Lista 7

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I. Nos exerćıcios a seguir, calcule as integrais escalares de superf́ıcie.
1.
∫∫
S
xy dS, onde S é a região triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2).
2.
∫∫
S
x2z2 dS, onde S é a parte do cone z2 = x2 + y2 que está entre os planos z = 1
e z = 3.
3.
∫∫
S
y dS, onde S é a parte do parabolóide y = x2 + z2 que está no interior do
cilindro x2 + z2 = 4
4.
∫∫
S
(y2 + z2) dS, onde S é a fronteira do sólido determinado por x2 + y2 + z2 ≤ 1
e z ≥
√
x2 + y2.
5. Seja R a superf́ıcie de revolução obtida girando a curva z = 1 − x2, 0 ≤ x ≤ 1
em torno ao eixo z e S a porção de R no interior do cilindro x2 + y2 = y. Calcule∫∫
S
|xy|
x2 + y2
dS
6.
∫∫
S
x2yz dS, onde S é o pedaço da esfera x2 + y2 + z2 = 1 na região y + z ≥ 1.
7.
∫∫
S
z dS, onde S é o pedaço do cone z =
√
2x2 + 2y2 no interior do cilindro
(x− 1)2 + y2 = 1.
II. Nos exerćıcios seguintes, calcule as integrais de superf́ıcie
∫
S
~F · dS para os campos
vetoriais ~F e as superf́ıcies orientadas S indicadas.
1. ~F (x, y, z) = (xy, yz, zx) e S é a parte do parabolóide z = 4 − x2 − y2 que está
acima do quadrado [0, 1]× [0, 1], orientado pela normal apontando para cima.
2. ~F (x, y, z) = (xzey,−xzey, z) e S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no
primeiro octante, orientado pela normal apontando para baixo.
3. ~F (x, y, z) = (x,−z, y) e S é o pedaço da esfera x2 + y2 + z2 = 4 no primeiro
octante orientada pela normal apontando para a origem.
4. ~F (x, y, z) = (2y,−y, 3) e S é o pedaço do plano x+ 2y+ z = 0 contido no interior
da esfera x2 + y2 + z2 = 9, orientado pela normal apontando para cima.
5. ~F (x, y, z) = (y/2, x/2, z) e S é a fronteira do sólido determinado por 0 ≤ z ≤
1− x2 − y2, orientado com a normal apontando para o interior do sólido.
6. ~F (x, y, z) = (xz, yz, z2) e S é a porção do cilindro x2 + (y− 1)2 = 1 entre z = 0 e
z = 9− x2 − y2, orientada com normal apontando para fora.
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