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 01 - Topologia do Espaço Euclidiano, assinale a
alternativa que apresenta uma condição necessária para a ocorrência da uniformidade
contínua.
A Para um único par de sequências como a definida, temos lim |f(xk)−f(yk)|=0.
B
Em qualquer par de sequências como a definida, temos lim |f(xk)−f(yk)|≤0.
 lim |f(xk)−f(yk)|≤0 
C Para um único par de sequências como a definida, temos lim |f(xk)−f(yk)|≤0.
D Em qualquer par de sequências como a definida, temos lim |f(xk)−f(yk)|≤0.
E
Em qualquer par de sequências como a definida, temos lim |f(xk)−f(yk)|=0.
Esse resultado pode ser demonstrado da definição acima, além de ser possível
observar que qualquer aplicação contínua definida em um conjunto compacto,
também é, necessariamente, uniformemente contínua, conforme Aula 01 -
Topologia do Espaço Euclidiano.
Questão 9 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Um ponto a é definido como ponto aderente ao conjunto X⊂Rn se, ∃xk∈X tal que
 lim xk=a. O conjunto de todos os pontos aderentes é chamado fecho do conjunto X⊂Rn,
denotado por ¯X.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 01 - Topologia do Espaço Euclidiano, assinale a
alternativa que apresenta a característica dos conjuntos fechados em relação ao seu
fecho.
A
F∈Rn é um conjunto fechado quando F⊂¯F e o fecho de toda bola aberta é a
sua bola fechada.
B
F∈Rn é um conjunto fechado quando ¯F⊂F e o fecho de toda bola fechada é
a sua bola aberta.
C
F∈Rn é um conjunto fechado quando ¯F⊂F e o fecho de toda bola aberta é a
sua bola fechada.
D
F∈Rn é um conjunto fechado quando ¯F=F e o fecho de toda bola aberta é a
sua bola fechada.
O fecho de toda bola aberta é a sua bola fechada, conforme Aula 01 - Topologia
do Espaço Euclidiano.
E
F∈Rn é um conjunto fechado quando ¯F=F e o fecho de toda bola fechada é a
sua bola aberta.
Questão 10 - Analise no Rn
Se atente ao seguinte problema:Consideremos, por exemplo, a função f(x1,x2)=x21x32. Nesse caso,
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 03 - Funções Implícitas, assinale a alternativa que
apresenta a matriz hessiana de f(x1,x2).
Questão 11 - Analise no Rn
Questão 12 - Analise no Rn
Questão 13 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Definimos o comprimento de um poligonal como o número dado por:
em que f:[a,b]→Rn é um caminho com cada uma de suas partições dado por
P={a=t0<... determina um poligonal com vértices f(a),f(t1),...,f(tk−1),f(b).
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 02 - Cálculo Diferencial de
Caminhos, assinale a alternativa que indica a condição necessária para que um caminho
seja dito retificável.
A
Um caminho é dito retificável quando o conjunto dos comprimentos de cada uma das
poligonais é ilimitado.
B
Um caminho é dito retificável quando o conjunto dos comprimentos de cada uma das
poligonais é limitado.
Como podemos verificar pela definição de caminho retificável, conforme a Aula 02 -
Cálculo Diferencial de Caminhos.
C Um caminho é dito retificável quando o conjunto das poligonais é limitado.
D Um caminho é dito retificável quando o conjunto das poligonais é ilimitado.
E
Um caminho é dito retificável quando o conjunto dos comprimentos de cada uma
das poligonais é irrestrito.
Questão 14 - Analise no Rn
Leia a seguinte passagem de texto:
Definimos uma hiperfície de classe Ck como um conjunto M⊂Rn+1 que se comporta,
localmente, como o gráfico de uma função real de n variáveis de classe Ck.
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão.
Considerando os conteúdos da Aula 03 - Funções Implícitas, assinale a alternativa que
apresenta casos simplificados corretos das hiperfícies.
A
No caso em que n=1, uma hiperfície em R2 é uma reta e, em n=2 uma hiperfície
em R3 é um plano em R3.
B
No caso em que n=1, uma hiperfície em R2 é uma curva e, em n=2 uma hiperfície
em R3 é uma superfície em R3.
Conforme os exemplos discutidos na rota, conforme a Aula 03 - Funções Implícitas.
C
No caso em que n=1, uma hiperfície em R2 é uma parábola e, em n=2 uma hiperfície
em R3 é uma cônica em R3.
D
No caso em que n=1, uma hiperfície em R2 é um ponto e, em n=2 uma hiperfície
em R3 é uma curva em R3.
E
No caso em que n=1, uma hiperfície em R2 é uma superfície e, em n=2 uma hiperfície
em R3 é uma curva em R3.