Provas Antigas-20210703

Métodos Determinísticos

Cristiane Pacheco
06/10/2021
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Gabaritos/AP1-MetDet1-2015-2-gabarito.pdf
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Métodos Determińısticos I – 2015-2
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsável; Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1 (1.5 pt) Considere as proposições:
A: “Ana está na escola.”
B: “Se João está no cinema, então Maria está na loja.”
Sabendo que a proposição P: “A ou B” é falsa, pode-se afirmar que:
(i) Ana não está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.
(ii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria está na loja.
(iii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.
(iv) Ana está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.
(v) Ana está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.
Solução: Para que uma disjunção, isto é, uma proposição tipo “A ou B” seja falsa, é necessário
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P é falsa segue que A é falsa e B também é falsa.
Dizer que A é falsa é dizer que Ana não está na escola.
Por outro lado, a proposição B é uma implicação do tipo p ⇒ q, onde p: “João está no cinema”e
q: “Maria está na loja”, logo, ela é falsa, apenas se vale p e ∼ q, isto é, se João está no cinema e
Maria não está na loja.
Portanto, a resposta correta é a (iii).
Questão 2 (2.0 pt) Considere o conjunto A =
{
−1
2
, 0, 1,
5
2
}
. Decida se são falsas ou verdadeiras
as proposições a seguir, justificando sua resposta.
a) (1.0 pt) ∀x ∈ A, 2x− 1
2
< x.
Métodos Determińısticos I AP1 2
b) (1.0 pt) ∃x ∈ A, x2 + 2x− 5 = 0.
Solução:
a) Para saber se a proposição é verdadeira, vamos montar uma tabela para nos ajudar. Na primeira
coluna dessa tabela, vamos representar cada um dos valores que x pode assumir em A, na segunda
coluna, cada um dos correpondentes valores de 2x − 1
2
e na terceira coluna, vamos comparar o
valor de 2x − 1
2
com o valor de x. A partir das informações da Tabela 1, conclúımos que a
proposição é falsa, pois existe um elemento, por exemplo, x = 1, que pertence ao conjunto A,
tal que 2x− 1
2
não é menor do que x.
Tabela 1: Questão 2–a)
x 2x− 1
2
2x− 1
2
< x ?
−1
2
−3
2
−3
2
< − 1
2
0 −1
2
−1
2
< 0
1
3
2
3
2
> 1
5
2
9
2
9
2
>
5
2
Tabela 2: Questão 2–b)
x x2 + 2x− 5
−1
2
(
−1
2
)2
+ 2
(
−1
2
)
− 5 = 1
4
− 1− 5 = 1
4
− 6 = 1− 24
4
= −23
4
̸= 0
0 (0)2 + 2(0)− 5 = 0 + 0− 5 = −5 ̸= 0
1 (1)2 + 2(1)− 5 = 1 + 2− 5 = −2 ̸= 0
5
2
(
5
2
)2
+ 2
(
5
2
)
− 5 = 25
4
+ 5− 5 = 25
4
̸= 0
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Métodos Determińısticos I AP1 3
b) Para saber se a proposição é verdadeira, vamos montar uma tabela. Na primeira coluna dessa
tabela, vamos representar cada um dos valores que x pode assumir em A, e na segunda coluna,
cada um dos correpondentes valores de x2+2x−5. Observando os resultados obtidos na Tabela 2,
conclúımos que não existe x ∈ A tal que x2 + 2x − 5 é igual a zero. Portanto, a proposição é
falsa.
Questão 3 (2.5 pts) : Um comerciante possui duas lojas em que comercializa um mesmo produto.
Na loja 1, para uma quantidade x deste produto, o lucro em sua venda é obtido pela expressão
L1 = 24
(
x
3
− 1
)
− 56 e na loja 2, para a mesma quantidade x do produto, o lucro em sua venda
é obtido pela expressão L2 = 10x − 120, onde x é um número inteiro positivo que representa a
quantidade vendida do produto.
a) (1.0 pt) Determine a quantidade vendida pela loja 1 quando o lucro dela é de 720 reais.
b) (1.5 pt) Determine para que quantidades do produto o lucro da loja 1 é maior que o da loja 2.
Solução:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pela Loja 1, quando L1 é igual a 720 reais, temos
de resolver a equação
24
(
x
3
− 1
)
− 56 = 720
⇐⇒ ��>
8
24 · x
�3
− 24− 56 = 720
⇐⇒ 8x− 80 = 720
⇐⇒ 8x = 720 + 80
⇐⇒ 8x = 800
⇐⇒ x = 100.
Portanto, a Loja 1 vende uma quantidade de 100 unidades do produto, quando o lucro desta
loja é de 720 reais.
b) Para determinar para quais quantidades, L1 é maior que L2, temos de resolver a desigualdade
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Métodos Determińısticos I AP1 4
L1 > L2
⇐⇒ 24
(
x
3
− 1
)
− 56 > 10x− 120
⇐⇒ 8x− 80 > 10x− 120
⇐⇒ 8x− 10x > −120 + 80
⇐⇒ −2x > −40
⇐⇒ 2x < 40
⇐⇒ 2x · 1
2
< 40 · 1
2
⇐⇒ x < 40
2
⇐⇒ x < 20.
Portanto, o lucro da Loja 1 é maior que o do da Loja 2 para a quantidade x do produto entre 1
e 19 unidades, inclusive estes extremos.
Questão 4 (1.5 pts) : Um comerciante num determinado ano, no mês de janeiro, obteve um lucro
de 44% sobre a quantidade produzida de um certo produto. No mês de fevereiro, esse ı́ndice passou
para 55%, sobre a mesma quantidade produzida do produto. Determine o acréscimo percentual no
lucro do comerciante do mês de fevereiro em relação ao mês de janeiro.
Solução: Considerando x a quantidade produzida do produto, temos que em janeiro o comerciante
lucrava
44x
100
, e em fevereiro passou a lucrar
55x
100
. A diferença é de
11x
100
, quantos porcento de
44x
100
isso representa? Temos que calcular:
11x
100
÷ 44x
100
=
11x
100
× 100
44x
=
25
100
Portanto, o acréscimo percentual no lucro do comerciante do mês de fevereiro em relação ao mês de
janeiro é de 25%.
Questão 5 (2.5 pts) : Resolva cada item, passo por passo.
a) (0.8 pt) Verifique que
3√
5− 1
− 3
√
5
4
é igual a
3
4
.
b) (0.7 pt) Determine o valor de 5
√
−32 + (27)−1/3.
c) (1.0 pt) Determine o valor de 5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
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Métodos Determińısticos I AP1 5
Solução:
a)
3√
5− 1
− 3
√
5
4
=
3√
5− 1
·
√
5 + 1√
5 + 1
− 3
√
5
4
=
3(
√
5 + 1)
5− 1
− 3
√
5
4
=
3
√
5 + 3
4
− 3
√
5
4
=
3
4
b) 5
√
−32 + (27)−1/3 = −2 + 1
(27)1/3
= −2 + 1
3
√
27
= −2 + 1
3
=
−6 + 1
3
= −5
3
c)
5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(
1− 6
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(−5
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
4
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
�4
· �4
1
− 26
]
= 5− 2 [25− 26]
= 5− 2[−1]
= 5 + 2
= 7
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AP1 – Gabarito – Métodos Determińısticos I – 2016-1
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • É expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsável; Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1 (2.0 pt) Considere as proposições:
A: “João é casado se, e somente se, Maria possui filhos.”
B: “Se Pedro é solteiro, então Maria possui filhos.”
Sabendo que a proposição P: “A ou B” é falsa, pode-se afirmar que:
(i) João não é casado, Maria possui filhos, Pedro é solteiro.
(ii) João não é casado, Maria não possui filhos, Pedro é solteiro.
(iii) João não é casado, Maria não possui filhos, Pedro não é solteiro.
(iv) João é
casado, Maria não possui filhos, Pedro é solteiro.
(v) João é casado, Maria não possui filhos, Pedro não é solteiro.
Solução: Para que uma disjunção, isto é, uma proposição tipo “A ou B” seja falsa, é necessário
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P é falsa segue que A é falsa e B também é falsa.
A proposição B é uma implicação do tipo a ⇒ b, onde a: “Pedro é solteiro”e b: “Maria possui
filhos”, logo, ela é falsa, apenas se vale a e ∼ b, isto é, se “Pedro é solteiro”(a) e “Maria não possui
filhos”(∼ b).
Por outro lado, a proposição A é uma equivalência do tipo c ⇔ b, onde c: “João é casado”e b:
“Maria possui filhos”, logo, ela é falsa, apenas em duas situações: vale c e ∼ b, ou vale ∼ c e b. No
parágrafo anterior, descobrimos que vale ∼ b, i.e. “Maria não possui filhos”, portanto, devemos ter
c, i.e. “João é casado”.
Portanto, a resposta correta é a (iv).
Este texto é comum às Questões 2 e 3 a seguir.
Considere o conjunto A =
{
1, −13
3
,
5
3
, −4
}
. Utilize o conjunto A para decidir se são verdadeiras
ou falsas as proposições enunciadas nas Questões 2 e 3 a seguir, justificando bem sua resposta.
Métodos Determińısticos I AP1 2
Questão 2 (1.5 pt) ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
.
Solução: Vamos chamar de a a proposição simples “3x +
2
3
< 4x”e de b a proposição simples
“x < −15
4
”. Isto é
a: “3x+
2
3
< 4x.”
b: “x < −15
4
.”
A proposição “a ∨ b”é uma disjunção. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das
proposições simples seja verdadeira.
Observe que a proposição a é verdadeira se, e somente se, x >
2
3
. De fato,
3x+
2
3
< 4x ⇔ 3x− 4x < −2
3
⇔ −x < −2
3
⇔ x > 2
3
.
Como é uma proposição do tipo “∀x ∈ A”, devemos analisar se a proposição “a ∨ b”é verdadeira
ou falsa para cada elemento do conjunto A. Para x = 1 e x =
5
3
, temos que, a proposição a é
verdadeira, pois
1 >
2
3
(⇔ 3 > 2) e 5
3
>
2
3
(⇔ 5 > 3).
Logo, para x = 1 e x =
5
3
, temos que a disjunção
“
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”
é verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
3x+
2
3
< 4x
)
”é verdadeira.
Para x = −13
3
e x = −4, a proposição a é falsa, pois −13
3
<
2
3
e −4 < 2
3
. Porém, para estes dois
elementos de A, a proposição b verdadeira, pois
−13
3
< −15
4
(⇔ −52 < −45) e − 4 < −15
4
(⇔ −16 < −15).
Desta forma, para x = −13
3
e x = −4, a disjunção “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
também é
verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
x < −15
4
)
”é verdadeira.
Conclúımos, portanto, que a disjunção “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”é verdadeira, para todo
x ∈ A.
Logo, ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
é verdadeira.
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Métodos Determińısticos I AP1 3
Questão 3 (1.5 pt) ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x)
Solução: Vamos chamar de a a proposição simples “2x ∈ Z”e de b a proposição simples “x2 > x”.
Isto é,
a: “2x ∈ Z.”
b: “x2 > x.”
A proposição “a ∧ b”é uma conjunção. Portanto, para que ela seja verdadeira, é preciso que as
duas proposições simples sejam verdadeiras.
Como é uma proposição do tipo “∃x ∈ A”, vamos verificar se há um elemento de A, para o
qual a e b sejam verdadeiras.
Analisando os elementos do conjunto A, temos que, para os elementos de A, x = 1 e x = −4,
segue que 2x = 2 e 2x = −8. Como 2 e −8 são números inteiros, segue que a proposição a é
verdadeira somente para os elementos x = 1 e x = −4.
Para x = −4, x2 = 16 e, então, x2 > x. Logo, para x = −4, a proposição b é verdadeira.
Como, para x = −4, a é verdadeira e b também é verdadeira, conclúımos que existe um ele-
mento do conjunto A, para o qual, a proposição “a ∧ b”é verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x) é verdeira.
Este texto é comum às Questões 4 e 5 a seguir.
Em uma certa empresa, promovem-se dois tipos de atividades de lazer para seus funcionários: cami-
nhada e Tai Chi Chuan. Sabe-se que
- 20% dos funcionários participam apenas de caminhada;
- 35% funcionários não participam de nenhuma das duas atividdaes;
- os funcionários que participam apenas de Tai Chi Chuan é igual a 200% dos funcionários que
participam de ambas as atividades.
Com base nestas informações, responda as Questões 4 e 5 a seguir.
Questão 4 (0.8 pts) : Qual a porcentagem de funcionários que participam de pelo menos uma das
atividades de lazer?
Solução: Como há 100% de funcionários e 35% dos funcionários não participam de nenhuma das
atividades de lazer, temos que a porcentagem do número de funcionários que participam de pelo
menos uma das atividades de lazer é dado por
100%− 35% = 65%.
Conclusão: 65% funcionários participam de pelo menos uma das atividades de lazer.
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Questão 5 (1.2 pts) : Qual a porcentagem de funcionários que participam das duas atividades de
lazer?
Solução: Vamos chamar de T o número total de funcionários e de x a porcentagem do número de
dos funcionários que participam de ambas as atividades. Desta forma, temos que
- o número de funcionários que participam apenas de caminhada é igual a
20
100
.T ;
- o número de funcionários que não participam de nenhuma das duas atividades é igual a
35
100
.T ;
- o número de funcionários que participam apenas de Tai Chi Chuan é igual a
200
100
.
x
100
.T .
Desta forma, pelo diagrama de Venn, temos que
20
100
.T +
x
100
.T +
200
100
.
x
100
.T +
35
100
.T = T
20
100
.T +
x
100
.T +
2x
100
.T +
35
100
.T = T
20T + xT + 2xT + 35T = 100T
3xT = 45T
3x = 45
x =
45
3
x = 15.
Temos portanto, que a porcentagem de funcionários que participam da ambas as atividades de lazer
é de 15%.
Conclusão: 15% funcionários participam das duas atividades de lazer.
Questão 6 (1.0 pts) : Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B é verdadeira ou
falsa, considerando que
A =
3
−
√
3−
√
(−2)2
− 9√
3
e B =
−
√
18√
2
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Solução:
A =
3
−
√
3−
√
(−2)2
− 9√
3
=
−3√
3 +
√
4
− 9√
3
.
√
3√
3
=
−3√
3 + 2
− 9
√
3
3
=
−3√
3 + 2
.
(
√
3− 2)
(
√
3− 2)
− 3
√
3
=
−3
√
3 + 6
(
√
3)2 − 22
− 3
√
3
=
−3
√
3 + 6
3− 4
− 3
√
3
=
−3
√
3 + 6
−1
− 3
√
3
= 3
√
3− 6− 3
√
3
= −6
e
B =
−
√
18√
2
= −
√
18
2
= −
√
9
= −3.
Como −6 < −3, temos que a desigualdade A < B é verdadeira.
Questão 7 (1.0 pts) : Determine o valor de m+ n, dado que
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5 e n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
.
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Solução:
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5
=
3
√
−1
33
− (25)−1/5
=
−1
3
− (2)−1
= −1
3
− 1
2
= −2
6
− 3
6
= −5
6
e
n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
=
(
2
3
− 1
4
)2
.
4
5
=
(
8
12
− 3
12
)2
.
4
5
=
(
5
12
)2
.
4
5
=
25
144
.
4
5
=
5
36
.
Logo,
m+ n = −5
6
+
5
36
= −30
36
+
5
36
= −25
36
.
Conclusão: 3
√
−1
27
− (32)−1/5 +
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
= −25
36
.
Questão 8 (1.0 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, os
números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
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Solução:
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3) ⇔
2
(
x2 + x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 + 2x+
1
2
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
< 2x2 + 2x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
− 2x2 − 2x+ 3
2
< 0 ⇔
−3x+ 2 < 0 ⇔
−3x < −2 ⇔
x >
2
3
.
Conclusão: Os valores de x que satisfazem a desigualdade
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3),
são x ∈
(
2
3
,∞
)
.
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AP1 – Gabarito – Métodos Determińısticos I – 2016-2
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • É expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsável; Respostas sem justificativa não serão consideradas.
(Este texto é comum às questões 1 e 2 à seguir.)
Em uma cidade, são vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-se que 12% da população
compra ambas as marcas; que o percentual da população que compra a marca A é o triplo do
percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da população não compra A e nem B.
Questão 1 (1.5 pt) Determine o percentual da população que compra apenas a marca A.
Solução: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos
compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. Representando em uma
diagrama de Venn, temos o seguinte:
Vamos chamar de t o número de habitantes da cidade, isto é, faremos n(U) = t. A informação de
que “12% da população compra ambas as marcas”, nos dá então que n(A ∩ B) = 12
100
· t. Além
disso, como “apenas 16% da população não A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16
100
· t. Temos
então o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
Métodos Determińısticos I AP1 2
diagrama abaixo,
teremos n(B) = x+n(A∩B) = x+ 12
100
· t. Como o número de compradores da marca A é o triplo
de compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3
(
x+
12
100
· t
)
= 3x+
36
100
· t.
Além disso, o número de compradores exclusivos da marca A será dado por
n(A)− n(A ∩B) =
(
3x+
36
100
· t
)
− 12
100
· t = 3x+ 24
100
· t.
Reunindo todas as informações no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que (
3x+
24
100
· t
)
+
12
100
·t+ x+ 16
100
· t = t,
logo
4x = t− 52
100
· t ∴ 4x = 48
100
· t ∴ x = 12
100
· t.
O percentual de compradores exclusivos de A será então
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12
100
· t+ 24
100
· t = 60
100
· t.
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Métodos Determińısticos I AP1 3
Com isso, 60% da população compra apenas a marca A.
Observação: Uma forma mais simples (embora mais descuidada) de resolver seria supor que a
cidade possui 100 habitantes e resolver de forma similar à feita acima, porém sem o t. Resolver desta
forma, porém, poderia levar (não é o caso neste problema, mas poderia ocorrer) à conjuntos com
cardinalidade não inteira, que deveriam ser interpretados como percentuais da forma 12,41%, por
exemplo, que faz sentido para populações grandes.
Questão 2 (1.0 pt) Se a marca B lançar uma ofensiva publicitária e conseguir fazer com que um
quinto das pessoas que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Será o
aumento percentual de clientela da marca B?
Solução: No item anterior, encontramos os seguintes percentuais:
Com isso, a marca B tem, hoje, 12
100
· t+ 12
100
· t = 24
100
· t compradores. Se a campanha publicitária da
marca B conseguir captar um quinto dos 60
100
· t compradores exclusivos da marca A, ela representará
um aumento de
1
5
· 60
100
· t = 12
100
· t
novos clientes.
O aumento percentual será o número de novos clientes dividido pelo número de clientes antigos, isto
é,
12
100
· t
24
100
· t
=
1
2
=
50
100
= 50%.
(Este texto é comum às questões 3, 4 e 5 à seguir.)
Diga se cada propriedade abaixo é válida para todos os números reais a e b, justificando.
Questão 3 (0.5 pt) Se a < b então a2 < b2.
Solução: A afirmação é FALSA!
Ela não vale, por exemplo, para a = −1 e b = 0. Temos, neste caso, a < b, porém a2 > b2, pois
a2 = (−1)2 = 1 e b2 = 0.
Questão 4 (0.5 pt) Se a2 < b2 então a < b.
Solução: A afirmação é FALSA!
Ela não vale, por exemplo, para a = 0 e b = −1. Temos, neste caso, a2 < b2, mas a > b.
Questão 5 (0.5 pt) a2 > a.
Solução: A afirmação é FALSA!
Tome, por exemplo, a = 1
2
. Teremos a2 =
(
1
2
)2
= 1
2
22
= 1
4
< 1
2
= a.
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Métodos Determińısticos I AP1 4
Questão 6 (2.0 pt) Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os três números reais
a =
4
1−
√
5
, b =
4
1 +
√
5
e c = 1.
Solução: Racionalizando a, temos
a =
4
1−
√
5
=
4
1−
√
5
· 1 +
√
5
1 +
√
5
=
4(1 +
√
5)
1− 5
=
4(1 +
√
5)
−4
= −(1 +
√
5) = −
√
5− 1.
Racionalizando b, temos
b =
4
1 +
√
5
=
4
1 +
√
5
· 1−
√
5
1−
√
5
=
4(1−
√
5)
1− 5
=
4(1−
√
5)
−4
= −(1−
√
5) =
√
5− 1.
Observe que a < 0, logo a < c. Por outro lado, como
√
5 >
√
4 = 2, temos
b =
√
5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c.
Com isso, temos
a < c < b.
Questão 7 (1.5 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, os
números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 − (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Solução:
2(x− 1)2−(x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1)−
(
2x2 − x
2
− 4x+ 1
)
> (2x)2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1 > 4x2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1− 4x2 + 1 > 0
⇔ −4x2 + x
2
+ 2 > 0
⇔ −8x2 + x+ 4 > 0
Por um erro de sinal no enunciado, a solução da inequação na forma de intervalo ou união finita de
intervalos não é posśıvel com os conteúdos selecionados para a AP1. O critério de correção a ser
adotado levará em conta este fato.
(Este texto é comum às questões 8, 9 à seguir.)
Considere o conjunto P de todas as palavras da ĺıngua portuguesa e o conjunto N dos números
naturais. Denote por C o conjunto definido por
C = {(n, p) ∈ N× P | n é menor ou igual ao número de letras ’a’ na palavra p}.
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Métodos Determińısticos I AP1 5
Como exemplos, os pares (1, bala) e (2, bala) pertencem a C, mas (3, aurora) não pertence a C.
Suponha ainda que a folclórica palavra inconstitucionalissimamente, com 27 letras, seja a maior da
ĺıngua portuguesa.
Questão 8 (2.0 pts) Classifique em verdadeira ou falsa, cada uma das proposições abaixo:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
Solução:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
A afirmativa é VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Como p pode ter, no máximo, 27 letras, terá no máximo 27 letras ’a’.
Assim, se a é o número de letras ’a’ de p, teremos a 6 27.
Mas, como (n, p) ∈ C, temos n 6 a 6 27 < 28.
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
A afirmativa é VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Pelo item anterior, n < 28, logo n < 100.
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
A afirmativa é FALSA!
Como p é verdadeira, se (n, p) ∈ C, temos n < 28. Logo, não existe (n, p) ∈ C com n = 28.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
A afirmativa é VERDADEIRA!
Veja que (3, arara) ∈ C, pois 3 é menor ou igual ao número de letras ’a’ de ’arara’.
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Métodos Determińısticos I AP1 6
Questão 9 (0.5 pts) Se A = {(32, p) | p ∈ P}, determine A ∩ C.
Solução: Seja A = {(32, p) | p ∈ P}.
Se (n, p) ∈ A, temos n = 32.
Se, por outro lado, (n, p) ∈ C, temos n < 28 (afirmação p acima).
Como estas duas condições não podem acontecer simultaneamente (não se pode ter n = 32∧n < 28),
nenhum par (n, p) pode pertencer a A e C simultaneamente. Assim, A ∩ C = ∅.
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AP1 – Gabarito – Métodos Determińısticos I – 09/09/2017
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando nome e matŕıcula. • Sua prova será corrigida online. Siga as
• Resoluções feitas nesta folha ou no rascunho não serão corrigidas. instruções na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questão 1 (2.0 pt) Este ano, durante o Carnaval de Ladeirópolis, seus 150 comerciantes tiveram
divergências quanto a trabalhar no sábado e na segunda de Carnaval. Foi constatado o seguinte:
• O número de comerciantes que trabalharam no sábado e na segunda foi metade do número de
comerciantes que trabalharam só segunda.
• Apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado também trabalharam segunda.
• 12 comerciantes resolveram não trabalhar nem sábado nem segunda.
Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as variáveis que achar conveni-
ente e, utilizando este diagrama, determine o número de comerciantes que trabalharam sábado e
segunda.
Importante!!! Tenha atenção no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem
justificada deve conter as equações que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de
Venn constrúıdo, com as variáveis escolhidas, e não a simples verificação de valores intúıdos.
Solução: Vamos chamar de U o conjunto de todos os comerciantes de Ladeirópolis, de E o conjunto
dos comerciantes que trabalharam na segunda-feira e de A o conjunto comerciantes que trabalharam
no sábado.
Considerando que um comerciante pode não trabalhar nem segunda nem sábado, apenas em um dos
dois dias ou em ambos, temos então o seguinte diagrama de Venn:
Métodos Determińısticos I AP1 2
Utilizando as informações dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida:
Vamos agora utilizar as demais informações. Façamos x = n(E − E ∩ A), isto é, x representa o
número de comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira. A segunda informação nos diz
que o número de comerciantes que trabalharam segunda e sábado é igual à metade do número de
comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira; logo,
n(E ∩ A) = n(E − E ∩ A)2 =
x
2 .
Completando o diagrama com essa informação, temos:
Sabe-se ainda, que apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado também trabalharam
segunda. Em outras palavras, sabe-se que o número de comerciantes que trabalharam segunda e
sábado representa um quarto dos comerciantes que trabalharam sábado. Traduzindo esta informação,
temos que,
n(E ∩ A) = n(A)4 ,
logo
n(A) = 4 · n(E ∩ A) = 4 · x2 = 2x.
Com isso, temos que o número de comerciantes que trabalhou apenas no sábado foi de
n(A− (E ∩ A)) = n(A)− n(E ∩ A) = 2x− x2 =
4x− x
2 =
3x
2 .
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Métodos Determińısticos I AP1 3
Temos agora todas as informações do diagrama:
Para determinar o valor de x, note que
x + x2 +
3x
2 + 12 = 150,
logo
2x
2 +
x
2 +
3x
2 = 150− 12
e, então,
6x
2 = 138.
Com isso,
3x = 138
e, portanto,
x = 46.
Como o número de comerciantes que trabalharam segunda e sábado é
x
2 , temos que
46
2 = 23
comerciantes trabalharam nestes dois dias.
(Este texto é comum às questões 2, 3 e 4 e a seguir.)
Um comerciante de Ladeirópolis, cansado de suas ı́ngremes ladeiras, decidiu fechar suas portas.
Desta forma, resolveu liquidar seu estoque. Depois de muito pensar, decidiu que em março daria
um desconto de 10% em suas mercadoria e nos meses seguintes um desconto de 20% em relação ao
mês anterior. Porém, ele não abaixaria o valor a um valor inferior a 55%, pois este corresponderia
ao valor que ele adquiriu a mercadoria e ele não queria ter prejúızo.
Questão 2 (1.0 pt) Um mercadoria que custava R$1.000,00 em fevereiro, terá seu preço estacio-
nado em que mês? Qual será seu preço então?
Solução: Primeiramente, como
55% · 1.000 = 55100 · 1.000 = 55 · 100 = 550,
note que a mercadoria terá seu preço estacionado no mês em que seu valor previsto for maior ou
igual a R$550,00, mas no mês seguinte, for menor do que R$550,00.
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Métodos Determińısticos I AP1 4
Vamos então analisar os novos preços a começar de março.
Em março, o desconto previsto é de 10% no preço p da mercadoria em fevereiro; logo, seu preço em
março, que chamaremos de p1 seria de
p1 = p− 10% p = p−
10
100 p =
(
1− 110
)
p = 910p.
Em abril, o desconto previsto é de 20% no preço p1 da mercadoria em março; logo, seu preço em
abril, que chamaremos de p2 seria de
p2 = p1 − 20% p1 = p1 −
20
100 p1 =
(
1− 15
)
p1 =
4
5p1.
A cada mês seguinte, o preço p da mercadoria teria uma redução prevista em 20% = 20100 =
1
5 em
relação ao preço anterior.
Com isso, para uma mercadoria que em fevereiro custava R$1.000,00, temos o seguinte,
• Preço previsto para março: p1 =
9
10 · 1.000 = 9 · 100 = 900 > 550.
• Preço previsto para abril: p2 =
4
5 · p1 =
4
5 · 900 = 4 · 180 = 720 > 550.
• Preço previsto para maio: p3 =
4
5 · p2 =
4
5 · 720 = 4 · 144 = 576 > 550.
• Preço previsto para junho: p4 =
4
5 · p3 =
4
5 · 576 = 460, 80 < 550.
Logo, o preço da mercadoria estacionaria em R$576,00, preço vigente em maio. Em junho não seria
mais aplicada a poĺıtica de descontos progressivos.
Questão 3 (1.0 pt) Chamando de P o preço de uma mercadoria em fevereiro, determine a ex-
pressão de seu novo preço, após decorridos n meses, n ≥ 2, onde n = 1 corresponderia a março,
n = 2 a abril e assim sucessivamente, se o comerciante não tivesse colocado um critério para encerrar
os descontos.
Solução: Vimos, na questão anterior, que o preço da mercadoria em março é 910 de seu preço em
fevereiro e que nos meses seguintes é de 45 de seu preço no mês anterior. Assim, sendo P o preço da
mercadoria em fevereiro,
• Preço em março: P1 =
9
10 · P .
• Preço em abril: P2 =
4
5 · P1 =
4
5 ·
9
10 · P .
• Preço em maio: P3 =
4
5 · P2 =
4
5 ·
4
5 ·
9
10 · P =
(4
5
)2
· 910 · P .
• Preço em junho: P4 =
4
5 · P3 =
4
5 ·
(4
5
)2
· 910 · P =
(4
5
)3
· 910 · P .
• Preço em agosto: P5 =
4
5 · P4 =
4
5 ·
(4
5
)3
· 910 · P =
(4
5
)4
· 910 · P .
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Prosseguindo assim, vemos que o valor após n meses, onde n = 1 é março, n = 2 é abril e assim
por diante, será dado por
Vn =
(4
5
)(n−1)
· 910 · P.
Questão 4 (1.0 pt) Se 55% do preço P da mercadoria em fevereiro corresponde ao valor que ele
adquiriu esta mercadoria, quando ele coloca a mercadoria a venda na loja em fevereiro, por P , qual o
lucro percentual, em relação ao preço adquirido, que ele pretende obter com a venda da mercadoria?
Como o comerciante comprou a mercadoria por 55% P , ele a comprou por
55% · P = 55100 · P =
11
20 · P.
Como ela a colocou à venda em fevereiro por P , ele obtém um lucro de
P − 1120 · P =
20− 11
20 · P =
9
20 · P.
Em termos percetuais, o valor do lucro em relação ao valor da compra é dado por
9
20 · P
11
20 · P
= 920 ·
20
11 =
9
11 =
9
11 · 100
100 =
900
11
100 =
900
11 % ≈ 81.8%,
(Este texto é comum às questões 5 e 6 a seguir.)
Para imprimir folhetos de propaganda, a gráfica Papel Amassado tem um custo C, composto por
um valor fixo de R$ 700,00, mais R$ 930,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gráfica obtém
imprimindo folhetos para seus cliente é de R$ 2.000,00 por milheiro. O lucro L com um trabalho de
impressão dos folhetos é dado pela diferença entre a receita R e o custo C, isto é, R− C.
Questão 5 (1.0 pt) Determine a expressão do lucro L da gráfica Papel Amassado em função de
n, onde n é o número de milheiros impressos.
Solução: Com as
informações dadas, sendo n o número de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gráfica Papel Amassado são dados por
C1 = 700 + 930 n
R1 = 2.000 n
logo, seu lucro, é dado por
L1 = R1 − C1 = 2.000 n− (700 + 930 n) = 2.000 n− 700− 930 n) = 1.070 n− 700.
Questão 6 (1.0 pt) Ao lado da gráfica Papel Amassado, foi aberta uma concorrente, a Papel
Rasgado. A Papel Rasgado vangloria-se por ter um custo C, composto por um valor fixo de R$
300,00, mais R$ 950,00 por milheiro de folhetos. Sua receita também é de R$ 2.000,00 por milheiro.
Até quantos milheiros o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro da gráfica Papel
Amassado?
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Solução: Com as informações dadas, sendo n o número de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gráfica Papel Rasgado são dados por
C2 = 300 + 950 n
R2 = 2.000 n
logo
L2 = R2 − C2 = 2.000 n− (300 + 950 n) = 2.000 n− 300− 950 n) = 1.050 n− 300.
Para determinarmos até quantos milheiros o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro
da gráfica Papel Amassado, precisamos resolver a inequação
L2 > L1 ⇔ 1.050 n− 300 > 1.070 n− 700.
Resolvendo a inequação anterior, temos que
1.050 n− 300 > 1.070 n− 700 ⇔ 1.050 n− 1.070 n > 300− 700
⇔ −20 n > 400⇔ n < 40020
⇔ n < 20.
Assim, até 19 milheiros de folhetos, o lucro da gráfica Papel Rasgado é maior do que o lucro da
gráfica Papel Amassado. Observe que para 20 milheiros de folhetos, os lucros são iguais e para 21
milheiros de folhetos, o lucro da gráfica Papel Rasgado passa a ser menor do que o lucro da gráfica
Papel Amassado.
Questão 7 (1.0 pt) Racionalize e simplifique o número A =
√
18√
(−2)2 −
√
7
.
Solução: Temos que
A =
√
18√
(−2)2 −
√
7
=
√
18√
4−
√
7
=
√
18
2−
√
7
=
√
18
2−
√
7
· 2 +
√
7
2 +
√
7
=
√
18(2 +
√
7)
4− 7
=
√
18(2 +
√
7)
−3 =
√
32 · 2 (2 +
√
7)
−3 =
3
√
2 (2 +
√
7)
−3 = −
√
2(2 +
√
7).
(Este texto é comum às questões 8 e 9 a seguir.)
Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
Questão 8 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a + 2.
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Métodos Determińısticos I AP1 7
Solução: Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b é igual a a mais dois.
A proposição p é verdadeira.
Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a + 2.
Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a + 2.
Questão 9 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposição abaixo e decida se ela é verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a + 2.
Solução: Vamos, primeiramente, escrever a proposição p por extenso.
q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b é igual a a mais dois.
A proposição q é falsa.
Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a + 2.
Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a + 2.
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AP1 - Métodos Determińısticos I - 2018-1
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais
I
1. Você está recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questões e, inicial-
mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificação
em uma etiqueta.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova
e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e número de matŕıcula.
Caso contrário, verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado
para este fim.
4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.
5. É expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per-
mita a conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade
detectada será reportada à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções
devidas.
6. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluções das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-
las de acordo com as questões!
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção.
Portanto, quaisquer anotações feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, serão
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalização e a correção.
Orientações espećıficas para esta disciplina:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Determińısticos I – 18/03/2018
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando nome e matŕıcula. • Sua prova será corrigida online. Siga as
• Resoluções feitas nesta folha ou no rascunho não serão corrigidas. instruções na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
(Este texto é comum às questões 1 a 4 a seguir.)
Em uma cidade, o número de pessoas que não compram nas Lojas Pedro é o dobro do número de
pessoas que compram. Das pessoas que compram nas Lojas Pedro, metade compra também nas
Lojas Mateus. Sabe-se ainda que as duas lojas possuem o mesmo número de clientes.
Questão 1 (1.0 pt) Represente, por meio de um diagrama, a situação descrita, representando por
P o conjunto de quem compra nas Lojas Pedro e por M o conjunto de quem compra nas Lojas
Mateus. Represente por x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro e, a partir dáı,
complete todas as partes do diagrama com a fração de x correspondente.
Solução: Começaremos a preencher o diagrama abaixo:
Chamando de x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro, como metade destas pessoas
também compram nas Lojas Mateus, a interseção entre P e M será x2 . Com isso, a quantidade de
pessoas que compram exclusivamente nas Lojas Pedro é x − x2 =
x
2 , conforme representado abaixo.
Métodos Determińısticos I AP1 3
O número de pessoas que compram nas Lojas Mateus é igual à quantidade que compra nas Lojas
Pedro, logo, igual a x. Como x2 já estão na interseção, temos
x
2 pessoas comprando exclusivamente
em M .
Se chamarmos de y o número de pessoas que não compra em qualquer uma das lojas, o número de
pessoas que não compram nas Lojas Pedro será dado por u + x2 . O enunciado diz que este número
é o dobro dos que compram nas Lojas Pedro, isto é,
u + x2 = 2x.
Com isso, temos
u = 2x − x2 =
4x − x
2 =
3x
2 .
Assim, temos o diagrama abaixo:
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Métodos Determińısticos I AP1 4
Questão 2 (1.0 pt) Que fração da população da cidade não compra nem nas Lojas Pedro e nem
nas Lojas Mateus?
Solução: A população total da cidade é dada pela soma de cada quantidade do diagrama da questão
anterior. Temos, no total,
x
2 +
x
2 +
x
2 +
3x
2 =
6x
2 = 3x.
Desses, 3x2 não compra em nenhuma das lojas, ou seja,
a metade da população total 3x.
Questão 3 (1.0 pt) Que fração da população da cidade compra nas duas lojas?
Solução: Dos 3x habitantes, apenas x2 compram nas duas lojas, logo
x
2
3x =
x
2 ·
1
3x =
1
6 .
Assim, 16 da população compra nas duas lojas.
Questão 4 (1.0 pt) Que fração da população da cidade compra apenas nas Lojas Pedro? E apenas
nas Lojas Mateus?
Solução: Apenas x2 pessoas compra apenas nas Lojas Pedro, e, como já vimos na questão anterior,
isto corresponde a 16 do total.
Da mesma forma 16 da população compra apenas nas Lojas Mateus.
(Este texto é comum às questões 5 a 8 e a seguir.)
Um comerciante adquire, do fabricante, um produto ao preço de R$120,00. Este comerciante sabe
que, ao vender o produto para o consumidor, há a incidência de um imposto total de 40%, calculado
sobre o preço de venda, isto é, aquele que o consumidor paga pelo produto. Apenas o restante, após
descontar o imposto, fica para o comerciante.
Nas questões de 5 a 7, despreze qualquer outra despesa que não seja o preço de aquisição
do produto pelo comerciante no fabricante e o recolhimento de impostos. Observe que, na
questão 8, aparecerá uma nova despesa que deverá ser levada em conta.
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Métodos Determińısticos I AP1 5
Questão 5 (1.0 pt) Qual o preço de venda ḿınimo Vm pelo o produto deve ser vendido para que
o comerciante não tenha prejúızo com a venda deste produto? (apresente os cálculos, não apenas o
valor final de Vm)
Solução: Em uma venda pelo preço Vm, após o desconto dos impostos, para o vendedor sobrarão
Vm − 40% · Vm = Vm −
40
100Vm =
100 Vm − 40 Vm
100 =
60 Vm
100 .
Para que a venda não resulte prejúızo, é necessário que
60 Vm
100 ≥ 120,
logo
Vm ≥ 120 ·
100
60 = 200.
Questão 6 (1.0 pt) Dê a expressão do lucro L obtido com a venda do produto. Utilize na ex-
pressão apenas o preço de venda V e as despesas anteriormente mencionadas.
Solução: Com a venda por um preço V , descontando os impostos de 40%V = 40 V100 e o custo do
produto, termos um lucro de
L = V − 40 V100 − 120 =
60 V
100 − 120.
Questão 7 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de 30% sobre o valor de aquisição do
produto, qual deverá ser o preço de venda V ?
Solução: O preço de aquisição do produto é de 120 reais, logo, 30% deste valor é 30% · 120 =
30
100 · 120 =
3600
100 = 36 reais.
Para que o lucro L seja maior que 36 reais, precisamos de um preço de venda V tal que
60 V
100 − 120 = 36,
logo
60 V
100 = 156.
Com isso,
V = 156 · 10060 = 260.
Questão 8 (1.0 pt) Além do valor recolhido na forma de impostos e o custo de aquisição, o comer-
ciante ainda estima que a venda deste produto demanda uma despesa fixa de R$8.000,00 (loǵıstica,
vendedor, espaço na loja, etc.), independentemente da quantidade de produtos vendidos. Na média,
são vendidos 200 produtos como este por mês. Por quanto cada unidade do produto deve ser vendida
para que o vendedor apure um lucro ḿınimo de R$4.000,00.
Solução: Na questão 6, vimos que, considerando apenas o custo do fornecedor e os impostos, em
cada produto vendido a um preço V , há o lucro de
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Métodos Determińısticos I AP1 6
L = 60 V100 − 120.
A venda de 200 produtos resulta então em um lucro de 200 ·
(
60 V
100 − 120
)
= 120 V − 24000.
Descontando agora o custo fixo de 8000, o vendedor tem um lucro total de
Lt = 120 V − 24000 − 8000 = 120 V − 32000.
Para que o lucro ḿınimo seja de 4000, teremos
120 V − 32000 > 4000,
logo
120 V > 36000,
portanto
V >
36000
120 = 300.
Assim, o produto deve ser vendido por, no ḿınimo, R$300,00.
(Este texto é comum às questões 1 e 2 a seguir.)
Um empresa aceita pagamentos em cheque, boletos bancários de diversos bancos e cartão de crédito.
Avaliando os pagamento feitos pelos clientes e recebidos pela empresa, o diretor percebeu, hoje, que:
(i) Se um pagamento foi feito com cheque, então o pagamento foi recebido.
(ii) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto era do Banco iTatu, então o pagamento não
foi recebido.
(iii) Se um pagamento foi com cartão de crédito e o pagamento foi feito semana passada, então ele
não foi recebido.
Questão 9 (1.0 pt) Diga se é posśıvel concluir ou se não é posśıvel concluir cada uma das
afirmações abaixo, baseando-se apenas nas afirmações acima. Não é necessário justificar, mas
cada resposta incorreta invalidará uma correta (portanto, não chute!).
(a) Todo pagamento feito com cheque foi recebido.
(b) Se um pagamento foi recebido e foi feito com boleto, então este pagamento não é do Banco
iTatu.
(c) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto não era do Banco iTatu, então ele foi recebido.
(d) Se um pagamento foi recebido, então ele foi feito com cheque.
(e) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido, então ele não foi feito
semana passada.
(f) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento não foi recebido, então ele foi feito
semana passada.
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Métodos Determińısticos I AP1 7
Solução:
(a) É posśıvel concluir que todo pagamento feito com cheque foi recebido, pois um pagamento
feito com cheque e não recebido seria um contraexemplo para (i).
(b) Se o pagamento foi recebido, é posśıvel concluir que o pagamento não é do Banco iTatu. Se
o pagamento com boleto fosse do Banco iTatu, então, por (ii), ele não teria sido recebido.
(c) Não se pode concluir. A afirmação diz apenas que se o boleto é do iTatu, então ele não
foi recebido. A afirmação não diz nada sobre os boletos dos outros bancos. Por exemplo,
um pagamento feito com um boleto do Banco Santo André, e não recebido, não seria um
contraexemplo para a afirmação, pois não satisfaria a hipótese.
(d) Não se pode concluir, ele pode ter sido feito com boleto de algum banco que não o iTatu, ou
pode ter sido feito com cartão de crédito antes da semana passada.
(e) É posśıvel concluir! Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido, ele
não pode ter sido feito na semana passada pois neste caso, por (ii), ele não teria sido recebido.
(f) Não é posśıvel concluir. A afirmação (iii) diz apenas que todo pagamento feito com cartão
na semana passada não foi recebido, mas nada impede que um pagamento feito antes disso, por
exemplo, também não tenha sido recebido.
Questão 10 (1.0 pt) Se foram recebidos 25 pagamentos, quantos pagamentos, no máximo, foram
feitos com cheque? Se foram feitos 10 pagamentos com boleto, mas apenas 5 foram recebidos,
pode-se dizer que 5 boletos eram do Banco iTatu? Em caso negativo, o que se pode garantir?
Justifique como chegou à conclusão.
Solução: Foram feitos, no máximo, 25 pagamentos com cheques. Por (i), todo pagamento com
cheque foi recebido, logo, se tivessem sido feitos mais de 25 pagamentos com cheque, haveria mais
de 25 pagamentos recebidos.
Não se pode garantir que 5 boletos eram do iTatu, apenas que 5 pagamentos feitos com boleto não
foram recebidos. A afirmação (ii) garante que pagamentos de boletos do iTatu não foram recebido,
mas não que apenas pagamentos deste banco não foram recebidos, como vimos no item (c) da
questão anterior. O que pode ser garantido é que, no máximo, 5 boletos eram do iTatu pois, se
houvesse 6 ou mais boletos deste banco, haveria 6 ou mais pagamentos por boleto não recebidos.
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RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
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AP1 - Métodos Determińısticos I - 2018-2
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais
I
1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha de
Respostas, para
desenvolver suas resoluções.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova.
Caso contrário verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, escreva seu nome no Caderno de Questões no local
indicado para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, pre-
encha (pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o
código da disciplina (indicado no cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.
5. Confira os números preenchidos e escreva seu nome em cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. É expressamente proibido o uso de celular, bem como de qualquer outro aparelho que
permita a conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade
detectada será reportada à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções
devidas.
8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devida-
mente identificadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-las
de acordo com as questões!
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Portanto,
quaisquer anotações feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a
digitalização e a correção.
Orientações espećıficas para esta disciplina:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo assim como dequalquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
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AP1 – Métodos Determińısticos I – 15/09/2018
Código da disciplina EAD 06075
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha
(pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da
disciplina (indicado acima em negrito) e o número da folha.
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando nome, matŕıcula e Polo.
• Resoluções feitas nesta(s) folha(s) de questões ou no rascunho não serão corrigidas.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
• Sua prova será corrigida online. Siga as instruções na capa deste caderno
(Este texto é comum às questões 1 a 3 a seguir.)
Uma empresa de planos de assistência oferece três produtos: plano de saúde, plano de assistência
odontológica e seguro de acidentes pessoais. Sabe-se que
• O plano de assistência odontológica só pode ser contratado quando se contrata o plano
de saúde, embora seja posśıvel contratar plano de saúde sem o plano de assistência
odontológica.
• É posśıvel contratar um seguro de acidentes pessoais independentemente de se contratar
um plano de assistência odontológica ou um plano de saúde.
Ao analisar os dados de seus 840 clientes, que contrataram pelo menos um dos produtos, observou-se
que:
• Os clientes que contrataram todos os três produtos representam a metade dos clientes que
contrataram plano de assistência odontológica, um quinto dos clientes que contrataram
plano de saúde e um terço dos que contrataram seguro de acidentes pessoais.
• Todos os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de
saúde, também contrataram plano de assistência odontológica.
Questão 1 (1.0 pt) Represente, por meio de um diagrama de Venn, a situação descrita, represen-
tando por S o conjunto dos clientes que contrataram plano de saúde, por O o conjunto dos que
contrataram plano de assistência odontológica e por A os que contrataram seguro de acidentes
pessoais. Represente por x a quantidade de clientes que contrataram todos os três produtos e, a
partir dáı, complete todas as partes do diagrama em função de x.
Métodos Determińısticos I AP1 3
Solução: Como o todos os clientes que contrataram plano de assitência odontológica também
contrataram plano de saúde, o conjunto O está contido no conjunto S, logo podemos desenhar o
diagrama de Venn como abaixo:
Não nos preocupamos em desenhar um conjunto Universo, já que a situação se refere apenas a
clientes que, como explicado, contrataram pelo menos um dos produtos. Se quiséssemos representar
este conjunto U , haveria 0 clientes fora na parte mais externa do diagrama, isto é, fora dos conjuntos
S, O e A, como abaixo:
Assim, não vamos mais nos preocupar com o conjunto U . A análise dos clientes mostrou que “todos
os clientes que contrataram ambos o seguro de acidentes pessoais e o plano de saúde, também
contrataram plano de assistência”, logo, não existem clientes no conjunto (A ∩ S) − O, logo
podemos colocar um 0 (zero) na parte correspondente no diagrama.
Os x clientes que contrataram todos os três produtos representam a metade dos clientes que contrata-
ram plano de assistência odontológica, logo, como, o número de clientes que contrataram plano
de assitência odontológica é 2x. Como x deles já estão representados na interseção O ∩ S ∩ A,
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Métodos Determińısticos I AP1 4
o restante do conjunto O possui 2x− x = x elementos, como representado abaixo:
Os x clientes que contrataram todos os três produtos representam um quinto dos clientes que
contrataram plano de saúde, logo, como, o número de clientes que contrataram plano de saúde é
5x. Assim, a parte do conjunto S que ainda não possui valor, no diagrama, representa 5x−x−x−0 =
3x clientes. Temos então o diagrama:
Os x clientes que contrataram todos os três produtos representam um terço dos clientes que contra-
taram seguro de acidentes pessoais, logo, como, o número de clientes que contrataram seguro
de acidentes pessoais é 3x. Assim, a parte do conjunto A que ainda não possui valor, no diagrama,
representa 3x− x = 2x clientes. Atualizando o diagrama, temos
Questão 2 (1.0 pt) Cada cliente pode contratar, no máximo, um produto de cada tipo. Isto é,
não é posśıvel um cliente contratar mais de um plano de saúde, mais de um plano de assistência
odontológica ou mais de um seguro de acidentes pessoais.
Desta forma, diga quantos produtos de cada tipo foram contratados. Observe que a soma destas
quantidades deve ser maior que 840, pois este é o número de clientes, não de produtos contratados,
e alguns clientes contrataram mais de um produto.
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Métodos Determińısticos I AP1 5
Solução: Vamos determinar, no diagrama da questão anterior, o valor de x. Observando o diagrama
e sabendo que há um total de 840 clientes, temos
x + x + 3x + 2x = 840 ∴ 7x = 840 ∴ x = 120.
Assim, temos as seguintes quantidades de produtos contratados:
• planos de saúde: 5x = 5 · 120 = 600 contratações
• planos de assistância odontológicas: 2x = 2 · 120 = 240 contratações
• seguros de acidentes pessoais: 3x = 3 · 120 = 360 contratações
Questão 3 (1.0 pt) O número de contratações de planos de saúde corresponde a que percentual
do total de produtos contratados? (Observe que a pergunta é relativa ao total de produtos
contratados, não ao número de
clientes.) Solução: O total T de produtos contratados é dado por
600 + 240 + 360 = 1200.
Assim, as 600 contratações de planos de saúde corresponde, em relação ao total de produtos, a
600
1200 =
50
100 = 50%.
(Este texto é comum às questões 4 a 6 e a seguir.)
Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300 euros. Ao vender o produto,
o comerciante deverá recolher, como impostos, o equivalente a 20% do valor agragado, isto é, da
diferença V − C entre o preço de venda V e o de compra C.
Questão 4 (1.0 pt) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de
500 euros.
Solução: Com o preço de venda V = 500, o valor agregado será
V − C = 500− 300 = 200 euros,
logo o imposto será de 20-% deste valor, ou seja
20% · 200 = 20100 · 200 = 40 euros.
Questão 5 (1.0 pt) Dê a expressão do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja
dado, em euros, por V .
Solução: Com o preço de venda V , o valor agregado será
V − C = V − 300 euros,
logo o imposto será de 20% deste valor, ou seja, em euros,
20% · (V − 300) = 20100 · (V − 300) =
1
5 · (V − 300) =
V
5 − 60.
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Métodos Determińısticos I AP1 6
Questão 6 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando
apenas o preço de venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto deverá vender o
produto?
Solução: O lucro L é dado pelo preço de venda V , descontado o preço de compra C = 300 e o
imposto calculado na questão anterior. Assim,
L = V − 300−
(
V
5 − 60
)
= V − V5 − 300 + 60 =
4V
5 − 240.
Para que este lucro seja de 60 euros, teremos
L = 60⇔ 4V5 − 240 = 60⇔
4V
5 = 300⇔ V =
1500
4 = 375.
Questão 7 (1.0 pt) Encontre o conjunto solução da inequação a seguir e o escreva na forma de
intervalo(s).
(x− 1)2 − (x + 1)2 ≥ −x3 + 5.
Solução: Resolvendo a inequação, temos
(x− 1)2 − (x + 1)2 ≥ −x3 + 5 ⇔ x
2 − 2x + 1− (x2 + 2x + 1) ≥ −x3 + 5
⇔ x2 − 2x + 1− x2 − 2x− 1 ≥ −x3 + 5
⇔ −4x ≥ −x3 + 5
⇔ −4x + x3 ≥ 5
⇔ −12x + x3 ≥ 5
⇔ −11x3 ≥ 5
⇔ −11x ≥ 15
⇔ x ≤ −1511 .
Note que, na última passagem acima, como dividimos por −11, que é negativo, o sinal da inequação
de inverte.
(Este texto é comum às questões 8, 9 e 10 a seguir.)
Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questão de Matemática:
(1) Se eu me dediquei a resolver a questão quando eu a vi anteriormente, então aprendi
a resolver a questão ou decorei a solução da questão.
(2) Por outro lado, se eu decorei a solução da questão, então certamente eu me dediquei a
resolver a questão quando eu a vi anteriormente
(3) Se eu aprendi a resolver a questão, então acertei integralmente a questão quando ela
caiu novamente em uma prova.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 7
(4) Se eu decorei a solução da questão, então acertei pelo menos metade da questão
quando ela caiu novamente em uma prova.
(5) Se acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova, então,
obviamente, acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em
uma prova.
Denote as proposições das sentenças anteriores da seguinte forma:
m: eu me dediquei a resolver a questão quando eu a vi anteriormente
a: aprendi a resolver a questão
d: decorei a solução da questão
i: acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova
p: acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em uma prova
Questão 8 (1.0 pt) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribúıdas
acima a cada sentença (m, a, d, i e p) e os śımbolos da lógica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
Solução: Escrevendo as premissas com a notação dada, temos
(1) m⇒ a ∨ d
(2) d⇒ m
(3) a⇒ i
(4) d⇒ p
(5) i⇒ p.
Questão 9 (1.0 pt) Se não acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu nova-
mente em uma prova, baseado nas premissas dadas, é verdadeiro ou falso que eu me dediquei
a resolver a questão quando eu a vi anteriormente?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada
questão, para encurtar sua solução.
Solução: Partindo da premissa de que não acertei pelo menos metade da questão quando
ela caiu novamente em uma prova, temos que p é falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d
é falsa. Pela premissa (5), temos também que i é falsa, logo por (3), a é falsa.
Até aqui, conclúımos que a e d são falsas, logo a ∨ d é falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se
que m é falsa.
Assim, é falso que eu me dediquei a resolver a questão quando eu a vi anteriormente.
Questão 10 (1.0 pt) Se acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em
uma prova, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que eu aprendi a resolver a
questão ?
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Métodos Determińısticos I AP1 8
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada
questão, para encurtar sua solução
Solução: Não se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposições i e p, e todas as demais falsas. Isto não
tornará falsas as premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇒ F ∨ F
(2) F ⇒ F
(3) F ⇒ V
(4) F ⇒ V
(5) V ⇒ V ,
que são implicações válidas (o que não seria válido seria V ⇒ F ).
Por outro lado, podem todas as proposições serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam
sendo respeitadas, pois
(1) V ⇒ V ∨ V
(2) V ⇒ V
(3) V ⇒ V
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ V .
Assim, é posśıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a é verdadeira como em casos em que a é
falsa.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
Gabaritos/AP1-MetDet1-2019-1-Gabarito-Online.pdf
AP1 – Métodos Determińısticos I – 2019.1
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais:
I
1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluções.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova.
Caso contrário verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questões no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões,
preencha (pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF,
o código da disciplina (indicado no cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. É expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade será reportada
pelo aplicador à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções devidas.
8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-las
de acordo com as questões.
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Por-
tanto, quaisquer anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalização e a correção.
Orientação espećıfica:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo comotambém qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Determińısticos I – 24/03/2019
Código da disciplina EAD 06075
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para cálculo como também qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
(Este texto é comum às questões 1 a 3 a seguir.)
Na única bolsa de valores do páıs Pequeńıssimo Setentrional, são negociadas ações de diversas
empresas, sabendo-se que:
i. Cada empresa podem ter ações na mão de investidores privados, do governo, ou de ambos.
Obviamente, é necessário que cada empresa possua ações nas mãos de investidores privados ou
do governo.
ii. 3/4 das empresas que possuem ações na mão de investidores privados, não possuem ações na
mão do governo.
iii. 1/4 do total das empresas da bolsa de valores não possuem ações na mão do governo.
iv. 33 empresas desta bolsa possuem ações só na mão do governo ou só na mão da iniciativa privada,
não possuindo os dois tipos de investidores.
Questão 1 (1.0 pt) Chame de p o número de empresas que possuem ações apenas na mão de
investidores privados. Escreva, em função de p, o número de empresas que possuem ações apenas
na mão do governo.
Resposta: Vamos representar a situação por meio de dois conjuntos, P e G, das empresas que
possuem ações na mão de investidores privados e com o governo, respectivamente. Não é necessário
Métodos Determińısticos I AP1 3
representar um conjunto U que os contenha, visto que não há elementos fora da união de P e G,
pois cada empresa possui ações na mão de investidores privados ou do governo.
O conjunto das empresas que possuem ações apenas na mão da iniciativa privada é o destacado
abaixo e, como pedido, chamaremos de p seu número de elementos.
O conjunto das empresas que possuem ações só na mão do governo ou só na mão da iniciativa
privada, não possuindo os dois tipos de investidores, é o destacado abaixo (a união dos conjuntos
menos a interseção).
Pela informação iv acima, o total das empresas destacadas acima é 33. Como já temos p apenas na
mão de iniciativa provada, teremos 33− p apenas na mão do governo.
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Métodos Determińısticos I AP1 4
Questão 2 (1.0 pt) Lembrando que 3/4 que possuem ações na mão de investidores privados não
possuem ações na mão do governo, escreva, em função de p, o número de empresas que possuem
ações tanto com o governo, quanto com investidores privados.
Resposta: Vamos chamar de x o número de empresas que possuem ações tanto na mão do governo
quanto da iniciativa privada.
Assim, o número total de empresas com ações na iniciativa privada é dado por p + x. Destas, 3/4
possuem ações apenas na iniciativa privada, logo
p = 34(p + x).
Com isso,
p = 34p +
3
4x ∴ p−
3p
4 =
3
4x ∴
4p− 3p
4 =
3x
4 ∴ p = 3x ∴ x =
p
3 .
Assim,
p
3 empresas possuem ações tanto com o governo quanto com investidores privados.
Questão 3 (1.0 pt) Lembrando agora que 1/4 das empresas da bolsa não possuem ações na mão
do governo, utilizando os itens anteriores, determine quantas empresas são negociadas nesta bolsa
de valores.
Resposta: Observando a quantidade em cada pedaço do diagrama de Venn,
vemos que são p empresas não possuem ações na mão do governo, de um total de
(33− p) + p3 + p = 33 +
p
3 empresas. Assim,
p = 14
(
33 + p3
)
,
logo
p = 334 +
p
12 ∴ p−
p
12 =
33
4 ∴
12p− p
12 =
3 · 33
12 ∴
11p
12 =
99
12 ∴ 11p = 99 ∴ p = 9.
Assim, são negociadas 33 + p3 = 33 +
9
3 = 33 + 3 = 36 empresas nesta bolsa.
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Métodos Determińısticos I AP1 5
(Este texto é comum às questões 4 e 5 e a seguir.)
O preço de venda V de um determinado produto é composto pela soma do custo C com o lucro L
do vendedor e com os impostos I. Para este produto, o vendedor deseja obter uma margem de lucro
de 10% sobre o custo C.
Questão 4 (1.5 pt) Determine, em função de C, o preço de venda V caso o imposto I seja 20%
do lucro L.
Resposta: Primeiramente, observe que o lucro L deve ser 10% de C, logo
L = 10% · C = 10100 C =
C
10 .
Como o imposto é de 20% do lucro L, temos
I = 20% · L = 20100 ·
C
10 =
1
5 ·
C
10 =
C
50 .
Com isso,
V = C + L + I = C + C10 +
C
50 =
50C + 5C + C
50 =
56C
50 .
Questão 5 (1.5 pt) Determine, em função de C, o preço de venda V caso o imposto I seja 20%
da diferença entre o preço de venda e o de compra (isto é, 20% de V − C).
Resposta: Como na questão anterior, L = C10 .
Se o imposto for de 20% da diferença V − C, teremos
I = 20100(V − C),
logo, como V = C + L + I = C + C10 + I, temos
I = 20100
(
C + C10 + I − C
)
∴ I = 15
(
C
10 + I
)
∴ I = C50 +
I
5 ∴ I −
I
5 =
C
50 ∴
4I
5 =
C
50 .
Com isso,
I = 54 ·
C
50 =
C
40 ,
logo
V = C + L + I = C + C10 +
C
40 =
40C + 4C + C
40 =
45C
40 =
9C
8 .
Questão 6 (2.0 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma união finita de intervalos, os
números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x + 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x + 3) .
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Métodos Determińısticos I AP1 6
Resposta:
2
(
x + 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x + 3) ⇔ 2
(
x2 + 2 · 12 · x +
1
4
)
− 3x < 2x2 − x + 3x− 32
⇔ 2
(
x2 + x + 14
)
− 3x < 2x2 − x + 3x− 32
⇔ 2x2 + 2x + 12 − 3x < 2x
2 − x + 3x− 32
⇔ 2x2 − x + 12 < 2x
2 + 2x− 32
⇔ 2x2 − x + 12 − 2x
2 − 2x + 32 < 0
⇔ −3x + 2 < 0
⇔ −3x < −2
⇔ x > 23 .
Conclusão: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x + 12
)2
− 3x <
(
x− 12
)
(2x + 3),
são x ∈
(2
3 ,∞
)
.
Questão 7 (1.0 pt) Diz a lei que todos os pontos de venda de uma loja devem emitir nota fiscal
em todas as vendas.
Dê uma condição necessária e suficiente para que a lei não esteja sendo cumprida.
Resposta: A lei não estará sendo cumprida se, e somente se, algum ponto de venda da loja deixar
de emitir nota fiscal em alguma venda. Isto é, se existir algum ponto de venda no qual exista alguma
venda que não teve nota fiscal emitida.
Ou seja, basta uma venda, em um ponto de venda, sem nota fiscal e a loja estará descumprindo a
lei! É bom tomar cuidado!!!
Isto pode ser verificado reescrevendo a frase da lei com a simbologia da lógica
de proposições:
q : ∀p ∈ P, ∀v ∈ V, vteve nota emitida,
onde P é o conjunto dos pontos de venda e V o conjunto das vendas realizadas. Assim,
∼ q :∼ (∀p ∈ P, ∀v ∈ V, v teve nota emitida) ,
logo
∼ q : ∃p ∈ P | ∼ (∀v ∈ V, v teve nota emitida) ,
ou ainda
∼ q : ∃p ∈ P | ∃v ∈ V | ∼ (v teve nota emitida) ,
logo
∼ q : ∃p ∈ P | ∃v ∈ V | v não teve nota emitida.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 7
Questão 8 (1.0 pt) Escreva a negação da sentença
∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y.
Resposta: Chamando
p : ∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y,
como na questão acima teremos
∼ p :∼ (∀x ∈ A,∀y ∈ B, x > y) ,
logo
∼ p : ∃x ∈ A | ∼ (∀y ∈ B, x > y) ,
ou ainda,
∼ p : ∃x ∈ A | ∃y ∈ B | ∼ (x > y) .
Portanto,
∼ p : ∃x ∈ A | ∃y ∈ B |x 6 y.
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RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
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AP1 – Métodos Determińısticos I – 2019.2
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais:
I
1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluções.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova.
Caso contrário verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questões no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões,
preencha (pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF,
o código da disciplina (indicado no cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. É expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade será reportada
pelo aplicador à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções devidas.
8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-las
de acordo com as questões.
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Por-
tanto, quaisquer anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalização e a correção.
Orientação espećıfica:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo comotambém qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Métodos Determińısticos I – ??/0?/2019
Código da disciplina EAD 06075
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para cálculo como também qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
(Este texto é comum às questões ?? a ?? e a seguir.)
Na bolsa de valores de um determinado páıs, são negociadas ações de 150 empresas. Estas empresas
podem ter suas ações de posse do governo, de investidores privados ou de ambos. Para as empresas
negociadas nesta bolsa, há um projeto especial de investimentos chamado de Projeto Parceria, do
qual só podem participar empresas que possuem ações com os investidores privados e com o governo.
Sabe-se ainda que:
i. 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam deste projeto;
ii. 1/3 das empresas que possuem ações com os investidores privados participam do Projeto Parceria;
iii. o número de empresas que possuem ações com o governo é o dobro do número das que não
possuem;
iv. toda empresa possui ações com o governo, com investidores privados ou com ambos, não havendo
empresas sem investidor.
Questão 1 (1.5 pt) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, chamando de P o
conjunto de empresas com ações na mão de investidores privados, de G o conjunto de empresas com
ações na mão do governo e de R o conjunto de empresas que participam do Projeto Parceria. Chame
de x o número de empresas que possuem ações tanto com o governo quanto com os investidores
privados. Escreva, em função de x, o número de empresas que participam do Projeto Parceria.
Métodos Determińısticos I AP1 3
Resposta: Como só podem participar do Projeto Parceria as empresas que possuem ações com
os investidores privados e com o governo, temos que o conjunto R das empresas que participam
do Projeto Parceria está contido na interseção do conjunto P de empresas com ações na mão de
investidores privados com o conjunto G de empresas com ações na mão do governo. Observe que
não é necessário representar um conjunto U que contenha os conjunto P , G e R, visto que não há
elementos fora da união de P e G, pois cada empresa possui ações na mão de investidores privados
ou do governo. Representamos então, abaixo, a situação por meio de um diagrama de Venn.
De acordo com i), temos que 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam
deste projeto. Lembrando que só podem participar do Projeto Parceria as empresas na interseção
entre os conjuntos P e G, cujo número de elementos, conforme pedido, é x, temos que o número
de elementos do conjunto R é igual a 3/4 de x, isto é, 3x/4.
Questão 2 (1.0 pt) Escreva, em função de x, o número de empresas que possuem ações apenas
com os investidores privados.
Resposta: Como o número de elementos do conjunto R é igual a 3x/4 e o número de elementos
na interseção de G com P é x, temos que o número de elementos do conjunto P ∩G−R é
x− 3x4 =
4x
4 −
3x
4 =
x
4 .
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP1 4
Vamos agora chamar de p o número de elementos do conjunto P , isto é, o número de empresas que
possuem ações com os investidores privados. De acordo com ii), temos que 1/3 das empresas que
possuem ações com os investidores privados participam do Projeto