Material de Leitura - CDI1

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Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula 
Mylane dos Santos Barreto 
Salvador Tavares 
2 
SUMÁRIO 
 
1 LIMITES .................................................................................................................. 5 
1.1 Exercícios Resolvidos ..................................................................................... 5 
1.2 Exercícios Propostos ................................................................................................. 11 
1.3 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 16 
1.4 Exercícios Propostos ................................................................................................. 17 
2 LIMITES INFINITOS .......................................................................................................... 19 
2.1 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 19 
3 ASSÍNTOTA VERTICAL .................................................................................................. 22 
3.1 Introdução ................................................................................................................... 22 
3.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 23 
3.3 Exercícios Propostos ................................................................................................. 27 
4 LIMITES NO INFINITO ..................................................................................................... 28 
4.1 Exercícios Resolvidos .................................................................................................... 28 
5 ASSÍNTOTA HORIZONTAL ............................................................................................ 32 
5.1 Introdução ................................................................................................................... 32 
5.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 34 
5.3 Exercícios Propostos ................................................................................................. 36 
6 DERIVADA ......................................................................................................................... 41 
6.1 Definição ..................................................................................................................... 41 
6.2 Algumas regras de derivação .................................................................................. 42 
6.3 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 43 
7 REGRA DE L’HÔSPITAL ................................................................................................ 47 
7.1 Introdução ................................................................................................................... 47 
7.2 Definição ..................................................................................................................... 48 
7.3 Exercícios Resolvidos ..................................................................................... 48 
7.4 Exercícios propostos ................................................................................................. 49 
8 TAXA DE VARIAÇÃO ...................................................................................................... 50 
8.1 Definição ..................................................................................................................... 50 
8.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 50 
8.3 Exercícios Propostos ................................................................................................. 51 
9 REGRA DA CADEIA ........................................................................................................ 53 
9.1 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 53 
9.2 Exercícios Propostos ................................................................................................. 53 
10 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ............................................................................................... 54 
10.1 Introdução ................................................................................................................. 54 
10.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 54 
10.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 56 
11 TAXAS RELACIONADAS ............................................................................................. 57 
11.1 Introdução ................................................................................................................. 57 
11.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 57 
11.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 58 
12 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVA .............................................................. 59 
12.1 Inclinação da reta secante a uma curva .............................................................. 59 
12.2 Inclinação da reta tangente a uma curva ............................................................. 60 
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3 
12.3 Exercício Resolvido ................................................................................................. 61 
12.4 Exercícios Propostos .............................................................................................. 61 
13 O SINAL DA DERIVADA E O COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO ............. 62 
13.1 O sinal da primeira derivada .................................................................................. 62 
13.2 Exercício Resolvido ................................................................................................. 63 
13.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 64 
14 CONCAVIDADE .............................................................................................................. 65 
14.1 Introdução ................................................................................................................. 65 
14.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 65 
15 CRITÉRIO DA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAÇÃO DE 
MÁXIMOS E MÍNIMOS ........................................................................................................ 
 
67 
15.1 Definição ................................................................................................................... 67 
15.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 67 
15.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 68 
GABARITO ............................................................................................................................ 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula 
Mylane dos Santos Barreto 
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APRESENTAÇÃO 
 
 Este texto de Cálculo Diferencial e Integral I foi ancorado em dois temas 
fundamentais: 
Limites e continuidade e Derivadas e aplicações, desenvolvidos com apresentações 
sucintas da parte teórica, exercícios resolvidos (ER) e exercícios propostos (EP). 
 A parte delimites é tratada de forma intuitiva por meio de análise de alguns 
gráficos, incluindo a ideia de continuidade. Desta forma, constam vários exercícios 
resolvidos (ER) para auxiliar a construção dos conceitos, seguidos de listas de 
exercícios propostos com o intuito de fixar as ideias. 
 A parte que trata da derivada de uma função é desenvolvida a partir da definição 
para deduzir as primeiras regras de derivação de modo que, por meio dos ER, o aluno 
possa praticar. 
 As aplicações das derivadas vão desde da taxa de variação de uma função, 
derivação implícita, taxas relacionadas, passando pelo significado geométrico da 
derivada, aplicado à determinação da equação de uma reta tangente a uma curva. 
 Alguns tópicos foram reservados para a aplicação de derivadas ao estudo 
sucinto do comportamento de uma curva e de sua concavidade, bem como para a 
análise dos pontos extremos e de inflexão. 
 O curso proposto deverá desenvolver atividades que possibilitem resolver 
problema de otimização aplicando as ideias de máximo e de mínimo de uma função. 
 As noções do Cálculo aqui desenvolvidas pelos autores não se esgotam nessas 
notas de aula. Os alunos não devem prescindir de consultas a outras obras para 
complementar seus conhecimentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 LIMITES 
 
1.1 Exercícios Resolvidos 
 
ER1) Considere a função f :  definida por f(x) = x2 e usando uma calculadora 
determine: 
 
a) f (1,8) f) f (2,1) 
b) f (1,85) g) f (2,01) 
c) f (1,9) h) f (2,001) 
d) f (1,96) i) f (2,0001) 
e) f (2) 
 
Solução 
 
a) 3,24 f) 4,41 
b) 3,4225 g) 4,0401 
c) 3,61 h) 4,004001 
d) 3,8416 i) 4,00040001 
e) 4 
 
ER2) Observe os resultados encontrados na questão anterior e responda: 
 
a) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de 2 e é menor do 
que 2? 
b) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de 2 e é maior do 
que 2? 
 
Solução 
 
a) 4 
b) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ER3) Dado o gráfico da função, responda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Para quanto se “aproxima” o valor de f(x) quando x se “aproxima” de – 4 e x < – 4? 
b) Para quanto se “aproxima” o valor de f(x) quando x se “aproxima” de – 4 e x > – 4? 
c) Qual é o valor de f(x) quando x = – 4? 
d) Para quanto “tende” o valor de f (ou se “aproxima”) quando x “tende” a 2 pela 
esquerda (ou tende a 2 e é menor do que 2)? 
e) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 2 pela direita? 
f) Qual é o valor de f quando x = 2? 
g) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 4 pela esquerda? 
h) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 4 pela direita? 
i) Qual é o valor de f (4)? 
 
Solução 
 
a) 2 b) – 3 c) – 1 
d) 3 e) 3 f) 0 
g) 4 h) 4 i) 4 
 
 
 
 
 
 
 
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ER4) Considere o gráfico de uma função dado abaixo e complete, corretamente, as 
sentenças seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Se x tende a a pela esquerda então f(x) tende a ______. 
Simbolicamente: 
Se x  a - então f(x)  ______. 
b) Se x tende a a pela direita então f(x) tende a ______. 
Simbolicamente: 
Se x  a + então f(x)  ______. 
c) f(a) = ______. 
d) Se x  b - então f(x)  ______. 
e) Se x  b+ então f(x)  ______. 
f) f(b) = ______. 
g) Se x  c - então f(x)  ______. 
h) Se x  c + então f(x)  ______. 
i) f(c) = ______. 
 
Solução 
 
a) g b) h c) g 
d) d e) d f) m 
g) j h) j i) j 
 
 
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Observação 
 
 Dada uma função definida num intervalo aberto I, com a  I. 
 Para descrever o fato de que se x  a - então f(x)  b escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela esquerda é igual a b) 
 Analogamente, para descrever que se x  a + então f(x)  c escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela direita é igual a c) 
 Tais limites são denominados limites laterais esquerdo e direito, 
respectivamente. 
 Quando os limites laterais são iguais a b dizemos que existe o limite de f(x) no 
ponto a e, então escrevemos: 
 
 
 Assim, 
 a
lim ( ) 
x
f x b

 se, e somente se 
 a a
lim ( ) lim ( ) = 
x x
f x f x b
  
 . 
 
Comentários sobre o ER4: 
1) Observe que, em f quando x  a – (lê-se: x “tende” a a pela esquerda), f(x) “tende” a 
g. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela esquerda é igual a g) 
 
2) Observe que, em f quando x  a + (lê-se: x “tende” a a pela direita), f(x) “tende” a h. 
Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela direita é igual a h) 
 
lim ( ) 
x a
f x b


 
lim ( ) 
x a
f x c


 
lim ( ) 
x a
f x b


 
lim ( ) g
x a
f x


 
lim ( ) h
x a
f x


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3) Observe que, em f quando x  b - (lê-se: x “tende” a b pela esquerda), f(x) “tende” a 
d. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a b pela esquerda é igual a d) 
4) Observe que, em f quando x  b + (lê-se: x “tende” a b pela direita), f(x) “tende” a d. 
Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a b pela direita é igual a d) 
5) Observe que f(b) = m (a imagem de b é igual a m) é diferente dos limites encontrados 
nos itens d e e. 
6) Observe que, em f quando x  c - (lê-se: x “tende” a c pela esquerda), f(x) “tende” a j. 
Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a c pela esquerda é igual a j) 
7) Observe que, em f quando x  c + (lê-se: x “tende” a c pela direita), f(x) “tende” a j. 
Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: 
 
 
(lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a c pela direita é igual a j) 
8) Observe que f(c) = j (a imagem de c é igual a j) é igual aos limites encontrados nos 
itens g e h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim ( ) d
x b
f x


 
lim ( ) d
x b
f x


 c
lim ( ) j
x
f x


+ c
lim ( ) j
x
f x


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Conclusão 
 
 Nos itens 1 e 2, podemos 
concluir que quando os limites laterais 
são diferentes, isto caracteriza 
geometricamente uma descontinuidade 
do tipo “salto” no ponto onde x = b. 
 
 Nos itens 3, 4 e 5 podemos 
concluir que quando os limites laterais 
são iguais, mas diferentes da imagem 
no ponto de abscissa a, esse fato 
algébrico revela geometricamente uma 
descontinuidade do tipo “furo” em x = a. 
 Nos itens 6, 7 e 8 podemos concluir que quando os limites laterais, no ponto 
estudado, são iguais e iguais a imagem da função no ponto, esse fato algébrico revela 
geometricamente que a função é contínua nesse ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para provar que f é contínua em x1 precisamos mostrar que três condições são 
satisfeitas: 
i) f (x1) existe; 
ii) 
1
lim ( )
x x
f x

 existe; 
iii) 
1
1lim ( ) ( )
x x
f x f x

 . 
)(lim)(lim xfxf
bxbx  

O 
)()(lim)(lim afxfxf
axax

 
O 
)()(lim)(lim cfxfxf
cxcx

 
 O 
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1.2 Exercícios Propostos 
 
EP1) Verifique se 
2 se 1
( ) = 
3 5 se > 1
x x
f x
x x
 


 é contínua emx1 = 1. 
 
EP2) Verifique se 2
1 se < 1
( ) = se 1 2
2 se 2
x
f x x x
x x


  
  
 é contínua em x1 = –1 e em x2 = 2. 
 
EP3) Dado o gráfico abaixo, determine, se existir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -
 + -
x -7
x -7 x 4
a) lim ( ) l) (2)
b) lim ( ) m) lim ( )
c) lim
f x f
f x f x

 
+x -7 x 4
x 4
x
 ( ) n) lim ( )
d) ( 7) o) lim ( )
e) lim
f x f x
f f x
 


 -
+ -
 -2
x -2 x 6
x 
 ( ) p) (4)
f) lim ( ) q) lim ( )
g) lim
f x f
f x f x

 
 +-2 x 6
x 6
x 
 ( ) r) lim ( )
h) ( 2) s) lim ( )
i) lim
f x f x
f f x



 -
 +
x 7 2
x 2
x 2
 ( ) t) lim ( )
j) lim ( ) u) (6)
k) lim
f x f x
f x f



 ( ) v) (7)f x f
 
 
 
O 
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EP4) Considere a função f(x) = x2 e seu gráfico dado. Calcule: 
 
2
 1
2 2
 1 2
 
a) ( 1) e) lim 
b) lim f) lim 
c) lim
x
x x
x
f x
x x

  


2 2
 2 3
2 2
 0 4
 g) lim 
d) lim h) lim 
x
x x
x x
x x
 
  
 
 
 
 
 
EP5) Calcule, se existir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
2
3
 1 64
3 2 2
t 1 1
 1
b) lim k) lim 
3 + 1
c) lim t + t + 5t 5 l) lim 3 + 5
d)
x x
x
x
x x
x
x x
 
 


  
2 2
1
 
2 2
2
 5 -2
sen + cos 1
 lim m) lim 
sen 
 
e) lim 1 n) lim 
1 
x x
x x
x x
x x
x x

 
 


x
 0
2
 -3
 
2
 
f) lim sen o) lim 2
 5
g) lim cos p) lim 
1
x
x
x
x
 




 



 
 
2
a 10 4
3
2 2
3
 1 -2
 
2 7
h) lim a + 1 q) lim 
5 3 + 2
i) lim r) lim log 
 + 15
x
x x
x
x
x
x x x
x
 
 



   
2
2
 2 -2
 3
8 
j) lim log + 6 s) lim 3 + 2x x
x x
x
x
x
 


 
 Para calcular o limite de uma função, primeiramente, supomos que a função é 
contínua no ponto estudado, como no exemplo em x = 1. Com isso podemos calcular a 
imagem neste ponto e igualar ao limite, pois em funções contínuas o limite no ponto é 
igual à imagem do ponto. Sempre que o 
x c
lim ( ) ( )f x f c

 dizemos que o limite pode 
ser calculado por substituição direta. 
2 2
 1
 3 1 3 2
a) lim = = = 1
1 + 1 + 1 2x
x
x
  

O 
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 Para os itens a seguir considere 
1
, se 1
( ) = 1 , se 1 < < 0
e , se 0x
x
x
f x x x
x

 

 




 
 
 -1 0
1 2
 - 
2
t) lim ( ) v) lim ( )
u) lim ( ) x) lim 
x x
x
x
f x f x
f x
 


( )f x 
 
EP6) Considere as funções reais de variável real e estude a continuidade no ponto 
pedido: 
2
2
 3 + 2, se < 3
a) ( ) = 
 5 + 8, se 3
x x x
f x
x x x
 

 
, para x = 3 
 
Solução 
 
f (3) = 32 – 5 . 3 + 8 = 2 
 
 
 +
 3
 3
 3
lim ( ) = 2
 lim ( ) = 2
lim ( ) = 2
x
x
x
f x
f x
f x







 
 Como 
 3
lim ( ) = (3)
x
f x f

 então a função f é contínua no ponto x = 3. 
 
1
 2, se 3
b) ( ) = 3
2 + 5, se > 3
x x
f x
x x

 


, para x = 3 
 
1
, se 0 < 2
c) ( ) = 
1 , se 2
4
x
x
f x
x
x



  

, para x = 2 
EP7) Considere a função 
1
( ) = 1 + 
x
E x
x
 
 
 
 e calcule: 
a) E(1) g) E(50) 
b) E(2) h) E(100) 
c) E(4) i) E(1000) 
d) E(5) j) E(10 000) 
e) E(10) k) E(100 000) 
f) E(20) l) E(1 000 000) 
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Observação 
 
 +
 +
1
lim 1 + = e
lim 1 + = e
x
x
x
x
x
x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP8) Calcule, se existir: 
 
 
22
 1
1 1 1 0
a) lim = = 
 + 1 1 + 1 0x
x
x 
 

 (símbolo de indeterminação) 
 
 Para calcular este limite vamos analisar o gráfico da função 
2 1
( ) 
 + 1
x
f x
x

 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Manipulando algebricamente a equação da função f obtemos uma nova lei: 
 
   2 1 + 1 1
 = = 1
 + 1 + 1
x xx
y x
x x
 
  , desde que x  –1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o gráfico da função f 
é descontínuo para x = –1. 
Existe um furo no gráfico. 
 Podemos escrever a função f da seguinte maneira: como o numerador é a 
diferença dos quadrados de dois números, pode ser escrito como o produto da soma 
pela diferença desses números. Simplificando o numerador pelo denominador chegamos 
a h (x) = x – 1. Lembre-se que para –1, não está definido para ambas as funções, ou seja, 
D(f ) = D(h) =   1  . 
 
 O x 
y 
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15 
Observe o gráfico das funções f e h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O limite não é o estudo no ponto, e sim, o estudo na vizinhança de um ponto. 
Desta forma utilizamos esta “nova” lei para calcular o limite da função f(x) quando x 
tende a –1, pois os valores de f e h possuem o mesmo comportamento na vizinhança 
de x = –1. Compare o limite das duas funções, com a ajuda dos gráficos. 
 
2
 1 1
 1
lim lim 1 2
 1x x
x
x
x   

   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 1
( ) 
 + 1
x
f x
x

 ( ) = 1h x x 
 Podemos observar que o gráfico da função f(x) é idêntico ao gráfico de h(x), com 
exceção do ponto (–1, –2), que não está definido em f(x), pois x = –1 é o valor que anula 
o denominador da função, logo não está definido no domínio da função. Em outras 
palavras, f não está definida para x = –1, isto é, 1 D( f ). 
 Lembre-se que quando calculamos o limite de uma função e encontramos o 
símbolo de indeterminação 
0
0
, podemos, em muitos casos, calcular este limite pelo 
limite de outra função cujo gráfico é igual (possui a mesma vizinhança do ponto 
estudado) ao gráfico da função desejada. 
y 
y 
x x 
O O 
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16 
2 2
2 1 0
2
 0
 1 + 4
b) lim c) lim 
 1 + 2
 
d) lime) l
x x
x
x x x
x x x
x x
x
 




 2
 0
2
2 2 2 1
2
 -3
im log 4 + 1
 3 + 2 1
f) lim g) lim 
 4 1
 9
h) lim 
 + 3
x
x x
x
x x
x x x
x x
x
x

 


 
 

 9
2 2
 0 5
2
 2
 9
 i) lim 
 3
 + 5 7 + 10
j) lim k) lim 
 5
 4
l) lim 
 2
x
x x
x
x
x
x x x x
x x
x
x

 






 
3 2
2t 1 3
2 0
cos 
 m) lim 
 + 5 + 3
n) lim o) lim 2 + 1
 3 2
p) lim 
3 6
x
x
x
r
x
x
t t t
t t
r
r r

 


 

2
2 2
3 2
2 2 4 0
 4 4
 q) lim 
6
4 3 
r) lim s) lim 
 2 8 2
t) 
s
x x
s s
s s
x x x x
x x x x

 
 
 
  
  
2 3
2 -3 -2
3
2 2
 5 + 8
lim u) lim 
1 + 7 +10
 8
v) lim w
 3 + 2
x y
x
x y
x y y
x
x x
 





2
 2
2 5 + 2
) lim 
 2
 
x
x x
x


 
 
1.3 Exercícios Resolvidos 
 
ER5) Calcule, se existir: 
 0
sen sen 0 0
) lim = = 
0 0x
x
a
x
 (símbolo de indeterminação) 
 Substituindo valores em x de modo que x tenda a zero pela direita e pela 
esquerda teremos (os cálculos devem ser feitos com a calculadora no modo radiano): 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, 
0
sen 
lim
x
x
x
 = 1. 
x 
sen x
x
 
0,1 0,998334 
0,01 0,999983 
0,001 0,999999 
 
x 
sen x
x
 
–0,1 0,998334 
–0,01 0,999983 
–0,001 0,999999 
 
Quando x tende 
a 0 pela direita 
sen x
x
 tende a 1. 
Quando x tende 
a 0 pela 
esquerda 
sen x
x
 
tende a 1. 
Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula 
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17 
 
 0
tan tan 0 0
) lim = = 
0 0x
x
b
x
 (símbolo de indeterminação) 
 Substituindo valores em x de modo que x tenda a zero pela direita e pela 
esquerda teremos os valores aproximados (os cálculos devem ser feitos com a 
calculadora no modo radiano): 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, 
0
tan 
lim
x
x
x
 = 1. 
 
 
1.4 Exercícios Propostos 
 
EP9) Calcule, se existirem. 
2
2 3 1
 
2
2 2
 0 2
 3 4 1
a) lim b) lim 
1 
 + 4 5
c) lim d) lim 
 5
x
x
x x
x x x
x x x
x x x
x


 
  
 


 
2
3 2
 1 1
2 2
 6
 3 2
 2 + 2 1
e) lim f) lim 7
 1
3
g) lim 
 2
x x
x
x
x x
x x x
x
x
 


 
 


 
 
Solução 
 
 
2 2
3 3
lim 
0 2x x


 (Impossível) 
Teste: 
 Se x = 1,9 então 
     
2 2 2
3 3 3 3
= = = =300
0,012 1,9 2 0,1x   
. Logo, podemos 
escrever que 
 
 2 2
3
lim = +
2x x



. 
x 
tan x
x
 
0,1 1,003347 
0,01 1,000033 
0,001 1,000000 
 
x 
tan x
x
 
–0,1 1,003347 
–0,01 1,000033 
–0,001 1,000000 
 
Quando x tende 
a 0 pela direita 
tan x
x
 tende a 1. 
Quando x tende 
a 0 pela 
esquerda 
tan x
x
 
tende a 1. 
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18 
Se repetirmos a operação com outros valores de x próximos de 2, pela esquerda, 
notaremos que os valores da função dada aumentarão cada vez mais, isto é, tenderão 
para + . 
 Se x = 2,1 então 
     
2 2 2
3 3 3 3
= = = =300
0,012 2,1 2 0,1x  
. Logo, podemos escrever 
que 
 
 + 2 2
3
lim = +
2x x


. 
Se repetirmos a operação com outros valores de x próximos de 2, pela direita, 
notaremos que os valores da função dada também aumentarão cada vez mais, isto é, 
tenderão para + . 
 
 Assim, 
 
2 2
3
lim = +
 - 2x x
 , pois 
 
 2 2
3
lim = 
2x x
   
 + 2 2
3
lim = +
2x x


. 
 Agora é sua vez de calcular os casos que seguem. 
 
 
 
2 2 1
 0 2
 2
3 2
h) lim i) lim 
12
1 1
j) lim k) lim 
2
l) lim
x x
x x
x
x
xx
x x
 
 




 
+
 +
2
 0 
2
 2 4 
 
 + 2 3
 m) lim 
2
 + 1
n) lim + 3 o) lim 
 + 5
p) lim
x
x x
x
x x
x x
x
x
x



 



20
1
 
x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
2 LIMITES INFINITOS 
 
2.1 Exercícios Resolvidos 
 
ER6) Observe o gráfico cartesiano da função 
1
( ) = f x
x
 e calcule, se existir: 
 
 -
 +
 0
 0
 0
i) lim ( )
ii) lim ( )
iii) lim ( )
iv) (0)
x
x
x
f x
f x
f x
f



 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
i)  ii)  iii) não existe i) não existe 
 
ER7) Observe o gráfico cartesiano da função 
2
1
( ) = f x
x
 e calcule, se existir: 
 
 -
 +
 0
 0
 0
i) lim ( )
ii) lim ( )
iii) lim ( )
iv) (0)
x
x
x
f x
f x
f x
f



 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
i)  ii)  iii)  i) não existe 
 
O 
O 
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20 
ER8) Observe o gráfico cartesiano da função 
1
( ) = f x
x
 e calcule, se existir: 
 
 -
 +
 0
 0
 0
i) lim ( )
ii) lim ( )
iii) lim ( )
iv) (0)
x
x
x
f x
f x
f x
f



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
i)  ii)  iii) não existe i) não existe 
 
ER9) Observe o gráfico cartesiano da função 
2
1
( ) = f x
x
 e calcule, se existir: 
 
 -
 +
 0
 0
 0
i) lim ( )
ii) lim ( )
iii) lim ( )
iv) (0)
x
x
x
f x
f x
f x
f



 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
i)  ii)  iii)  i) não existe 
 
O 
 
O 
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21 
Se o valor de f(x) cresce indefinidamente quando x “tende” a a, pela esquerda ou 
pela direita, então podemos escrever 
 
lim ( ) = +
x a
f x

 ou 
 
lim ( ) = +
x a
f x

 
conforme for apropriado, e dizemos que f(x) cresce sem limitação quando x “tende” a a 
pela esquerda   x a ou x “tende” a a pela direita  + x a . 
 De forma análoga, se o valor de f(x) decresce indefinidamente quando x “tende” 
a a, pela esquerda ou pela direita, então escrevemos 
 
lim ( ) = 
x a
f x

 ou 
 
lim ( ) = 
x a
f x

 
conforme for apropriado, e dizemos que f(x) decresce sem limitação quando x “tende” a 
a pela esquerda   x a ou x “tende” a a pela direita  + x a . 
 Da mesma forma, se ambos os limites laterais forem +  , então escrevemos 
 
 
e se ambos os limites laterais são iguais a  , então escrevemos 
 
 
Conclusão 
 Considere o 
 
( )
lim 
( )x a
h x
g x
. Se o limite do denominador for zero, porém não o do 
numerador, então há três possibilidades para o limite da função racional quando 
 x a : 
i) O limite poderá ser   ; 
ii) O limite poderá ser  ; 
iii) O limite poderá ser   de um lado e  do outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim ( ) = + 
x a
f x


 
lim ( ) = 
x a
f x


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22 
3 ASSÍNTOTA VERTICAL 
 
3.1 Introdução 
 
 Uma reta x = a é chamadade assíntota vertical do gráfico de uma função f se 
f(x) “tende” a  ou   , quando x “tende” a a pela esquerda ou pela direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Todas as funções, cujos gráficos são dados anteriormente, têm uma assíntota 
vertical em x = a, a qual está indicada pela reta tracejada. 
 
1
( ) = f x
x a
2
1
( ) = 
( )
f x
x a
2
1
( ) = 
( )
f x
x a


O 
O 
 O 
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23 
3.2 Exercícios Resolvidos 
 
ER10) Calcule os limites, se existirem: 
 
2
 2
 + 4
a) lim 
2x
x
x 
 
 
Solução 
22 + 4 8
(2) = = 
2 2 0
f

 (Impossível) 
 Usando uma calculadora obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
2
 2
 + 4
lim = 
2x
x
x


 
 
2
 2
 + 4
lim = + 
2x
x
x


 
 
 
 
 
 
 
Observação 
 
 Acrescente mais valores na tabela, se julgar necessário, para ajudar a chegar às 
conclusões. 
 Se 
 +
2 2
 2 2
 + 4 + 4
lim lim 
2 2x x
x x
x x 

 
 então não existe o 
2
 2
 + 4
lim 
2x
x
x 
. 
x f(x) 
1,9 –76,1 
1,99 –796,01 
1,999 –7996,001 
1,9999 –79996,0001 
 
x f(x) 
2,1 84,1 
2,01 804,01 
2,001 8004,001 
2,0001 80004,0001 
 
Para calcular o limite desta função, devemos 
calcular os limites laterais. Comparamos seus 
valores. Se forem iguais, existe o limite no ponto e 
este tem o mesmo valor dos limites laterais. Se 
forem diferentes, não existe o limite o ponto. 
Podemos concluir que 
quando x “tende” a 2 pela 
esquerda a função f decresce 
sem limitação, ou seja, 
“tende” a  . 
Podemos concluir que 
quando x “tende” a 2 pela 
direita a função f cresce sem 
limitação, ou seja, “tende” a 
+  . 
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24 
2 1
2
b) lim 
2x + 1x
x
x


 
 
Solução 
2
1 2 1
(1) = = 
01 2 1 + 1
f
 
 
 (Impossível) 
 
 Usando uma calculadora, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 2 1
2
lim = 
 2 + 1x
x
x x



 
 2 1
2
lim = 
2 + 1x
x
x x



 
 
 
 
 
 
 
 Se 
 +2 2 1 1
2 2
lim = lim 
2 + 1 2 + 1x x
x x
x x x x 
 
 
 
 então existe o limite. Assim, 
2 1
2
lim = 
2 + 1x
x
x x



. 
 
 
 
 
x f(x) 
0,9 –110 
0,99 –10100 
0,999 –1001000 
0,9999 –100010000 
 
x f(x) 
1,1 –90 
1,01 –9900 
1,001 –999000 
1,0001 –99990000 
 
Podemos concluir que 
quando x “tende” a 1 pela 
esquerda a função f decresce 
sem limitação, ou seja, 
“tende” a  . 
Podemos concluir que 
quando x “tende” a 1 pela 
direita a função f decresce 
sem limitação, ou seja, 
“tende” a  . 
Para calcular o limite desta função, devemos 
calcular os limites laterais. Comparamos seus 
valores. Se forem iguais, existe o limite no ponto e 
este tem o mesmo valor dos limites laterais. Se 
forem diferentes, não existe o limite no ponto. 
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25 
3
2 2
1
c) lim 
4x
x
x 


 
Solução 
 
 
3
2
2 1 8 1 9
( 2) = = 
4 4 02 4
f
    
 
 
 (Impossível) 
Teste: 
 Se x = −2,1 então 
 
 
3
2
2,1 1 ( )
( 2,1) = = ( )
( )2,1 4
f
  
  
 
. Logo, 
3
2
 2
1
lim 
4x
x
x 

 

. 
 Se x = −1,9 então 
 
 
3
2
1,9 1 ( )
( 1,9) = = ( )
( )1,9 4
f
  
  
 
. Logo, 
3
2
 2
1
lim 
4x
x
x 

 

. 
Como 
3 3
2 2
 2 2
1 1
lim lim 
4 4x x
x x
x x    
 

 
 então não existe o 
3
2 2
1
lim 
4x
x
x 


. 
 
 
2 1
d) lim 
 + 1x
x
x 
 
Solução 
 
2
1 1
( 1) = 
01 1
f
 
 
 
 (Impossível) 
Teste: 
 Se x = −1,1 então 
 
2
1,1 ( )
( 1,1) = = ( )
( )1,1 1
f
 
  
 
. Logo, 
 
2
 1
lim 
 + 1x
x
x
 
  . 
 Se x = −0,9 então 
 
2
0,9 ( )
( 0,9) = = ( )
( )0,9 1
f
 
  
 
. Logo, 
 
2
 1
lim 
 + 1x
x
x
 
  . 
Como 
   
2 2
 1 1
lim = lim 
 + 1 + 1x x
x x
x x
    
  então existe o limite. Assim, 
 
2 1
lim = 
 + 1x
x
x 
 . 
 
 
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26 
 1
e) lim 
1x
x
x 
 
Solução 
1 1
(1) = 
1 1 0
f 

 (Impossível) 
Teste: 
 Se x = 0,9 então 
0,9 ( )
(0,9) = = ( )
1 0,9 ( )
f

 
 
. Logo, 
 1
lim 
1x
x
x
 

. 
 Se x = 1,1 então 
1,1 ( )
(1,1) = = ( )
1 1,1 ( )
f

 
 
. Logo, 
 1
lim 
1x
x
x
 

. 
Como 
 1 1
lim lim 
1 1x x
x x
x x  

 
 então não existe o 
 1
lim 
1x
x
x 
. 
 
 2
3
f) lim 
2x x 
 
Solução 
3 3
(2) = 
2 2 0
f 

 (Impossível) 
Teste: 
 Se x = 1,9 então 
3 ( )
(1,9) = = ( )
1,9 2 ( )
f

 
 
. Logo, 
 2
3
lim 
2x x
 

. 
 Se x = 2,1 então 
3 ( )
(2,1) = = ( )
2,1 2 ( )
f

 
 
. Logo, 
 2
3
lim 
2x x
 

. 
Como 
 2 2
3 3
lim lim 
2 2x xx x  

 
 então não existe o 
 2
3
lim 
2x x 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
3.3 Exercícios Propostos 
 
EP10) Verifique se o gráfico de cada função real abaixo possui assíntota vertical. Em 
caso afirmativo estabeleça sua equação. Verifique suas respostas utilizando um 
software que possua recursos gráficos. Sugestão: utilizem o software Winplot 
(https://winplot.br.softonic.com). 
 
4 2
2 2
3
4 2
1 3 2
a) ( ) = b) ( ) = c) ( )
4 + 1 2
1 3
d) ( ) = e) ( ) = ) 
94
x x x x
f x f x f x
x x x
x y
f x f y f f
yx
  

 
 

3
2
( ) log( 3)
1 4 2
) ( ) ) ( ) ) ( ) 
4
) ( ) 5log (3 2)
x x
x x
g f x h f x i f x
x x x
j f x x
 

  

 
 
EP11) Deposita-se a quantia de $1000 em uma conta que é capitalizada 
trimestralmente à taxa anual r (taxa unitária). O saldo A após 10 anos é 
40
 = 1000 1 + 
4
r
A
 
 
 
. 
Existe o limite de A quando a taxa de juros tende para 6%? Em caso afirmativo, qual é 
o limite? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
4 LIMITES NO INFINITO 
 
4.1 Exercícios Resolvidos 
 
ER11) Observe o gráfico da função 
1
( ) = f x
x
 e responda: 
 Para quanto “tende” f(x) à 
medida que x cresce sem limitação? 0. 
 Simbolicamente, escrevemos 
 + 
lim ( ) = 0.
x
f x
 
 
 Para quanto “tende” f(x) à 
medida que x decresce sem limitação? 
0. 
 Simbolicamente, escrevemos 
 - 
lim ( ) = 0
x
f x
 
. 
 Observe a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 Os valores que completam a tabela comprovam o que pode ser observado no 
gráfico acima. 
 
 
 
 
 
 
1 0,1 0,01 0,001 0,0001 −0,01 −0,1 −0,001 −0,0001 −1 
 
 x decrescendo sem limitação x crescendo sem limitação 
x … 10000 1000 100 10 1 1 10 100 1.000 10.000 … 
f(x) ... ... 
 
f (x) tendendo a zero f (x) tendendo a zero 
x
y
Assíntota Horizontal
 
O 
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29 
ER12) Observe o gráfico da função 
2 + 1
( ) = 
x
g x
x
 e responda: 
 Para quanto “tende” g(x) à 
medida que x cresce sem limitação? 2. 
 Simbolicamente, escrevemos 
 + 
lim g( ) = 2
x
x
 
. 
 Para quanto “tende” g(x) à 
medida que x decresce sem limitação? 
2. 
 Simbolicamente, escrevemos 
 - 
lim g( ) = 2
x
x
 
. 
 
 Observe a tabela abaixo: 
 
 Os valores que completam a tabela comprovam o que pode ser observado no 
gráfico acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       









x
y
Assíntota Horizontal
 
O 
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30 
ER13) Observe o gráfico da função 3( ) = h x x . 
 Quando x cresce sem limitação h(x) 
também cresce sem limitação. 
 Simbolicamente, escrevemos 
 + 
lim h( ) = + 
x
x
 
 . 
 Quando x decresce sem limitação 
h(x) também decresce sem limitação. 
 Simbolicamente, escrevemos 
 + 
lim ( ) = 
x
h x
 
 . 
 Como se pode observar a curva h 
não possui assíntota horizontal. 
 
 
ER14) Observe os casos a seguir: 
 
 + 
a) lim ( ) = 3
x
f x
 
 e 
 - 
lim ( ) = 3
x
f x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O limite de uma função 
constante é a própria 
constante. 
 + 
 - 
lim = , 
lim = , 
x
x
a a a
a a a
 
 


 
        








x
y
O 
 
        






x
y
 3)( xf
 O 
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31 
5
 + 
b) lim = + 
x
x
 
 e 5
 - 
lim = 
x
x
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 + 
c) lim = + 
 

x
x e 6
 - 
lim = + 
x
x
 
 
 
    



x
y
   6xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao lado temos o gráfico da função 
polinomial f(x) = x5, como podemos 
observar, quando x cresce sem 
limitação a função também cresce 
sem limitação e quando x decresce 
sem limitação a função também 
decresce sem limitação. 
 
Ao lado temos o gráfico da função 
polinomial f(x) = x6, como podemos 
observar, quando x cresce sem 
limitação a função também cresce 
sem limitação e quando x decresce 
sem limitação a função também 
cresce sem limitação. 
 
    









x
y
   5xxf 
 
 O 
 O 
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32 
5 ASSÍNTOTA HORIZONTAL 
 
5.1 Introdução 
 
 Uma reta y = L é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f 
se f(x)  L, quando x  ou + x   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vimos no exercício 1.2.3 que o 
 + 
1
lim 1 + = e
x
x x 
 
 
 
. Além disso, o 
 - 
1
lim 1 + = e
x
x x 
 
 
 
. 
 Quando 
 + 
lim ( )
x
f x
 
=L1 e 
 
lim ( )
 x
f x =L2, as retas y=L1 e y=L2 são assíntotas 
horizontais do gráfico de f . Algumas funções têm duas assíntotas horizontais: uma à 
direita e outra à esquerda, como por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O         








x
y
Assíntota Horizontal
Assíntota Horizontal
 
 
 
1
2
)(
2 

x
x
xf
O 
     




x
y
Assíntota Horizontal
 
 x
x
xf 






1
1)(
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33 
 Mostraremos a seguir que 
2 + 
2
lim = 2
 + 1x
x
x 
 e que 
2 
2
lim = 2
 + 1x
x
x 
 . 
Portanto o gráfico da função 
2
2
( ) = 
 + 1
x
f x
x
 possui duas assíntotas horizontais. 
Demonstração: Demonstração: 
 2
1
1
2
lim
1
2
lim´
1
2
lim
1
2
lim
22
222







 
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
2
1
1
2
lim
1
2
lim´
1
2
lim
1
2
lim
22
222








 
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
 
 
 Note que o gráfico de uma função pode cortar suas assíntotas horizontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
3
4
( )
3 7
x x
f x
x



 
y 
x 
Assíntota Horizontal 
O 
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34 
5.2 Exercícios Resolvidos 
 
ER15) Calcule 
2x 
2
lim 5
x  
 
 
 
. 
 Pode-se verificar este limite traçando o gráfico de 
2
2
( ) 5f x
x
  : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que o gráfico tem y = 5 como assíntota horizontal à direita. Calculando o 
limite de f (x) quando x , vê-se que esta reta também é assíntota horizontal à 
esquerda. 
 
ER16) Determine as equações das assíntotas horizontais dos gráficos das funções: 
 
a) 
2
2 3
3 1
x
y
x
 


 b) 
2
2
2 3
3 1
x
y
x
 


 c) 
3
2
2 3
3 1
x
y
x
 


 
 
Solução 
 
a) 
2 2
2 3 2 2
lim lim lim 0.
3 1 3 3x x x
x x
x x x  
   
  

 
 O 
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35 
2 2
2 3 2 2
lim lim lim 0.
3 1 3 3x x x
x x
x x x  
   
  

 
O gráfico que representa a função possui uma assíntota horizontal com equação 
y = 0. 
 
b) 
2 2
2 2
2 3 2 2 2
lim lim lim .
3 1 3 3 3x x x
x x
x x  
   
   

 
2 2
2 2
2 3 2 2 2
lim lim lim .
3 1 3 3 3x x x
x x
x x  
   
   

 
O gráfico que representa a função possui uma assíntota horizontal com equação 
y = 
2
.
3
 
 
c) 
3 3
2 2
2 3 2 2
lim lim lim .
3 1 3 3x x x
x x x
x x  
   
   

 
3 3
2 2
2 3 2 2
lim lim lim .
3 1 3 3x x x
x x x
x x  
   
   

 
O gráfico que representa a função não possui assíntota horizontal. 
 
ER17) A população y de uma cultura de bactérias segue o modelo da função logística 
 - 0,3 
925
 = 
1 + e t
y 
onde t é o tempo em dias. A população tem um limite quando t cresce ilimitadamente? 
Justifique sua resposta. 
 
Solução 
 0,3 
925 925
lim 925
1 + e 1 + 0tx 
  , pois 0,3 
 0,3 +
1 1 1
lim e lim 0.
e e
t
tx x

 
   

 
Logo, y tende a 925. 
 
Observação 
 0,3 lim e t
x
  , pois e > 1. 
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36 
ER18) A aprendizagem P(t) ao longo de t anos de trabalho de um operário é dada por 
P(t) = 60 – 20. e - 0,2t. 
O que ocorre com a aprendizagem depois de vários anos de trabalho? 
 
Solução 
 0,2 0,2
20
lim 60 20 lim 60 60t
tt t
e
e

 
 
    
 
 
 Logo, o nível de aprendizagem tende a 60. 
 
5.3 Exercícios Propostos 
 
EP12) Determine as equações das assíntotas horizontais e verticais: 
a) 
2
2
1
( )
x
f x
x

 b) 
 
3
4
( )
2
f x
x


 c) 
2
2
2
( )
2
x
f x
x x


 
 d) 
2
( )
1
x
f x
x



 
e) 
3
2
( )
1
x
f x
x


 f) 
2
4
( )
4
x
f x
x



 g) 
2
2
1
( )
2 8
x
f x
x



 h) 
2
3
1
( )
8
x
f x
x



 
 
EP13) Dada a Lista I de funções reais de variável real. Associe cada função da Lista I 
ao seu gráfico na Lista II. Recorra às assíntotas horizontais como auxílio. 
 
Lista I 
i) 
2
2
3
( )
2
x
f x
x


 ii) 
2
2
( )
2
x
f x
x


 iii) 
2
( )
2
x
f x
x


 
iv) 
2
4
( ) 2
1
x
f x
x
 

 v) 
2
1
( ) 5
1
f x
x
 

 vi) 
2
2
2 3 5
( )
1
x x
f x
x
 


 
 
 
 
 
 
 
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37 
 
Lista II 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
e) f) 
 
 
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38 
 
EP14) Determine, se existirem, as equações das assíntotas horizontais dos gráficos 
das funções reais abaixo: (Verifique suas respostas utilizando um software que possua 
recursos gráficos.) 
2
2 2
2 2
2
2
2 3
a) ( ) = b) ( ) = + 4
2
3 6 9 1
c) ( ) d) ( ) = 
6 3 + 2
e) ( ) = 
1 + + 2
x
f x f x x
x
x x x
f x f x
x x x x
x
f x
x x


  

  
 
 
 
EP15) Calcule os limites, se existir: 
 +
4 3
a) lim 
2 5x
x
x 


 
Solução: 
 + + +
4 3 3
4
4 3 4
lim = lim = lim = = 2
2 5 52 5 2
2 + 
x x x
x
x x x
xx
x x
     



 ou 
 + + +
4 3 4
lim = lim = lim 2 = 2
2 5 2x x x
x x
x x     


 
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39 
 
2 2
3 3 + - 
2
 - 
4 2 2 + 5
b) lim c) lim 
7 3 4 1
d) lim 5 e) lim
x x
x x
x x x x
x x
x
   
 
 
  
  
   
 
3
 + 
2
 + + 
3 2
 + + 
 1365
f) lim 3 g) lim 
h) lim + 1 i) lim 
x x
x x
x
x x x
x x x
 
   
   

 
   4 3 2
2
2 + - 
2 3
3 +
 + 7 + 1
 1 5 + 8
j) lim k) lim 
 + 1 + 3
1 + x 5
l) lim 
4 
x x
x
x x x x
x x x
x x
x x
x
   
 
 
 
 

   
3
3 - 
- 
 + + 
3 2
2 +
1 4
 m) lim 
5 8
n) lim 10 + e o) lim ln + 1
2 5 + 3
p) lim 
 + 4 1
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x x
 
   
 


  


2
 2
2
2 0 1
 1, 2
 q) lim ( ) onde ( ) 
 1, 2
, 0
r) lim ( ) onde ( ) s) lim ( ) onde 
1 + , 0
x
x x
x x
f x f x
x x
x x
f x f x f x
x x

 
  
 
 
 
 

  2
 0 0
3 + 1, 1
( ) 
0, = 1
t) lim e u) lim ln 1 + x
x x
x x
f x
x
x x
 

 

 
 
 
2 2
3 3 + - 
2
 - 
4 2 2 - + 5
b) lim c) lim 
-7 3 4 - 1
d) lim 5 e) lim
x x
x x
x x x x
x x
x
   
 


  
   
 
3
 + 
2
 + + 
3 2
 + 
 1365
f) lim 3 - g) lim - 
h) lim - - + 1 i) lim
x x
x x
x
x x x
x x x
 
   
 

 4 3 2
 + 
2
2 + - 
2 3
3 +
 - + 7 - + 1
 1 - 5 + 8
j) lim k) lim 
 + 1 + 3
1 - + x 5
l) lim 
4 
x x
x
x x x x
x x x
x x
x x
x
 
   
 




   
3
3 - 
- 
 + + 
3 2
2 +
1 4
 m) lim 
5 8
n) lim 10 + e o) lim ln + 1
2 5 + 3
p) lim 
 + 4 1
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x x
 
   
 


  


2
 2
2
2 0
 1, 2
 q) lim ( ) onde ( ) 
 1, 2
, 0
r) lim ( ) onde ( ) s) lim
1 + , 0
x
x x
x x
f x f x
x x
x x
f x f x
x x


  
 
 
 
 

 
 1
 2
 0 0
3 + 1, 1
 ( ) onde ( ) 
0, = 1
t) lim e u) lim ln 1 + x
x x
x x
f x f x
x
x x

 

 

 
 
 
Observação 
 Se existem 1
 
lim ( )
x a
L f x

 e 2
 
lim ( )
x a
L g x

 , então: 
(1)   1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L L
  
     . (O limite da soma é a soma dos 
limites). 
(2)   1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L L
  
     . (O limite da diferença é a diferença 
dos limites). 
(3)   1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L L
  
     . (O limite do produto é o produto dos 
limites). 
(4) 1
2
lim ( )( )
lim 
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f x Lf x
g x g x L



  , com 2 0L  . (O limite do quociente é o quociente dos 
limites desde que o limite do denominador não seja zero). 
(5)      1lim ( ) lim ( )
n
n n
x a x a
f x f x L
 
  . (O limite da potência é a potência do limite). 
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40 
(6) 
1lim ( ) lim ( )
n nn
x a x a
f x f x L
 
  , desde que 1 0L  se n for par. (O limite da raiz n-ésima 
é a raiz n-ésima do limite). 
(7) 1
lim ( ) 
( )lim x a
f x
Lf x
x a
b b b

  , com 0 1b  . (O limite da exponencial é a exponencial do 
limite). 
(8)     1lim log log lim logb b b
x a x a
f x f x L
 
       
, desde que 1 0L  e 0 1b  . (O limite do 
logaritmo é o logaritmo do limite). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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41 
6 DERIVADA 
 
6.1 Definição 
 
 A derivada de uma função f é a função denotada por f ’, tal que seu valor em 
qualquer número x do domínio de f seja dado por '
0
( ) ( )
( ) lim
h
f x h f x
f x
h
 
 , se esse 
limite existir. 
Se f admitir derivada em um ponto do seu domínio, então diremos que f é 
derivável ou diferenciável nesse ponto. 
 
Se y = f (x), sua derivada pode ser representada por: 
 
1) f ’(x)  
d
3) ( )
d
f x
x
 
d
5) 
d
y
x
 
 
2) y ’  4) D ( )
x
f x 
 
Observação 
 
 
d
d
y
x
 é um símbolo para a derivada e não deve ser considerado como uma razão. 
 
Exemplos: 
 
a) f(x) = k, k  
 
Temos que '
 0 0
 ( ) ( ) k k
( ) = lim = lim = 0
h h
f x h f x
f x
h h 
  
. Logo, se f(x) = k 
então f ’ (x) = 0. 
 
b) f(x) = x 
 
Temos que '
 0 0
 ( ) ( ) 
( ) = lim = lim = 1
h h
f x h f x x h x
f x
h h 
   
. Logo, se 
f(x) = x então f ’ (x) = 1. 
 
c) f(x) = x2 
 
Temos que 
2 2
 '
 0 0
 ( ) ( ) ( ) 
( ) = lim = lim =
h h
f x h f x x h x
f x
h h 
   
 
 
2 2 2
 0 0
 2 
= lim = lim 2 = 2
h h
x xh h x
x h x
h 
  
 . Logo, se f(x) = x2 então f ’ (x) = 2x. 
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42 
d) f(x) = x3 
 
Temos que 
3 3
 '
 0 0
 ( ) ( ) ( ) 
( ) = lim = lim =
h h
f x h f x x h x
f x
h h 
   
 
 
3 2 2 3 3
2 2 2
 0 0
3 3
= lim = lim 3 3 = 3
h h
x x h xh h x
x xh h x
h 
   
  . Logo, se f(x) = x3 então 
f ’ (x) = 3x2. 
 
 De modo geral, se f(x) = xn, n  , então ' 1( ) = nf x n x  . 
 
6.2 Algumas regras de derivação 
 
 
'
' 1
' ' '
( ) ' ( ) '
'
1) ( ) k ( ) 0, k 
2) ( ) ( ) , 
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4) ( ) ( ) . ( ) . ln , , com 0 1
5) ( ) ( ) ( ) .
n n
g x g x
n
f x f x
f x x f x nx n
f x g x h x f x g x h x
f x a f x a g x a a a
f x g x f x n

   
   
    
     
    
 
1 '
' ' '
' '
'
2
'
'
 ( ) . ( ), 
6) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( )
( ) ( ) . ( ) ( ) . ( )
7) ( ) ( ) , ( ) 0
( ) ( )
( )
8) ( ) log ( ) ( ) , 
( ) . ln 
n
a
g x g x n
f x g x h x f x g x h x g x h x
g x g x h x g x h x
f x f x h x
h x h x
g x
f x g x f x a
g x a


   

   
   
'
'
, com 0 1
9) ( ) ( ) cos 
10) ( ) cos ( ) 
a
f x sen x f x x
f x x f x sen x
 
  
   
 
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43 
 ' 2
 ' 2
 '
 '
11) ( ) tg ( ) sec 
12) ( ) cotg ( ) cossec 
13) ( ) sec ( ) sec . tg 
14) ( ) cossec ( ) cossec . cotg 
f x x f x x
f x x f x x
f x x f x x x
f x x f x x x
  
   
  
   
 
 
6.3 Exercícios Resolvidos 
 
ER19) Derive as funções a seguir. 
 
a) f(x) = x2 – 2x + 4 
b) f(x) = x3 – 3x – 7 
c) f(x) = 
2 1xe  
d)f(x) = 3x  
e) f(x) = 
2
3
x
x


 
 
Solução 
 
a) '( ) = f x 2x – 2 
b) '( ) = f x 3x2 – 3 
c) '( ) = f x
2 2 1 1. 2 . ln '( ) = 2 . x xe x e f x x e  
d) f(x) =    
1 1
 
2 2
1 1
 3 ( ) 3 '( ) = . 3 .1 '( ) = 
2 2 3
x f x x f x x f x
x

      

 
e) 
     
     
2 2 2
1. 3 2 . 1 3 2 5
 '( ) = '( ) = '( ) = 
3 3 3
x x x x
f x f x f x
x x x
      
 
  
 
 
 
ER20) Determine as derivadas das funções. 
 
3a) = 8y x 
1
b) 
1
y
x


 
3c) y x 
2 3
d) =
3 2
x
y
x


 
e) y x 
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44 
f) 3 5y x  
g) ( ) = tg + cos 
h) ( ) = 4 sen 
g y y y
f x x x
 
 
Solução 
 
2a) ' = 3y x 
     
 
1 2
2
1 1
b) 1 ' 1 . 1 .1 '
1 1
y y x y x y
x x
 
          
 
 ou 
 
   
2 2
0. 1 1.11 1
' '
1 1 1
x
y y y
x x x
 
     
  
 
2c) ' 3y x 
   
   
2 2
2. 3 2 2 3 .3 13
d) ' '
3 2 3 2
x x
y y
x x
   
  
 
 
1 1
 
2 2
1 1
e) ' '
2 2
y x y x y x y
x

       
   
 
1 1
 
2 2
1
2
1 3
f) 3 5 3 5 ' . 3 5 .3 '
2
2. 3 5
y x y x y x y
x

         

 
 
2g) '( ) sec sen
h) '( ) 4.sen 4 .cos '( ) 4 sen .cos
g y y y
f x x x x f x x x x
 
    
 
 
Note que nos itens b) e f) optamos por reescrever a lei que define a função para 
em seguida aplicarmos a regra de derivação adequada. 
 
ER21) Calcule o valor de ' ( )f a em cada caso. 
 
3a) ( ) 2 , 2
1
b) ( ) , 3
2 3
f x x a
f x a
x
   
 

 
 
Solução 
   
   
2 2
1 3
 
2 2
3 3
2 2
a) '( ) 3 '( 2) 3.( 2) '( 2) 12.
1 1 1
b) ( ) 2 3 '( ) . 2 3 .2 '( ) '(3)
2
2 3 2.3 3
1
'(3) .
27
f x x f f
f x x f x x f x f
x
f
 
          
            
 
  
 
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45 
Atente que primeiro nós calculamos a derivada da função e em seguida 
aplicamos o valor de a, em cada caso. Siga esses passos para calcular os dois 
próximos. 
 
2c) ( ) 4, 4
d) ( ) 1 9 , 7
f x x x a
f x x a
   
  
 
 
Solução 
 
   
   
1 1
 
2 2
1 1
2 2
c) '( ) 2 1 '(4) 2.4 1 '(4) 7
1 9 9
d) ( ) 1 9 '( ) . 1 9 .9 '( ) '(7)
2
2 1 9 2 1 9.7
9
'(7) '( )
16
f x x f f
f x x f x x f x f
x
f f x

      
         
 
  
 
 
6.4 Exercícios Propostos 
 
EP16) Calcule a derivada das funções. 
 
 
2
3 2
2
3
4 2
7 5
) ( ) ) ( ) 1 2
2
3
) ( ) 3 5 2 ) ( ) 
1
1 1
) ( ) 
4 2
x
a f x b f x x x
c f x x x x d f x
x
e f t t t

   

    

  3
4 4 2 4
4
3 2 4 3
4
 ) ( ) 
3
1
) ( ) 4 ) ( ) 5 4
4
) ( ) 3( ) ) ( ) (2 1)(5 6 )
f v r r
g f x x h f x x x x
x
i f s s s j f x x x x

 

     
    
 
 
3
33
24
2 2 2
3 2
7 3
) ( ) ) ( ) 
3
3 2
) ( ) (2 5)(4 1) ) ( ) (4 3)
) ( ) (7 3 ) ) (
x
k g y l f x
x
y y
m g x x x n f x x
o g y y p f t
  

    
  3 2
2
2 2
3
3
) ( 2 1)(2 3 )
2 1 5
) = ) 
2 1 1 2
8 2
) ) 
8 3
t t t t
x x t
q y r y
x x t
y x
s y t y
y x
   
 

  

 
 
 
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46 
3
3
2 2 3 1
3
1
7
42
5
) ( ) log ( 3 ) ) ( ) 5
) ( ) ) ( ) log ( 3 6)
x x
y y
u f x x x v f x
w g y e x f x x
 

  
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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47 
7 REGRA DE L’HÔSPITAL 
 
7.1 Introdução 
 De modo geral, se tivermos um limite da forma 
x a
( )
lim 
( )
f x
g x
 em que ( ) 0f x  e 
( ) 0g x  quando x a , então esse limite pode ou não existir e é denominado forma 
indeterminada do tipo 
0
0
. 
Para as funções racionais, podemos cancelar os fatores comuns: 
 
2
2x 1 x 1 x 1
( 1) 1
lim lim lim 
( 1)( 1) 1 21
x x x x x
x x xx  
 
  
  
. 
 
Entretanto esse método não resolve limites como 
x 1
ln
lim 
1
x
x 
. 
 Limites como o anterior podem ser resolvidos usando a Regra de L’Hôspital. 
 Outra situação na qual um limite não é óbvio ocorre quando procuramos uma 
assíntota horizontal de F e precisamos calcular o limite 
x 
ln
lim 
1
x
x  
. Não é óbvio como 
calcular esse limite, pois tanto o numerador como o denominador tornam-se muito 
grandes quando x  . Em geral, se tivermos um limite da forma 
x 
( )
lim 
( )
f x
g x 
 em que 
( )f x  (ou  ) e ( )g x  (ou  ), então o limite pode ou não existir, e é 
chamado forma indeterminada do tipo 


. Esse limite pode ser calculado para certas 
funções, dividindo o numerador e o denominador pela potência mais alta de x que 
ocorre no denominador. Por exemplo, 
2 2
2x x 
2
1
1
1 1 0 1
lim lim 
1 2 0 22 1
2
x x
x
x
   

 
  


. Esse 
método não funciona para um limite como 
x 
ln
lim 
1
x
x  
, mas a Regra de L’Hôspital 
também pode ser aplicada a esse tipo de forma indeterminada. 
 
 
 
 
 
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48 
7.2 Definição 
 
Suponha que f e g sejam deriváveis e g’(x)  0 em um intervalo aberto I que 
contém a. Suponha que 
 
x a
lim ( ) 0f x

 e 
x a
lim g( ) 0x

 
ou que 
x 
lim ( )f x
 
  e 
x 
lim g( )x
 
  
 Então 
x x
( ) '( )
lim lim 
( ) '( )a a
f x f x
g x g x 
 se tal limite existir. 
 
Observação 
 
Usaremos a sigla L’H para indicar o uso da Regra de L’Hôspital. 
 
7.3 Exercícios Resolvidos 
 
ER22) Calcule os limites, caso existam. 
 
a) 
x 1
ln
lim 
1
x
x 
 
b) 
2x 
lim 
xe
x 
 
c) 
3x 
ln
lim 
x
x 
 
 
Solução 
 
a) 
x 1
ln ln1 0
lim 
1 1 1 0
x
x
 
 
(símbolo de indeterminação) 
'
x 1 x 1 x 1
1
ln 1 1.lnlim lim lim 1
1 1 1
L Hx x e
x x  
   

 
 
b) 
2x 
lim 
xe
x 



 (símbolo de indeterminação) 
'
2x x x 
.1.ln
lim lim lim 
2 2
x x xL He e e e
x x x     

  

 (símbolo de indeterminação) 
'
x x x 
.1.ln
lim lim lim 
2 2 2
x x xL He e e e
x     
    
 
 
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49 
c) 
3x 
ln
lim 
x
x 



 (símbolo de indeterminação) 
2'
3
1 2 13 
3 3 3
1
ln ln 1 3
lim lim lim lim .3 lim 0
1
3
L H
x x x x x
x x x x
xx
x x x
         
     
 
7.4 Exercícios propostos 
 
EP17) Determine, se existir, os limites: 
 
a) 
x 0
 
lim 
tg x x
x

 
b) 
x
sen 
lim 
x
x  
 
 
c) 
2x 0
1 cos
lim 
x
x

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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50 
8 TAXA DE VARIAÇÃO 
 
8.1 Definição 
 
 A taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente é 
igual à inclinação de seu gráfico, a qual é medida pela inclinação da reta tangente no 
ponto em questão. Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função, 
segue-se que a taxa de variação instantânea é igual à derivada. 
 
8.2 Exercícios Resolvidos 
 
ER23) Estima-se que, x meses a partir de agora, a população de umacerta 
comunidade será de P(x) = x2 + 20x + 8000. 
 
a) A que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses a partir de 
agora? 
 
b) Por quanto a população variará realmente durante o 16°. mês? 
 
Solução 
 
a) P’(x) = 2x + 20 → P’(15) = 2.15 + 20 ⇔ P’(15) = 50. A população estará variando em 
50 indivíduos. 
 
b) P(16) − P(15) = 162 + 20.16 + 8000 – (152 + 20.15 + 8000) = 256+320–225–300 = 51. 
A população terá um acréscimo real de 51 indivíduos. 
 
 
 
 
 
 
 
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51 
8.3 Exercícios Propostos 
 
EP18) Estima-se que, t anos a partir de agora, a circulação de um jornal local impresso 
será dada por C(t)=100t2 + 400t + 5000. 
 
a) Deduza uma expressão para a taxa na qual a circulação estará variando em relação 
ao tempo t anos a partir de agora. 
b) A que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de 
agora? A circulação estará aumentando ou diminuindo nesse tempo? 
c) De quanto a circulação realmente variará durante o sexto ano? 
 
EP19) Um estudo ambiental de uma certa comunidade urbana sugere que, t anos a 
partir de agora, o nível médio de monóxido de carbono no ar será de 
Q(t) = 0,05t2 + 0,1t + 3,4 ppm (partes por milhão). 
 
a) A que taxa o nível de monóxido de carbono estará variando em relação ao tempo 
daqui a 1 ano? 
b) De quanto o nível de monóxido de carbono variará neste ano? 
 
EP20) Um produtor pode fabricar gravadores a um custo de R$ 20,00 a unidade. É 
estimado que, se os gravadores são vendidos a x reais cada, os consumidores 
comprarão (120 − x) gravadores por mês. Use o cálculo para determinar o preço no 
qual o lucro do produtor será máximo. 
 Em Economia, a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser 
descrita pelos conceitos de média ou de marginal. O conceito de média expressa a 
variação de uma quantidade em relação à variação especificada dos valores de uma 
segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal refere-se à variação 
instantânea na primeira quantidade que resulta de uma pequena variação na segunda 
quantidade. Para definir precisamente o conceito de marginal usamos a noção de limite 
que nos leva à derivada. 
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52 
 Suponhamos que C(x) seja o custo total da produção de x unidades de certa 
mercadoria. A função C á chamada função custo total. 
 Obtemos o custo médio da produção de cada unidade de uma mercadoria 
dividindo o custo total pelo número de unidades produzidas. Se Q(x) for o custo médio, 
( )
( ) 
C x
Q x
x
 e Q é chamada função custo médio. 
 Suponha agora que o número de unidades de uma dada produção seja x1, e que 
esse número varie por um valor x . Então, a variação no custo total será dada por 
C(x1 + x ) - C(x1) e a variação média no custo total em relação à variação no número 
de unidades produzidas será dada por 1 1
( ) - ( )C x x C x
x
 

. Os economistas usam o 
termo custo marginal para o limite do quociente quando x tende a zero, desde que o 
limite exista. Esse limite, sendo a derivada de C em x1, estabelece que o custo 
marginal, quando x = x1, é dado por C’(x1), se existir. A função C’ é chamada de 
função custo marginal, e C’(x1) pode ser interpretada como a taxa de variação do 
custo total quando x1 unidades são produzidas. 
 
EP21) A importância no custo total da fabricação de x relógios de uma certa fábrica é 
dada por C(x) = 1500 + 3x + x2. Determine: 
 
a) a função custo marginal 
b) o custo marginal quando x = 40 
c) o custo real da fabricação do quadragésimo primeiro relógio. 
 
EP22) Se C(x) for o custo total da fabricação de x pesos de papel e 
250
( ) 200 
5
x
C x
x
   , determine: 
 
a) a função custo marginal 
b) o custo marginal quando x = 10 
c) o custo real da fabricação do décimo primeiro peso de papel. 
 
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53 
9 REGRA DA CADEIA 
 
 Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então 
 
       
'
 ' ' = f g x f g x g x   
. 
 
9.1 Exercícios Resolvidos 
 
ER24) Calcule a derivada das funções a seguir. 
 
a) f(x) = sen 2x 
b) f(x) = sen(x2 + 3) 
 
Solução 
 
a)   'f x = (cos 2x). 2 
b)   'f x = (cos(x2 + 3)) . 2x = 2x.cos(x2 + 3) 
 
 
9.2 Exercícios Propostos 
 
EP23) Determine ' ( )f t se: 
 
a) f(t) = tg(3t2 + 2t) 
b) f(t) = sen2 (3t2 – 1) 
c) f(t) = 4 cos 3t – 3 sen 4t 
d) f(t) = tg2 5t3 
e) f(t) = cotg (at + b)3 
f) f(t) = cossec 4t2 – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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54 
10 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
 
10.1 Introdução 
 
 Se f = {(x,y) / y = 3x2 + 5x + 1}, então a equação y = 3x2 + 5x +1 define a função f 
explicitamente. Mas, nem todas as funções estão definidas dessa forma. Por exemplo, 
se tivermos a equação x6 - 2x = 3y6 + y5 - y2 não poderemos resolver y em termos de x; 
além disso, podem existir uma ou mais funções f, para as quais se y = f(x), a equação 
estará satisfeita, isto é, tais que a equação x6 - 2x = 3[f(x)]6 + [f(x)]5 - [f(x)]2 seja válida 
para todos os valores de x no domínio de f. Nesse caso, a função f está definida 
implicitamente pela equação dada. 
 Na equação dada, o lado esquerdo é uma função de x e o lado direito é uma 
função de y. Seja g(x) = x6 - 2x e h(y) = 3y6 + y5 - y2 onde y é uma função de x, digamos y 
= f(x). Dessa forma, a equação pode ser escrita como g(x) = h(f(x)). Essa equação está 
satisfeita por todos os valores de x no domínio de f para os quais h(f(x)) existe. Daí: 
Dx(x6 - 2x) = Dx(3y6 + y5 - y2)  5 5 46 - 2 18 5 - 2 
dy dy dy
x y y y
dx dx dx
      
5
5 5 4
5 4
6 - 2
6 - 2 (18 5 - 2 ) 
18 5 - 2
dy dy x
x y y y
dx dx y y y
    

 
 Assim, encontramos uma expressão para 
d
d
y
x
. 
 
10.2 Exercícios Resolvidos 
 
ER25) Determine 
d
d
y
x
 nos seguintes casos: 
4 2 3a) 3 7 4 8x y xy y   
 
2 2 4 4b) ( ) ( ) x y x y x y     
 
c) cos cos 1x y y x  
 
 
 
 
 
 
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55 
Solução 
 
 
3 2 4 3 2 4 2 3 2 3
3 2 3
4 2 3 2 3
4 2
a) 12 . 3 .2 7. 7 .3 8 6 21 8 12 7
12 7
6 21 8 12 7
6 21 8
dy dy dy dy dy dy
x y x y y x y x y xy x y y
dx dx dx dx dx dx
dy dy x y y
x y xy x y y
dx dx x y xy
           
 
       
 
 
 
   
 
3 3
3 3
3 3
3 3
3
3
b) 2. . 1 2. . 1 4 4 .
(2 2 ). 1 (2 2 ). 1 4 4 .
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 .
4 4 4 4
dy dy dy
x y x y x y
dx dx dx
dy dy dy
x y x y x y
dx dx dx
dy dy dy dy dy
x x y y x x y y x y
dx dx dx dx dx
dy
x y x y
dx
dy x y
dx x y
   
          
   
   
           
   
          
    

 

 
 
 
c) 1.cos .( ). .cos .( ) 0
. . cos . cos .
. cos cos .
cos .
. cos
dy dy
y x seny x y senx
dx dx
dy dy
x seny x y y senx
dx dx
dy
x seny x y y senx
dx
dy y y senx
dx x seny x
      
      
      
 
 
 
 
 
ER26) Indique a equação da reta tangente à curva 3 3 9x y  , no ponto (1, 2). 
 
Solução 
 
 
2
'
3 3 2 2
2
 9 3 3 0
dy dy x
x y x y
dx dx y
        . A reta tangente tem equação y ax b  . 
Assim, 
2
2
1 1
2 4
a     . Como 
1
4
y x b   e (1, 2) pertence à reta tangente: 
1 9
2 .1
4 4
b b     . Logo, a equação da reta tangente é 
1 9
4 4
y x   . 
 
 
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56 
10.3 Exercícios Propostos 
 
EP24) Determine 
d
d
y
x
 por derivação implícita. 
3 3 2 2
3 3
2 2 2 2 4 4
2
a) 8b) 4 9 1
1 1
c) 1 d) 2 3 5
e) f) (2 3) 3
g) 
x y xy x y
x y xy
x y
x y x y x y
x
   
   
   
 2 2( 2 ) 2 h) sec cossec 4x y x y x y    
 
 
EP25) Escreva a equação da reta tangente à curva 4 416 32x y  no ponto (1, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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57 
11 TAXAS RELACIONADAS 
 
11.1 Introdução 
 
 Em algumas situações é necessário derivar funções em relação a variáveis das 
quais não estão explícitas. 
 
11.2 Exercícios Resolvidos 
 
ER27) Determine 
d
d
y
t
. 
 
a) y = 2x, x = 3t e y = 6t 
 
b) 2 3 e 3y x x t   
 
c) 3 4 e 2y x x x t   
 
d) 2 3 1 e 3y x x t   
 
e) 2 8 e 2y x x t  
 
Solução 
 
a) x’ (t) = 3 ; y’ (t) = 6 ; y’ (t) = 2 . x’ (t) 
d d
2.
d d
y x
t t
 
 
b) 
d d d d
2 6 
d d d d
y x y x
x t
t t t t
     
 
c)  2 2
d d d d d
12 +1. 48 1
d d d d d
y x x y x
x t
t t t t t
      
 
d) 
d d d d
6 18t.
d d d d
y x y x
x
t t t t
    
 
e) 
d d d d
16 32t.
d d d d
y x y x
x
t t t t
    
 
ER28) As variáveis x e y são funções diferenciáveis de t e estão relacionadas pela 
equação 2 3y x  . Quando x = 1, 
d
2
d
x
t
 . Calcule 
d
d
y
t
quando x = 1. 
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58 
 
Solução 
 
d d d d
2 2.1.2 4
d d d d
y x y y
x
t t t t
      
 
11.3 Exercícios Propostos 
 
EP26) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede 
vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 
unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está 
deslizando, quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede? 
 
EP27) Dada x.cos y = 5 onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se 
d
d
x
t
= −4, 
determine 
d
d
y
t
 quando y = 
3
1
. 
 
EP28) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base 
com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 min / m
3
. Com que 
velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m? 
 
EP29) x e y são funções de uma terceira variável. Calcule
d
d
x
t
. 
d
a) 2 3 8 e 2
d
d
b) 20, 10 e 2
d
y
x y
t
y
xy x
t
  
  
 
d
c) (tg 1) 4, -4 e 
d
y
y x x
t
    
 
EP30) Um balão esférico de raio r perde gás à taxa de v min / m
3
. A que taxa decresce 
o raio? Calcular essa taxa quando r = 5 m, se v = 2 m3. 
 
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59 
12 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA 
 
 Seja y = f (x) uma função. 
 
12.1 Inclinação da reta secante a uma curva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reta secante s que passa por P  0 0, ( )x f x e Q  0 0, ( )x h f x h  tem coeficiente 
angular 
 0 0( )
s
f x h f x
m
h
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f (x0 + h) – f (x0) 
h 
s 
y = f (x) 
x0 x0+h 
f (x0+h) 
f (x0) 
O 
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60 
12.2 Inclinação da reta tangente a uma curva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a reta tangente t é obtida quando fazemos o ponto 
Q  0 0, ( )x h f x h  aproximar-se do ponto P  0 0, ( )x f x . 
Para que isso ocorra é necessário fazer com que o incremento h fique cada vez 
menor, isto é, aproxime-se de 0. 
Assim, podemos dizer que o coeficiente angular mt da reta tangente à curva f é 
 
t sm m quando h tende a 0. 
 
Então 0 0
0
( ) ( )
limt
h
f x h f x
m
h
 
 se existir. 
Lembrando ainda que 0 0
0
0
( ) ( )
lim '( )
h
f x h f x
f x
h
 
 , logo, podemos dizer que o 
coeficiente angular da tangente a uma curva f num ponto P  0 0,x y é 0'( )f x . 
 
 
 
 
h 
x0 x0+h 
f (x0) 
f (x0+h) 
O 
P 
Q 
t 
y = f (x) 
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61 
12.3 Exercício Resolvido 
 
ER29) Dada a curva de equação 2( )f x x , determine o coeficiente angular da reta 
tangente a curva f no ponto (3, 9). 
 
Solução 
Se 2( )f x x então '( ) 2f x x . 
O coeficiente angular é dado, portanto, pelo valor de '( )f x em cada ponto. 
Assim, nesse caso, o coeficiente angular no ponto (3, 9) é f ’(3) = 2 . 3 = 6. 
 
12.4 Exercícios Propostos 
 
EP31) Escreva a equação da reta tangente a cada curva seguinte nos pontos indicados. 
 
Curva Ponto 
a) f (x) = x2 (1, 1) 
b) f (x) = x2 de abscissa 0 
c) f (x) = x3 (0, 0) 
d) f (x) = x2 – 1 de ordenada – 1 
e) f (x) = cos x de abscissa  
f) f (x) = ex de abscissa 0 
g) f (x) = sen x 
de abscissa 
4

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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62 
13 O SINAL DA DERIVADA E O COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO 
 
13.1 O sinal da primeira derivada 
 
 Observe os gráficos abaixo e as tangentes traçadas nos diversos pontos das 
curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que as tangentes às curvas das figuras 1 e 3 têm coeficiente angular 
positivo e tais funções são CRESCENTES, enquanto que as retas tangentes às curvas 
das figuras 2 e 4 têm coeficiente angular negativo e tais funções são DECRESCENTES. 
 
 
Figura 1 Figura 2 
Figura 3 Figura 4 
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63 
Conclusão 
 
 Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[. Então: 
 
i) f é CRESCENTE em [a, b] ⇔ '( ) 0f x  em ]a, b[. 
ii) f é DECRESCENTE em [a, b] ⇔ '( ) 0f x  em ]a, b[. 
 
13.2 Exercício Resolvido 
 
ER30) Use o estudo de sinal da derivada da função f (x) = x3 – 3x2 para descrever os 
intervalos em que f é crescente e aquele em que f é decrescente. 
 
Solução 
 
Sabemos que 2'( ) 3 6f x x x  . Igualando '( )f x a zero, tem-se 
2
13 6 0 0x x x    ou 2 2x  . 
 Fazendo o quadro de estudo de sinais temos 
 
 
 
Portanto, ( )f x é crescente se x < 0 ou x > 2 e ( )f x é decrescente se 0 < x < 2. 
Note que a função f é contínua e, em torno do ponto em que x = 0, ela muda o 
comportamento de crescente para decrescente, portanto passando por um ponto mais 
alto (ponto de máximo local). 
Enquanto em torno do ponto em que x = 2 ela muda de decrescente para 
crescente, passando por um ponto mais baixo (ponto de mínimo local). 
 
 
 
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64 
13.3 Exercícios Propostos 
 
EP32) Estude cada função quanto ao crescimento e decrescimento e determine, caso 
existam, os pontos de máximo e mínimo. 
 
a) 3 2( ) 9 15 5f x x x x    b) 4( ) 4f x x x  
c) 5 3( ) 5 20 2f x x x x    d) 2( ) 3 4 1f x x x   
e) 3( ) 12 5f x x x   
 
Observação 
 
 Seja ( )y f x uma função contínua e derivável em um intervalo aberto I. 
 Se '( )f x muda de sinal em I então f tem um ponto de mínimo ou de máximo 
em I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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65 
14 CONCAVIDADE 
14.1 Introdução 
 
 De modo geral o gráfico de uma curva ( )y f x ao longo de seu domínio pode 
ter trechos com a concavidade voltada para baixo ou voltada para cima. 
 Uma das aplicações da derivada de ordem 2 é para identificar por meio do 
estudo do seu sinal quais são os intervalos em que a curva tem concavidade voltada 
para baixo (CVB) ou voltada para cima (CVC). 
 Nos intervalos em que ''y < 0 temos que ( )y f x tem CVB e aqueles em que 
''y >0 temos que ( )y f x tem CVC. 
 
14.2 Exercícios Resolvidos 
 
ER31) Estude cada curva abaixo quanto à concavidade. 
 
a) 2( ) 7 1f x x x   
b) 3 12 5y x x   
 
Solução 
 
a) 
Primeiro vamos calcular a função ''f . Assim, '( ) 2 7f x x  e ''( ) 2f x  . 
 Note que ''( ) 0f x  , para qualquer x do domínio, logo a curva f tem concavidade 
voltada para cima (CVC). 
 
b) 
Temos, 2' 3 12y x  e '' 2y  . 
 Para estudar o sinal de ''y podemos observar que '' 0y  então x = 0. 
 Podemos sintetizar, para esse caso, o estudo do sinal de ''y e as consequências 
na concavidade de y no quadro a seguir 
 
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66 
 
 Logo, y tem CVB para x < 0 e y tem CVC para x > 0. 
 Observemos que em x = 0 a curva muda a concavidade. Dizemos, nesse caso, 
que em x = 0 ocorre um ponto de inflexão. 
 
Observação 
 
 Ponto de inflexão é o ponto em que uma curva contínua muda a concavidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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67 
15 CRITÉRIO DA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E 
MÍNIMOS 
 
15.1 Definição 
 Seja ( )y f x uma função contínua e derivável até 2ª. ordem num intervalo 
aberto I, com derivadas 'f e ''f também contínuas em I. 
 Seja 0 Ix  tal que 0'( ) 0f x  . 
 Nestas condições temos: 
a) Se 0''( ) 0f x  então em 0x a função f tem um ponto de máximo local; 
b) Se 0''( ) 0f x  então em 0x a função f tem um ponto de mínimo local. 
 
15.2 Exercícios Resolvidos 
 
ER32) Estude cada função quanto aos pontos de mínimo e de máximo, usando o 
critério da 2ª. derivada. 
 
a) 3( ) 12 5f x x x   
b) 
2
( ) xf x e 
 
Solução 
a) 
Temos 2'( ) 3 12f x x  e ''( ) 6f x x . 
Assim, 2 2 2'( ) 0 3 12 0 3 12 4 2f x x x x x           . 
 
Se x = 2 então ''(2) 6.2 12f   . 
Como ''(2) 0f  então f tem um ponto de mínimo em x = 2. 
Para x = 2 tem-se f (2) = 23 – 12.2 – 5 = 8 – 24 – 5 = – 21. 
Logo o ponto de mínimo é (2, –21). 
 
Se x = – 2 então ''( 2) 6.( 2) 12f      . 
Como ''( 2) 0f   então f tem um ponto de máximo no ponto de abscissa – 2. 
Para x = – 2 tem-se f (–2) = (–2)3 – 12.(–2) – 5 = – 8 + 24 – 5 = 11. 
Logo o ponto de máximo é (–2, 11). 
 
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68 
 
 
b) 
Temos 
2
'( ) 2 xf x xe  e  
2 2 2 2''( ) 2 2 .( 2 ). ''( ) 2 4x x xf x e x x e f x e x          . 
Assim, 
2
'( ) 0 2 0 0xf x xe x      . 
 
Calculando  
20 2''(0) 2 4.0 ''(0) 1( 2 0) ''(0) 2f e f f          . 
Como ''(0) 0f  então f tem um ponto de máximo em x = 0. 
Para x = 0 tem-se 
20(0) 1f e  e o ponto máximo é (0, 1). 
 
 
15.3 Exercícios Propostos 
 
EP33) Estude o comportamento das curvas, indicando os intervalos nos quais ela é 
crescente e aqueles para os quais é decrescente. Determine, se possível, as 
coordenadas dos pontos extremos. 
 
a) 2( ) 4 1f x x x   b) 3 2( ) 2 9 2f x x x   
c) 3( )f x x d) 
4 2
g( ) 5
4 2
x x
x    
 
EP34) Nos itens da questão anterior, estude a concavidade da curva e determine as 
coordenadas dos pontos de inflexão, caso existam. 
 
EP35) De uma folha de zinco quadrada, de lado 1 m, pretende-se confeccionar uma 
caixa prismática, conforme o esquema seguinte. Quatro quadrados de lado x serão 
jogados fora, dobrando-se, em seguida, as quatro abas e soldando os quatro cantos da 
caixa. 
 
 
 
 
 Qual deve ser o valor de x para que a caixa tenha capacidade máxima? 
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69 
 
EP36) Uma empresa apurou que a sua receita total (em reais) com a venda de um 
produto admite como modelo R = −x3 + 450x2 +52.500x, onde x é o número de unidades 
produzidas (e vendidas). Qual o nível de produção que gera receita máxima? 
 
EP37) Um pacote retangular, a ser enviado via postal, pode apresentar um total 
máximo combinado de 108 centímetros para o comprimento e o perímetro transverso. 
Determine as dimensões do pacote de volume máximo. Conforme mostrado na figura a 
seguir, admita que as dimensões do pacote sejam x por x por y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula 
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70 
GABARITO 
 
EP1) f é contínua em x1=1, pois 
1
lim ( ) (1) 2
x
f x f

   . 
 
EP2) f é contínua em x1=−1, pois 
1
lim ( ) ( 1) 1
x
f x f

   . 
f não é contínua em x2=2. Como 
2
lim ( ) 4
x
f x

 e (2) 0f  , 
2
lim ( ) (2)
x
f x f

 e então f 
possui um “salto” em x2=2. 
 
EP3) a) 2 b) 2 c) 2 
d) 2 e) 4 f) −3 
g) não existe h) 1 i) 3 
j) 3 k) 3 l) −3 
m) 5 n) −4 o) não existe 
p) 5 q) −1 r) −1 
s) −1 t) 0 u) −1 
v) 0 
 
EP4) a) 1 b) 1 c) 4 d) 0 
e) 1 f) 4 g) 9 h) 16 
 
EP5) b) 0 c) 0 d) 1 
e) 1 f) 0 g) 0 
h) 121 i) 16 j) 2 
k) 4 l) 3 m) 2 
n) 2 o) 1 p) 
1
2
 
q) 
1
4
 r) 0 s) 
13
36
 
t) não existe u) 2e v) 1 
x) 
3
2
 
 
EP6) b) Como 
3
lim ( ) (3)
x
f x f

 então a função f é contínua em x = 3. 
c) Como 
2
lim ( ) (2)
x
f x f

 então a função f é contínua em x = 2. 
 
EP7) a) 2 b) 2,25 c) 2,44140625 
d) 2,48832 e) 2,59374246 f) 2,653297705 
g) 2,691588029 h) 2,704813829 i) 2,716923932 
j) 2,718145927 k) 2,718268237 l) 2,718280469 
 
 
 
 
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71 
EP8) b) 2 c) 2 d) −1 e) 0 
f) 
1
4
 g) 
1
2
 h) −6 i) 6 
j) 5 k) 3 l) 4 m) 
1

 
n) 0 o) 3 p) 
1
6
 q) 0 
r) 
1
6
 s) 
1
2
 t) 
1
2
 u) 4 
v) 12 w) 3 
 
EP9) a) 
2
3
 b) 
1
3
 c) 0 
d) −1 e) 1 f) 7 
h)  i) não existe j) não existe 
k) não existe l)  m)  
n) 7 o) 
5
9
 p)  
 
EP10) a) x = −2 e x = 2 são assíntotas verticais ao gráfico de f. 
b) f não possui assíntotas verticais. 
c) f não possui assíntotas verticais. 
d) f possui uma assíntotas vertical com equação x = 4. 
e) f possui uma assíntotas vertical com equação y = −3. 
f) f possui uma assíntotas vertical com equação x = 3. 
g) f possui uma assíntotas vertical com equação x = 0. 
h) f não possui assíntotas verticais. 
i) f possui uma assíntotas vertical com equação x = 4. 
j) f possui uma assíntotas vertical com equação x = 
2
3
 . 
 
EP11) Sim, aproximadamente $ 1814,02. 
 
EP12) Considere AV (assíntota vertical) e AH (assíntota horizontal). 
a) AV: x = 0; AH: y = 1 b) AV: x = 2; AH: y = 0 
c) AV: x = −1 e x = 2; AH: y = 1 d) AV: x = 1; AH: y = −1 
e) AV: x = −1 e x = 2; AH: não existe f) AV: não existe; AH: y = 0 
g) AV: x = −2 e x = 2; AH: y = 
1
2
 h) AV: x = 2; AH: y = 0 
 
EP13) i – a; ii – c; iii – b; iv – d; v – f; vi – e. 
 
EP14) a) y = 2 b) não existe c) y = 3 d) y = 1 e) y = 
1
2
 
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72 
 
EP15) b) 0 c) 0 d)  e)  
f)  g)  h)  i)  
j) 0 k)  l) 5 m) 
4
5
 
n) 10 o)  p)  q) 3 
r) não existe s) 4 t) 1 u) 0 
 
EP16) a) 
7
'( )
2
f x  b) '( ) 2 2f x x   
c) 2'( ) 3 6 5f x x x   d) 
 
5
3
2
'( )
1
f x
x


 
e) 3'( )f t t t  f) 2'( ) 4v r r 
g) 3
5
1
'( ) 16f x x
x
  h) 3 3 5'( ) 4 2 16f x x x x    
i)  2'( ) 3 3 2f s s s  j) 6 4 2'( ) 70 60 15 6f x x x x    
k) 
 
 
7
2 4
21 3 1
'( )
2 3 2
y
g y
y y
 


 l) 2
4
9
'( )f x x
x
  
m) 2'( ) 24 4 20f x x x   n)  2'( ) 16 4 3f x x x  
o)  2 3'( ) 18 7 3g y y y   p) 4 3 2'( ) 10 12 12 8 3f t t tt t     
q) 
 
2
2
2
4 4
'
2 1
x
y
x x
 

 
 r) 
 
2
2
2
5 10
'
1 2
t
y
t



 
s) 
 
2
2
3
48
'
8
y
y
y


 t) 
 
2
6
'
3
y
x


 
u) 
 2
2 3
'( )
3 ln 3
x
f x
x x



 v)  
32 2 3 1'( ) 6 3 .ln5.5 x xf x x    
w) 
31 7
2 2
3
'( ) 7
2
y y
g y y e
 
  
 
 x) 
 
3
4
4
'( )
2 ln5
x
f x
x


 
 
 
EP17) a) 0 b) 1 c) 
1
2
 
 
EP18) a) C’(t) = 200t + 400 
b) C’(5) = 1400. A circulação estará aumentando em 1400 unidades. 
c) C(6) – C(5) = 1500 unidades. 
 
EP19) a) Q’(1) = 0,2 ppm b) Q(1) – Q(0) = 0,15 ppm 
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73 
 
EP20) R$ 70,00 
 
EP21) a) C’(x) = 3 + 2x b) C’(40) = 83 c) C(41) – C(40) = 84 
 
EP22) a) 
2
50 2
'( )
5
C x x
x
   b) C’(10) = 3,5 c) C(11) – C(10)  3,75 
 
EP23) a)    2 2'( ) 6 2 .sec 3 2f t t t t   b)    2 2'( ) 12 .cos 3 1 .sen 3 1f t t t t   
c)  '( ) 12 3 cos 4f t sen t t   d) 2 3 2 3'( ) 30 . 5 .sec 5f t t tg t t 
e)    
2 32'( ) 3 .cossecf t a at b at b    f) 2 2'( ) 8 .cossec4 .cot 4f t t t g t  
 
EP24) a) 
2
2
8 3
3 8
dy y x
dx y x



 b) 
4
9
dy x
dx y
 c) 
2
2
dy y
dx x
  
d) 
2 3
3 2
6 3
2 9
dy x y y
dx x xy
 


 e) 
2
2
dy x xy
dx x y y



 f) 
3
2(2 3)
3
dy x
dx y

 
g) 
2
2
1 3 4
2 2
dy x xy
dx x
 

 
 h) 
2
2
sec .tg
cossec y.cot
dy x x
dx gy
 
 
EP25) 2 4y x   
 
EP26) 
9
4
 u.c./s 
 
EP27) 
2 3
15
dy
dt
  
 
EP28) 
32
25
m/min 
 
EP29) a) 3
dx
dt
  b) 2
dx
dt
  c) 1
dx
dt
 
 
EP30) 
1
50
dr
dt 
  m/min 
 
EP31) a) 2 1y x  b) 0y  c) 0y  d) 1y   
e) 1y   f) 1y x  g) 
2
2 4
y x

  
 
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74 
EP32) a) ( )f x é crescente se 1x  ou 5x  e ( )f x é decrescente se 1 5x  . ( )f x 
possui (1, 2) como ponto de máximo e (5, −30) como ponto de mínimo. 
b) ( )f x é crescente se 1x   e ( )f x é decrescente se 1x   . ( )f x possui (−1, −3) 
como ponto de mínimo e não possui ponto de máximo. 
c) ( )f x é em todo seu domínio. ( )f x não possui pontos extremos. 
d) ( )f x é crescente se 
2
3
x  e ( )f x é decrescente se 
2
3
x  . ( )f x possui 
2 1
,
3 3
 
 
 
 
como ponto de mínimo e não possui ponto de máximo. 
e) ( )f x é crescente se 2x   ou 2x  e ( )f x é decrescente se 2 2x   . ( )f x possui 
 2, 11 como ponto de máximo e (2, −21) como ponto de mínimo. 
 
EP33) a) ( )f x é crescente se 2x  e ( )f x é decrescente se 2x  . ( )f x possui (2, −5) 
como ponto de mínimo e não possui ponto de máximo. 
b) ( )f x é crescente se 0x  ou 3x  e ( )f x é decrescente se 0 3x  . ( )f x possui 
(0, 2) como ponto de máximo e (3, −25) como ponto de mínimo. 
c) ( )f x é crescente em todo seu domínio. ( )f x não possui pontos extremos. 
d) ( )g x é crescente se 1 0x   ou 1x  e ( )g x é decrescente se 1x   ou 0 1x  . 
( )g x possui 
19
1, 
4
 
 
 
 e 
19
1, 
4
 
 
 
 como pontos de mínimo e (0, 5) como ponto de 
máximo. 
 
EP34) a) O gráfico que representa ( )f x é côncavo para cima em todo seu domínio. 
( )f x não possui ponto de inflexão. 
b) O gráfico que representa ( )f x é côncavo para cima se 
3
2
x  e é côncavo para baixo 
se 
3
2
x  . ( )f x possui 
3 23
,
2 2
 
 
 
 como ponto de inflexão. 
c) O gráfico que representa ( )f x é côncavo para cima se 0x  e é côncavo para baixo 
se 0x  . ( )f x possui  0, 0 como ponto de inflexão. 
d) O gráfico que representa ( )g x é côncavo para cima se 
3
3
x   ou se 
3
3
x  e é 
côncavo para baixo se 
3 3
3 3
x   . ( )g x possui 
3 175
, 
3 36
 
  
 
 e 
3 175
, 
3 36
 
  
 
 como 
pontos de inflexão. 
 
EP35) 
1
6
x  m 
 
EP36) 350 unidades 
 
EP37) As dimensões são 18 m, 18 m e 36 m.