Questão resolvida - As coordenadas de uma partícula em um plano xy são funções deriváveis do t empo (t) com dx/dt = -1 m/s e dy/dt = -5 m/s. A que taxa a distância entre a partícula e a origem varia q

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• As coordenadas de uma partícula em um plano xy são funções deriváveis do t empo 
(t) com e . A que taxa a distância entre a partícula e a = - 1 m / s
dx
dt
= - 5 m / s
dy
dt
origem varia quando esta passa pelo ponto (5,12)?
 
Resolução:
 
Graficamente, a distância D em relação a origem dos eixos pode ser visto abaixo;
A distância D da particula à origem em qualquer ponto é dada por:
 
D = x - x + y - y( 0)
2 ( 0)
2
 
Como é em relação à origem; x = 0 e y = 0, assim, temos que :0 0
 
D = D =x - 0 + y - 0( )2 ( )2 → x + y2 2
 
Devemos então calcular a derivada que dá a taxa de variação da distância em relação à origem;
dD
dt
 
D = D = x + y = x + y ⋅ 2x + 2yx + y2 2 → 2 2
1
2
→
dD
dt
1
2
2 2
-1
1
2 dx
dt
dy
dt
 
 
 
Partícula
D
x
y
= x + y 2 ⋅ x + y = x + y x + y
dD
dt
1
2
2 2
1 - 2
2 dx
dt
dy
dt
→
dD
dt
2
2
2 2
-1
2 dx
dt
dy
dt
 
= x + y x + y =
dD
dt
2 2
-1
2 dx
dt
dy
dt
→
dD
dt
x + y
x + y
dx
dt
dy
dt
2 2
1
2
 
A taxa de variação em é igual a - 1 m / s, A taxa de variação em é igual a - 5 m / s,
dx
dt
dy
dt
x = 5 e y = 12, substituindo e resolvendo;
 
= =
dD
dt
5 ⋅ -1 + 12 ⋅ -5
5 + 12
( ( ) ( ))
( )2 ( )2
1
2
→
dD
dt
-5 - 60
25 + 144
( )
( )
1
2
 
= = = - 5 m / s
dD
dt
-65
169( )
1
2
→
dD
dt
-65
13
→
dD
dt
 
 
 
(Resposta )