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Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 2 SUMÁRIO 1 LIMITES .................................................................................................................. 5 1.1 Exercícios Resolvidos ..................................................................................... 5 1.2 Exercícios Propostos ................................................................................................. 11 1.3 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 16 1.4 Exercícios Propostos ................................................................................................. 17 2 LIMITES INFINITOS .......................................................................................................... 19 2.1 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 19 3 ASSÍNTOTA VERTICAL .................................................................................................. 22 3.1 Introdução ................................................................................................................... 22 3.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 23 3.3 Exercícios Propostos ................................................................................................. 27 4 LIMITES NO INFINITO ..................................................................................................... 28 4.1 Exercícios Resolvidos .................................................................................................... 28 5 ASSÍNTOTA HORIZONTAL ............................................................................................ 32 5.1 Introdução ................................................................................................................... 32 5.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 34 5.3 Exercícios Propostos ................................................................................................. 36 6 DERIVADA ......................................................................................................................... 41 6.1 Definição ..................................................................................................................... 41 6.2 Algumas regras de derivação .................................................................................. 42 6.3 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 43 7 REGRA DE L’HÔSPITAL ................................................................................................ 47 7.1 Introdução ................................................................................................................... 47 7.2 Definição ..................................................................................................................... 48 7.3 Exercícios Resolvidos ..................................................................................... 48 7.4 Exercícios propostos ................................................................................................. 49 8 TAXA DE VARIAÇÃO ...................................................................................................... 50 8.1 Definição ..................................................................................................................... 50 8.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 50 8.3 Exercícios Propostos ................................................................................................. 51 9 REGRA DA CADEIA ........................................................................................................ 53 9.1 Exercícios Resolvidos ............................................................................................... 53 9.2 Exercícios Propostos ................................................................................................. 53 10 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA ............................................................................................... 54 10.1 Introdução ................................................................................................................. 54 10.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 54 10.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 56 11 TAXAS RELACIONADAS ............................................................................................. 57 11.1 Introdução ................................................................................................................. 57 11.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 57 11.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 58 12 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVA .............................................................. 59 12.1 Inclinação da reta secante a uma curva .............................................................. 59 12.2 Inclinação da reta tangente a uma curva ............................................................. 60 Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 3 12.3 Exercício Resolvido ................................................................................................. 61 12.4 Exercícios Propostos .............................................................................................. 61 13 O SINAL DA DERIVADA E O COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO ............. 62 13.1 O sinal da primeira derivada .................................................................................. 62 13.2 Exercício Resolvido ................................................................................................. 63 13.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 64 14 CONCAVIDADE .............................................................................................................. 65 14.1 Introdução ................................................................................................................. 65 14.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 65 15 CRITÉRIO DA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAÇÃO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS ........................................................................................................ 67 15.1 Definição ................................................................................................................... 67 15.2 Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 67 15.3 Exercícios Propostos .............................................................................................. 68 GABARITO ............................................................................................................................ 70 Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 4 APRESENTAÇÃO Este texto de Cálculo Diferencial e Integral I foi ancorado em dois temas fundamentais: Limites e continuidade e Derivadas e aplicações, desenvolvidos com apresentações sucintas da parte teórica, exercícios resolvidos (ER) e exercícios propostos (EP). A parte delimites é tratada de forma intuitiva por meio de análise de alguns gráficos, incluindo a ideia de continuidade. Desta forma, constam vários exercícios resolvidos (ER) para auxiliar a construção dos conceitos, seguidos de listas de exercícios propostos com o intuito de fixar as ideias. A parte que trata da derivada de uma função é desenvolvida a partir da definição para deduzir as primeiras regras de derivação de modo que, por meio dos ER, o aluno possa praticar. As aplicações das derivadas vão desde da taxa de variação de uma função, derivação implícita, taxas relacionadas, passando pelo significado geométrico da derivada, aplicado à determinação da equação de uma reta tangente a uma curva. Alguns tópicos foram reservados para a aplicação de derivadas ao estudo sucinto do comportamento de uma curva e de sua concavidade, bem como para a análise dos pontos extremos e de inflexão. O curso proposto deverá desenvolver atividades que possibilitem resolver problema de otimização aplicando as ideias de máximo e de mínimo de uma função. As noções do Cálculo aqui desenvolvidas pelos autores não se esgotam nessas notas de aula. Os alunos não devem prescindir de consultas a outras obras para complementar seus conhecimentos. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 5 1 LIMITES 1.1 Exercícios Resolvidos ER1) Considere a função f : definida por f(x) = x2 e usando uma calculadora determine: a) f (1,8) f) f (2,1) b) f (1,85) g) f (2,01) c) f (1,9) h) f (2,001) d) f (1,96) i) f (2,0001) e) f (2) Solução a) 3,24 f) 4,41 b) 3,4225 g) 4,0401 c) 3,61 h) 4,004001 d) 3,8416 i) 4,00040001 e) 4 ER2) Observe os resultados encontrados na questão anterior e responda: a) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de 2 e é menor do que 2? b) Para quanto se “aproxima” o valor de f (x) quando x se “aproxima” de 2 e é maior do que 2? Solução a) 4 b) 4 Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 6 ER3) Dado o gráfico da função, responda: a) Para quanto se “aproxima” o valor de f(x) quando x se “aproxima” de – 4 e x < – 4? b) Para quanto se “aproxima” o valor de f(x) quando x se “aproxima” de – 4 e x > – 4? c) Qual é o valor de f(x) quando x = – 4? d) Para quanto “tende” o valor de f (ou se “aproxima”) quando x “tende” a 2 pela esquerda (ou tende a 2 e é menor do que 2)? e) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 2 pela direita? f) Qual é o valor de f quando x = 2? g) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 4 pela esquerda? h) Para quanto “tende” o valor de f quando x “tende” a 4 pela direita? i) Qual é o valor de f (4)? Solução a) 2 b) – 3 c) – 1 d) 3 e) 3 f) 0 g) 4 h) 4 i) 4 Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 7 ER4) Considere o gráfico de uma função dado abaixo e complete, corretamente, as sentenças seguintes: a) Se x tende a a pela esquerda então f(x) tende a ______. Simbolicamente: Se x a - então f(x) ______. b) Se x tende a a pela direita então f(x) tende a ______. Simbolicamente: Se x a + então f(x) ______. c) f(a) = ______. d) Se x b - então f(x) ______. e) Se x b+ então f(x) ______. f) f(b) = ______. g) Se x c - então f(x) ______. h) Se x c + então f(x) ______. i) f(c) = ______. Solução a) g b) h c) g d) d e) d f) m g) j h) j i) j Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 8 Observação Dada uma função definida num intervalo aberto I, com a I. Para descrever o fato de que se x a - então f(x) b escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela esquerda é igual a b) Analogamente, para descrever que se x a + então f(x) c escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela direita é igual a c) Tais limites são denominados limites laterais esquerdo e direito, respectivamente. Quando os limites laterais são iguais a b dizemos que existe o limite de f(x) no ponto a e, então escrevemos: Assim, a lim ( ) x f x b se, e somente se a a lim ( ) lim ( ) = x x f x f x b . Comentários sobre o ER4: 1) Observe que, em f quando x a – (lê-se: x “tende” a a pela esquerda), f(x) “tende” a g. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela esquerda é igual a g) 2) Observe que, em f quando x a + (lê-se: x “tende” a a pela direita), f(x) “tende” a h. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a a pela direita é igual a h) lim ( ) x a f x b lim ( ) x a f x c lim ( ) x a f x b lim ( ) g x a f x lim ( ) h x a f x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 9 3) Observe que, em f quando x b - (lê-se: x “tende” a b pela esquerda), f(x) “tende” a d. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a b pela esquerda é igual a d) 4) Observe que, em f quando x b + (lê-se: x “tende” a b pela direita), f(x) “tende” a d. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a b pela direita é igual a d) 5) Observe que f(b) = m (a imagem de b é igual a m) é diferente dos limites encontrados nos itens d e e. 6) Observe que, em f quando x c - (lê-se: x “tende” a c pela esquerda), f(x) “tende” a j. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a c pela esquerda é igual a j) 7) Observe que, em f quando x c + (lê-se: x “tende” a c pela direita), f(x) “tende” a j. Para descrever este fato em linguagem simbólica escrevemos: (lê-se: limite de f(x) quando x “tende” a c pela direita é igual a j) 8) Observe que f(c) = j (a imagem de c é igual a j) é igual aos limites encontrados nos itens g e h. lim ( ) d x b f x lim ( ) d x b f x c lim ( ) j x f x + c lim ( ) j x f x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 10 Conclusão Nos itens 1 e 2, podemos concluir que quando os limites laterais são diferentes, isto caracteriza geometricamente uma descontinuidade do tipo “salto” no ponto onde x = b. Nos itens 3, 4 e 5 podemos concluir que quando os limites laterais são iguais, mas diferentes da imagem no ponto de abscissa a, esse fato algébrico revela geometricamente uma descontinuidade do tipo “furo” em x = a. Nos itens 6, 7 e 8 podemos concluir que quando os limites laterais, no ponto estudado, são iguais e iguais a imagem da função no ponto, esse fato algébrico revela geometricamente que a função é contínua nesse ponto. Para provar que f é contínua em x1 precisamos mostrar que três condições são satisfeitas: i) f (x1) existe; ii) 1 lim ( ) x x f x existe; iii) 1 1lim ( ) ( ) x x f x f x . )(lim)(lim xfxf bxbx O )()(lim)(lim afxfxf axax O )()(lim)(lim cfxfxf cxcx O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 11 1.2 Exercícios Propostos EP1) Verifique se 2 se 1 ( ) = 3 5 se > 1 x x f x x x é contínua emx1 = 1. EP2) Verifique se 2 1 se < 1 ( ) = se 1 2 2 se 2 x f x x x x x é contínua em x1 = –1 e em x2 = 2. EP3) Dado o gráfico abaixo, determine, se existir: - + - x -7 x -7 x 4 a) lim ( ) l) (2) b) lim ( ) m) lim ( ) c) lim f x f f x f x +x -7 x 4 x 4 x ( ) n) lim ( ) d) ( 7) o) lim ( ) e) lim f x f x f f x - + - -2 x -2 x 6 x ( ) p) (4) f) lim ( ) q) lim ( ) g) lim f x f f x f x +-2 x 6 x 6 x ( ) r) lim ( ) h) ( 2) s) lim ( ) i) lim f x f x f f x - + x 7 2 x 2 x 2 ( ) t) lim ( ) j) lim ( ) u) (6) k) lim f x f x f x f ( ) v) (7)f x f O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 12 EP4) Considere a função f(x) = x2 e seu gráfico dado. Calcule: 2 1 2 2 1 2 a) ( 1) e) lim b) lim f) lim c) lim x x x x f x x x 2 2 2 3 2 2 0 4 g) lim d) lim h) lim x x x x x x x EP5) Calcule, se existir: 2 3 1 64 3 2 2 t 1 1 1 b) lim k) lim 3 + 1 c) lim t + t + 5t 5 l) lim 3 + 5 d) x x x x x x x x x 2 2 1 2 2 2 5 -2 sen + cos 1 lim m) lim sen e) lim 1 n) lim 1 x x x x x x x x x x x 0 2 -3 2 f) lim sen o) lim 2 5 g) lim cos p) lim 1 x x x x 2 a 10 4 3 2 2 3 1 -2 2 7 h) lim a + 1 q) lim 5 3 + 2 i) lim r) lim log + 15 x x x x x x x x x x 2 2 2 -2 3 8 j) lim log + 6 s) lim 3 + 2x x x x x x x Para calcular o limite de uma função, primeiramente, supomos que a função é contínua no ponto estudado, como no exemplo em x = 1. Com isso podemos calcular a imagem neste ponto e igualar ao limite, pois em funções contínuas o limite no ponto é igual à imagem do ponto. Sempre que o x c lim ( ) ( )f x f c dizemos que o limite pode ser calculado por substituição direta. 2 2 1 3 1 3 2 a) lim = = = 1 1 + 1 + 1 2x x x O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 13 Para os itens a seguir considere 1 , se 1 ( ) = 1 , se 1 < < 0 e , se 0x x x f x x x x -1 0 1 2 - 2 t) lim ( ) v) lim ( ) u) lim ( ) x) lim x x x x f x f x f x ( )f x EP6) Considere as funções reais de variável real e estude a continuidade no ponto pedido: 2 2 3 + 2, se < 3 a) ( ) = 5 + 8, se 3 x x x f x x x x , para x = 3 Solução f (3) = 32 – 5 . 3 + 8 = 2 + 3 3 3 lim ( ) = 2 lim ( ) = 2 lim ( ) = 2 x x x f x f x f x Como 3 lim ( ) = (3) x f x f então a função f é contínua no ponto x = 3. 1 2, se 3 b) ( ) = 3 2 + 5, se > 3 x x f x x x , para x = 3 1 , se 0 < 2 c) ( ) = 1 , se 2 4 x x f x x x , para x = 2 EP7) Considere a função 1 ( ) = 1 + x E x x e calcule: a) E(1) g) E(50) b) E(2) h) E(100) c) E(4) i) E(1000) d) E(5) j) E(10 000) e) E(10) k) E(100 000) f) E(20) l) E(1 000 000) Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 14 Observação + + 1 lim 1 + = e lim 1 + = e x x x x x x EP8) Calcule, se existir: 22 1 1 1 1 0 a) lim = = + 1 1 + 1 0x x x (símbolo de indeterminação) Para calcular este limite vamos analisar o gráfico da função 2 1 ( ) + 1 x f x x . Manipulando algebricamente a equação da função f obtemos uma nova lei: 2 1 + 1 1 = = 1 + 1 + 1 x xx y x x x , desde que x –1. Observe que o gráfico da função f é descontínuo para x = –1. Existe um furo no gráfico. Podemos escrever a função f da seguinte maneira: como o numerador é a diferença dos quadrados de dois números, pode ser escrito como o produto da soma pela diferença desses números. Simplificando o numerador pelo denominador chegamos a h (x) = x – 1. Lembre-se que para –1, não está definido para ambas as funções, ou seja, D(f ) = D(h) = 1 . O x y Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 15 Observe o gráfico das funções f e h. O limite não é o estudo no ponto, e sim, o estudo na vizinhança de um ponto. Desta forma utilizamos esta “nova” lei para calcular o limite da função f(x) quando x tende a –1, pois os valores de f e h possuem o mesmo comportamento na vizinhança de x = –1. Compare o limite das duas funções, com a ajuda dos gráficos. 2 1 1 1 lim lim 1 2 1x x x x x 2 1 ( ) + 1 x f x x ( ) = 1h x x Podemos observar que o gráfico da função f(x) é idêntico ao gráfico de h(x), com exceção do ponto (–1, –2), que não está definido em f(x), pois x = –1 é o valor que anula o denominador da função, logo não está definido no domínio da função. Em outras palavras, f não está definida para x = –1, isto é, 1 D( f ). Lembre-se que quando calculamos o limite de uma função e encontramos o símbolo de indeterminação 0 0 , podemos, em muitos casos, calcular este limite pelo limite de outra função cujo gráfico é igual (possui a mesma vizinhança do ponto estudado) ao gráfico da função desejada. y y x x O O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 16 2 2 2 1 0 2 0 1 + 4 b) lim c) lim 1 + 2 d) lime) l x x x x x x x x x x x x 2 0 2 2 2 2 1 2 -3 im log 4 + 1 3 + 2 1 f) lim g) lim 4 1 9 h) lim + 3 x x x x x x x x x x x x x 9 2 2 0 5 2 2 9 i) lim 3 + 5 7 + 10 j) lim k) lim 5 4 l) lim 2 x x x x x x x x x x x x x x 3 2 2t 1 3 2 0 cos m) lim + 5 + 3 n) lim o) lim 2 + 1 3 2 p) lim 3 6 x x x r x x t t t t t r r r 2 2 2 3 2 2 2 4 0 4 4 q) lim 6 4 3 r) lim s) lim 2 8 2 t) s x x s s s s x x x x x x x x 2 3 2 -3 -2 3 2 2 5 + 8 lim u) lim 1 + 7 +10 8 v) lim w 3 + 2 x y x x y x y y x x x 2 2 2 5 + 2 ) lim 2 x x x x 1.3 Exercícios Resolvidos ER5) Calcule, se existir: 0 sen sen 0 0 ) lim = = 0 0x x a x (símbolo de indeterminação) Substituindo valores em x de modo que x tenda a zero pela direita e pela esquerda teremos (os cálculos devem ser feitos com a calculadora no modo radiano): Logo, 0 sen lim x x x = 1. x sen x x 0,1 0,998334 0,01 0,999983 0,001 0,999999 x sen x x –0,1 0,998334 –0,01 0,999983 –0,001 0,999999 Quando x tende a 0 pela direita sen x x tende a 1. Quando x tende a 0 pela esquerda sen x x tende a 1. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 17 0 tan tan 0 0 ) lim = = 0 0x x b x (símbolo de indeterminação) Substituindo valores em x de modo que x tenda a zero pela direita e pela esquerda teremos os valores aproximados (os cálculos devem ser feitos com a calculadora no modo radiano): Logo, 0 tan lim x x x = 1. 1.4 Exercícios Propostos EP9) Calcule, se existirem. 2 2 3 1 2 2 2 0 2 3 4 1 a) lim b) lim 1 + 4 5 c) lim d) lim 5 x x x x x x x x x x x x x x 2 3 2 1 1 2 2 6 3 2 2 + 2 1 e) lim f) lim 7 1 3 g) lim 2 x x x x x x x x x x x Solução 2 2 3 3 lim 0 2x x (Impossível) Teste: Se x = 1,9 então 2 2 2 3 3 3 3 = = = =300 0,012 1,9 2 0,1x . Logo, podemos escrever que 2 2 3 lim = + 2x x . x tan x x 0,1 1,003347 0,01 1,000033 0,001 1,000000 x tan x x –0,1 1,003347 –0,01 1,000033 –0,001 1,000000 Quando x tende a 0 pela direita tan x x tende a 1. Quando x tende a 0 pela esquerda tan x x tende a 1. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 18 Se repetirmos a operação com outros valores de x próximos de 2, pela esquerda, notaremos que os valores da função dada aumentarão cada vez mais, isto é, tenderão para + . Se x = 2,1 então 2 2 2 3 3 3 3 = = = =300 0,012 2,1 2 0,1x . Logo, podemos escrever que + 2 2 3 lim = + 2x x . Se repetirmos a operação com outros valores de x próximos de 2, pela direita, notaremos que os valores da função dada também aumentarão cada vez mais, isto é, tenderão para + . Assim, 2 2 3 lim = + - 2x x , pois 2 2 3 lim = 2x x + 2 2 3 lim = + 2x x . Agora é sua vez de calcular os casos que seguem. 2 2 1 0 2 2 3 2 h) lim i) lim 12 1 1 j) lim k) lim 2 l) lim x x x x x x xx x x + + 2 0 2 2 4 + 2 3 m) lim 2 + 1 n) lim + 3 o) lim + 5 p) lim x x x x x x x x x x x 20 1 x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 19 2 LIMITES INFINITOS 2.1 Exercícios Resolvidos ER6) Observe o gráfico cartesiano da função 1 ( ) = f x x e calcule, se existir: - + 0 0 0 i) lim ( ) ii) lim ( ) iii) lim ( ) iv) (0) x x x f x f x f x f Solução i) ii) iii) não existe i) não existe ER7) Observe o gráfico cartesiano da função 2 1 ( ) = f x x e calcule, se existir: - + 0 0 0 i) lim ( ) ii) lim ( ) iii) lim ( ) iv) (0) x x x f x f x f x f Solução i) ii) iii) i) não existe O O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 20 ER8) Observe o gráfico cartesiano da função 1 ( ) = f x x e calcule, se existir: - + 0 0 0 i) lim ( ) ii) lim ( ) iii) lim ( ) iv) (0) x x x f x f x f x f Solução i) ii) iii) não existe i) não existe ER9) Observe o gráfico cartesiano da função 2 1 ( ) = f x x e calcule, se existir: - + 0 0 0 i) lim ( ) ii) lim ( ) iii) lim ( ) iv) (0) x x x f x f x f x f Solução i) ii) iii) i) não existe O O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 21 Se o valor de f(x) cresce indefinidamente quando x “tende” a a, pela esquerda ou pela direita, então podemos escrever lim ( ) = + x a f x ou lim ( ) = + x a f x conforme for apropriado, e dizemos que f(x) cresce sem limitação quando x “tende” a a pela esquerda x a ou x “tende” a a pela direita + x a . De forma análoga, se o valor de f(x) decresce indefinidamente quando x “tende” a a, pela esquerda ou pela direita, então escrevemos lim ( ) = x a f x ou lim ( ) = x a f x conforme for apropriado, e dizemos que f(x) decresce sem limitação quando x “tende” a a pela esquerda x a ou x “tende” a a pela direita + x a . Da mesma forma, se ambos os limites laterais forem + , então escrevemos e se ambos os limites laterais são iguais a , então escrevemos Conclusão Considere o ( ) lim ( )x a h x g x . Se o limite do denominador for zero, porém não o do numerador, então há três possibilidades para o limite da função racional quando x a : i) O limite poderá ser ; ii) O limite poderá ser ; iii) O limite poderá ser de um lado e do outro. lim ( ) = + x a f x lim ( ) = x a f x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 22 3 ASSÍNTOTA VERTICAL 3.1 Introdução Uma reta x = a é chamadade assíntota vertical do gráfico de uma função f se f(x) “tende” a ou , quando x “tende” a a pela esquerda ou pela direita. Todas as funções, cujos gráficos são dados anteriormente, têm uma assíntota vertical em x = a, a qual está indicada pela reta tracejada. 1 ( ) = f x x a 2 1 ( ) = ( ) f x x a 2 1 ( ) = ( ) f x x a O O O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 23 3.2 Exercícios Resolvidos ER10) Calcule os limites, se existirem: 2 2 + 4 a) lim 2x x x Solução 22 + 4 8 (2) = = 2 2 0 f (Impossível) Usando uma calculadora obtemos: 2 2 + 4 lim = 2x x x 2 2 + 4 lim = + 2x x x Observação Acrescente mais valores na tabela, se julgar necessário, para ajudar a chegar às conclusões. Se + 2 2 2 2 + 4 + 4 lim lim 2 2x x x x x x então não existe o 2 2 + 4 lim 2x x x . x f(x) 1,9 –76,1 1,99 –796,01 1,999 –7996,001 1,9999 –79996,0001 x f(x) 2,1 84,1 2,01 804,01 2,001 8004,001 2,0001 80004,0001 Para calcular o limite desta função, devemos calcular os limites laterais. Comparamos seus valores. Se forem iguais, existe o limite no ponto e este tem o mesmo valor dos limites laterais. Se forem diferentes, não existe o limite o ponto. Podemos concluir que quando x “tende” a 2 pela esquerda a função f decresce sem limitação, ou seja, “tende” a . Podemos concluir que quando x “tende” a 2 pela direita a função f cresce sem limitação, ou seja, “tende” a + . Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 24 2 1 2 b) lim 2x + 1x x x Solução 2 1 2 1 (1) = = 01 2 1 + 1 f (Impossível) Usando uma calculadora, obtemos: 2 1 2 lim = 2 + 1x x x x 2 1 2 lim = 2 + 1x x x x Se +2 2 1 1 2 2 lim = lim 2 + 1 2 + 1x x x x x x x x então existe o limite. Assim, 2 1 2 lim = 2 + 1x x x x . x f(x) 0,9 –110 0,99 –10100 0,999 –1001000 0,9999 –100010000 x f(x) 1,1 –90 1,01 –9900 1,001 –999000 1,0001 –99990000 Podemos concluir que quando x “tende” a 1 pela esquerda a função f decresce sem limitação, ou seja, “tende” a . Podemos concluir que quando x “tende” a 1 pela direita a função f decresce sem limitação, ou seja, “tende” a . Para calcular o limite desta função, devemos calcular os limites laterais. Comparamos seus valores. Se forem iguais, existe o limite no ponto e este tem o mesmo valor dos limites laterais. Se forem diferentes, não existe o limite no ponto. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 25 3 2 2 1 c) lim 4x x x Solução 3 2 2 1 8 1 9 ( 2) = = 4 4 02 4 f (Impossível) Teste: Se x = −2,1 então 3 2 2,1 1 ( ) ( 2,1) = = ( ) ( )2,1 4 f . Logo, 3 2 2 1 lim 4x x x . Se x = −1,9 então 3 2 1,9 1 ( ) ( 1,9) = = ( ) ( )1,9 4 f . Logo, 3 2 2 1 lim 4x x x . Como 3 3 2 2 2 2 1 1 lim lim 4 4x x x x x x então não existe o 3 2 2 1 lim 4x x x . 2 1 d) lim + 1x x x Solução 2 1 1 ( 1) = 01 1 f (Impossível) Teste: Se x = −1,1 então 2 1,1 ( ) ( 1,1) = = ( ) ( )1,1 1 f . Logo, 2 1 lim + 1x x x . Se x = −0,9 então 2 0,9 ( ) ( 0,9) = = ( ) ( )0,9 1 f . Logo, 2 1 lim + 1x x x . Como 2 2 1 1 lim = lim + 1 + 1x x x x x x então existe o limite. Assim, 2 1 lim = + 1x x x . Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 26 1 e) lim 1x x x Solução 1 1 (1) = 1 1 0 f (Impossível) Teste: Se x = 0,9 então 0,9 ( ) (0,9) = = ( ) 1 0,9 ( ) f . Logo, 1 lim 1x x x . Se x = 1,1 então 1,1 ( ) (1,1) = = ( ) 1 1,1 ( ) f . Logo, 1 lim 1x x x . Como 1 1 lim lim 1 1x x x x x x então não existe o 1 lim 1x x x . 2 3 f) lim 2x x Solução 3 3 (2) = 2 2 0 f (Impossível) Teste: Se x = 1,9 então 3 ( ) (1,9) = = ( ) 1,9 2 ( ) f . Logo, 2 3 lim 2x x . Se x = 2,1 então 3 ( ) (2,1) = = ( ) 2,1 2 ( ) f . Logo, 2 3 lim 2x x . Como 2 2 3 3 lim lim 2 2x xx x então não existe o 2 3 lim 2x x . Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 27 3.3 Exercícios Propostos EP10) Verifique se o gráfico de cada função real abaixo possui assíntota vertical. Em caso afirmativo estabeleça sua equação. Verifique suas respostas utilizando um software que possua recursos gráficos. Sugestão: utilizem o software Winplot (https://winplot.br.softonic.com). 4 2 2 2 3 4 2 1 3 2 a) ( ) = b) ( ) = c) ( ) 4 + 1 2 1 3 d) ( ) = e) ( ) = ) 94 x x x x f x f x f x x x x x y f x f y f f yx 3 2 ( ) log( 3) 1 4 2 ) ( ) ) ( ) ) ( ) 4 ) ( ) 5log (3 2) x x x x g f x h f x i f x x x x j f x x EP11) Deposita-se a quantia de $1000 em uma conta que é capitalizada trimestralmente à taxa anual r (taxa unitária). O saldo A após 10 anos é 40 = 1000 1 + 4 r A . Existe o limite de A quando a taxa de juros tende para 6%? Em caso afirmativo, qual é o limite? Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 28 4 LIMITES NO INFINITO 4.1 Exercícios Resolvidos ER11) Observe o gráfico da função 1 ( ) = f x x e responda: Para quanto “tende” f(x) à medida que x cresce sem limitação? 0. Simbolicamente, escrevemos + lim ( ) = 0. x f x Para quanto “tende” f(x) à medida que x decresce sem limitação? 0. Simbolicamente, escrevemos - lim ( ) = 0 x f x . Observe a tabela abaixo: Os valores que completam a tabela comprovam o que pode ser observado no gráfico acima. 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 −0,01 −0,1 −0,001 −0,0001 −1 x decrescendo sem limitação x crescendo sem limitação x … 10000 1000 100 10 1 1 10 100 1.000 10.000 … f(x) ... ... f (x) tendendo a zero f (x) tendendo a zero x y Assíntota Horizontal O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 29 ER12) Observe o gráfico da função 2 + 1 ( ) = x g x x e responda: Para quanto “tende” g(x) à medida que x cresce sem limitação? 2. Simbolicamente, escrevemos + lim g( ) = 2 x x . Para quanto “tende” g(x) à medida que x decresce sem limitação? 2. Simbolicamente, escrevemos - lim g( ) = 2 x x . Observe a tabela abaixo: Os valores que completam a tabela comprovam o que pode ser observado no gráfico acima. x y Assíntota Horizontal O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 30 ER13) Observe o gráfico da função 3( ) = h x x . Quando x cresce sem limitação h(x) também cresce sem limitação. Simbolicamente, escrevemos + lim h( ) = + x x . Quando x decresce sem limitação h(x) também decresce sem limitação. Simbolicamente, escrevemos + lim ( ) = x h x . Como se pode observar a curva h não possui assíntota horizontal. ER14) Observe os casos a seguir: + a) lim ( ) = 3 x f x e - lim ( ) = 3 x f x O limite de uma função constante é a própria constante. + - lim = , lim = , x x a a a a a a x y O x y 3)( xf O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 31 5 + b) lim = + x x e 5 - lim = x x 6 + c) lim = + x x e 6 - lim = + x x x y 6xxf Ao lado temos o gráfico da função polinomial f(x) = x5, como podemos observar, quando x cresce sem limitação a função também cresce sem limitação e quando x decresce sem limitação a função também decresce sem limitação. Ao lado temos o gráfico da função polinomial f(x) = x6, como podemos observar, quando x cresce sem limitação a função também cresce sem limitação e quando x decresce sem limitação a função também cresce sem limitação. x y 5xxf O O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 32 5 ASSÍNTOTA HORIZONTAL 5.1 Introdução Uma reta y = L é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se f(x) L, quando x ou + x . Vimos no exercício 1.2.3 que o + 1 lim 1 + = e x x x . Além disso, o - 1 lim 1 + = e x x x . Quando + lim ( ) x f x =L1 e lim ( ) x f x =L2, as retas y=L1 e y=L2 são assíntotas horizontais do gráfico de f . Algumas funções têm duas assíntotas horizontais: uma à direita e outra à esquerda, como por exemplo: O x y Assíntota Horizontal Assíntota Horizontal 1 2 )( 2 x x xf O x y Assíntota Horizontal x x xf 1 1)( Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 33 Mostraremos a seguir que 2 + 2 lim = 2 + 1x x x e que 2 2 lim = 2 + 1x x x . Portanto o gráfico da função 2 2 ( ) = + 1 x f x x possui duas assíntotas horizontais. Demonstração: Demonstração: 2 1 1 2 lim 1 2 lim´ 1 2 lim 1 2 lim 22 222 xx x x x x x x x x x xxxx 2 1 1 2 lim 1 2 lim´ 1 2 lim 1 2 lim 22 222 xx x x x x x x x x x xxxx Note que o gráfico de uma função pode cortar suas assíntotas horizontais. 2 3 4 ( ) 3 7 x x f x x y x Assíntota Horizontal O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 34 5.2 Exercícios Resolvidos ER15) Calcule 2x 2 lim 5 x . Pode-se verificar este limite traçando o gráfico de 2 2 ( ) 5f x x : Note que o gráfico tem y = 5 como assíntota horizontal à direita. Calculando o limite de f (x) quando x , vê-se que esta reta também é assíntota horizontal à esquerda. ER16) Determine as equações das assíntotas horizontais dos gráficos das funções: a) 2 2 3 3 1 x y x b) 2 2 2 3 3 1 x y x c) 3 2 2 3 3 1 x y x Solução a) 2 2 2 3 2 2 lim lim lim 0. 3 1 3 3x x x x x x x x O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 35 2 2 2 3 2 2 lim lim lim 0. 3 1 3 3x x x x x x x x O gráfico que representa a função possui uma assíntota horizontal com equação y = 0. b) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 lim lim lim . 3 1 3 3 3x x x x x x x 2 2 2 2 2 3 2 2 2 lim lim lim . 3 1 3 3 3x x x x x x x O gráfico que representa a função possui uma assíntota horizontal com equação y = 2 . 3 c) 3 3 2 2 2 3 2 2 lim lim lim . 3 1 3 3x x x x x x x x 3 3 2 2 2 3 2 2 lim lim lim . 3 1 3 3x x x x x x x x O gráfico que representa a função não possui assíntota horizontal. ER17) A população y de uma cultura de bactérias segue o modelo da função logística - 0,3 925 = 1 + e t y onde t é o tempo em dias. A população tem um limite quando t cresce ilimitadamente? Justifique sua resposta. Solução 0,3 925 925 lim 925 1 + e 1 + 0tx , pois 0,3 0,3 + 1 1 1 lim e lim 0. e e t tx x Logo, y tende a 925. Observação 0,3 lim e t x , pois e > 1. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 36 ER18) A aprendizagem P(t) ao longo de t anos de trabalho de um operário é dada por P(t) = 60 – 20. e - 0,2t. O que ocorre com a aprendizagem depois de vários anos de trabalho? Solução 0,2 0,2 20 lim 60 20 lim 60 60t tt t e e Logo, o nível de aprendizagem tende a 60. 5.3 Exercícios Propostos EP12) Determine as equações das assíntotas horizontais e verticais: a) 2 2 1 ( ) x f x x b) 3 4 ( ) 2 f x x c) 2 2 2 ( ) 2 x f x x x d) 2 ( ) 1 x f x x e) 3 2 ( ) 1 x f x x f) 2 4 ( ) 4 x f x x g) 2 2 1 ( ) 2 8 x f x x h) 2 3 1 ( ) 8 x f x x EP13) Dada a Lista I de funções reais de variável real. Associe cada função da Lista I ao seu gráfico na Lista II. Recorra às assíntotas horizontais como auxílio. Lista I i) 2 2 3 ( ) 2 x f x x ii) 2 2 ( ) 2 x f x x iii) 2 ( ) 2 x f x x iv) 2 4 ( ) 2 1 x f x x v) 2 1 ( ) 5 1 f x x vi) 2 2 2 3 5 ( ) 1 x x f x x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 37 Lista II a) b) c) d) e) f) Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 38 EP14) Determine, se existirem, as equações das assíntotas horizontais dos gráficos das funções reais abaixo: (Verifique suas respostas utilizando um software que possua recursos gráficos.) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a) ( ) = b) ( ) = + 4 2 3 6 9 1 c) ( ) d) ( ) = 6 3 + 2 e) ( ) = 1 + + 2 x f x f x x x x x x f x f x x x x x x f x x x EP15) Calcule os limites, se existir: + 4 3 a) lim 2 5x x x Solução: + + + 4 3 3 4 4 3 4 lim = lim = lim = = 2 2 5 52 5 2 2 + x x x x x x x xx x x ou + + + 4 3 4 lim = lim = lim 2 = 2 2 5 2x x x x x x x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 39 2 2 3 3 + - 2 - 4 2 2 + 5 b) lim c) lim 7 3 4 1 d) lim 5 e) lim x x x x x x x x x x x 3 + 2 + + 3 2 + + 1365 f) lim 3 g) lim h) lim + 1 i) lim x x x x x x x x x x x 4 3 2 2 2 + - 2 3 3 + + 7 + 1 1 5 + 8 j) lim k) lim + 1 + 3 1 + x 5 l) lim 4 x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 - - + + 3 2 2 + 1 4 m) lim 5 8 n) lim 10 + e o) lim ln + 1 2 5 + 3 p) lim + 4 1 x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 0 1 1, 2 q) lim ( ) onde ( ) 1, 2 , 0 r) lim ( ) onde ( ) s) lim ( ) onde 1 + , 0 x x x x x f x f x x x x x f x f x f x x x 2 0 0 3 + 1, 1 ( ) 0, = 1 t) lim e u) lim ln 1 + x x x x x f x x x x 2 2 3 3 + - 2 - 4 2 2 - + 5 b) lim c) lim -7 3 4 - 1 d) lim 5 e) lim x x x x x x x x x x x 3 + 2 + + 3 2 + 1365 f) lim 3 - g) lim - h) lim - - + 1 i) lim x x x x x x x x x x x 4 3 2 + 2 2 + - 2 3 3 + - + 7 - + 1 1 - 5 + 8 j) lim k) lim + 1 + 3 1 - + x 5 l) lim 4 x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 - - + + 3 2 2 + 1 4 m) lim 5 8 n) lim 10 + e o) lim ln + 1 2 5 + 3 p) lim + 4 1 x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 0 1, 2 q) lim ( ) onde ( ) 1, 2 , 0 r) lim ( ) onde ( ) s) lim 1 + , 0 x x x x x f x f x x x x x f x f x x x 1 2 0 0 3 + 1, 1 ( ) onde ( ) 0, = 1 t) lim e u) lim ln 1 + x x x x x f x f x x x x Observação Se existem 1 lim ( ) x a L f x e 2 lim ( ) x a L g x , então: (1) 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L L . (O limite da soma é a soma dos limites). (2) 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L L . (O limite da diferença é a diferença dos limites). (3) 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L L . (O limite do produto é o produto dos limites). (4) 1 2 lim ( )( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x Lf x g x g x L , com 2 0L . (O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite do denominador não seja zero). (5) 1lim ( ) lim ( ) n n n x a x a f x f x L . (O limite da potência é a potência do limite). Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 40 (6) 1lim ( ) lim ( ) n nn x a x a f x f x L , desde que 1 0L se n for par. (O limite da raiz n-ésima é a raiz n-ésima do limite). (7) 1 lim ( ) ( )lim x a f x Lf x x a b b b , com 0 1b . (O limite da exponencial é a exponencial do limite). (8) 1lim log log lim logb b b x a x a f x f x L , desde que 1 0L e 0 1b . (O limite do logaritmo é o logaritmo do limite). Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 41 6 DERIVADA 6.1 Definição A derivada de uma função f é a função denotada por f ’, tal que seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por ' 0 ( ) ( ) ( ) lim h f x h f x f x h , se esse limite existir. Se f admitir derivada em um ponto do seu domínio, então diremos que f é derivável ou diferenciável nesse ponto. Se y = f (x), sua derivada pode ser representada por: 1) f ’(x) d 3) ( ) d f x x d 5) d y x 2) y ’ 4) D ( ) x f x Observação d d y x é um símbolo para a derivada e não deve ser considerado como uma razão. Exemplos: a) f(x) = k, k Temos que ' 0 0 ( ) ( ) k k ( ) = lim = lim = 0 h h f x h f x f x h h . Logo, se f(x) = k então f ’ (x) = 0. b) f(x) = x Temos que ' 0 0 ( ) ( ) ( ) = lim = lim = 1 h h f x h f x x h x f x h h . Logo, se f(x) = x então f ’ (x) = 1. c) f(x) = x2 Temos que 2 2 ' 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = lim = lim = h h f x h f x x h x f x h h 2 2 2 0 0 2 = lim = lim 2 = 2 h h x xh h x x h x h . Logo, se f(x) = x2 então f ’ (x) = 2x. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 42 d) f(x) = x3 Temos que 3 3 ' 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = lim = lim = h h f x h f x x h x f x h h 3 2 2 3 3 2 2 2 0 0 3 3 = lim = lim 3 3 = 3 h h x x h xh h x x xh h x h . Logo, se f(x) = x3 então f ’ (x) = 3x2. De modo geral, se f(x) = xn, n , então ' 1( ) = nf x n x . 6.2 Algumas regras de derivação ' ' 1 ' ' ' ( ) ' ( ) ' ' 1) ( ) k ( ) 0, k 2) ( ) ( ) , 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) . ( ) . ln , , com 0 1 5) ( ) ( ) ( ) . n n g x g x n f x f x f x x f x nx n f x g x h x f x g x h x f x a f x a g x a a a f x g x f x n 1 ' ' ' ' ' ' ' 2 ' ' ( ) . ( ), 6) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) 7) ( ) ( ) , ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 8) ( ) log ( ) ( ) , ( ) . ln n a g x g x n f x g x h x f x g x h x g x h x g x g x h x g x h x f x f x h x h x h x g x f x g x f x a g x a ' ' , com 0 1 9) ( ) ( ) cos 10) ( ) cos ( ) a f x sen x f x x f x x f x sen x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 43 ' 2 ' 2 ' ' 11) ( ) tg ( ) sec 12) ( ) cotg ( ) cossec 13) ( ) sec ( ) sec . tg 14) ( ) cossec ( ) cossec . cotg f x x f x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x x 6.3 Exercícios Resolvidos ER19) Derive as funções a seguir. a) f(x) = x2 – 2x + 4 b) f(x) = x3 – 3x – 7 c) f(x) = 2 1xe d)f(x) = 3x e) f(x) = 2 3 x x Solução a) '( ) = f x 2x – 2 b) '( ) = f x 3x2 – 3 c) '( ) = f x 2 2 1 1. 2 . ln '( ) = 2 . x xe x e f x x e d) f(x) = 1 1 2 2 1 1 3 ( ) 3 '( ) = . 3 .1 '( ) = 2 2 3 x f x x f x x f x x e) 2 2 2 1. 3 2 . 1 3 2 5 '( ) = '( ) = '( ) = 3 3 3 x x x x f x f x f x x x x ER20) Determine as derivadas das funções. 3a) = 8y x 1 b) 1 y x 3c) y x 2 3 d) = 3 2 x y x e) y x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 44 f) 3 5y x g) ( ) = tg + cos h) ( ) = 4 sen g y y y f x x x Solução 2a) ' = 3y x 1 2 2 1 1 b) 1 ' 1 . 1 .1 ' 1 1 y y x y x y x x ou 2 2 0. 1 1.11 1 ' ' 1 1 1 x y y y x x x 2c) ' 3y x 2 2 2. 3 2 2 3 .3 13 d) ' ' 3 2 3 2 x x y y x x 1 1 2 2 1 1 e) ' ' 2 2 y x y x y x y x 1 1 2 2 1 2 1 3 f) 3 5 3 5 ' . 3 5 .3 ' 2 2. 3 5 y x y x y x y x 2g) '( ) sec sen h) '( ) 4.sen 4 .cos '( ) 4 sen .cos g y y y f x x x x f x x x x Note que nos itens b) e f) optamos por reescrever a lei que define a função para em seguida aplicarmos a regra de derivação adequada. ER21) Calcule o valor de ' ( )f a em cada caso. 3a) ( ) 2 , 2 1 b) ( ) , 3 2 3 f x x a f x a x Solução 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 a) '( ) 3 '( 2) 3.( 2) '( 2) 12. 1 1 1 b) ( ) 2 3 '( ) . 2 3 .2 '( ) '(3) 2 2 3 2.3 3 1 '(3) . 27 f x x f f f x x f x x f x f x f Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 45 Atente que primeiro nós calculamos a derivada da função e em seguida aplicamos o valor de a, em cada caso. Siga esses passos para calcular os dois próximos. 2c) ( ) 4, 4 d) ( ) 1 9 , 7 f x x x a f x x a Solução 1 1 2 2 1 1 2 2 c) '( ) 2 1 '(4) 2.4 1 '(4) 7 1 9 9 d) ( ) 1 9 '( ) . 1 9 .9 '( ) '(7) 2 2 1 9 2 1 9.7 9 '(7) '( ) 16 f x x f f f x x f x x f x f x f f x 6.4 Exercícios Propostos EP16) Calcule a derivada das funções. 2 3 2 2 3 4 2 7 5 ) ( ) ) ( ) 1 2 2 3 ) ( ) 3 5 2 ) ( ) 1 1 1 ) ( ) 4 2 x a f x b f x x x c f x x x x d f x x e f t t t 3 4 4 2 4 4 3 2 4 3 4 ) ( ) 3 1 ) ( ) 4 ) ( ) 5 4 4 ) ( ) 3( ) ) ( ) (2 1)(5 6 ) f v r r g f x x h f x x x x x i f s s s j f x x x x 3 33 24 2 2 2 3 2 7 3 ) ( ) ) ( ) 3 3 2 ) ( ) (2 5)(4 1) ) ( ) (4 3) ) ( ) (7 3 ) ) ( x k g y l f x x y y m g x x x n f x x o g y y p f t 3 2 2 2 2 3 3 ) ( 2 1)(2 3 ) 2 1 5 ) = ) 2 1 1 2 8 2 ) ) 8 3 t t t t x x t q y r y x x t y x s y t y y x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 46 3 3 2 2 3 1 3 1 7 42 5 ) ( ) log ( 3 ) ) ( ) 5 ) ( ) ) ( ) log ( 3 6) x x y y u f x x x v f x w g y e x f x x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 47 7 REGRA DE L’HÔSPITAL 7.1 Introdução De modo geral, se tivermos um limite da forma x a ( ) lim ( ) f x g x em que ( ) 0f x e ( ) 0g x quando x a , então esse limite pode ou não existir e é denominado forma indeterminada do tipo 0 0 . Para as funções racionais, podemos cancelar os fatores comuns: 2 2x 1 x 1 x 1 ( 1) 1 lim lim lim ( 1)( 1) 1 21 x x x x x x x xx . Entretanto esse método não resolve limites como x 1 ln lim 1 x x . Limites como o anterior podem ser resolvidos usando a Regra de L’Hôspital. Outra situação na qual um limite não é óbvio ocorre quando procuramos uma assíntota horizontal de F e precisamos calcular o limite x ln lim 1 x x . Não é óbvio como calcular esse limite, pois tanto o numerador como o denominador tornam-se muito grandes quando x . Em geral, se tivermos um limite da forma x ( ) lim ( ) f x g x em que ( )f x (ou ) e ( )g x (ou ), então o limite pode ou não existir, e é chamado forma indeterminada do tipo . Esse limite pode ser calculado para certas funções, dividindo o numerador e o denominador pela potência mais alta de x que ocorre no denominador. Por exemplo, 2 2 2x x 2 1 1 1 1 0 1 lim lim 1 2 0 22 1 2 x x x x . Esse método não funciona para um limite como x ln lim 1 x x , mas a Regra de L’Hôspital também pode ser aplicada a esse tipo de forma indeterminada. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 48 7.2 Definição Suponha que f e g sejam deriváveis e g’(x) 0 em um intervalo aberto I que contém a. Suponha que x a lim ( ) 0f x e x a lim g( ) 0x ou que x lim ( )f x e x lim g( )x Então x x ( ) '( ) lim lim ( ) '( )a a f x f x g x g x se tal limite existir. Observação Usaremos a sigla L’H para indicar o uso da Regra de L’Hôspital. 7.3 Exercícios Resolvidos ER22) Calcule os limites, caso existam. a) x 1 ln lim 1 x x b) 2x lim xe x c) 3x ln lim x x Solução a) x 1 ln ln1 0 lim 1 1 1 0 x x (símbolo de indeterminação) ' x 1 x 1 x 1 1 ln 1 1.lnlim lim lim 1 1 1 1 L Hx x e x x b) 2x lim xe x (símbolo de indeterminação) ' 2x x x .1.ln lim lim lim 2 2 x x xL He e e e x x x (símbolo de indeterminação) ' x x x .1.ln lim lim lim 2 2 2 x x xL He e e e x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 49 c) 3x ln lim x x (símbolo de indeterminação) 2' 3 1 2 13 3 3 3 1 ln ln 1 3 lim lim lim lim .3 lim 0 1 3 L H x x x x x x x x x xx x x x 7.4 Exercícios propostos EP17) Determine, se existir, os limites: a) x 0 lim tg x x x b) x sen lim x x c) 2x 0 1 cos lim x x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 50 8 TAXA DE VARIAÇÃO 8.1 Definição A taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente é igual à inclinação de seu gráfico, a qual é medida pela inclinação da reta tangente no ponto em questão. Como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função, segue-se que a taxa de variação instantânea é igual à derivada. 8.2 Exercícios Resolvidos ER23) Estima-se que, x meses a partir de agora, a população de umacerta comunidade será de P(x) = x2 + 20x + 8000. a) A que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses a partir de agora? b) Por quanto a população variará realmente durante o 16°. mês? Solução a) P’(x) = 2x + 20 → P’(15) = 2.15 + 20 ⇔ P’(15) = 50. A população estará variando em 50 indivíduos. b) P(16) − P(15) = 162 + 20.16 + 8000 – (152 + 20.15 + 8000) = 256+320–225–300 = 51. A população terá um acréscimo real de 51 indivíduos. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 51 8.3 Exercícios Propostos EP18) Estima-se que, t anos a partir de agora, a circulação de um jornal local impresso será dada por C(t)=100t2 + 400t + 5000. a) Deduza uma expressão para a taxa na qual a circulação estará variando em relação ao tempo t anos a partir de agora. b) A que taxa a circulação estará variando em relação ao tempo 5 anos a partir de agora? A circulação estará aumentando ou diminuindo nesse tempo? c) De quanto a circulação realmente variará durante o sexto ano? EP19) Um estudo ambiental de uma certa comunidade urbana sugere que, t anos a partir de agora, o nível médio de monóxido de carbono no ar será de Q(t) = 0,05t2 + 0,1t + 3,4 ppm (partes por milhão). a) A que taxa o nível de monóxido de carbono estará variando em relação ao tempo daqui a 1 ano? b) De quanto o nível de monóxido de carbono variará neste ano? EP20) Um produtor pode fabricar gravadores a um custo de R$ 20,00 a unidade. É estimado que, se os gravadores são vendidos a x reais cada, os consumidores comprarão (120 − x) gravadores por mês. Use o cálculo para determinar o preço no qual o lucro do produtor será máximo. Em Economia, a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser descrita pelos conceitos de média ou de marginal. O conceito de média expressa a variação de uma quantidade em relação à variação especificada dos valores de uma segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal refere-se à variação instantânea na primeira quantidade que resulta de uma pequena variação na segunda quantidade. Para definir precisamente o conceito de marginal usamos a noção de limite que nos leva à derivada. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 52 Suponhamos que C(x) seja o custo total da produção de x unidades de certa mercadoria. A função C á chamada função custo total. Obtemos o custo médio da produção de cada unidade de uma mercadoria dividindo o custo total pelo número de unidades produzidas. Se Q(x) for o custo médio, ( ) ( ) C x Q x x e Q é chamada função custo médio. Suponha agora que o número de unidades de uma dada produção seja x1, e que esse número varie por um valor x . Então, a variação no custo total será dada por C(x1 + x ) - C(x1) e a variação média no custo total em relação à variação no número de unidades produzidas será dada por 1 1 ( ) - ( )C x x C x x . Os economistas usam o termo custo marginal para o limite do quociente quando x tende a zero, desde que o limite exista. Esse limite, sendo a derivada de C em x1, estabelece que o custo marginal, quando x = x1, é dado por C’(x1), se existir. A função C’ é chamada de função custo marginal, e C’(x1) pode ser interpretada como a taxa de variação do custo total quando x1 unidades são produzidas. EP21) A importância no custo total da fabricação de x relógios de uma certa fábrica é dada por C(x) = 1500 + 3x + x2. Determine: a) a função custo marginal b) o custo marginal quando x = 40 c) o custo real da fabricação do quadragésimo primeiro relógio. EP22) Se C(x) for o custo total da fabricação de x pesos de papel e 250 ( ) 200 5 x C x x , determine: a) a função custo marginal b) o custo marginal quando x = 10 c) o custo real da fabricação do décimo primeiro peso de papel. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 53 9 REGRA DA CADEIA Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então ' ' ' = f g x f g x g x . 9.1 Exercícios Resolvidos ER24) Calcule a derivada das funções a seguir. a) f(x) = sen 2x b) f(x) = sen(x2 + 3) Solução a) 'f x = (cos 2x). 2 b) 'f x = (cos(x2 + 3)) . 2x = 2x.cos(x2 + 3) 9.2 Exercícios Propostos EP23) Determine ' ( )f t se: a) f(t) = tg(3t2 + 2t) b) f(t) = sen2 (3t2 – 1) c) f(t) = 4 cos 3t – 3 sen 4t d) f(t) = tg2 5t3 e) f(t) = cotg (at + b)3 f) f(t) = cossec 4t2 – 5 Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 54 10 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 10.1 Introdução Se f = {(x,y) / y = 3x2 + 5x + 1}, então a equação y = 3x2 + 5x +1 define a função f explicitamente. Mas, nem todas as funções estão definidas dessa forma. Por exemplo, se tivermos a equação x6 - 2x = 3y6 + y5 - y2 não poderemos resolver y em termos de x; além disso, podem existir uma ou mais funções f, para as quais se y = f(x), a equação estará satisfeita, isto é, tais que a equação x6 - 2x = 3[f(x)]6 + [f(x)]5 - [f(x)]2 seja válida para todos os valores de x no domínio de f. Nesse caso, a função f está definida implicitamente pela equação dada. Na equação dada, o lado esquerdo é uma função de x e o lado direito é uma função de y. Seja g(x) = x6 - 2x e h(y) = 3y6 + y5 - y2 onde y é uma função de x, digamos y = f(x). Dessa forma, a equação pode ser escrita como g(x) = h(f(x)). Essa equação está satisfeita por todos os valores de x no domínio de f para os quais h(f(x)) existe. Daí: Dx(x6 - 2x) = Dx(3y6 + y5 - y2) 5 5 46 - 2 18 5 - 2 dy dy dy x y y y dx dx dx 5 5 5 4 5 4 6 - 2 6 - 2 (18 5 - 2 ) 18 5 - 2 dy dy x x y y y dx dx y y y Assim, encontramos uma expressão para d d y x . 10.2 Exercícios Resolvidos ER25) Determine d d y x nos seguintes casos: 4 2 3a) 3 7 4 8x y xy y 2 2 4 4b) ( ) ( ) x y x y x y c) cos cos 1x y y x Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 55 Solução 3 2 4 3 2 4 2 3 2 3 3 2 3 4 2 3 2 3 4 2 a) 12 . 3 .2 7. 7 .3 8 6 21 8 12 7 12 7 6 21 8 12 7 6 21 8 dy dy dy dy dy dy x y x y y x y x y xy x y y dx dx dx dx dx dx dy dy x y y x y xy x y y dx dx x y xy 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b) 2. . 1 2. . 1 4 4 . (2 2 ). 1 (2 2 ). 1 4 4 . 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 . 4 4 4 4 dy dy dy x y x y x y dx dx dx dy dy dy x y x y x y dx dx dx dy dy dy dy dy x x y y x x y y x y dx dx dx dx dx dy x y x y dx dy x y dx x y c) 1.cos .( ). .cos .( ) 0 . . cos . cos . . cos cos . cos . . cos dy dy y x seny x y senx dx dx dy dy x seny x y y senx dx dx dy x seny x y y senx dx dy y y senx dx x seny x ER26) Indique a equação da reta tangente à curva 3 3 9x y , no ponto (1, 2). Solução 2 ' 3 3 2 2 2 9 3 3 0 dy dy x x y x y dx dx y . A reta tangente tem equação y ax b . Assim, 2 2 1 1 2 4 a . Como 1 4 y x b e (1, 2) pertence à reta tangente: 1 9 2 .1 4 4 b b . Logo, a equação da reta tangente é 1 9 4 4 y x . Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 56 10.3 Exercícios Propostos EP24) Determine d d y x por derivação implícita. 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 4 4 2 a) 8b) 4 9 1 1 1 c) 1 d) 2 3 5 e) f) (2 3) 3 g) x y xy x y x y xy x y x y x y x y x 2 2( 2 ) 2 h) sec cossec 4x y x y x y EP25) Escreva a equação da reta tangente à curva 4 416 32x y no ponto (1, 2). Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 57 11 TAXAS RELACIONADAS 11.1 Introdução Em algumas situações é necessário derivar funções em relação a variáveis das quais não estão explícitas. 11.2 Exercícios Resolvidos ER27) Determine d d y t . a) y = 2x, x = 3t e y = 6t b) 2 3 e 3y x x t c) 3 4 e 2y x x x t d) 2 3 1 e 3y x x t e) 2 8 e 2y x x t Solução a) x’ (t) = 3 ; y’ (t) = 6 ; y’ (t) = 2 . x’ (t) d d 2. d d y x t t b) d d d d 2 6 d d d d y x y x x t t t t t c) 2 2 d d d d d 12 +1. 48 1 d d d d d y x x y x x t t t t t t d) d d d d 6 18t. d d d d y x y x x t t t t e) d d d d 16 32t. d d d d y x y x x t t t t ER28) As variáveis x e y são funções diferenciáveis de t e estão relacionadas pela equação 2 3y x . Quando x = 1, d 2 d x t . Calcule d d y t quando x = 1. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 58 Solução d d d d 2 2.1.2 4 d d d d y x y y x t t t t 11.3 Exercícios Propostos EP26) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da parede? EP27) Dada x.cos y = 5 onde x e y são funções de uma terceira variável t. Se d d x t = −4, determine d d y t quando y = 3 1 . EP28) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 min / m 3 . Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m? EP29) x e y são funções de uma terceira variável. Calcule d d x t . d a) 2 3 8 e 2 d d b) 20, 10 e 2 d y x y t y xy x t d c) (tg 1) 4, -4 e d y y x x t EP30) Um balão esférico de raio r perde gás à taxa de v min / m 3 . A que taxa decresce o raio? Calcular essa taxa quando r = 5 m, se v = 2 m3. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 59 12 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA Seja y = f (x) uma função. 12.1 Inclinação da reta secante a uma curva A reta secante s que passa por P 0 0, ( )x f x e Q 0 0, ( )x h f x h tem coeficiente angular 0 0( ) s f x h f x m h f (x0 + h) – f (x0) h s y = f (x) x0 x0+h f (x0+h) f (x0) O Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 60 12.2 Inclinação da reta tangente a uma curva Observe que a reta tangente t é obtida quando fazemos o ponto Q 0 0, ( )x h f x h aproximar-se do ponto P 0 0, ( )x f x . Para que isso ocorra é necessário fazer com que o incremento h fique cada vez menor, isto é, aproxime-se de 0. Assim, podemos dizer que o coeficiente angular mt da reta tangente à curva f é t sm m quando h tende a 0. Então 0 0 0 ( ) ( ) limt h f x h f x m h se existir. Lembrando ainda que 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) h f x h f x f x h , logo, podemos dizer que o coeficiente angular da tangente a uma curva f num ponto P 0 0,x y é 0'( )f x . h x0 x0+h f (x0) f (x0+h) O P Q t y = f (x) Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 61 12.3 Exercício Resolvido ER29) Dada a curva de equação 2( )f x x , determine o coeficiente angular da reta tangente a curva f no ponto (3, 9). Solução Se 2( )f x x então '( ) 2f x x . O coeficiente angular é dado, portanto, pelo valor de '( )f x em cada ponto. Assim, nesse caso, o coeficiente angular no ponto (3, 9) é f ’(3) = 2 . 3 = 6. 12.4 Exercícios Propostos EP31) Escreva a equação da reta tangente a cada curva seguinte nos pontos indicados. Curva Ponto a) f (x) = x2 (1, 1) b) f (x) = x2 de abscissa 0 c) f (x) = x3 (0, 0) d) f (x) = x2 – 1 de ordenada – 1 e) f (x) = cos x de abscissa f) f (x) = ex de abscissa 0 g) f (x) = sen x de abscissa 4 Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 62 13 O SINAL DA DERIVADA E O COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO 13.1 O sinal da primeira derivada Observe os gráficos abaixo e as tangentes traçadas nos diversos pontos das curvas. Note que as tangentes às curvas das figuras 1 e 3 têm coeficiente angular positivo e tais funções são CRESCENTES, enquanto que as retas tangentes às curvas das figuras 2 e 4 têm coeficiente angular negativo e tais funções são DECRESCENTES. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 63 Conclusão Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[. Então: i) f é CRESCENTE em [a, b] ⇔ '( ) 0f x em ]a, b[. ii) f é DECRESCENTE em [a, b] ⇔ '( ) 0f x em ]a, b[. 13.2 Exercício Resolvido ER30) Use o estudo de sinal da derivada da função f (x) = x3 – 3x2 para descrever os intervalos em que f é crescente e aquele em que f é decrescente. Solução Sabemos que 2'( ) 3 6f x x x . Igualando '( )f x a zero, tem-se 2 13 6 0 0x x x ou 2 2x . Fazendo o quadro de estudo de sinais temos Portanto, ( )f x é crescente se x < 0 ou x > 2 e ( )f x é decrescente se 0 < x < 2. Note que a função f é contínua e, em torno do ponto em que x = 0, ela muda o comportamento de crescente para decrescente, portanto passando por um ponto mais alto (ponto de máximo local). Enquanto em torno do ponto em que x = 2 ela muda de decrescente para crescente, passando por um ponto mais baixo (ponto de mínimo local). Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 64 13.3 Exercícios Propostos EP32) Estude cada função quanto ao crescimento e decrescimento e determine, caso existam, os pontos de máximo e mínimo. a) 3 2( ) 9 15 5f x x x x b) 4( ) 4f x x x c) 5 3( ) 5 20 2f x x x x d) 2( ) 3 4 1f x x x e) 3( ) 12 5f x x x Observação Seja ( )y f x uma função contínua e derivável em um intervalo aberto I. Se '( )f x muda de sinal em I então f tem um ponto de mínimo ou de máximo em I. Cálculo Diferencial e Integral - Notas de Aula Mylane dos Santos Barreto Salvador Tavares 65 14 CONCAVIDADE 14.1 Introdução De modo geral o gráfico de uma curva ( )y f x ao longo de seu domínio pode ter trechos com a concavidade voltada para baixo ou voltada para cima. Uma das aplicações da derivada de ordem 2 é para identificar por meio do estudo do seu sinal quais são os intervalos em que a curva tem concavidade voltada para baixo (CVB) ou voltada para cima (CVC). Nos intervalos em que ''y < 0 temos que ( )y f x tem CVB e aqueles em que ''y >
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