Calculo IV - Integral de superfície

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Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem (1,0,0), (1,2,1), 
(0,2,1), e de volta para a origem sob a influência do campo de forças 
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧2𝒊 + 2𝑥𝑦 𝒋 + 4𝑦2 𝒌
Encontre o trabalho realizado
O trabalho de uma força em uma partícula em movimento é dado como uma 
integral de linha sobre a trajetória da partícula
𝑊 = න
𝐶
𝐹 ∗ 𝑑𝑟
Neste caso temos uma trajetória fechada. Assim podemos usar o teorema de 
Stokes e escrever:
𝑊 = ර
𝐶
𝐹 ∗ 𝑑𝑟 = ඵ
𝑆
∇𝑥𝐹 ∗ 𝑑𝑆
A integral de superfície será fácil de calcular, pois a superfície é plana. Portanto 
podemos escrever os seguintes vetores:
𝑣1 = 𝒊 ;
𝑣2 = 2 𝒋 + 𝒌
O vetor normal é:
𝑛 = 𝑣1 𝑥 𝑣2
Resolvendo o produto vetorial:
𝑣1𝑥 𝑣2 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 0 0
0 2 1
= −𝑗 + 2𝑘
Usando a equação geral do plano:
𝑎 𝑥 − 𝑥0 + 𝑏 𝑦 − 𝑦0 + 𝑐 𝑧 − 𝑧0 = 0
A informação do ponto (1,0,0), a equação fica:
0 𝑥 − 1 − 1 𝑦 − 0 + 2 𝑧 − 0 = 0
𝑧 =
1
2
𝑦
A superfície de integração é dada por:
𝑧 =
1
2
𝑦
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ≤ 𝑦 ≤ 2
É necessário calcular o rotacional do campo:
∇ 𝑥 𝐹 = 8𝑦 𝒊 + 2𝑧 𝒋 + 2𝑦 𝒌
Agora calcula-se a integral:
𝑊 = ර
𝐶
𝐹 ∗ 𝑑𝑟 = ඵ
𝑆
∇𝑥𝐹 ∗ 𝑑𝑆
Utilizando a equação:
ඵ
𝑆
𝐹 ∗ 𝑑𝑆 = ඵ
𝐷
−𝑃
𝜕𝑔
𝜕𝑥
− 𝑄
𝜕𝑔
𝜕𝑦
+ 𝑅 𝑑𝐴
𝐶𝑜𝑚 𝐹 → ∇𝑥𝐹
𝑔 = 𝑧 =
1
2
𝑦
Então:
𝑊 = ඵ
𝐷
−8𝑦 0 − 2𝑧
1
2
+ 2𝑦 𝑑𝐴
0׬=
1
0׬
2
2𝑦 −
1
2
𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0׬ =
1
0׬
2 3𝑦
2
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
3
2
0׬
1 𝑦2
2
ቄ
2
0
𝑑𝑥
0׬3 =
1
𝑑𝑥 = 3
∴ 𝑊 = 3 𝐽