Aulas_17_18_FT_I_2021

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Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia de Alimentos
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Engenheiro Mecânico – UFPB
Doutor em Engenharia Mecânica – USP
Notas de aula do curso de:
2021
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Engenheiro Mecânico – UFPB
Doutor em Engenharia Mecânica – USP
Notas de aula do curso de:
Aulas 17 e 18
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
❑ Estática dos Fluidos
o Pressão em um ponto qualquer em um fluido estático
o Definição de pressão média
o Definição de pressão absoluta, manométrica e de vácuo
o Definição de um fluido estático
o Campo de Tensão (notação de tensão normal e de cisalhamento)
o Pressão em um ponto
o Equilíbrio de um elemento de fluido
Conteúdo Programático das Aulas 17 e 18
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• A pressão (p) em um ponto (m) qualquer é definida como o limite da relação entre a força 
normal exercida por um fluido e a área quando fazemos a área tender a zero no entorno 
do ponto. 
dA
dF
A
F
limp nn
0A
=


=
→
• Logo, só falamos de pressão quando lidamos com um gás ou um líquido.
Pressão em um Ponto Qualquer
• O equivalente da pressão nos sólidos é a tensão normal.
m
ndF
dA
• Então a pressão num ponto será a força normal dFn que age num infinitésimo de área dA.
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Se Fn representa a força normal que age numa superfície de área A, onde a pressão é 
uniforme, sobre toda a área, então a pressão média será
Superfície de área A
nF
• Em resumo, a pressão média é a força de compressão exercida por um fluido sobre 
uma superfície de área A.
A
F
p n=
Pressão Média
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Sendo a pressão expressa pela relação p = F/A, suas unidades serão expressas pela 
razão entre as unidades de força e as unidades de área, nos sistemas conhecidos.
Sistema\Grandeza Área (A) Força (F) Pressão (p=F/A)
Métrico Absoluto (SI) m2 N N/m2 (Pa)
Métrico Absoluto (CGS) cm2 dina dina/cm2
Inglês Absoluto pe2 poundal poundal/pé2
Métrico Técnico m2 kgf kgf/m2
Inglês Técnico pe2 lbf lbf/pe2
Pressão Média
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• A unidade SI é também conhecida pelo nome pascal, abreviando-se Pa.
• Outras unidades muito utilizadas na prática (particularmente na Europa):
→ 1 bar = 105 Pa = 0,1 MPa = 100 kPa;
→ 1 atm = 101.325 Pa = 101,325 kPa = 1,01325 bar
→ 1 kgf/cm2 = 9,807 N/cm2 = 9,807 x 104 N/m2 (Pa) = 0,9807 bar = 0,9679 atm.
• Observação: As unidades atm e o mmHg surgiram das experiências realizadas por 
Torricelli (físico italiano) para medir a pressão atmosférica.
• No sistema inglês temos:
→ 1 lbf/pol² (libra força por polegada quadrada) ou 1 psi (pound-force per square inch) 
1 N/m2 = 1 Pa
Pressão Média
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Pressão absoluta
→ Logo, a escala de pressão absoluta é aquela que adota como referência a pressão do 
vácuo absoluto (pv = 0).
→ A pressão absoluta é a pressão real em determinada posição e é medida com relação 
ao vácuo absoluto (ou seja, pressão absoluta zero).
→ Nas relações e tabelas termodinâmicas, quase sempre é utilizada a pressão absoluta.
Observação: Neste curso, a pressão p indicará a pressão absoluta, a menos que seja 
especificado o contrário.
Definição de Pressão Absoluta e Manométrica
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Pressão manométrica
→ A pressão manométrica, efetiva ou relativa é a parcela de pressão acima da pressão 
atmosférica.
→ Logo, a escala de pressão manométrica é aquela que adota como referência a 
pressão atmosférica local (patm = 0).
→ A maioria dos dispositivos de medição da pressão é calibrada para ler o zero na 
pressão atmosférica local.
→ A pressão manométrica indica a diferença entre a pressão 
absoluta e a pressão atmosférica local.
atmabsman ppp −=
Manômetros analógicos.Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
Definição de Pressão Absoluta e Manométrica
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Esquema de Pressão Absoluta, Pressão Manométrica e de Vácuo
Vácuo absoluto
Pressão 
atmosférica
O manômetro mede este valor 
(a partir da pressão atmosférica)
O vacuômetro mede este valor 
(a partir da pressão atmosférica)
O barômetro mede este valor
Manômetros e vacuômetros 
medem as pressões efetivas 
(para eles, a pressão 
atmosférica é igual a zero)
absatmvác ppp −=
Pressão atmosférica = 1 atm = 760 mmHg = 10,3 m (H2O) 
Definição de Pressão Absoluta e Manométrica
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Observação: Para conhecer a pressão absoluta em dado local, deverá somar a pressão 
efetiva ou relativa, medida, por exemplo, por meio de um manômetro, com a pressão 
atmosférica local, medida por meio de um barômetro.
atmmanabs ppp +=
Manômetro analógico.
Barômetro digital.
Fonte: Frank M. White (2011).
Definição de Pressão Absoluta e Manométrica
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Fonte: Frank M. White (2011).
Ilustração das leituras de pressão absoluta, manométrica e vacuométrica.
Definição de Pressão Absoluta e Manométrica
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Todos os elementos do fluido considerado estão em repouso ou se movem à 
velocidade constante relativamente a um sistema de referência.
• No fluido considerado é necessário que exista um equilíbrio entre as forças que 
agem sobre o elemento do fluido.
• Casos especiais de fluidos em movimento, como corpos rígidos, são incluídos no 
tratamento da estática devido à semelhança de forças envolvidas, mas não serão 
abordados no nosso curso.
Definição de um Fluido Estático
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Entre as forças que agem sobre o elemento do fluido Destacam-se as forças de 
superfície (ou de contato) e forças de campo (ou de ação a distância)
➢ Forças tangenciais (responsáveis pela tensão de cisalhamento) não são consideradas 
no estudo da estática dos fluidos e a ação deste tipo de força colocaria o fluido em 
movimento;
➢ Forças normais responsáveis pela tensão normal, tensão de pressão ou 
simplesmente pressão.
• Forças de superfície 
Definição de um Fluido Estático
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Desta forma, em todos os sistemas estudados pela estática dos fluidos, agirão 
somente forças normais responsáveis pela pressão e a força peso devido a 
gravidade local.
• Forças de campo
➢ Força decorrente da gravidade que na maioria dos problemas de engenharia deve 
ser considerada (peso);
➢ Forças decorrentes de campos elétricos ou magnéticos, em algumas situações, 
podem estar presentes; elas não serão consideradas neste texto.
Definição de um Fluido Estático
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Campo de Tensão
(notação de tensão normal e de cisalhamento)
Fonte: adaptado de Fox; McDonald & Pritchard (2014).
o Na mecânica dos fluidos, a 
componente normal da 
tensão xx , yy e zz e a 
pressão são relacionadas por
zzz
yy y
xxx
p
p
p
−=
−=
−=
o Ou seja, a pressão é a força 
normal de compressão (sinal 
negativo) por unidade de área.
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
Fonte: adaptado de Fox; McDonald & Pritchard (2014).
pequena cunha de fluido no plano xz,
onde xx = px e zz = pz
Campo de Tensão
(notação de tensão normal e de cisalhamento)
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
(para cima)
Peso do elemento
Largura b normal ao papel
• Considerar o equilíbrio de uma pequena cunha de fluido em repouso e mostrar que 
px = pz = pn = p
Fonte: Frank M. White (2011).
 = 0Fx  = 0Fz
o Condições de equilíbrio:
e
Pressão em um Ponto
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
( ) 0bssenpbzp0F nxx =−=
( ) 0bzxg
2
1
bscospbxp0F nzz =−−=
• Balanço de forças em um fluido em repouso
nx pp = =sensz
= cossx
Relações geométricas
zg
2
1
pp nz +=
Fonte: Frank M. White (2011).
Pressão em um Ponto
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
nx pp =
z
2
1
pp nz +=
Na condição de não haver 
tensão de cisalhamento, 
pode-se afirmar que:
• Não existe diferença de pressão na direção horizontal.
• Existe uma variação da pressão na direção vertical proporcional ao peso da cota do fluido. 
Fonte: Frank M. White (2011).
• Se a cota z tender a zero a cunha torna-se infinitesimal e, portanto, o elemento fluido 
encolhe até um ponto.
pppp nzx ===
Pressão em um Ponto
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Portanto, a pressão em um ponto de um fluido
em repouso é a mesma em qualquer direção.
Como seu valor independe da direção, é, por
conseguinte, uma grandeza escalar.
( )z,y,xpp =
Como as pressões independem do ângulo , pode-se afirmar que a pressão em um 
fluido estático independe da direção (Lei de Pascal).
pppp nzx ===
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
Pressão em um Ponto
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Anteriormente, demonstramos que a pressão em um ponto de um fluido em repouso é a
mesma em qualquer direção. Como seu valor independe da direção, é, por conseguinte, uma
grandeza escalar, ou seja,
Fonte: Çengel & Cimbala (2015).
Pressão em um Ponto
ppppppp 654321 ======
As forças de pressão sobre um elemento de fluido estático.

Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Iniciaremos a análise por meio da aplicação da
segunda lei de Newton a um elemento de fluido
diferencial de massa , com lados dx, dy e
dz, conforme mostrado na Figura.
• O objetivo principal desta dedução é obter uma equação para calcular o campo de 
pressão em fluido estático.
• Conforme deduzimos anteriormente, sabemos que não existe diferença de pressão na
direção horizontal e que existe uma variação da pressão na direção vertical (direção do
vetor gravidade local) proporcional ao peso da cota do fluido.
= ddm
• O elemento de fluido está em repouso em relação ao 
sistema inercial de coordenadas retangulares.
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• De discussões anteriores, vamos relembrar os dois tipos genéricos de forças que podem 
ser aplicados a um fluido: forças de superfície (ou de contato) e forças de campo (ou de 
ação a distância).
➢ Com relação as forças de superfície, em um fluido estático, nenhuma força tangencial 
(responsável pela tensão de cisalhamento) pode estar presente, pois a ação deste tipo de 
força colocaria o fluido em movimento; então a única força de superfície é a força normal 
ou de pressão (responsável pela tensão normal, tensão de pressão ou simplesmente 
pressão).
➢ Com relação as forças de campo, a única força considerada na maioria dos problemas de 
engenharia é a força decorrente da gravidade (força peso).
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Desta forma, em todos os sistemas estudados pela estática dos fluidos, agirão somente forças 
normais responsáveis pela pressão e a força peso devido a gravidade local.
• Portanto, ao aplicar a segunda lei de Newton , a um elemento de fluido estático 
diferencial onde nenhuma tensão de cisalhamento pode estar presente, consideramos
amFdFdFdFd viscgravpressão

=++=
amF

 =
0ae0Fd visc ==

00
• Temos assim
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Mostramos anteriormente que a pressão é um campo escalar, p = p (x, y, z); de modo geral, 
esperamos que a pressão varie com a posição do elemento de fluido.
• Logo, a força de pressão líquida ou resultante agindo sobre o elemento que resulta dessa 
variação pode ser avaliada pela soma de todas as forças de pressão que atuam nas seis 
faces do elemento de fluido diferencial, ou seja,
( ) ( ) ( )kdFjdFidFFd zpressãoypressãoxpressãopressão

++=
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
...dx
x!3
p
dx
x!2
p
dx
x
p
pp 3
3
3
2
2
2
+


+


+


+=
Fonte: Frank M. White (2011).
• Para ver isso, considerar a força de pressão agindo sobre as duas faces x, onde a pressão é 
determinada em uma das faces x do elemento diferencial por meio de uma expansão em séries 
de Taylor da pressão em torno da outra face x do elemento de fluido diferencial.
o Observação: Considerar a série de Taylor truncada no 2º termo:
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Na direção x, tem-se
( ) dzdydx
x
p
dzdydx
x
p
pdzdypdF xpressão


−=







+−=
• A análise na direção y e na direção z é similar, consequentemente
• Portanto
( ) ( ) ( ) ++= kdFjdFidFFd zpressãoypressãoxpressãopressão

−=−=







−


−


−= dpdzdydxpdzdydxk
z
p
j
y
p
i
x
p
Fd pressão

( ) dzdydx
y
p
dF ypressão


−= ( ) dzdydx
z
p
dF zpressão


−=
Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Fisicamente, o gradiente de pressão é o negativo da força de superfície por unidade de 
volume devido à pressão, ou seja,
• Consideremos também uma força de campo agindo sobre toda a massa do elemento de fluido 
diferencial (força da gravidade ou o peso do elemento), ou seja,
g
d
Fd
dgdzdydxgFd
grav
grav



=

==
• Notemos que o nível de pressão não é importante na avaliação da força de pressão líquida; 
em vez disso, o que importa é a taxa de variação da pressão com a distância, o gradiente de 
pressão.
p
d
Fd pressão
−=



Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
• Portanto, combinamos as formulações desenvolvidas para as forças de superfície e de campo, 
por unidade de volume, de modo a obter a força total atuando sobre um elemento de fluido 
diferencial em repouso
0fff gravpressão =+=

 =

+

=

0
d
Fd
d
Fd
d
Fd gravpressão

gravf

Onde: = força da gravidade por unidade de volume do elemento; 








=
d
Fd
f
grav
grav


Onde: = força de pressão líquida por unidade de volume do elemento; 
pressãof










=
d
Fd
f
pressão
pressão


 0gp =+−


Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Notas de Aula: Prof. Geraldo Dantas Silvestre Filho
− Logo, a equação de equilíbrio de um elemento de fluido diferencial 
se reduz a
0fff gravpressão =+=

gp

=
Observação: Essa é uma distribuição hidrostática e é correta para todos os fluidos em repouso, 
independentemente de sua viscosidade, porque o termo viscoso desaparece.
0gp =+−

Equilíbrio de um Elemento de Fluido