Lista 2-PD

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RESOLUÇÃO DA SEGUNDA LISTA DE MONITORIA 
 
INSTRUÇÕES: 
 
1. Essa lista de monitoria contém uma questão; 
2. Resolva a lápis e insira a resposta a caneta esferográfica de tinta azul 
ou preta; 
3. Permitido o uso de calculadora ou qualquer outro tipo de consulta. 
 
 
QUESTÃO: 
 
1 – Uma amostra aleatória com 100 registros de idade ao falecer durante o 
ano passado mostrou uma expectativa de vida de 71,8 anos. É conhecido o 
desvio padrão populacional, que é 8,9 anos. Buscam-se evidências para 
garantir a hipótese de que a expectativa de vida é maior do que 70 anos. 
 
Se for conduzido um teste a um nível de significância α = 0,05, então 
qual será o Zteste e o Zcrítico: 
Cálculo Z teste: 
 
 Média = 71,8 
 Desvio-padrão = 8,9 
 Amostra (n) = 100 
 Média populacional= 70 
 
 ̅ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 ̅ ̅
 ̅
 
 
 
 
Cálculo Z crítico: 
 
 
 
 
 
 A probabilidade de Z ser superior a 1,645 é 5%; 
 Por simetria a probabilidade de Z ser inferior a -1,645 é 5%; 
 A probabilidade de Z estar entre -1,645 e 1,645 é 90%. 
 
Resposta: É possível garantir que Zteste = 2,02 > Zα = 1,64. 
 
 
 
0 
1,64 
 
5% 
 
5% 
 
90% 
 
-1,64 
 
 
 
0 
1,64 
 2,02 
 
2 – O Instituto de Pesquisas Espaciais (INPE) afirma que o QI (Quociente de 
Inteligência) médio dos alunos de uma de suas unidades de suas filiais 
sediadas na região Sul é de 130 com desvio-padrão de 15, seguindo a 
distribuição normal. Uma análise dos dados de uma amostra de 40 alunos 
desse centro gerou um QI médio igual a 125. 
 
Considerando-se que as hipóteses a serem testadas são: H0 = 130 e H1 < 
130, o valor calculado da estatística de teste é: 
Cálculo Z teste: 
 Média populacional= 130 
 Desvio-padrão = 15 
 Amostra (n) = 40 
 Média amostral= 125 
 
 ̅ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 ̅ ̅
 ̅
 
 
 
 
Cálculo Z crítico: 
 
 
 
 
 
 
 A probabilidade de Z ser superior a 1,645 é 5%; 
 Por simetria a probabilidade de Z ser inferior a -1,645 é 5%; 
 A probabilidade de Z estar entre -1,645 e 1,645 é 90%. 
 
Resposta: É possível garantir que Zteste = -2,10 < Zα = -1,64. 
 
 
 
0 
1,64 
 
5% 
 
5% 
 
90% 
 
-1,64 
 
 
0 
-1,64 
 -2,10 
 
3 – Nas sentenças a seguir, marque V se verdadeiro e F se falso. Caso 
afirme falso, justifique o motivo de sua decisão. 
 
a. (V) O teste de hipóteses é um procedimento estatístico onde se busca 
verificar uma hipótese a respeito da população, tendo por base dados 
amostrais. 
 
b. (F) A hipótese estatística é uma suposição feita a respeito de uma ou 
mais estatísticas, como, por exemplo a média amostral e a proporção 
amostral. A hipótese estatística é uma suposição feita a respeito de uma ou 
mais estatísticas, como, por exemplo, a média amostral e a proporção 
amostral. 
 
c. (V) A hipótese nula, supõe a igualdade dos parâmetros que estão sendo 
comparados. 
 
d. (F) Quando não temos motivos suficientes para supor que uma das 
médias será maior que a outra, formulamos uma hipótese alternativa 
unilateral (mais genérica). 
Quando não temos motivos suficientes para supor que uma das médias será 
maior que a outra, formulamos uma hipótese alternativa bilateral (mais 
genérica). 
 
Teste bilateral: 
H0 : µ = µ0 
H1 : µ ≠ µ0 
 
Teste unilateral: 
Teste de cauda inferior 
ou 
Teste unilateral à esquerda 
Teste de cauda superior 
ou 
Teste unilateral à direita 
H0 : µ ≥ µ0 H0 : µ ≤ µ0 
H1 : µ < µ0 H1 : µ > µ0 
 
e.(V) Joãozinho Mão Leve foi levado a julgamento. O juiz inocentou 
Joãozinho, porém ele era culpado. Pensando estatisticamente (H0: culpado), 
o juiz cometeu, neste caso, o ERRO TIPO I. 
 
f. (F) José Inocêncio foi absolvido no julgamento. Ele não havia cometido o 
delito. Pensando estatisticamente, (H0: inocente), evitou-se o ERRO TIPO II. 
 
Evitou-se o erro tipo I, ou seja, culpá-lo sendo ele inocente (considerando 
H0: inocente) 
 
Erro do Tipo I: ocorre se você rejeita a hipótese nula (H0), quando ela é 
verdadeira e não deve ser rejeitada. 
 
g. (V) José Inocêncio foi absolvido no julgamento. Ele não havia cometido o 
delito. Pensando estatisticamente, (H0: culpado), evitou-se o ERRO TIPO II. 
 
h. (F) Joãozinho Mão Leve foi levado a julgamento. O juiz inocentou 
Joãozinho, porém ele era culpado. Pensando estatisticamente (H0: 
inocente),o juiz cometeu, neste caso, o ERRO TIPO I. 
 
O juiz cometeu o erro tipo II, ou seja, inocentá-lo quando era culpado 
(considerando H0: inocente). 
 
Erro do Tipo II: ocorre se você não rejeita a hipótese nula (H0), quando ela 
é falsa e deve ser rejeitada. 
 
 
4 - Analise a figura abaixo: Pensando na lógica dos testes de hipótese e 
considerando hipótese nula: grávida, qual o tipo de erro que pode estar 
sendo cometido? 
 
 
Erro tipo I Sendo: 
 H0: está grávida 
 H1: não está grávida 
Neste caso, não se rejeita a hipótese nula, uma vez que a paciente está 
grávida. Ao se optar pela hipótese alternativa, a médica está afirmando que 
a sua paciente não está grávida, ou seja, está cometendo o erro tipo I 
(Rejeitar a hipótese nula, quando deveria aceitá-la). 
 
5 - O consumo intenso de açúcar pode contribuir para problemas dentários, 
doenças cardíacas e doenças degenerativas. Uma das fases em que os 
indivíduos mais consomem açúcar é na infância, onde vários alimentos têm 
quantidade significativa de açúcar. Um exemplo desses alimentos é o 
cereal. Em uma amostra aleatória de 20 porções de determinada marca de 
cereal, a quantidade média de açúcar foi de 11,8 gramas, com desvio-
padrão de 2,3 gramas. A quantidade de açúcar neste cereal é assumida ser 
distribuída normalmente. 
 
A) Uma organização de saúde indicou que devem ser retirados circulação 
cereais em que a quantidade média de açúcar em uma porção como essa 
seja igual ou superior a 12,7 gramas. De acordo com os dados da marca sob 
estudo, considerando 𝛼 = 0,05, identifique o Tteste e o Tcrítico, os cereais 
devem ou não ser retirados do mercado. 
 
Memória de Cálculo: 
 Amostra = 20 
 Grau de liberdade = 19 (n-1) 
 Média populacional= 11,8 
 Desvio-padrão = 2,3 
 Média amostral = 12,7 
 Significância = 0,05 
H0 : µ ≥ 12,7 = retira do mercado 
H1 : µ < 12,7 = não retira do mercado 
 
 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
 
B) A estimativa intervalar, a 95% de confiança, para a quantidade média de 
açúcar, em gramas, na porção de cereal é de: 
Memória de Cálculo: 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
Resposta: A estimativa do intervalo é [10,91;12,69] 
 
-1,73 
-1,74 
Como Tteste é menor que 
Tcrítico = -1,74<-1,73. 
Rejeita a hipótese nula, portanto 
o cereal continua no mercado. 
6 – Um investidor está diante da decisão de comprar ou não um bar, 
localizado em um dos shoppings da cidade. O atual proprietário afirma que o 
faturamento semanal desse bar é igual a R$50.000,00. Para avaliar se o 
atual proprietário está falando a verdade, o investidor tomou uma amostra 
aleatória do faturamento semanal de 20 semanas escolhidas aleatoriamente. 
O resultado obtido foi uma média amostral de R$48.200,00 e um desvio-
padrão amostral de R$3.500,00. O teste foi realizado a um nível de 
significância de 5%. 
 
A) Sendo assim, Qual é a Hipótese Nula desse teste: 
 
Resposta: μ = 50.000,00. 
 
Explicação: O atual proprietário afirma que o faturamento semanal desse 
bar É IGUAL a R$50.000,00. 
 
B) Nesse caso, a estatística de teste segue uma distribuição: 
 
Resposta: t com 19 graus de liberdade. 
 
 Caso a população não seja distribuída nos moldes da distribuição normal, 
pode-se, ainda assim, utilizar o teste t caso o tamanho da amostra seja 
suficientemente grande para que o Teorema do Limite Central seja 
aplicado; 
 Usamos o Teste t para a média aritmética ( desconhecido); 
 A estatística de teste t segueuma distribuição t que possui n – 1 graus de 
liberdade. 
C) O valor da estatística de teste é, aproximadamente, igual a: 
 
Memória de Cálculo: 
 
 Média amostral = 48.200 
 Média populacional= 50.000 
 Desvio-padrão amostral = 3.500 
 Amostra = 20 
 Teste de 5% 
 
 
 ̅ 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
Resposta: O valor da estatística de teste é aproximadamente -2,30 
 
 
 
7 – Um comerciante está diante da decisão de comprar ou não uma loja de 
vestuário feminino, localizada em um dos shoppings da cidade. O atual 
proprietário afirma que o faturamento semanal dessa loja é de, pelo menos, 
R$20.000,00. Para avaliar se o atual proprietário estava falando a verdade, 
o comerciante tomou uma amostra aleatória do faturamento semanal de 26 
semanas escolhidas aleatoriamente. O resultado obtido foi uma média 
amostral de R$18.400,00 e um desvio-padrão amostral de R$1.800,00. O 
teste foi realizado a um nível de significância de 1%. 
 
A) Sendo assim, Qual é a Hipótese Nula desse teste: 
 
Resposta: μ ≥ 20.000,00. 
 
Explicação: Que o mínimo que ele fatura é 20.000 
 
 
Teste de cauda inferior 
ou 
Teste unilateral à esquerda 
Teste de cauda superior 
ou 
Teste unilateral à direita 
H0 : µ ≥ µ0 H0 : µ ≤ µ0 
H1 : µ < µ0 H1 : µ > µ0 
 
 
B) Nesse caso, a estatística de teste segue uma distribuição: 
 
Resposta: t com 25 graus de liberdade (26 – 1) 
 
C) O valor da estatística de teste é, aproximadamente, igual a: 
 
Memória de Cálculo: 
 
 Média amostral = 18.400 
 Média populacional= 20.000 
 Desvio-padrão amostral = 1.800 
 Amostra = 26 
 Teste de 1% 
 
 
 ̅ 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
Resposta: O valor da estatística de teste é aproximadamente -4,53 
 
8 - Pesquisadores administraram um teste de ansiedade em 86 alunos de 
escolas de negócios, separados por gênero. Um dos objetivos do estudo era 
determinar se existe diferença no nível de ansiedade sofrido por alunos de 
escolas de negócios dos sexos feminino e masculino, mas acredita-se que 
as populações das medidas de ansiedade têm distribuição normal com igual 
variância. O nível de ansiedade é medido numa escala de 0 a 100. Eles 
descobriram o seguinte: 
 
Parâmetro Homens Mulheres 
 ̅ 25 21 
s 17 11 
n 50 36 
 
Para verificar se a diferença das médias aritméticas das ansiedades é 
significativa a 0,05, foi feito um teste de hipóteses da diferença das médias, 
defina o Tteste, Tcrítico e se aceita ou rejeita a hipótese: 
 
Memória de Cálculo: 
 Homens (n1)= 50 
 Média H = 25 
 Desvio-padrão H (S1) = 17 
 Mulheres (n2)= 36 
 Média M = 21 
 Desvio-padrão M (S2)= 11 
Cálculo Tteste: 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
( ) ( )
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Tcrítico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
1,9883 
 
2,5% 
 
2,5% 
 
95% 
 
-1,9883 
 
T teste > T crítico: 
*rejeita a hipótese 
 
T teste < T crítico: 
*aceita a hipótese 
 
 
Resposta: 
T teste = 1,24 < T 
crítico=1,9883 
Aceita a hipótese 
9 – Uma amostra de tamanho = 33 foi usada para realizar um teste de 
hipóteses, onde a hipótese alternativa era 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝑘, sendo 𝑘 um número 
real. Conduziu-se o teste com nível de significância igual a 0,01, e foi 
encontrado 𝑒𝑠 𝑒 = −2,7. Nessas condições, a hipótese nula deve ser aceita 
ou rejeitada, justifique: 
 
Memória de Cálculo: 
 Amostra = 33 
 Grau de liberdade = 32 (n-1) 
 Significância = 0,01 
Teste bilateral: 
H0 : µ = K = hipótese nula 
H1 : µ ≠ K = hipótese alternativa 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
A hipótese não pode ser rejeitada, pois 
o Tcrítico é maior que o Tteste, e não 
se encontra no nível de rejeição. 
10 – Os biólogos defendem a ideia de que os tigres asiáticos possuem 
grande longevidade graças à existência de 350 mitocôndrias por unidade 
celular. Esse valor não pode ser muito baixo por causar insuficiência renal, e 
nem muito alto para não causar distúrbios agressivos. Porém, nos últimos 
anos, alguns tigres estão morrendo prematuramente e atribui-se esse fato a 
alteração do número de mitocôndrias por unidade celular. Uma amostra de 
30 tigres revelou média de 330 mitocôndrias por unidade celular e variância 
de 45 mitocôndrias por unidade celular. 
 
Sendo a hipótese nula H0: μ = 350, qual será o: 
- o teste de hipóteses a ser realizado; 
- a hipótese alternativa; 
- a conclusão apropriada acerca de um teste de hipóteses com nível de 
significância 10%. 
 
Memória de Cálculo: 
 Amostra = 30 
 Média amostral= 330 
 Média populacional= 350 
 Grau de liberdade = 29 (n-1) 
 Desvio padrão = raiz quadrada da variância (45) = 6,70 
 Significância = 10% = 0,1 
Teste bilateral: 
H0 : µ = 350 = hipótese nula 
H1 : µ ≠ 350 = hipótese alternativa 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
Rejeita a hipótese nula, os tigres atuais 
não possuem 350 mitocôndrias por 
unidade celular. 
 
11 – Um restaurante famoso do Rio de Janeiro tem filiais nos bairros da 
Barra e do Leblon. O proprietário deseja saber se pode considerar que, em 
média, os valores gastos por seus clientes nas duas filiais são iguais. 
Tomou, então, em cada filial, amostras de 24 clientes escolhidos 
aleatoriamente. Os resultados obtidos foram os seguintes 
 
Bairro Média Desvio padrão 
Barra R$ 195,80 R$ 42,50 
Leblon R$ 178,50 R$ 49,80 
 
A) Em um eventual teste de hipóteses para comparação das variâncias das 
duas populações, qual é a estatística de teste F: 
Memória de Cálculo: 
 Amostra= 24 
 Média Barra = 195,80 
 Desvio-padrão Barra = 42,50 
 Média Leblon = 178,50 
 Desvio-padrão Leblon = 49,80 
Cálculo F teste: 
 
A estatística do teste FESTAT é igual à variância da amostra 1 (a maior 
variância de amostra) dividida pela variância da amostra 2 (a menor 
variância de amostra). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O F teste é 1,37 
 
B) O erro padrão dos gastos dos clientes da filial da Barra corresponde, 
aproximadamente, a: 
 
 
√ 
 
 
Resposta: O erro padrão é aproximadamente 8,68 
 
C) Considerando-se que as variâncias sejam iguais, em um teste de 
comparação das duas médias defina a estimativa agrupada da variância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A estimativa agrupada da variância corresponderá à 2.143,145 
aproximadamente