Aula 04-10 - Cálculo aplicado - uma variável

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AULA 6
DERIVADA
Veremos, inicialmente, que ela representa a inclinação de
uma curva num ponto. As ideias que usaremos, foram
introduzidas no séc. XVIII, por Newton e Leibnitz.
Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas,
em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia etc.
A derivada representa a taxa de variação de uma função, ou seja, a inclinação da reta
tangente.
𝑡𝑔 𝜃 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
= 
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
= 𝑚
m = coeficiente de inclinação da reta tangente.
Se eu estiver procurando isso em uma reta, utilizo a equação da
reta tangente. Assim,
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
= 𝑚 → Inclinação da reta tangente.
𝑦1 − 𝑦0= 𝑚. (𝑥1− 𝑥0) → Equação da reta tangente.
Mas e se o gráfico não for uma reta?
 Como relacionar o coeficiente da reta?
Vamos usar uma reta secante, que é uma reta que cruza dois pontos de f(x)
Vamos pensar...
https://www.geogebra.org/m/BgCxHdtX
A ideia é transformar a reta secante em uma
tangente, andando com o ponto Q, até que Q = P
Derivada
Ou seja,
𝑓´ 𝑥 = lim
∆𝑥 →0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
é a derivada da função f no ponto P
Mas, e como calculamos a derivada de
uma função?
A derivada de uma função
A derivada de uma função y = f(x) é a função 
denotada por f’(x), (lê-se: f linha de x), tal que, 
seu valor em qualquer x ϵ D(f) é dado por:
𝒇′ = 𝐥𝐢𝐦∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝒙
, se este existir.
Dizemos que uma função é derivável quando 
existe a derivada em todos os pontos de seu 
domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de 
y’ = f’(x); dy/dx (lê-se: derivada de y em relação 
a x).
Regras de derivação
As regras de derivação foram definidas a partir da 
definição 𝒇′ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝒙
;
Permitem determinar as derivadas das funções sem o 
uso da definição.
Proposição (Derivada de uma constante): Se c é uma 
constante e f(x) = c para todo x, então f’(x) = 0.
Prova: Seja f(x) = c, então, 
𝒇′ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
= lim
∆𝒙→𝟎
𝒄 − 𝒄
∆𝒙
= lim
∆𝒙→𝟎
𝟎 = 𝟎
 Regra da Constante:
Se f é a função constante definida por 𝑓 𝑥 = 𝑐 , 
𝑐 ∈ ℝ, então 
𝑓´ 𝑥 = 0 𝑜𝑢
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
Tabela. Sejam u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis
e c uma constante qualquer.
(I) y = c => y’ = 0
(II) y = x => y’ = 1
(III) y = c . u => y’ = c . u’
(IV) y = u + v => y’ = u’ + v’ 
(V) y = u . v => y’ = u . v’ + u’ . v
(VI) y = 
𝑢
𝑣
⇒ 𝒚′ =
𝒗𝒖′−𝒖𝒗′
𝒗𝟐
(VII) y = 𝑢𝛼 , 𝛼 ≠ 0 ∈ 𝑄 ⇒ 𝒚′ = 𝜶𝒖𝜶−𝟏. 𝒖′
 Regra da Potência:
Se 𝑓´ 𝑥 = 𝑥𝑛 , onde 𝑛 ∈ ℝ , n ≠ 0, então 
𝑓´ 𝑥 = 𝑛. 𝑥𝑛−1. 𝑥′ 𝑜𝑢
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑛)
Exemplo
𝑓 𝑥 = 𝑥5
𝑓´ 𝑥 = 5. 𝑥5−1 = 5𝑥4
 Regra da multiplicação por uma constante:
Seja c uma constante e 𝑓 𝑥 uma função derivável
no ponto x. Então 𝑔 𝑥 = 𝑐. 𝑓 𝑥 também é uma
função derivável, ou seja,
𝑔´ 𝑥 = 𝑐. 𝑓´ 𝑥 = 𝑐. 𝑛. 𝑥𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑐. 𝑛𝑥𝑛−1
Exemplo
𝑓 𝑥 = 3𝑥²
𝑓´ 𝑥 = 3.2. 𝑥2−1 = 3.2. 𝑥1 = 6𝑥
 Regra da Soma e da Subtração:
Se 𝑓 𝑥 e 𝑔(𝑥) são duas funções deriváveis no
ponto x, a soma/a diferença 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) também
é derivável, ou seja,
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´ 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ] ±
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
Exemplo
ℎ 𝑥 = 3𝑥2 + 7𝑥4
ℎ´ 𝑥 = 3.2. 𝑥2−1 + 7.4. 𝑥4−1
ℎ´ 𝑥 = 6𝑥 + 28𝑥3
Exemplo
𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 5𝑥
𝑓´ 𝑥 = 3.3. 𝑥3−1 − 5.1. 𝑥1−1
𝑓´ 𝑥 = 9𝑥² − 5
 Regra do Produto:
Se 𝑓 𝑥 e 𝑔(𝑥) são duas funções deriváveis no
ponto x, o produto 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) também é
derivável, ou seja,
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓´ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 . 𝑔´ 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
Exemplo
𝑓 𝑥 = 𝑥3 e 𝑔 𝑥 = −2𝑥5 + 𝑥. Calcule (𝑓. 𝑔)′
Exemplo
𝑓 𝑥 = 𝑥3 e 𝑔 𝑥 = −2𝑥5 + 𝑥. Calcule (𝑓. 𝑔)′
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓´ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 . 𝑔´ 𝑥
= 3𝑥². (−2𝑥5 + 𝑥) + (𝑥³). (−10𝑥4 + 1)
= −6𝑥7 + 3𝑥3 + −10𝑥7 + 𝑥³
= −16𝑥7 + 4𝑥3
 Regra do Quociente:
Se 𝑓 𝑥 e 𝑔(𝑥) são duas funções deriváveis no
ponto x, com 𝑔(𝑥) ≠ 0 , o quociente
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
também é derivável, ou seja,
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
´ =
𝑓´ 𝑥 . 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 . 𝑔´ 𝑥
𝑔 𝑥 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 .
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥
[𝑔 𝑥 ]2
Exemplo
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 5𝑥4 − 𝑥2. Calcule (𝑓/𝑔)′
Exemplo
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 5𝑥4 − 𝑥2. Calcule (𝑓/𝑔)′
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
′
=
𝑓´ 𝑥 . 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 . 𝑔´ 𝑥
𝑔 𝑥 2
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
′
=
1. (5𝑥4 − 𝑥2) − (𝑥 + 1). (20𝑥3 − 2𝑥)
5𝑥4 − 𝑥2 2
Exemplo
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
′
=
5𝑥4 − 𝑥2 − 20𝑥4 − 2𝑥2 + 20𝑥3 − 2𝑥
5𝑥4 − 𝑥2 2
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
′
=
5𝑥4 − 𝑥2 − 20𝑥4 + 2𝑥2 − 20𝑥3 + 2𝑥
5𝑥4 − 𝑥2 2
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
′
=
−15𝑥4 − 20𝑥3 + 𝑥² + 2𝑥
5𝑥4 − 𝑥2 2
Derivada de funções elementares
 𝑓 𝑒𝑥 ´ = 𝑒𝑥
 𝑓 ln 𝑥 ´ =
1
𝑥
 𝑓 𝑎𝑥 ´ = 𝑎𝑥 . ln 𝑎
 𝑓 𝑠𝑒𝑛𝑥 ´ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
 𝑓 𝑐𝑜𝑠𝑥 ´ = −𝑠𝑒𝑛𝑥
 𝑓 𝑡𝑔𝑥 ´ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
 𝑓 𝑠𝑒𝑐𝑥 ´ = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥
 𝑓 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 ´ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
 𝑓 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ´ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥
Exercícios
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥
Exercícios
𝑓 𝑡 = 𝑡6 − 5𝑡5 − 𝑡
Exercícios
𝑓 𝑥 =
2𝑥
3
Exercícios
𝑓 𝑥 = 3 𝑥
Exercícios
𝑓 𝑥 = 𝑥
Exercícios
𝑓 𝑠 = 𝑠2 + 𝑠 + 1 . 𝑠2 + 2
Exercícios
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥
Exercícios
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Exercícios
𝑓 𝑥 =
2𝑥 + 3
3𝑥
Exercícios
𝑓 𝑥 =
𝑒𝑥
𝑥²
Exercícios
𝑓 𝑥 =
1
1 + 𝑒𝑥
Agora é com você....
Faça os exercícios a seguir.
Exercícios
1) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 
indicado:
a) f x = x² para x0 = 4
b) f x = 2x + 3 para x0 = 3
c) f x = −3x para x0 = −1
d) f x = x² − 3x para x0 = 2
e) f x = 5x4 + x3 − 6x2 + 9x − 4 para x0 = 0
f) f x =
1
x
para x0 = −2
g) f x =
5x²+3x−9
x²+5
para x0 = 1
Exercícios
2) Obtenha a derivada de cada função a seguir:
𝑎) 𝑓 𝑥 = 10
𝑏) 𝑓 𝑥 = 10𝑥5
𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥3
𝑑) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
𝑒) 𝑓 𝑢 = 5𝑢3 − 2𝑢2 + 6𝑢 + 7
𝑓) 𝑓 𝑥 = 10 ln 𝑥 − 3𝑥 + 6
𝑔) 𝑓 𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Exercícios
2) Obtenha a derivada de cada função a seguir:
ℎ) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 5 2𝑥 − 1
𝑖) 𝑓 𝑥 = tg 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑗) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥3
+
5
𝑥2
𝑘) 𝑓 𝑥 = 𝑥
1
3 + 𝑥
1
4
𝑙) 𝑓 𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 𝑥