APOL 2 ANALISE MATEMATICA NOTA 100

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte excerto de texto:
 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidade de funções”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática os conjuntos podem ser classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, as propriedades que se relacionam a cada um dos conjuntos a seguir:
 
1. Conjunto aberto
2. Conjunto fechado
3. Conjunto compacto
4. Conjunto enumerável
5. Conjunto completo
 
( ) Conjunto finito ou infinito que possui uma bijeção com o conjunto dos números naturais.
( ) Conjunto XX que satisfaz X=¯¯¯¯¯XX=X¯, onde ¯¯¯¯¯XX¯ é o conjunto dos pontos aderentes de XX.
( ) Conjunto XX que satisfaz X=X∘X=X∘, onde X∘X∘ é o conjunto dos pontos interiores de XX.
( ) Conjunto XX tal que todo subconjunto não-vazio de XX que é limitado superiormente e possui supremo.
( ) Conjunto que é fechado e limitado.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	3-1-2-4-5
	
	B
	5-4-1-3-2
	
	C
	4-1-2-5-3
	
	D
	5-2-1-3-4
	
	E
	4-2-1-5-3
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 2 – 1 – 5 – 3. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – quando todos seus pontos são pontos interiores, isto é, X=X∘X=X∘. 2. Conjunto fechado – quando todos os pontos aderentes pertencem ao conjunto, ou seja, verifica-se a igualdade X=¯¯¯¯¯XX=X¯. 3. Conjunto compacto – todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 4. Conjunto enumerável – todo conjunto finito ou infinito que possui bijeção com os naturais. 5. Conjunto completo – quando todo subconjunto não-vazio e limitado superiormente possui supremo” (livro-base, p.22-33 e p.87-89).
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte imagem:
Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão.
Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da região compreendida entre o eixo xx  e o gráfico da função f(x)=x+2f(x)=x+2  no intervalo limitado por x=0x=0 e x=2x=2.
 
Nota: 10.0
	
	A
	2
	
	B
	3232
	
	C
	4
	
	D
	1414
	
	E
	6
Você acertou!
A área da região é dada por: A(D)=∫20(x+2)dx=(x22+2x)∣∣∣20=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6.    (livro-base, p. 156).
Questão 3/10 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação:
 
“Aplicando a Regra de L’Hôpital
Passo 1: Verifique que lim f(x)g(x)f(x)g(x) é uma forma indeterminada do tipo 0000.
Passo 2: Diferencie separadamente ff e gg.
Passo 3: Encontre o limite de f′(x)g′(x)f′(x)g′(x). Se esse limite for finito, +∞+∞ ou −∞−∞, então ele é igual ao limite de f(x)g(x)f(x)g(x)”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen; Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. I. p. 257.
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática , podemos dizer que limx→2x2−4x−2limx→2x2−4x−2 é igual a:
Nota: 10.0
	
	A
	1717
	
	B
	1212
	
	C
	4
Você acertou!
Temos , pela regra de L'Hôpital, que   limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4
Livro (p128 e p129).
	
	D
	8
	
	E
	1
Questão 4/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte função definida por partes:
        
                                                                      f(x)={3x,x<1x+2x≥1f(x)={3x,x<1x+2x≥1
Considerando a função dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, assinale a única alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	A derivadas laterais são iguais a 1.
	
	B
	  
f′(1−)=3f′(1−)=3   e    f′(1+)=1f′(1+)=1
Você acertou!
Temos que f′(1−)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−3x−3x−1=3f′(1−)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−3x−3x−1=3 e f′(1+)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x+2−3x−1=1f′(1+)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x+2−3x−1=1 (livro-base, p. 128-129).
	
	C
	A função não tem derivadas laterais.
	
	D
	As derivadas laterais têm valores iguais.
	
	E
	Não existem os limites laterais de ff em x=1x=1.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Atente para a seguinte informação:
 
“Convém lembrar que |xn−a|<ε|xn−a|<ε é o mesmo que a−ε<xn<a+εa−ε<xn<a+ε, isto é, xnxn pertence ao intervalo aberto (a−ε,a+ε)(a−ε,a+ε). Assim, dizer que a=limxna=limxn significa afirmar que qualquer intervalo aberto de centro aa contém todos os termos xnxn da sequência, salvo um número finito de índices nn”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, Elon Lages. Análise real: Funções de uma variável. Rio de janeiro: IMPA, v. I, 2007. p. 23-24.
 
Considerando o trecho de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Sequências, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I. ( ) Se (xn)(xn) é uma sequência tal que limn→∞xn=0limn→∞xn=0, então, existe N∈NN∈N tal que xn=0xn=0.
II. ( ) Se uma sequência xnxn converge para um número positivo, então, existe N∈NN∈N tal que N⇒xn>0N⇒xn>0.
III. ( ) Se xnxn é tal que limn→∞xn=b>0limn→∞xn=b>0, então (xn)(xn) possui no máximo uma quantidade finita de termos não positivos.
IV. ( ) Toda sequencia que possui uma subsequência convergente é convergente.
 
Agora assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-V-F
	
	B
	V-V-F-F
	
	C
	F-V-V-V
	
	D
	F-V-V-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é falsa. Podemos ver, por exemplo, que a sequencia xn=1nxn=1n converge para zero, mas não possui nenhum termo igual à zero. A afirmativa II é verdadeira porque se limx→∞xn=b>0limx→∞xn=b>0, então, para ε>b2>0ε>b2>0 existe N∈NN∈N tal que n>Nn>N implica que xn∈(b−ε,b+ε)=(b−b2,b+b2)=(b2,3b2)xn∈(b−ε,b+ε)=(b−b2,b+b2)=(b2,3b2). Assim, xn>0xn>0 para todo n>Nn>N. A afirmativa III é verdadeira porque pelo item II a sequência pode ter no máximo N números negativos. A afirmativa IV é falsa. Basta ver que a sequencia  xn=(−1)nxn=(−1)n não converge, mas possui uma subsequência convergente, por exemplo, (x2n)(x2n) é constante igual à 1, logo, converge para 1. (livro-base, p. 59).
	
	E
	V-F-F-V
Questão 6/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação:
 
“Ter uma indeterminação (qualquer que seja) não significa que o limite considerado não existe ou que ele não pode ser calculado, mas que um estudo mais minucioso é necessário”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=2&id_capitulo=88&Itemid=298>. Acesso em: 20  jun. 2017.
Dado o seguinte limite: limx→12x−2x2−1limx→12x−2x2−1
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limites, assinale a alternativa que fornece o valor do limite dado:
Nota: 10.0
	
	A
	−2−2
	
	B
	2
	
	C
	∞∞
	
	D
	0
	
	E
	1
Você acertou!
Temos uma indeterminação do tipo 0000, então podemos usar a Regra de L’Hôpital: limx→12x−2x2−1=limx→122x=1limx→12x−2x2−1=limx→122x=1. Outra forma de calcular esse limite seria isolando no numerador a expressão (x−1)(x−1) e fatorando o denominador como (x+1)(x−1)(x+1)(x−1).
(livro-base, p. 128).
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar  a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como:
A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada nafunção de dentro vezes a derivada da função de dentro”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1.  2007. p. 210-211.
Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2).
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Nota: 10.0
	
	A
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
	
	B
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
	
	C
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2)
Você acertou!
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4).
	
	D
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
	
	E
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
Questão 8/10 - Análise Matemática
Atente para o seguinte excerto de texto:
“A exclusão do ponto x=ax=a na definição de limite é natural, pois o limite LL nada tem a ver com o valor f(a)[...]f(a)[...]. O conceito de limite é introduzido para caracterizar o comportamento da função f(x)f(x) nas proximidades do valor aa, porém mantendo-se sempre diferente de aa. Assim, podemos mudar o valor da função no ponto como quisermos, sem que isso mude o valor do limite, e é assim mesmo que deve ser. Agora, se a função já está definida em aa, e seu valor aí coincide com seu limite, então ocorrerá a continuidade do ponto”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para licenciatura. 3 ed. ver. e ampl. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.  p. 143.
 
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite e continuidade, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Se ff é uma função contínua em um ponto x=ax=a do seu domínio, então, ff é limitada numa vizinhança de a.
II. Toda função que é limitada superiormente e inferiormente é contínua.
III. Se existe o limite de uma função f(x)f(x) quando xx se aproxima de um ponto aa, então, ff é contínua no ponto aa.
IV. Se uma função possui limites laterais iguais em um ponto x=ax=a, então existe o limite bilateral de f(x)f(x) quando x=ax=a.
São corretas as alternativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II apenas
	
	B
	I, III e IV apenas
	
	C
	I e IV apenas
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois se ff é contínua em aa, então existe limx→af(x)limx→af(x). Logo ff é limitada numa vizinhança de aa. (livro-base, p. 92). A afirmativa II é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)={1,x≤00,x>0f(x)={1,x≤00,x>0. A função ff é limitada, pois |f(x)|≤1|f(x)|≤1 para todo x∈Rx∈R, mas ff não é contínua em x=0x=0. A afirmativa III é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)=⎧⎨⎩x2−1x−1,x≠10x=1f(x)={x2−1x−1,x≠10x=1. Temos que .
A afirmativa I é verdadeira, pois se ff é contínua em aa, então existe limx→af(x)limx→af(x). Logo ff é limitada numa vizinhança de aa. (livro-base, p. 92). A afirmativa II é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)={1,x≤00,x>0f(x)={1,x≤00,x>0. A função ff é limitada, pois |f(x)|≤1|f(x)|≤1 para todo x∈Rx∈R, mas ff não é contínua em x=0x=0. A afirmativa III é falsa, basta ver o seguinte exemplo: f(x)=⎧⎨⎩x2−1x−1,x≠10x=1f(x)={x2−1x−1,x≠10x=1. Temos que limx→1−f(x)=limx→1−x2−1x−1=limx→1−x+1=2≠f(1)limx→1−f(x)=limx→1−x2−1x−1=limx→1−x+1=2≠f(1). A afirmativa IV é verdadeira, pois se
 limx→a+f(x)=L=limx→a−f(x)limx→a+f(x)=L=limx→a−f(x), então limx→af(x)=Llimx→af(x)=L  . (livro-base, p. 96).
	
	D
	II e IV apenas
	
	E
	II e III apenas
Questão 9/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵNnϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
Você acertou!
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 10/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos aa e bb.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo 3).