Provas Antigas 20180224

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Gabaritos/AP1-MetDet1-2015-2-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (1.5 pt) Considere as proposic¸o˜es:
A: “Ana esta´ na escola.”
B: “Se Joa˜o esta´ no cinema, enta˜o Maria esta´ na loja.”
Sabendo que a proposic¸a˜o P: “A ou B” e´ falsa, pode-se afirmar que:
(i) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o na˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
(ii) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria esta´ na loja.
(iii) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
(iv) Ana esta´ na escola, Joa˜o na˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
(v) Ana esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja.
Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P e´ falsa segue que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa.
Dizer que A e´ falsa e´ dizer que Ana na˜o esta´ na escola.
Por outro lado, a proposic¸a˜o B e´ uma implicac¸a˜o do tipo p ⇒ q, onde p: “Joa˜o esta´ no cinema”e
q: “Maria esta´ na loja”, logo, ela e´ falsa, apenas se vale p e ∼ q, isto e´, se Joa˜o esta´ no cinema e
Maria na˜o esta´ na loja.
Portanto, a resposta correta e´ a (iii).
Questa˜o 2 (2.0 pt) Considere o conjunto A =
{
−1
2
, 0, 1,
5
2
}
. Decida se sa˜o falsas ou verdadeiras
as proposic¸o˜es a seguir, justificando sua resposta.
a) (1.0 pt) ∀x ∈ A, 2x− 1
2
< x.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
b) (1.0 pt) ∃x ∈ A, x2 + 2x− 5 = 0.
Soluc¸a˜o:
a) Para saber se a proposic¸a˜o e´ verdadeira, vamos montar uma tabela para nos ajudar. Na primeira
coluna dessa tabela, vamos representar cada um dos valores que x pode assumir em A, na segunda
coluna, cada um dos correpondentes valores de 2x − 1
2
e na terceira coluna, vamos comparar o
valor de 2x − 1
2
com o valor de x. A partir das informac¸o˜es da Tabela 1, conclu´ımos que a
proposic¸a˜o e´ falsa, pois existe um elemento, por exemplo, x = 1, que pertence ao conjunto A,
tal que 2x− 1
2
na˜o e´ menor do que x.
Tabela 1: Questa˜o 2–a)
x 2x− 1
2
2x− 1
2
< x ?
−1
2
−3
2
−3
2
< − 1
2
0 −1
2
−1
2
< 0
1
3
2
3
2
> 1
5
2
9
2
9
2
>
5
2
Tabela 2: Questa˜o 2–b)
x x2 + 2x− 5
−1
2
(
−1
2
)2
+ 2
(
−1
2
)
− 5 = 1
4
− 1− 5 = 1
4
− 6 = 1− 24
4
= −23
4
6= 0
0 (0)2 + 2(0)− 5 = 0 + 0− 5 = −5 6= 0
1 (1)2 + 2(1)− 5 = 1 + 2− 5 = −2 6= 0
5
2
(
5
2
)2
+ 2
(
5
2
)
− 5 = 25
4
+ 5− 5 = 25
4
6= 0
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
b) Para saber se a proposic¸a˜o e´ verdadeira, vamos montar uma tabela. Na primeira coluna dessa
tabela, vamos representar cada um dos valores que x pode assumir em A, e na segunda coluna,
cada um dos correpondentes valores de x2+2x−5. Observando os resultados obtidos na Tabela 2,
conclu´ımos que na˜o existe x ∈ A tal que x2 + 2x − 5 e´ igual a zero. Portanto, a proposic¸a˜o e´
falsa.
Questa˜o 3 (2.5 pts) : Um comerciante possui duas lojas em que comercializa um mesmo produto.
Na loja 1, para uma quantidade x deste produto, o lucro em sua venda e´ obtido pela expressa˜o
L1 = 24
(
x
3
− 1
)
− 56 e na loja 2, para a mesma quantidade x do produto, o lucro em sua venda
e´ obtido pela expressa˜o L2 = 10x − 120, onde x e´ um nu´mero inteiro positivo que representa a
quantidade vendida do produto.
a) (1.0 pt) Determine a quantidade vendida pela loja 1 quando o lucro dela e´ de 720 reais.
b) (1.5 pt) Determine para que quantidades do produto o lucro da loja 1 e´ maior que o da loja 2.
Soluc¸a˜o:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pela Loja 1, quando L1 e´ igual a 720 reais, temos
de resolver a equac¸a˜o
24
(
x
3
− 1
)
− 56 = 720
⇐⇒ ��>
8
24 · x
�3
− 24− 56 = 720
⇐⇒ 8x− 80 = 720
⇐⇒ 8x = 720 + 80
⇐⇒ 8x = 800
⇐⇒ x = 100.
Portanto, a Loja 1 vende uma quantidade de 100 unidades do produto, quando o lucro desta
loja e´ de 720 reais.
b) Para determinar para quais quantidades, L1 e´ maior que L2, temos de resolver a desigualdade
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
L1 > L2
⇐⇒ 24
(
x
3
− 1
)
− 56 > 10x− 120
⇐⇒ 8x− 80 > 10x− 120
⇐⇒ 8x− 10x > −120 + 80
⇐⇒ −2x > −40
⇐⇒ 2x < 40
⇐⇒ 2x · 1
2
< 40 · 1
2
⇐⇒ x < 40
2
⇐⇒ x < 20.
Portanto, o lucro da Loja 1 e´ maior que o do da Loja 2 para a quantidade x do produto entre 1
e 19 unidades, inclusive estes extremos.
Questa˜o 4 (1.5 pts) : Um comerciante num determinado ano, no meˆs de janeiro, obteve um lucro
de 44% sobre a quantidade produzida de um certo produto. No meˆs de fevereiro, esse ı´ndice passou
para 55%, sobre a mesma quantidade produzida do produto. Determine o acre´scimo percentual no
lucro do comerciante do meˆs de fevereiro em relac¸a˜o ao meˆs de janeiro.
Soluc¸a˜o: Considerando x a quantidade produzida do produto, temos que em janeiro o comerciante
lucrava
44x
100
, e em fevereiro passou a lucrar
55x
100
. A diferenc¸a e´ de
11x
100
, quantos porcento de
44x
100
isso representa? Temos que calcular:
11x
100
÷ 44x
100
=
11x
100
× 100
44x
=
25
100
Portanto, o acre´scimo percentual no lucro do comerciante do meˆs de fevereiro em relac¸a˜o ao meˆs de
janeiro e´ de 25%.
Questa˜o 5 (2.5 pts) : Resolva cada item, passo por passo.
a) (0.8 pt) Verifique que
3√
5− 1 −
3
√
5
4
e´ igual a
3
4
.
b) (0.7 pt) Determine o valor de 5
√−32 + (27)−1/3.
c) (1.0 pt) Determine o valor de 5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Soluc¸a˜o:
a)
3√
5− 1 −
3
√
5
4
=
3√
5− 1 ·
√
5 + 1√
5 + 1
− 3
√
5
4
=
3(
√
5 + 1)
5− 1 −
3
√
5
4
=
3
√
5 + 3
4
− 3
√
5
4
=
3
4
b) 5
√−32 + (27)−1/3 = −2 + 1
(27)1/3
= −2 + 1
3
√
27
= −2 + 1
3
=
−6 + 1
3
= −5
3
c)
5− 2
[(
1
2
− 3
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(
1− 6
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[(−5
2
)2
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
4
÷ 1
4
− 26
]
= 5− 2
[
25
�4
· �4
1
− 26
]
= 5− 2 [25− 26]
= 5− 2[−1]
= 5 + 2
= 7
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome,
Matr´ıcula, • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.0 pt) Considere as proposic¸o˜es:
A: “Joa˜o e´ casado se, e somente se, Maria possui filhos.”
B: “Se Pedro e´ solteiro, enta˜o Maria possui filhos.”
Sabendo que a proposic¸a˜o P: “A ou B” e´ falsa, pode-se afirmar que:
(i) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(ii) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(iii) Joa˜o na˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro na˜o e´ solteiro.
(iv) Joa˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro e´ solteiro.
(v) Joa˜o e´ casado, Maria na˜o possui filhos, Pedro na˜o e´ solteiro.
Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P e´ falsa segue que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa.
A proposic¸a˜o B e´ uma implicac¸a˜o do tipo a ⇒ b, onde a: “Pedro e´ solteiro”e b: “Maria possui
filhos”, logo, ela e´ falsa, apenas se vale a e ∼ b, isto e´, se “Pedro e´ solteiro”(a) e “Maria na˜o possui
filhos”(∼ b).
Por outro lado, a proposic¸a˜o A e´ uma equivaleˆncia do tipo c ⇔ b, onde c: “Joa˜o e´ casado”e b:
“Maria possui filhos”, logo, ela e´ falsa, apenas em duas situac¸o˜es: vale c e ∼ b, ou vale ∼ c e b. No
para´grafo anterior, descobrimos que vale ∼ b, i.e. “Maria na˜o possui filhos”, portanto, devemos ter
c, i.e. “Joa˜o e´ casado”.
Portanto, a resposta correta e´ a (iv).
Este texto e´ comum a`s Questo˜es 2 e 3 a seguir.
Considere o conjunto A =
{
1, −13
3
,
5
3
, −4
}
. Utilize o conjunto A para decidir se sa˜o verdadeiras
ou falsas as proposic¸o˜es enunciadas nas Questo˜es 2 e 3 a seguir, justificando bem sua resposta.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Questa˜o 2 (1.5 pt) ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “3x +
2
3
< 4x”e de b a proposic¸a˜o simples
“x < −15
4
”. Isto e´
a: “3x+
2
3
< 4x.”
b: “x < −15
4
.”
A proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ uma disjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das
proposic¸o˜es simples seja verdadeira.
Observe que a proposic¸a˜o a e´ verdadeira se, e somente se, x >
2
3
. De fato,
3x+
2
3
< 4x⇔ 3x− 4x < −2
3
⇔ −x < −2
3
⇔ x > 2
3
.
Como e´ uma proposic¸a˜o do tipo “∀x ∈ A”, devemos analisar se a proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ verdadeira
ou falsa para cada elemento do conjunto A. Para x = 1 e x =
5
3
, temos que, a proposic¸a˜o a e´
verdadeira, pois
1 >
2
3
(⇔ 3 > 2) e 5
3
>
2
3
(⇔ 5 > 3).
Logo, para x = 1 e x =
5
3
, temos que a disjunc¸a˜o
“
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”
e´ verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
3x+
2
3
< 4x
)
”e´ verdadeira.
Para x = −13
3
e x = −4, a proposic¸a˜o a e´ falsa, pois −13
3
<
2
3
e −4 < 2
3
. Pore´m, para estes dois
elementos de A, a proposic¸a˜o b verdadeira, pois
−13
3
< −15
4
(⇔ −52 < −45) e − 4 < −15
4
(⇔ −16 < −15).
Desta forma, para x = −13
3
e x = −4, a disjunc¸a˜o “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
tambe´m e´
verdadeira, pois, para estes valores de x, “
(
x < −15
4
)
”e´ verdadeira.
Conclu´ımos, portanto, que a disjunc¸a˜o “
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
”e´ verdadeira, para todo
x ∈ A.
Logo, ∀x ∈ A ;
(
3x+
2
3
< 4x
)
∨
(
x < −15
4
)
e´ verdadeira.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Questa˜o 3 (1.5 pt) ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x)
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “2x ∈ Z”e de b a proposic¸a˜o simples “x2 > x”.
Isto e´,
a: “2x ∈ Z.”
b: “x2 > x.”
A proposic¸a˜o “a ∧ b”e´ uma conjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, e´ preciso que as
duas proposic¸o˜es simples sejam verdadeiras.
Como e´ uma proposic¸a˜o do tipo “∃x ∈ A”, vamos verificar se ha´ um elemento de A, para o
qual a e b sejam verdadeiras.
Analisando os elementos do conjunto A, temos que, para os elementos de A, x = 1 e x = −4,
segue que 2x = 2 e 2x = −8. Como 2 e −8 sa˜o nu´meros inteiros, segue que a proposic¸a˜o a e´
verdadeira somente para os elementos x = 1 e x = −4.
Para x = −4, x2 = 16 e, enta˜o, x2 > x. Logo, para x = −4, a proposic¸a˜o b e´ verdadeira.
Como, para x = −4, a e´ verdadeira e b tambe´m e´ verdadeira, conclu´ımos que existe um ele-
mento do conjunto A, para o qual, a proposic¸a˜o “a ∧ b”e´ verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ; (2x ∈ Z) ∧ (x2 > x) e´ verdeira.
Este texto e´ comum a`s Questo˜es 4 e 5 a seguir.
Em uma certa empresa, promovem-se dois tipos de atividades de lazer para seus funciona´rios: cami-
nhada e Tai Chi Chuan. Sabe-se que
- 20% dos funciona´rios participam apenas de caminhada;
- 35% funciona´rios na˜o participam de nenhuma das duas atividdaes;
- os funciona´rios que participam apenas de Tai Chi Chuan e´ igual a 200% dos funciona´rios que
participam de ambas as atividades.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 4 e 5 a seguir.
Questa˜o 4 (0.8 pts) : Qual a porcentagem de funciona´rios que participam de pelo menos uma das
atividades de lazer?
Soluc¸a˜o: Como ha´ 100% de funciona´rios e 35% dos funciona´rios na˜o participam de nenhuma das
atividades de lazer, temos que a porcentagem do nu´mero de funciona´rios que participam de pelo
menos uma das atividades de lazer e´ dado por
100%− 35% = 65%.
Conclusa˜o: 65% funciona´rios participam de pelo menos uma das atividades de lazer.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 5 (1.2 pts) : Qual a porcentagem de funciona´rios que participam das duas atividades de
lazer?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de T o nu´mero total de funciona´rios e de x a porcentagem do nu´mero de
dos funciona´rios que participam de ambas as atividades. Desta forma, temos que
- o nu´mero de funciona´rios que participam apenas de caminhada e´ igual a
20
100
.T ;
- o nu´mero de funciona´rios que na˜o participam de nenhuma das duas atividades e´ igual a
35
100
.T ;
- o nu´mero de funciona´rios que participam apenas de Tai Chi Chuan e´ igual a
200
100
.
x
100
.T .
Desta forma, pelo diagrama de Venn, temos que
20
100
.T +
x
100
.T +
200
100
.
x
100
.T +
35
100
.T = T
20
100
.T +
x
100
.T +
2x
100
.T +
35
100
.T = T
20T + xT + 2xT + 35T = 100T
3xT = 45T
3x = 45
x =
45
3
x = 15.
Temos portanto, que a porcentagem de funciona´rios que participam da ambas as atividades de lazer
e´ de 15%.
Conclusa˜o: 15% funciona´rios participam das duas atividades de lazer.
Questa˜o 6 (1.0 pts) : Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B e´ verdadeira ou
falsa, considerando que
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3 e B = −
√
18√
2
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Soluc¸a˜o:
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3
=
−3√
3 +
√
4
− 9√
3
.
√
3√
3
=
−3√
3 + 2
− 9
√
3
3
=
−3√
3 + 2
.
(
√
3− 2)
(
√
3− 2) − 3
√
3
=
−3√3 + 6
(
√
3)2 − 22 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
3− 4 − 3
√
3
=
−3√3 + 6
−1 − 3
√
3
= 3
√
3− 6− 3
√
3
= −6
e
B =
−√18√
2
= −
√
18
2
= −
√
9
= −3.
Como −6 < −3, temos que a desigualdade A < B e´ verdadeira.
Questa˜o 7 (1.0 pts) : Determine o valor de m+ n, dado que
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5 e n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Soluc¸a˜o:
m =
3
√
−1
27
− (32)−1/5
=
3
√
−1
33
− (25)−1/5
=
−1
3
− (2)−1
= −1
3
− 1
2
= −2
6
− 3
6
= −5
6
e
n =
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
=
(
2
3
− 1
4
)2
.
4
5
=
(
8
12
− 3
12
)2
.
4
5
=
(
5
12
)2
.
4
5
=
25
144
.
4
5
=
5
36
.
Logo,
m+ n = −5
6
+
5
36
= −30
36
+
5
36
= −25
36
.
Conclusa˜o: 3
√−1
27
− (32)−1/5 +
(
2
3
− 1
4
)2
÷ 5
4
= −25
36
.
Questa˜o 8 (1.0 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Soluc¸a˜o:
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3) ⇔
2
(
x2 + x+
1
4
)
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 + 2x+
1
2
− 3x < 2x2 − x+ 3x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
< 2x2 + 2x− 3
2
⇔
2x2 − x+ 1
2
− 2x2 − 2x+ 3
2
< 0 ⇔
−3x+ 2 < 0 ⇔
−3x < −2 ⇔
x >
2
3
.
Conclusa˜o: Os valores de x que satisfazem a desigualdade 2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3),
sa˜o x ∈
(
2
3
,∞
)
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Gabaritos/AP1-MetDet1-2016-2-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras;
Polo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a` seguir.)
Em uma cidade, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-se que 12% da populac¸a˜o
compra ambas as marcas; que o percentual da populac¸a˜o que compra a marca A e´ o triplo do
percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da populac¸a˜o na˜o compra A e nem B.
Questa˜o 1 (1.5 pt) Determine o percentual da populac¸a˜o que compra apenas a marca A.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos
compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. Representando em uma
diagrama de Venn, temos o seguinte:
Vamos chamar de t o nu´mero de habitantes da cidade, isto e´, faremos n(U) = t. A informac¸a˜o de
que “12% da populac¸a˜o compra ambas as marcas”, nos da´ enta˜o que n(A ∩ B) = 12
100
· t. Ale´m
disso, como “apenas 16% da populac¸a˜o na˜o A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16
100
· t. Temos
enta˜o o seguinte diagrama:
Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
diagrama abaixo,
teremos n(B) = x+n(A∩B) = x+ 12
100
· t. Como o nu´mero de compradores da marca A e´ o triplo
de compradores de B, temos
n(A) = 3n(B) = 3
(
x+
12
100
· t
)
= 3x+
36
100
· t.
Ale´m disso, o nu´mero de compradores exclusivos da marca A sera´ dado por
n(A)− n(A ∩B) =
(
3x+
36
100
· t
)
− 12
100
· t = 3x+ 24
100
· t.
Reunindo todas as informac¸o˜es no diagrama, temos:
Com isso, podemos ver que (
3x+
24
100
· t
)
+
12
100
·t+ x+ 16
100
· t = t,
logo
4x = t− 52
100
· t ∴ 4x = 48
100
· t ∴ x = 12
100
· t.
O percentual de compradores exclusivos de A sera´ enta˜o
n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12
100
· t+ 24
100
· t = 60
100
· t.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Com isso, 60% da populac¸a˜o compra apenas a marca A.
Observac¸a˜o: Uma forma mais simples (embora mais descuidada) de resolver seria supor que a
cidade possui 100 habitantes e resolver de forma similar a` feita acima, pore´m sem o t. Resolver desta
forma, pore´m, poderia levar (na˜o e´ o caso neste problema, mas poderia ocorrer) a` conjuntos com
cardinalidade na˜o inteira, que deveriam ser interpretados como percentuais da forma 12,41%, por
exemplo, que faz sentido para populac¸o˜es grandes.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Se a marca B lanc¸ar uma ofensiva publicita´ria e conseguir fazer com que um
quinto das pessoas que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Sera´ o
aumento percentual de clientela da marca B?
Soluc¸a˜o: No item anterior, encontramos os seguintes percentuais:
Com isso, a marca B tem, hoje, 12
100
· t+ 12
100
· t = 24
100
· t compradores. Se a campanha publicita´ria da
marca B conseguir captar um quinto dos 60
100
· t compradores exclusivos da marca A, ela representara´
um aumento de
1
5
· 60
100
· t = 12
100
· t
novos clientes.
O aumento percentual sera´ o nu´mero de novos clientes dividido pelo nu´mero de clientes antigos, isto
e´,
12
100
· t
24
100
· t =
1
2
=
50
100
= 50%.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 3, 4 e 5 a` seguir.)
Diga se cada propriedade abaixo e´ va´lida para todos os nu´meros reais a e b, justificando.
Questa˜o 3 (0.5 pt) Se a < b enta˜o a2 < b2.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = −1 e b = 0. Temos, neste caso, a < b, pore´m a2 > b2, pois
a2 = (−1)2 = 1 e b2 = 0.
Questa˜o 4 (0.5 pt) Se a2 < b2 enta˜o a < b.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Ela na˜o vale, por exemplo, para a = 0 e b = −1. Temos, neste caso, a2 < b2, mas a > b.
Questa˜o 5 (0.5 pt) a2 > a.
Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA!
Tome, por exemplo, a = 1
2
. Teremos a2 =
(
1
2
)2
= 1
2
22
= 1
4
< 1
2
= a.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Questa˜o 6 (2.0 pt) Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os treˆs nu´meros reais
a =
4
1−√5 , b =
4
1 +
√
5
e c = 1.
Soluc¸a˜o: Racionalizando a, temos
a =
4
1−√5 =
4
1−√5 ·
1 +
√
5
1 +
√
5
=
4(1 +
√
5)
1− 5 =
4(1 +
√
5)
−4 = −(1 +
√
5) = −
√
5− 1.
Racionalizando b, temos
b =
4
1 +
√
5
=
4
1 +
√
5
· 1−
√
5
1−√5 =
4(1−√5)
1− 5 =
4(1−√5)
−4 = −(1−
√
5) =
√
5− 1.
Observe que a < 0, logo a < c. Por outro lado, como
√
5 >
√
4 = 2, temos
b =
√
5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c.
Com isso, temos
a < c < b.
Questa˜o 7 (1.5 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os
nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 − (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Soluc¸a˜o:
2(x− 1)2−(x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1)−
(
2x2 − x
2
− 4x+ 1
)
> (2x)2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1 > 4x2 − 1
⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x
2
+4x−1− 4x2 + 1 > 0
⇔ −4x2 + x
2
+ 2 > 0
⇔ −8x2 + x+ 4 > 0
Por um erro de sinal no enunciado, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o na forma de intervalo ou unia˜o finita de
intervalos na˜o e´ poss´ıvel com os conteu´dos selecionados para a AP1. O crite´rio de correc¸a˜o a ser
adotado levara´ em conta este fato.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 a` seguir.)
Considere o conjunto P de todas as palavras da l´ıngua portuguesa e o conjunto N dos nu´meros
naturais. Denote por C o conjunto definido por
C = {(n, p) ∈ N× P | n e´ menor ou igual ao nu´mero de letras ’a’ na palavra p}.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Como exemplos, os pares (1, bala) e (2, bala) pertencem a C, mas (3, aurora) na˜o pertence a C.
Suponha ainda que a folclo´rica palavra inconstitucionalissimamente, com 27 letras, seja a maior da
l´ıngua portuguesa.
Questa˜o 8 (2.0 pts) Classifique em verdadeira ou falsa, cada uma das proposic¸o˜es abaixo:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
Soluc¸a˜o:
p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28”
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Como p pode ter, no ma´ximo, 27 letras, tera´ no ma´ximo 27 letras ’a’.
Assim, se a e´ o nu´mero de letras ’a’ de p, teremos a 6 27.
Mas, como (n, p) ∈ C, temos n 6 a 6 27 < 28.
q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100”
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Seja (n, p) ∈ C. Pelo item anterior, n < 28, logo n < 100.
r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”.
A afirmativa e´ FALSA!
Como p e´ verdadeira, se (n, p) ∈ C, temos n < 28. Logo, na˜o existe (n, p) ∈ C com n = 28.
s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”.
A afirmativa e´ VERDADEIRA!
Veja que (3, arara) ∈ C, pois 3 e´ menor ou igual ao nu´mero de letras ’a’ de ’arara’.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
Questa˜o 9 (0.5 pts) Se A = {(32, p) | p ∈ P}, determine A ∩ C.
Soluc¸a˜o: Seja A = {(32, p) | p ∈ P}.
Se (n, p) ∈ A, temos n = 32.
Se, por outro lado, (n, p) ∈ C, temos n < 28 (afirmac¸a˜o p acima).
Como estas duas condic¸o˜es na˜o podem acontecer simultaneamente (na˜o se pode ter n = 32∧n < 28),
nenhum par (n, p) pode pertencer a A e C simultaneamente. Assim, A ∩ C = ∅.
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AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 09/09/2017
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1 (2.0 pt) Este ano, durante o Carnaval de Ladeiro´polis, seus 150 comerciantes tiveram
divergeˆncias quanto a trabalhar no sa´bado e na segunda de Carnaval. Foi constatado o seguinte:
• O nu´mero de comerciantes que trabalharam no sa´bado e na segunda foi metade do nu´mero de
comerciantes que trabalharam so´ segunda.
• Apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sa´bado tambe´m trabalharam segunda.
• 12 comerciantes resolveram na˜o trabalhar nem sa´bado nem segunda.
Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as varia´veis que achar conveni-
ente e, utilizando este diagrama, determine o nu´mero de comerciantes que trabalharam sa´bado e
segunda.
Importante!!! Tenha atenc¸a˜o no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem
justificada deve conter as equac¸o˜es que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de
Venn constru´ıdo, com as varia´veis escolhidas, e na˜o a simples verificac¸a˜o de valores intu´ıdos.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os comerciantes de Ladeiro´polis, de E o conjunto
dos comerciantes que trabalharam na segunda-feira e de A o conjunto comerciantes que trabalharam
no sa´bado.
Considerando que um comerciante pode na˜o trabalhar nem segunda nem sa´bado, apenas em um dos
dois dias ou em ambos, temos enta˜o o seguinte diagrama de Venn:
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Utilizando as informac¸o˜es dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida:
Vamos agora utilizar as demais informac¸o˜es. Fac¸amos x = n(E − E ∩ A), isto e´, x representa o
nu´mero de comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira. A segunda informac¸a˜o nos diz
que o nu´mero de comerciantes que trabalharam segunda e sa´bado e´ igual a` metade do nu´mero de
comerciantes que trabalharam apenas na segunda-feira; logo,
n(E ∩ A) = n(E − E ∩ A)2 =
x
2 .
Completando o diagrama com essa informac¸a˜o, temos:
Sabe-se ainda, que apenas um quarto dos comerciantes que trabalharam sa´bado tambe´m trabalharam
segunda. Em outras palavras, sabe-se que o nu´mero de comerciantes que trabalharam segunda e
sa´bado representa um quarto dos comerciantes que trabalharam sa´bado. Traduzindo esta informac¸a˜o,
temos que,
n(E ∩ A) = n(A)4 ,
logo
n(A) = 4 · n(E ∩ A) = 4 · x2 = 2x.
Com isso, temos que o nu´mero de comerciantes que trabalhou apenas no sa´bado foi de
n(A− (E ∩ A)) = n(A)− n(E ∩ A) = 2x− x2 =
4x− x
2 =
3x
2 .
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
Temos agora todas as informac¸o˜es do diagrama:
Para determinar o valor de x, note que
x+ x2 +
3x
2 + 12 = 150,
logo
2x
2 +
x
2 +
3x
2 = 150− 12
e, enta˜o,
6x
2 = 138.
Com isso,
3x = 138
e, portanto,
x = 46.
Como o nu´mero de comerciantes que trabalharam segunda e sa´bado e´
x
2 , temos que
46
2 = 23
comerciantes trabalharam nestes dois dias.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 2, 3 e 4 e a seguir.)
Um comerciante de Ladeiro´polis, cansado de suas ı´ngremes ladeiras, decidiu fechar suas portas.
Desta forma, resolveu liquidar seu estoque. Depois de muito pensar, decidiu que em marc¸o daria
um desconto de 10% em suas mercadoria e nos meses seguintes um desconto de 20% em relac¸a˜o ao
meˆs anterior. Pore´m, ele na˜o abaixaria o valor a um valor inferior a 55%, pois este corresponderia
ao valor que ele adquiriu a mercadoria e ele na˜o queria ter preju´ızo.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Um mercadoria que custava R$1.000,00 em fevereiro, tera´ seu prec¸o estacio-
nado em que meˆs? Qual sera´ seu prec¸o enta˜o?
Soluc¸a˜o: Primeiramente, como
55% · 1.000 = 55100 · 1.000 = 55 · 100 = 550,
note que a mercadoria tera´ seu prec¸o estacionado no meˆs em que seu valor previsto for maior ou
igual a R$550,00, mas no meˆs seguinte, for menor do que R$550,00.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
Vamos enta˜o analisar os novos prec¸os a comec¸ar de marc¸o.
Em marc¸o, o desconto previsto e´ de 10% no prec¸o p da mercadoria em fevereiro; logo, seu prec¸o em
marc¸o, que chamaremos de p1 seria de
p1 = p− 10% p = p− 10100 p =
(
1− 110
)
p = 910p.
Em abril, o desconto previsto e´ de 20% no prec¸o p1 da mercadoria em marc¸o; logo, seu prec¸o em
abril, que chamaremos de p2 seria de
p2 = p1 − 20% p1 = p1 − 20100 p1 =
(
1− 15
)
p1 =
4
5p1.
A cada meˆs seguinte, o prec¸o p da mercadoria teria uma reduc¸a˜o prevista em 20% = 20100 =
1
5 em
relac¸a˜o ao prec¸o anterior.
Com isso, para uma mercadoria que em fevereiro custava R$1.000,00, temos o seguinte,
• Prec¸o previsto para marc¸o: p1 = 910 · 1.000 = 9 · 100 = 900 > 550.
• Prec¸o previsto para abril: p2 = 45 · p1 =
4
5 · 900 = 4 · 180 = 720 > 550.
• Prec¸o previsto para maio: p3 = 45 · p2 =
4
5 · 720 = 4 · 144 = 576 > 550.
• Prec¸o previsto para junho: p4 = 45 · p3 =
4
5 · 576 = 460, 80 < 550.
Logo, o prec¸o da mercadoria estacionaria em R$576,00, prec¸o vigente em maio. Em junho na˜o seria
mais aplicada a pol´ıtica de descontos progressivos.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Chamando de P o prec¸o de uma mercadoria em fevereiro, determine a ex-
pressa˜o de seu novo prec¸o, apo´s decorridos n meses, n ≥ 2, onde n = 1 corresponderia a marc¸o,
n = 2 a abril e assim sucessivamente, se o comerciante na˜o tivesse colocado um crite´rio para encerrar
os descontos.
Soluc¸a˜o: Vimos, na questa˜o anterior, que o prec¸o da mercadoria em marc¸o e´ 910 de seu prec¸o em
fevereiro e que nos meses seguintes e´ de 45 de seu prec¸o no meˆs anterior. Assim, sendo P o prec¸o da
mercadoria em fevereiro,
• Prec¸o em marc¸o: P1 = 910 · P .
• Prec¸o em abril: P2 = 45 · P1 =
4
5 ·
9
10 · P .
• Prec¸o em maio: P3 = 45 · P2 =
4
5 ·
4
5 ·
9
10 · P =
(4
5
)2
· 910 · P .
• Prec¸o em junho: P4 = 45 · P3 =
4
5 ·
(4
5
)2
· 910 · P =
(4
5
)3
· 910 · P .
• Prec¸o em agosto: P5 = 45 · P4 =
4
5 ·
(4
5
)3
· 910 · P =
(4
5
)4
· 910 · P .
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Prosseguindo assim, vemos que o valor apo´s n meses, onde n = 1 e´ marc¸o, n = 2 e´ abril e assim
por diante, sera´ dado por
Vn =
(4
5
)(n−1)
· 910 · P.
Questa˜o 4 (1.0 pt) Se 55% do prec¸o P da mercadoria em fevereiro corresponde ao valor que ele
adquiriu esta mercadoria, quando ele coloca a mercadoria a venda na loja em fevereiro, por P , qual o
lucro percentual, em relac¸a˜o ao prec¸o adquirido, que ele pretende obter com a venda da mercadoria?
Como o comerciante comprou a mercadoria por 55% P , ele a comprou por
55% · P = 55100 · P =
11
20 · P.
Como ela a colocou a` venda em fevereiro por P , ele obte´m um lucro de
P − 1120 · P =
20− 11
20 · P =
9
20 · P.
Em termos percetuais, o valor do lucro em relac¸a˜o ao valor da compra e´ dado por
9
20 · P
11
20 · P
= 920 ·
20
11 =
9
11 =
9
11 · 100
100 =
900
11
100 =
900
11 % ≈ 81.8%,
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 e 6 a seguir.)
Para imprimir folhetos de propaganda, a gra´fica Papel Amassado tem um custo C, composto por
um valor fixo de R$ 700,00, mais R$ 930,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gra´fica obte´m
imprimindo folhetos para seus cliente e´ de R$ 2.000,00 por milheiro. O lucro L com um trabalho de
impressa˜o dos folhetos e´ dado pela diferenc¸a entre a receita R e o custo C, isto e´, R− C.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Determine a expressa˜o do lucro L da gra´fica Papel Amassado em func¸a˜o de
n, onde n e´ o nu´mero de milheiros impressos.
Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas, sendo n o nu´mero de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gra´fica Papel Amassado sa˜o dados por
C1 = 700 + 930n
R1 = 2.000n
logo, seu lucro, e´ dado por
L1 = R1 − C1 = 2.000n− (700 + 930n) = 2.000n− 700− 930n) = 1.070n− 700.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Ao lado da gra´fica Papel Amassado, foi aberta uma concorrente, a Papel
Rasgado. A Papel Rasgado vangloria-se por ter um custo C, composto por um valor fixo de R$
300,00, mais R$ 950,00 por milheiro de folhetos. Sua receita tambe´m e´ de R$ 2.000,00 por milheiro.
Ate´ quantos milheiros o lucro da gra´fica Papel Rasgado e´ maior do que o lucro da gra´fica Papel
Amassado?
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Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas, sendo n o nu´mero de milheiros de folheto, o custo e a receita
da gra´fica Papel Rasgado sa˜o dados por
C2 = 300 + 950n
R2 = 2.000n
logo
L2 = R2 − C2 = 2.000n− (300 + 950n) = 2.000n− 300− 950n) = 1.050n− 300.
Para determinarmos ate´ quantos milheiros o lucro da gra´fica Papel Rasgado e´ maior do que o lucro
da gra´fica Papel Amassado, precisamos resolver a inequac¸a˜o
L2 > L1 ⇔ 1.050n− 300 > 1.070n− 700.
Resolvendo a inequac¸a˜o anterior, temos que
1.050n− 300 > 1.070n− 700 ⇔ 1.050n− 1.070n > 300− 700
⇔ −20n > 400⇔ n < 40020
⇔ n < 20.
Assim, ate´ 19 milheiros de folhetos, o lucro da gra´fica Papel Rasgado e´ maior do que o lucro da
gra´fica Papel Amassado. Observe que para 20 milheiros de folhetos, os lucros sa˜o iguais e para 21
milheiros de folhetos, o lucro da gra´fica Papel Rasgado passa a ser menor do que o lucro da gra´fica
Papel Amassado.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Racionalize e simplifique o nu´mero A =
√
18√
(−2)2 −√7
.
Soluc¸a˜o: Temos que
A =
√
18√
(−2)2 −√7
=
√
18√
4−√7 =
√
18
2−√7 =
√
18
2−√7 ·
2 +
√
7
2 +
√
7
=
√
18(2 +
√
7)
4− 7
=
√
18(2 +
√
7)
−3 =
√
32 · 2 (2 +√7)
−3 =
3
√
2 (2 +
√
7)
−3 = −
√
2(2 +
√
7).
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8 e 9 a seguir.)
Considere os conjuntos A = {7, 8} e B = {9, 10}.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
p : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = a+ 2.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 7
Soluc¸a˜o: Vamos, primeiramente, escrever a proposic¸a˜o p por extenso.
p : Para todo a pertencente a A, existe b pertencente a B tal que b e´ igual a a mais dois.
A proposic¸a˜o p e´ verdadeira.
Para a = 7, tomamos b = 9 e temos que b = a+ 2.
Para a = 8, tomamos b = 10 e temos que b = a+ 2.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Escreva por extenso a proposic¸a˜o abaixo e decida se ela e´ verdadeira ou falsa,
justificando cuidadosamente sua resposta.
q : ∃b ∈ B | ∀a ∈ A, b = a+ 2.
Soluc¸a˜o: Vamos, primeiramente, escrever a proposic¸a˜o p por extenso.
q : Existe b pertencente a B tal que, para todo a pertencente a A, b e´ igual a a mais dois.
A proposic¸a˜o q e´ falsa.
Para b = 9, tomamos a = 8, de modo que b 6= a+ 2.
Para b = 10, tomamos a = 7, de modo que b 6= a+ 2.
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Gabaritos/AP2-MetDet1-2015-1-gabarito.pdf
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Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.0 pts) : Sabe-se que os pontos
(
2
3
, 1
)
e
(
3 , −2
5
)
pertencem a uma reta l.
a) (1.5 pt) Encontre a equac¸a˜o da reta l.
b) (0.5 pt) Esboce a reta l no plano cartesiano.
Soluc¸a˜o:
a) A equac¸a˜o de uma reta e´ da forma y = ax+ b. Como o ponto
(
2
3
, 1
)
pertence a` reta l, vamos
substituir x =
2
3
e y = 1 em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que
1 = a · 2
3
+ b.
Da mesma forma, como o ponto
(
3 , −2
5
)
tambe´m pertence a` reta l, vamos substituir x = 3 e
y = −2
5
em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que
−2
5
= a · 3 + b.
Temos assim que resolver o sistema
a · 2
3
+ b = 1 (1)
a · 3 + b = −2
5
(2)
Multiplicando a equac¸a˜o (2) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e. fazendo (1)-(2),
temos 
a · 2
3
+ b = 1
−a · 3− b = −
(
−2
5
)
+ (
2
3
− 3
)
a = 1 +
2
5
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Encontramos enta˜o que(
2
3
− 3
)
a = 1 +
2
5
⇔
(
2
3
− 9
3
)
a =
5
5
+
2
5
⇔ −7
3
a =
7
5
⇔ a = −7
5
· 3
7
⇔ a = −3
5
.
Substituindo agora a = −3
5
em (1), chegamos a
−3
5
· 2
3
+ b = 1 ⇔ −2
5
+ b = 1
⇔ b = 1 + 2
5
⇔ b = 5
5
+
2
5
⇔ b = 7
5
.
Conclu´ımos portanto que
a = −3
5
e b =
7
5
.
Desta forma, a equac¸a˜o da reta l e´:
y = −3
5
x+
7
5
.
b) Observe que uma vez encontrada a equac¸a˜o da reta l: y = −3
5
x+
7
5
, voceˆ pode fazer seu esboc¸o
no plano cartesiano encontrado as intersec¸o˜es com os eixos coordenados.
Intersec¸a˜o com o eixo x:
−3
5
x+
7
5
= 0 ⇔ −3
5
x = −7
5
⇔ x = −7
3
.
Intersec¸a˜o com o eixo y:
y = −3
5
.0 +
7
5
⇔ y = 7
5
.
Entretanto, uma outra opc¸a˜o, ate´ mais imediata, seria marcar os pontos
(
2
3
, 1
)
e
(
3 , −2
5
)
no plano cartesiano e liga´-los.
Esboc¸o da reta
y = −3
5
x+
7
5
.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
2
3 3
x
-
2
5
1
y
Questa˜o 2 (2.0 pt) : O nu´mero p de barris de petro´leo produzidos em um certo per´ıodo varia de
acordo com a seguinte desigualdade
|p− 2.250.000| ≤ 125.000.
Resolva esta inequac¸a˜o e determine os valores de p que representam a menor e a maior produc¸a˜o
verificadas no per´ıodo considerado.
Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o |p− 2.250.000| ≤ 125.000, vamos utilizar que: |y| ≤ a ⇔
−a ≤ y ≤ a, para todo y, a ∈ R. Desta forma, tomando y = p− 2.250.000 e a = 125.000. Temos
enta˜o, que
|p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ −125.000 ≤ p− 2.250.000 ≤ 125.000
⇔ −125.000 + 2.250.000 ≤ p ≤ 125.000 + 2.250.000
⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000
Conclusa˜o: |p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000. Desta forma, a
produc¸a˜o mais baixa e´ de 2.125.000 barris de petro´leo e a produc¸a˜o mais alta e´ de 2.375.000 barris
de petro´leo.
Questa˜o 3 (2.2 pts) : Considere a func¸a˜o P dada abaixo.
P(x) =
√
−x2 + 16x− 55.
a) (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo, o dom´ınio da func¸a˜o P .
b) (0.7 pt) Determine, na forma de intervalo, para que valores de x ∈ Dom(P), temos que
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Soluc¸a˜o:
a) Como a func¸a˜o P e´ definida a partir de uma raiz quadrada, seu radicando deve ser maior ou igual
a zero, i.e. devemos ter −x2 + 16x− 55 ≥ 0.
−x2 + 16x− 55 ≥ 0 ⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0
⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0
⇐⇒ 5 ≤ x ≤ 11.
Portanto, chamando de Dom(P) o dom´ınio da func¸a˜o P , temos que
Dom(P) = {x ∈ R | 5 ≤ x ≤ 11} = [5, 11].
b) Observe que
(P(x))2 = −x2 + 16x− 55, x ∈ [5, 11].
Para determinar os valores de x ∈ [5, 11] que satisfazem a desigualdade
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57,
devemos, portanto, resolver a inequac¸a˜o
−x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11].
Uma vez que x ∈ [5, 11], temos que |x| = x. Desta forma,
(P(x))2 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11]
−x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11]
16x ≥ 57 + 55, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ 16x ≥ 112, x ∈ [5, 11]
x ≥ 112
16
, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ x ≥ 7, x ∈ [5, 11]
⇐⇒ x ∈ [7,∞) ∩ x ∈ [5, 11]
⇐⇒ x ∈ [7, 11]
Temos assim, que (P(x))2 ≥ −x|x|+ 57 se x ∈ [7, 11].
Questa˜o 4 (3.8 pts) : Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado
produto sa˜o dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 16P − 15 e Q(P ) = 4P + 5, 3 ≤ P ≤ 15
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, por
unidades de medida.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
a) (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20?
b) (0.8 pt) Determine o prec¸o do produto para o qual a demanda e´ ma´xima? Qual e´ este valor
ma´ximo da demanda?
c) (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e
da oferta referentes a este prec¸o?
d) (1.5 pt) Num mesmo sistema de eixos coordenados, esboce os gra´ficos das curvas de demanda
e de oferta deste produto, marcando os pontos encontrados nos itens anteriores (b) e (c).
Soluc¸a˜o:
a) Vamos substituir P = 1, 2 na func¸a˜o demanda, D. Neste caso, temos que
D(1, 2) = −(1, 2)2 + 16.(1, 2)− 15 = 2, 76
= −1, 44 + 19, 2− 15
= 2, 76
Resposta: 2,76 unidades de medida.
b) O gra´fico da func¸a˜o demanda, D, e´ a para´bola y = −P 2+16P − 15. Observe que esta para´bola
possui concavidade voltada para baixo, pois a = −1 < 0. Desta forma, a demanda e´ ma´xima no
ve´rtice da para´bola. O prec¸o pedido e´ portanto o P do ve´rtice, que chamaremos de Pv. Temos
assim que
Pv = − b
2a
= − 16−2 = 8.
Por outro lado, o valor ma´ximo da demanda, D, e´ o y do ve´rtice, que chamaremos de yv. Temos
assim que
yv = −∆
4a
= −(16)
2 − 4.15
4
= −256
60
=
196
4
= 49.
Desta forma, temos que a demanda ma´xima e´ de 49 unidades de medida e ela ocorre quando o
prec¸o do produto e´ de R$8,00.
c) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q.
−P 2 + 16P − 15 = 4P + 5 ⇔ −P 2 + 16P − 15− P − 5 = 0⇔ −P 2 + 12P − 20 = 0
⇔ P 2 − 12P + 20 = 0⇔ P = 12±
√
(12)2 − 4.20
2
⇔ P = 12±
√
144− 80
2
⇔ P = 12±
√
64
2
⇔ P = 12± 8
2
⇔ P = 2 ou P = 10.
Como 3 ≤ P ≤ 15, devemos descartar P = 2 e ficar apenas com P = 10.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Quando P = 10, temos que
D(10) = P(10) = 4 · 10 + 5 = 45.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ de R$10,00. E a demanda e a oferta e´ de 45
unidades de medida para este prec¸o.
d) Gra´ficos:
D
QV HvérticeL
3 8 10 15
x
13
45
49
y
Boa Prova!
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AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pt) Determine o conjunto soluc¸a˜o de:
a) (1.3 pt) |2x+ 1| = x
b) (1.2 pt) x(4− x)− 8 <
(
−1
2
)2
.
Soluc¸a˜o:
a) Sabemos que para y e a reais, |y| = a ⇔ (y = a ou y = −a) e a ≥ 0 (Teorema 1 do EP9).
Desta forma, tomando y = 2x+ 1 e a = x, temos que
|2x+ 1| = x ⇐⇒ (2x+ 1 = −x ou 2x+ 1 = x) e x ≥ 0
⇐⇒ (3x = −1 ou x = −1) e x ≥ 0
⇐⇒
(
x = −1
3
ou x = −1
)
e x ≥ 0.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o S, da equac¸a˜o |2x+ 1| = x, e´ o conjunto vazio.
Isto e´, S = ∅.
b) Temos que
x(4− x)− 8 <
(
−1
2
)2
⇐⇒ 4x− x2 − 8 < 1
4
⇐⇒ −x2 + 4x− 8− 1
4
< 0
⇐⇒ −x2 + 4x− 32
4
− 1
4
< 0
⇐⇒ −x2 + 4x− 33
4
< 0
Vamos chamar y de −x2 + 4x− 33
4
, isto e´, y
= −x2 + 4x− 33
4
.
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Lembremos que o gra´fico de y = −x2 + 4x− 33
4
e´ uma para´bola. Vamos, enta˜o, estudar o sinal
da ordenada y da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela tem a concavidade
voltada para baixo, ja´ que o coeficiente de x2 e´ negativo. Ale´m disso, quando y = 0, isto e´,
quando −x2+4x− 33
4
= 0, usando Bhaskara, temos que ∆ = (4)2− 4(−1)
(
−33
4
)
= −17 < 0,
o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo x. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola
e´
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 4
2(−1) ,−
(−17)
4(−1)
)
=
(
2,−17
4
)
. A partir destas informac¸o˜es, plotamos o
gra´fico da para´bola na Figura 1. Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto (x, y) da
para´bola, tem o y negativo.
Dessa forma, y = −x2 + 4x− 33
4
< 0, para todo x ∈ R.
E consequentemente, x(4− x)− 8 <
(
−1
2
)2
, para todo x ∈ R.
-
-
-
2.5
x
y
Figura 1: Questa˜o 1-b)
Questa˜o 2 (1.5 pt) Determine o(s) valor(es) de x de modo que a distaˆncia entre o ponto A =
(x, 2) e ponto B = (1,−1) seja igual a 5.
Soluc¸a˜o: Sabendo que a distaˆncia entre dois pontos P = (x1, x2) e Q = (y1, y2), denotada por
d(P,Q), e´ dada por
d(P,Q) =
√
(y1 − x1)2 +
(
y2 − y1)2
e que nesta questa˜o a distaˆncia entre os pontos A = (x, 2) e B = (1,−1) e´ igual a 5, temos que
d(A,B) = 5 ⇐⇒
√
(x− 1)2 + (2− (−1))2 = 5
⇐⇒
√
(x− 1)2 + (2 + 1)2 = 5
⇐⇒
(√
(x− 1)2 + (3)2)2 = (5)2
⇐⇒ (x− 1)2 + (3)2 = 25
⇐⇒ x2 − 2x+ 1 + 9 = 25
⇐⇒ x2 − 2x− 15 = 0
⇐⇒ x = 2±
√
4 + 60
2
⇐⇒ x = 5 ou x = −3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Portanto, a distaˆncia entre A e B e´ igual a 5, quando x = 5 ou x = −3.
Questa˜o 3 (1.5pt) Considere a func¸a˜o f(x) =
√
x+ 5 +
1
2− x .
a) (0.7 pt) Determine o dom´ınio de f na forma de um intervalo ou de uma unia˜o de intervalos.
b) (0.8 pt) Calcule o valor de f(4)− f(−1).
Soluc¸a˜o:
a) Observe que f e´ a soma de uma raiz quadrada com um quociente. Desta forma, precisamos
que tanto a raiz quadrada, quanto o quociente, estejam bem definidos. Sabemos que uma raiz
quadrada esta´ bem definida quando o radicando (o que esta´ dentro do s´ımbolo de raiz) e´ maior
ou igual a zero. Por outro lado, um quociente esta´ bem definido quando o denominador do
quociente e´ diferente de zero. Desta forma, dom´ınio D de f e´ formado pelos valores de x ∈ R
que satisfazem x+ 5 ≥ 0 e 2− x 6= 0. Como
x+ 5 ≥ 0⇐⇒ x ≥ −5
e
2− x 6= 0⇐⇒ x 6= 2,
segue que
D = (−5, 2) ∪ (2,∞).
b)
f(4)− f(−1) = √4 + 5 + 1
2− 4 −
(√−1 + 5 + 1
2− (−1)
)
=
√
9− 1
2
−
(√
4 +
1
3
)
= 3− 1
2
− 2− 1
3
= 1− 1
2
− 1
3
=
6− 3− 2
6
=
1
6
Questa˜o 4 (2.5 pts) : Considere a func¸a˜o de demanda D(P ) = −P 2 + 16 e a func¸a˜o de oferta
Q(P ) = 5P − 8 de um determinado produto, em que 8
5
≤ P ≤ 4.
a) (1.3 pt) Num mesmo sistema de eixos coordenados, esboce os gra´ficos das curvas de demanda e
de oferta, especificando claramente cada uma delas.
b) (1.2 pt) Determine o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Soluc¸a˜o:
a) D e´ uma func¸a˜o quadra´tica e Q e´ uma func¸a˜o linear afim. Desta forma, o gra´fico de D e´
representado por uma para´bola e o gra´fico de de Q por uma reta.
Para D: a para´bola tem concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de P 2 e´ negativo.
Lembremos ainda que e´ necessa´rio, no m´ınimo, treˆs pontos, para que uma para´bola esteja
bem determinada. Neste caso, vamos determinar os pontos de intersec¸o˜es da para´bola como
os eixos coordenados e seu ve´rtice. Temos assim, que
• P = 0⇐⇒ D(0) = −(0)2 + 16 = 16.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y = D no ponto (0, 16).
• D = 0⇐⇒ −P 2 − 16 = 0⇐⇒ P 2 = 16⇐⇒ P = ±√16⇐⇒ P = ±4.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x = P nos pontos (−4, 0) e (4, 0).
• O ve´rtice (Pv,Dv) da para´bola tem coordenadas
Pv =
−4 + 4
2
= 0 e Dv = −(0)2 + 16 = 16.
Para Q: Para determinar o gra´fico da func¸a˜oQ que e´ uma reta, basta determinarmos dois pontos
da reta. Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta como os eixos y e x. Neste caso, temos
que
• P = 0⇐⇒ Q(0) = 5(0)− 8 = −8. Ou seja, (0,−8) e´ um ponto da reta.
• Q = 0⇐⇒ 5P − 8 = 0⇐⇒ P = 8
5
. Ou seja,
(
8
5
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de D e de Q.
b) Pela definic¸a˜o de prec¸o de equil´ıbrio, precisamos determinar o prec¸o P em que D = Q, ou seja,
−P 2 + 16 = 5P − 8⇐⇒ −P 2 − 5P + 24 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −1, b = −5 e c = 24, temos que
∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4(−1)(24) = 25 + 96 = 121.
Logo,
P =
−b±√∆
2a
=
−(−5)±√121
2(−1) =
5± 11
−2 .
Ou seja, as soluc¸o˜es de −P 2 − 5p+ 24 = 0 sa˜o P1 = 5 + 11−2 = −8, P2 =
5− 11
−2 = 3. Como, o
prec¸o de equil´ıbrio P deve satisfazer
8
5
≤ P ≤ 4 segue que o prec¸o de equil´ıbrio e´ P = 3.
A quantidade de equil´ıbrio D = Q correspondente ao prec¸o de equil´ıbrio P = 3 e´ obtida por
D(3) = −(3)2 + 16 = 7.
Logo, o ponto de equil´ıbrio tem coordenadas (3, 7). Este ponto esta´ marcado na Figura 2 na cor
vermelha.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
D
Q
3
4
23 - 2 4
P
4 23 - 11
13
16
Figura 2: Questa˜o 4, item a)
Questa˜o 5 (2.0 pt) : A demanda D de um produto e´ uma func¸a˜o linear afim do prec¸o P , isto e´,
demanda e prec¸o relacionam-se a partir de D = aP + b. Sabendo que quando o prec¸o e´ igual a
3, a quantidade demandada e´ igual a 43 e que quando o prec¸o e´ 7, a quantidade demandada e´ 37,
determine o valores de a e b. Escreva a func¸a˜o encontrada.
Soluc¸a˜o: De acordo com o enunciado, a func¸a˜o que relaciona demanda e prec¸o e´ da forma
D = aP + b,
em que a e b devem ser determinados. Para encontra´-los usamos a informac¸a˜o que quando o prec¸o
e´ igual a 3, a quantidade demandada e´ igual a 43, ou seja, a e b satisfazem a equac¸a˜o 43 = a · 3+ b.
Usamos tambe´m que quando o prec¸o e´ 7, a quantidade demandada e´ 37, e neste caso, temos a
equac¸a˜o 37 = a · 7 + b.
Portanto, a e b devem satisfazer o sistema de equac¸o˜es{
3a+ b = 43 (i)
7a+ b = 37 (ii)
Vamos, enta˜o, resolver esse sistema.
Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i) − (ii),
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
temos 
3a+ b = 43
−7a− b = −37
+
(3− 7) a = 43− 37
Encontramos enta˜o que
−4a = 6⇐⇒ a = −6
4
⇐⇒ a = −3
2
.
Substituindo agora a = −3
2
em (i), chegamos a
3a+ b = 43 ⇐⇒ 3 ·
(
−3
2
)
+ b = 43
⇐⇒ b = 43 + 9
2
⇐⇒ b = 86
2
+
9
2
⇐⇒ b = 95
2
.
Portanto, a a func¸a˜o que relaciona demanda e prec¸o e´:
D = −3
2
P +
95
2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Gabaritos/AP2-MetDet1-2016-1-gabarito.pdf
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver
a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Este texto e´ comum as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Vamos imaginar que o bairro B esta´ representado no plano cartesiano, de forma que a origem e´
o ponto onde o Hospital H se encontra, o norte e o sul sa˜o representados no eixo y e o leste e o
oeste sa˜o representados no eixo x. Sabe-se que uma casa noturna sera´ constru´ıda no bairro e que
sua localizac¸a˜o, no plano, corresponde ao ponto
(
−2
5
, 3
)
. Uma fam´ılia deseja comprar uma casa
neste bairro e a localizac¸a˜o da casa nova sera´ representada, no plano, por (x, y).
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Questa˜o 1 (1.2 pt) Pedro, o marido, exige que o corretor procure apenas casas localizadas em
pontos (x, y), tais que a abscissa x diste mais do que 3km da abscissa da futura casa noturna. Qual
e´ a inequac¸a˜o modular (na varia´vel x) que o corretor deve resolver para encontrar os valores de x
que satisfazem a exigeˆncia de Pedro? Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e o apresente na
forma de um intervalo ou de uma unia˜o de intervalos.
Soluc¸a˜o: Observe que o marido refere-se apenas a`s abscissas da casa e da futura casa noturna.
Portanto, ele esta´ se referindo a pontos da reta. Ale´m disso, sabemos que a distaˆncia entre dois
pontos a e b da reta, i.e. a, b ∈ R, e´ dada por |a− b|. Como a abscissa da futura casa noturna e´ −2
5
e a da casa e´ x, e a distaˆncia entre elas deve ser maior do que 3, temos que a inequac¸a˜o modular
que modela o problema e´ ∣∣∣∣x− (−25
)∣∣∣∣ > 3,
ou seja,
⇔
∣∣∣∣x+ 25
∣∣∣∣ > 3.
Me´todos Determin´ısticos I AP2 2
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos utilizar o Teorema 2 do EP9, que diz que para c e d reais,
|c| > d ⇔ (c < −d ou c > d). Desta forma, tomando c = x+ 2
5
e d = 3, temos que∣∣∣∣x+ 25
∣∣∣∣ > 3 ⇐⇒ x+ 25 < −3 ou x+ 25 > 3
⇐⇒ x < −3− 2
5
ou x > 3− 2
5
⇐⇒ x < −3 · 5
5
− 2
5
ou x >
3 · 5
5
− 2
5
⇐⇒ x < −15
5
− 2
5
ou x >
15
5
− 2
5
⇐⇒ x < −17
5
ou x >
13
5
.
⇐⇒ x ∈
(
−∞,−17
5
)
∪
(
13
5
,∞
)
.
Questa˜o 2 (0.4 pt) Maria, a esposa de Pedro, que e´ matema´tica, disse que ele na˜o podia ignorar
a ordenada y e pediu para o corretor procurar uma casa tal que sua distaˆncia ao ponto onde seria
constru´ıda a casa noturna fosse maior do que 3km. Qual e´ a inequac¸a˜o (nas varia´veis x e y) que o
corretor tera´ que resolver para atender a restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente
a inequac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Observe que Maria, diferentemente de Pedro, refere-se a pontos do plano. Sabemos que
a distaˆncia, d, entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em R2 e´ dada por
d =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Desta forma, como, no plano, a casa e´ representada pelo ponto (x, y) e a futura casa noturna, por(
−2
5
, 3
)
, a exigeˆncia de que a distaˆncia entre a casa e a futura casa noturna seja maior do que 3km
e´ traduzida, matematicamente, por√(
x−
(
−2
5
))2
+ (y − 3)2 > 3,
ou seja, por √(
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3,
ou, equivalentemente, por (
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9.
Questa˜o 3 (0.2 pt) Mais tarde, preocupada com seu marido, que trabalha no hospital H, ela ligou
para o corretor e incluiu uma nova condic¸a˜o: a distaˆncia da casa ao Hospital H deveria ser menor
ou igual a 1km. Qual e´ a nova inequac¸a˜o que o corretor tera´ que resolver para atender esta u´ltima
restric¸a˜o que Maria impoˆs? Na˜o resolva-a! Apenas apresente a inequac¸a˜o.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Soluc¸a˜o: Como, no plano, o Hospital H corresponde a` origem, i.e. ao ponto (0, 0), a exigeˆncia de
que a distaˆncia entre a casa e o hospital seja menor ou igual a 1km e´ traduzida, matematicamente,
por √
(x− 0)2 + (y − 0)2 ≤ 1,
ou seja, por √
x2 + y2 ≤ 1,
ou, equivalentemente, por
x2 + y2 ≤ 1.
Questa˜o 4 (0.4 pt) O corretor, cansado de tantas inequac¸o˜es, procurou a casa mais bonita. Ela
esta´ localizada no ponto
(
−2
5
,
1
4
)
. Ele apresentou a casa a` fam´ılia. Maria ficou satisfeita? Por queˆ?
Soluc¸a˜o:
O sistema de inequac¸o˜es que modela as exigeˆncias de Maria e´
√(
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 3 (i)√
x2 + y2 ≤ 1 (ii)
,
ou, equivalentemente, { (
x+
2
5
)2
+ (y − 3)2 > 9 (iii)
x2 + y2 ≤ 1 (iv)
Para sabermos se a localizac¸a˜o da casa apresentada pelo corretor atende a`s restric¸o˜es impostas por
Maria, vamos substituir o ponto dado nas inequac¸o˜es (iii) e (iv). Desta forma, conforme pode ser
visto abaixo, a casa satisfaz a condic¸a˜o representada pela inequac¸a˜o (iv), mas na˜o satisfaz a condic¸a˜o
representada pela inequac¸a˜o (iii).
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4

(
−2
5
+
2
5
)2
+
(
1
4
− 3
)2
> 9(
−2
5
)2
+
(
1
4
)2
≤ 1
⇔
 02 +
(
1
4
− 4 · 3
4
)2
> 9
4
25
+
1
16
≤ 1
⇔

(
1− 12
4
)2
> 9
16 · 4
25 · 16 +
25
16 · 25 ≤ 1
⇔

(
−11
4
)2
> 9
64
400
+
25
400
≤ 1
⇔

112
42
> 9
89
400
≤ 1
⇔

121
16
> 9
89
400
≤ 1
⇔
{
121 > 9 · 16
89 ≤ 400
⇔
{
121 > 144 (Falso)
89 ≤ 400 (Verdadeiro)
Logo, Maria na˜o ficou satisfeita com a localizac¸a˜o da casa, ja´ que a distaˆncia da casa a` casa noturna
na˜o sera´ maior do que 3 km.
Este texto e´ comum as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Considere a func¸a˜o demanda D(P ) = A ·P +368 e a func¸a˜o oferta Q(P ) = 3P 2+30P − 3 ·A+15
de um determinado produto, onde A e´ uma constante real. Sabe-se que o prec¸o de equil´ıbrio e´ de
R$ 5,00.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Determine a constante A.
Soluc¸a˜o: Sabemos que o prec¸o de equil´ıbrio e´ o valor de P em que a demanda e´ igual a oferta.
Como e´ dito que o prec¸o de equil´ıbrio e´ R$5,00, segue que
D(5) = Q(5),
ou seja,
A · 5 + 368 = 3 · 52 + 30 · 5− 3 · A+ 15.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Para descobrirmos o valor de A, vamos resolver a equac¸a˜o acima.
A · 5 + 368 = 3 · 52 + 30 · 5− 3 · A+ 15 ⇐⇒ A · 5 + 368 = 3 · 25 + 150− 3 · A+ 15
⇐⇒ A · 5 + 368 = 75 + 150− 3 · A+ 15
⇐⇒ A · 5 + A · 3 = −368 + 75 + 150 + 15
⇐⇒ A · 8 = −368 + 75 + 150 + 15
⇐⇒ A · 8 = −128
⇐⇒ A = −128
8
⇐⇒ A = −16.
Questa˜o 6 (0.8 pt) Qual e´ a quantidade de equil´ıbrio?
Soluc¸a˜o: Sustituindo A = −16 nas equac¸o˜es de demanda e de oferta, ebcontramos que
D(P ) = −16 · P + 368
e
Q(P ) = 3P 2 + 30P − 3 · (−16) + 15 = 3P 2 + 30P + 63.
Substituindo, enta˜o, P = 5 em qualquer uma das equac¸o˜es, encontramos que
D(5) = −16 · 5 + 368 = −80 + 368 = 288
e, da mesma forma,
Q(5) = 3 · 52 + 30 · 5 + 63 = 3 · 25 + 150 + 63 = 75 + 150 + 63 = 288.
Questa˜o 7 (0.5 pt) A partir de que prec¸o na˜o ha´ mais demanda do produto (D = 0)?
Soluc¸a˜o: Na˜o haver mais demanda do produto, significa que a demanda e´ zero. O prec¸o P0 a partir
do qual na˜o ha´ mais demanda do produto e´ dado, portanto, pela equac¸a˜o
D(P0) = −16P0 + 368 = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o acima, temos que
−16P0 + 368 = 0 ⇐⇒ −16P0 = −368
⇐⇒ P0 = 368
16
⇐⇒ P0 = 23.
Quando o prec¸o chega a R$23,00, na˜o ha´ mais demanda do produto.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
Questa˜o 8 (2.0 pt) Um pintor
precisa de tinta branca e azul para pintar uma escola. O prec¸o do
gala˜o de tinta branca e´ R$102,00 e do tinta azul e´ R$178,00. Sabe-se que o pintor comprou 48
galo˜es e que gastou R$5.732,00. Quantos galo˜es de tinta branca ele comprou? Quantos galo˜es de
tinta azul ele comprou?
Soluc¸a˜o: Vamos definir as seguintes varia´veis:
b - nu´mero de galo˜es de tinta branca comprado.
a - nu´mero de galo˜es de tinta azul comprado.
Portanto, como o pintor comprou 48 galo˜es, temos que
b+ a = 48.
Ale´m disso, temos que
102 · b - representa o dinheiro gasto na compra dos galo˜es de tinta branca.
178 · a - representa o dinheiro gasto na compra dos galo˜es de tinta azul.
Portanto, como o pintor gastou R$5.732,00 na compra das tintas, temos que
102 · b+ 178 · a = 5.732.
Sendo assim, a e b devem satisfazer o sistema de equac¸o˜es{
b+ a = 48 (i)
102b+ 178a = 5.732 (ii)
Vamos, enta˜o, resolver esse sistema.
Multiplicando a equac¸a˜o (i) por −102 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo −102(i) +
(ii), temos 
−102b− 102a = −102 · (48)
102b+ 178a = 5.732
+
(178− 102) a = 5732− 4896
Encontramos enta˜o que
76a = 836⇐⇒ a = 836
76
⇐⇒ a = 11.
Substituindo agora a = 11 em (i), chegamos a
a+ b = 48 ⇐⇒ 11 + b = 48
⇐⇒ b = 48− 11
⇐⇒ b = 37.
Portanto, o pintor comprou 11 galo˜es de tinta azul e 37 galo˜es de tinta branca.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
Este texto e´ comum as Questo˜es 9, 10, 11 e 12 a seguir.
Considere as func¸o˜es f(x) = 7− 4x e g(x) = 6x2 + 5x− 6. A func¸a˜o F e´ definida como
F (x) =
√
g(x)√
f(x)
.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 9, 10, 11 e 12 a seguir.
Questa˜o 9 (0.4 pt) Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o f
Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o f e´ uma func¸a˜o afim, de modo que seu gra´fico e´ uma reta. Mais
especificamente, o gra´fico da func¸a˜o f e´ a reta y = 7− 4x. Desta forma, para determinar o gra´fico
da func¸a˜o f , basta determinarmos dois pontos da reta. Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta
como os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 7. Ou seja, (0, 7) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 7− 4x = 0⇐⇒ −4x = −7⇐⇒ x = 7
4
. Ou seja,
(
7
4
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 1 plotamos o gra´fico da func¸a˜o f .
7
4
x
7
y
Figura 1: Questa˜o 9
Questa˜o 10 (0.8 pt) Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o g
Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o g e´ uma func¸a˜o quadra´tica, de modo que seu gra´fico e´ uma para´bola.
Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o g e´ a para´bola y = 6x2 +5x− 6. Note que esta para´bola
possui concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de x2 e´ positivo. Lembre-se ainda, que para
determinar a para´bola y = 6x2+5x− 6 (gra´fico da func¸a˜o g), e´ necessa´rio, no m´ınimo, treˆs pontos.
Neste caso, vamos encontrar os pontos de intersec¸o˜es da para´bola como os eixos coordenados e seu
ve´rtice. Temos assim, que
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 8
• x = 0⇐⇒ y = 6(0)2 + 5(0)− 6 = −6.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0,−6).
•
6x2 + 5x− 6 = 0 ⇐⇒ x = −5±
√
52 − 4(6)(−6)
2 · 6
⇐⇒ x = −5±
√
25 + 144
12
⇐⇒ x = −5±
√
169
12
⇐⇒ x = −5± 13
12
⇐⇒ x = −5− 13
12
ou x =
−5 + 13
12
⇐⇒ x = −18
12
ou x =
8
12
⇐⇒ x = −3
2
ou x =
2
3
.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos
(
−3
2
, 0
)
e
(
2
3
, 0
)
.
• O ve´rtice (xv, yv) da para´bola tem coordenadas
(xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(6)
,−(169)
4(6)
)
=
(
− 5
12
,−169
24
)
.
Na Figura 2 plotamos o gra´fico da func¸a˜o f .
-
3
2
-
5
12
2
3
x
-
169
24
-6
y
Figura 2: Questa˜o 10
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 9
Questa˜o 11 (0.6 pt) Determine o ponto em que a func¸a˜o g atinge seu m´ınimo. Qual e´ este valor
m´ınimo?
Soluc¸a˜o: O ponto em que a func¸a˜o g atinge seu m´ınimo e´ dado pelo x do ve´rtice da para´bola,
calculado acima em xv = − 5
12
e o valor do m´ınimo e´ dado pelo y do ve´rtice da para´bola, calculado
acima em yv = −169
24
.
Questa˜o 12 (1.7 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o
dom´ınio da func¸a˜o F
Soluc¸a˜o: Observe que na definic¸a˜o da func¸a˜o F , tomamos a raiz quadrada da func¸a˜o f , da func¸a˜o
g e ainda realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a func¸a˜o F esteja bem
definida, precisamos que todas estas operac¸o˜es sejam va´lidas. Isto significa que, o que for radicando,
ou seja, o que estiver dentro do s´ımbolo de raiz quadrada, precisara´ ser maior ou igual a zero e, o
que for denominador, precisara´ ser diferente de zero. Desta forma, o dom´ınio de F e´ formado pelos
valores de x ∈ R, tais que f(x) > 0 e g(x) ≥ 0. Desta forma, temos que
f(x) > 0 ⇔ 7− 4x > 0
⇔ −4x > −7
⇔ x < 7
4
⇔ x ∈
(
−∞, 7
4
)
e
g(x) ≥ 0 ⇔ 6x2 + 5x− 6 ≥ 0
⇔ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
,
⇔ x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
)
Portanto, o dom´ınio de F e´ dado por
x ∈
((
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,∞
))
∩
(
−∞, 7
4
)
x ∈
(
−∞,−3
2
]
∪
[
2
3
,
7
4
)
Explicamos a seguir como resolver a inequac¸a˜o 6x2 + 5x− 6 ≥ 0.
Podemos resolver a inequac¸a˜o utilizando nossos conhecimentos de para´bola. Desta forma, chamando
y de 6x2+5x− 6, isto e´ y = 6x2+5x− 6, podemos estudar o sinal da inequac¸a˜o 6x2+5x− 6 ≥ 0
estudando o sinal do y da para´bola. Conforme calculado na Questa˜o 10, as ra´ızes da equac¸a˜o
6x2+5x−6 = 0, sa˜o x = 2
3
e x = −3
2
. Como a = 6 > 0, temos que a para´bola possui concavidade
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 10
para cima, cortando o eixo x em x =
2
3
e x = −3
2
. Desta forma, y sera´ positivo para valores de x,
tais que, x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
Uma forma alternativa de fazer a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x+
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0
e´ utilizar a tabela abaixo.
(−∞,−3/2) (−3/2, 2/3) (2/3,∞)
sinal de 6 + + +
sinal de
(
x+
3
2
)
− + +
sinal de
(
x− 2
3
)
− − +
sinal de 6
(
x+
3
2
)(
x− 2
3
)
+ − +
Como vemos na tabela acima,
6x2 + 5x− 6 = 6
(
x+
3
2
)(
x− 2
3
)
≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −3
2
ou x ≥ 2
3
.
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AP2 - Me´todos Determin´ısticos I - 2016-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de
Respostas personalizadas para o registro das suas respostas.
2. Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se nas Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
4. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local
indicado para este fim.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente
assinadas
e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Res-
postas.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. E´ proibido o uso de corretivo nas respostas.
6. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 12/11/2016
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(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1, 2 e 3 a` seguir.)
Uma pesquisa de mercado buscou identificar os gastos mensais dos consumidores com sau´de e ali-
mentac¸a˜o, em uma certa populac¸a˜o. Depois de processados os dados, estimou-se que a me´dia do
gasto mensal com sau´de era de R$210,00, e o gasto me´dio mensal com alimentac¸a˜o era de R$352,00.
Estes dados, pore´m, possuem uma margem de erro!
Questa˜o 1 (1.0 pt) A margem de erro e de uma pesquisa e´ o valor ma´ximo, em mo´dulo, da
diferenc¸a entre o valor obtido pela pesquisa e o valor real. Assim, se mc e´ o valor correto e mp e´ o
valor obtido na pesquisa, tem-se sempre que
|mc −mp| 6 e.
Se a margem de erro do gasto me´dio em sau´de e´ de R$ 20,00 e a margem de erro dos gastos com
alimentac¸a˜o e´ de R$ 30,00, determine o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real
com sau´de e o intervalo ao qual pode pertencer o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Se o gasto me´dio com sau´de obtido pela pesquisa foi mp = 210, 00 e a margem de erro e´
de 20, 00, o gasto me´dio real com sau´de, que chamaremos de mr, satisfaz
|mr − 210| 6 20.
Com isso, temos
−20 6 mr − 210 6 20.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−20 6 mr − 210⇔ mr − 210 > −20⇔ mr > −20 + 210⇔ mr > 190.
A segunda pode ser reescrita
mr − 210 6 20⇔ mr 6 20 + 210⇔ mr 6 230.
Com isso, 190 6 mr 6 230 ou, ainda, mr ∈ [190, 230].
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Se o gasto me´dio com alimentac¸a˜o obtido pela pesquisa foi m′p = 352, 00 e a margem de erro e´ de
30, 00, o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, que chamaremos de m′r, satisfaz
|m′r − 352| 6 30.
Com isso, temos
−30 6 m′r − 352 6 30.
A primeira desigualdade pode ser reescrita
−30 6 m′r − 352⇔ m′r − 352 > −30⇔ m′r > −30 + 352⇔ m′r > 322.
A segunda pode ser reescrita
m′r − 352 6 30⇔ m′r 6 30 + 352⇔ m′r 6 382.
Com isso, 322 6 m′r 6 382 ou, ainda, m′r ∈ [322, 382].
Questa˜o 2 (1.0 pt) Considere um sistema de coordenadas no plano que tenha os gastos com
sau´de no eixo horizontal e os gastos com alimentac¸a˜o no eixo vertical. Como exemplo, um gasto de
R$100,00 com sau´de e R$200,00 com alimentac¸a˜o estaria representado no ponto (100, 200).
Verifique se os pontos a seguir podem representar gastos me´dios reais. Justifique sua
resposta.
a) (200, 380) b) (240, 30)
Soluc¸a˜o: O ponto (200, 380) representa que o gasto me´dio real com sau´de e´ R$200,00 e com
alimentac¸a˜o e´ R$380,00. Este ponto pode representar os gastos me´dios reais, pois 200 ∈ [190, 230]
e 380 ∈ [322, 382].
O ponto (240, 30) na˜o pode representar os gastos me´dios reais, pois R$30,00 na˜o pode representar
o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o, dado que 30 /∈ [322, 382].
Questa˜o 3 (1.0 pt) Considere o sistema de coordenadas no plano especificado na Questa˜o 2. Isto
e´, o eixo horizontal representa os gastos com sau´de e o o eixo vertical representa os gastos com
alimentac¸a˜o. Represente o ponto correspondente aos gastos me´dios obtidos na pesquisa
no sistema de eixos fornecido no caderno de resposta. Neste mesmo sistema de eixos, esboce
a regia˜o onde pode estar o ponto correspondente aos gastos me´dios reais, de acordo com
o que voceˆ respondeu na Questa˜o 1. (Por esboc¸ar a regia˜o, entenda que voceˆ devera´ delimitar
claramente a regia˜o e hachurar a parte a` qual seus pontos pertencem, como feito em EPs e/ou
questo˜es da AD.)
Soluc¸a˜o: No sistema abaixo, representamos o ponto (210, 352), obtido pela pesquisa como sendo os
gastos me´dios. O gasto me´dio real com sau´de (eixo horizontal) deve pertencer ao intervalo [190, 230]
e o gasto me´dio real com alimentac¸a˜o (eixo vertical) deve pertencer ao intervalo [322, 382]. Assim, a
regia˜o onde podem estar os gastos me´dios reais e´ dada por [190, 230]× [322, 382], esboc¸ada abaixo:
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 4 a 8 a` seguir.)
A distribuidora do raro vinho portugueˆs Mula da Quinta sabe que a exclusividade da marca exerce
efeito importante sobre o consumidor. Uma pesquisa de mercado revela que o consumidor esta´
disposto a pagar, por garrafa, o prec¸o em reais dado por
p(q) = 60− 3q,
onde q e´ a quantidade de garrafas vendidas. O custo de importac¸a˜o e distribuic¸a˜o deste vinho e´
dado, em reais, por
c(q) = 30q + 63.
Lembrando que o lucro da venda e´ a diferenc¸a entre receita e custo, isto e´, o total apurado com a
venda do vinho menos o custo de sua fabricac¸a˜o e, considerando que todos os fatores envolvidos na
distribuic¸a˜o do vinho ja´ esta˜o refletidos nas func¸o˜es acima, resolva as questo˜es abaixo.
Questa˜o 4 (1.0 pts) : Denote por r(q) e l(q), respectivamente, a receita e o lucro oriundos da
venda de q garrafas do Mula da Quinta. Determine r(q) e l(q).
Soluc¸a˜o: A receita obtida com a venda e´ dada, em func¸a˜o de q, por
r(q) = q(60− 3q) = −3q2 + 60q,
isto e´, o prec¸o p(q) = 60−3q por garrafa multiplicado pela quantidade q de garrafas vendidas. Como
o custo e´ dado por c(q) = 30q + 63, temos, como lucro,
l(q) = r(q)− c(q) = −3q2 + 60q − (30q + 63) = −3q2 + 30q − 63.
Questa˜o 5 (1.0 pts) : Determine o intervalo no qual deve estar a quantidade q de garrafas, para
que a venda do vinho resulte em lucro para a distribuidora.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Soluc¸a˜o: Queremos l(q) > 0, ou, equivalentemente, −3q2 + 30q − 63 > 0. Resolvendo −3q2 +
30q − 63 = 0, temos
q =
−30±
√
302 − 4(−3)(−63)
2(−3) =
−30±√144
−6 =
−30± 12
−6 ,
logo
q = −42−6 = 7 ou q =
−18
−6 = 3.
Assim,
−3q2 + 30q − 63 > 0⇔ −3(q − 3)(q − 7) > 0.
Temos o seguinte quadro de sinais:
3 7
q − 3 − 0 + + +
q − 7 − − − 0 +
−3 − − − − −
−3(q − 3)(q − 7) − 0 + 0 −
Assim, temos
l(q) > 0⇔ −3q2 + 30q − 63 > 0⇔ 3 < q < 7⇔ q ∈ (3, 7).
Questa˜o 6 (1.0 pts) : Esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, os gra´ficos das func¸o˜es r
e c, especificando os pontos de intersec¸a˜o dos gra´ficos com os eixos coordenados e deles entre si.
Soluc¸a˜o: Pelo que vimos no item anterior, a receita e´ dada por
r(q) = −3q2 + 60q.
Esta e´