Tópico 3 - Maximização de Utilidade do Consumidor

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10/04/2021
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Maximização de 
Utilidade do 
Consumidor
CAPÍTULOS 4 E 5 – NICHOLSON E SNYDER 
Problema Geral do Consumidor
Maximizar a função utilidade ( )1 2 nU u x ,x ,..., x= 
Sujeito a 
n
i i
i 1
Px I
=
 
e ix 0 para todo i 1,2,..., n = 
Obs.: Problema chamado de Programação não linear (por envolver restrições de desigualdade) e que são
relativamente mais difíceis de resolver do que problemas com apenas restrições de igualdade
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Recurso didático para apresentação e análise
1. Restrição orçamentária com igualdade de gasto e renda
Argumento utilizado: Pelo Axioma 4, de não saturação, nenhuma cesta ótima pode ter um
gasto menor do que a renda, ou seja, estar abaixo da linha da restrição orçamentária, pois
nesse caso existiriam outras cestas melhores que também podem ser compradas com a
mesma renda e preços. 
x2
x1
A
A cesta A não pode ser ótima, pois todas as 
cestas no triangulo sombreado também 
podem ser adquiridas e são melhores do que 
ela
2. Eliminação da restrição natural de quantidades não negativas
Truque analítico de desconsiderar soluções que não atendam a essa condição (veremos 
mais adiante o recurso de só considerar válidas as chamadas “Soluções Internas”
Problema de Maximização de Utilidade Simplificado
Maximizar a função utilidade ( )1 2 nU u x ,x ,..., x= 
Sujeito a 
n
i i
i 1
Px I
=
= 
OBS.: Problema que é resolvido através do chamado Método de Lagrange (Tradicional)
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Caso Simplificado de apenas dois tipos de bens
 Maximizar ( )1 2U u x ,x= 
 Sujeito a 1 1 2 2P x P x I+ = 
Resolução: definindo temos as seguintes condições de 1ª ordem( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2L x ,x , u x ,x I Px P x = + − −
 
( ) ( )* * * * *1 2 1 2 *
1
1 1
L x , x , u x , x
P 0 (1)
x x
  
= − =
 
 
( ) ( )* * * * *1 2 1 2 *
2
2 2
L x , x , u x , x
P 0 (2)
x x
  
= − =
 
 
( )* * *1 2 * *
1 1 2 2
L x , x ,
I P x P x 0 (3)
 
= − − =

 
( )* *1 2 * *
1 1 1
1
u x , x
P ou Umg P (1)
x

=  = 

 
( )* *1 2 * *
2 2 2
2
u x , x
P ou Umg P (2)
x

=  = 

 
Ou, dividindo (1) por (2), temos que 
1 1 1
2 por 1
2 2 2
UMg P P
ou TMS
UMg P P
= = 
e 
* *
1 1 2 2I Px P x= + (3) 
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Análise gráfica das condições de 1ª ordem
Condição de 2ª ordem
Condição automaticamente atendida pela solução de máxima utilidade, ou pela cesta ótima, pela 
hipótese de validade do Axioma 5, da Convexidade das Curvas de Indiferença, ou seja, da Função 
de Utilidade ser do tipo Quasecôncava.
Contra exemplo: curvas de indiferença côncavas
 
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Interpretação alternativa das condições de 1ª ordem 
Das condições (1) e (2), podemos ter a seguinte condição alternativa: 
*1 2
1 2
UMg UMg
P P
= =  
Ou, no caso geral n bens: 
*1 2 n
1 2 n
UMg UMg UMg
........
P P P
= = = =  
A Questão das Soluções Matemática e Econômica da Maximização da Utilidade
Para analisar essa questão associada à solução do problema da maximização da 
utilidade na sua versão simplificada (apenas com restrição orçamentaria de 
igualdade do gasto com a renda), através do método tradicional de Lagrange, 
vamos calcular as rendas ótimas para um indivíduo com função utilidade 
, em duas situações de mercado:
e
Soluções numéricas matemáticas:
Enquanto a primeira solução matemática pode ser validada em termos 
econômicos, a segunda evidentemente não tem nenhum sentido econômico
 ( )1 2 1 2 1 2U x ,x 2x x 8x 8x 84= + + +
 
1 2I 100, P 20 e P 10= = =
 '
1 2I 30, P 20 e P 10= = =
( )* * *1 2x x 1,5 ,x 7= = = ( )' ' '1 2x x 0,25 ,x 3,5= = − =
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Graficamente
1,5
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5-0,25
3,5
Maximização com soluções matemáticas válidas economicamente
Problema de Programação Não Linear, solucionado pelo Método de Lagrange 
adaptado (com Condições de Kuhn-Tucker).
Com esse método obtemos que, na segunda situação de mercado do exemplo 
em discussão, a cesta ótima do consumidor é dada por:
OBS.: Na literatura econômica, esse tipo de resultado é chamado de Solução de
Canto, enquanto que a cesta ótima anterior, da primeira situação de
mercado é denominado de Solução Interna.
 Maximizar ( )1 2U u x ,x= 
 Sujeito a 1 1 2 2P x P x I+ = e 1 2x 0 , x 0  
( )** ** **1 2x x 0 ,x 3= = =
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1,5
0
 ( )**x 0 , 3=
Porque então não se usa a versão e o método mais geral de Maximização 
de Utilidade?
Justificativa:
Como se verá a seguir, a apresentação e a análise da parte mais importante desse problema não 
é feito apenas com base nos seus resultados numéricos, mas principalmente nos resultados 
teóricos e analíticos, que são facilitados enormemente quando obtidos através da sua versão 
simplificada e do uso do método de Lagrange tradicional.
Importante: 
Por isso é necessário ter sempre em mente que nas discussões a seguir, se estará se referindo 
aos resultados de cestas ótimas de escolha dos consumidores, normalmente associados às 
chamadas soluções internas. 
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Soluções Analíticas da Maximização de Utilidade e Escolha dos Consumidores
Sabemos que a solução da cesta ótima ( )* * * *1 2 nx x , x ,...., x= do 
problema 
Maximizar a função utilidade ( )1 2 nU u x ,x ,..., x= 
Sujeita à restrição orçamentária 
n
i i
i 1
Px I
=
= 
Sempre irá depender da especificação matemática da função 
utilidade ( )1 2 nU u x ,x ,..., x= e dos valores fixados para as 
variáveis ( )1 2 nI,P ,P ,.....,P , ou seja, podemos afirmar que a solução 
analítica da cesta ótima e sempre dada pelo seguinte conjunto de n 
funções: 
( )*1 1 1 2 nx x P ,P ,....,P , I= 
( )*2 2 1 2 nx x P ,P ,....,P , I= 
 
( )*n n 1 2 nx x P ,P ,....,P , I= 
Cada uma dessas funções é denominada de Função Demanda do 
Bem ou Serviço i, do indivíduo sob análise, ou mais 
especificamente de sua Função Demanda Marshaliana do Bem ou 
Serviço i ( )*i i 1 2 nx x P ,P ,....,P , I =  . 
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Exemplo 1: Consumidor com Função Utilidade 
 Maximizar 1 2U x x
 = 
 Sujeito a 1 1 2 2P x P x I+ = 
1 2U x x
 =
Solução analítica: 
( )*1 1 1
1
I
x x P , I
P
 
= =  
+ 
 
( )*2 2 2
2
I
x x P , I
P
 
= =  
 + 
 
Exemplo 2: Consumidor com Função Utilidade ( )1 2 1 2 1 2U x ,x 2x x 8x 8x 84= + + +
OBS.: Como essas funções só devem valer para as situações de mercado que gerem cestas
ótimas correspondentes a soluções internas, pode-se verificar que, como já visto, 
elas não valem para a situação . '
1 2I 30, P 20 e P 10= = =
Funções demandas marshaliana correspondentes: 
( )* 1 21 1 1 2
1
I 4P 4P
x x P ,P , I
2P
− +
= = 
( )* 2 12 2 1 2
2
I 4P 4P
x x P ,P , I
2P
− +
= = 
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Resumo dos Resultados até o momento:
As funções demandas marshalianas são as relações teóricas e práticas mais 
importantes da Teoria da Utilidade do Consumidor. Elas podem ser testadas e 
estimadas ou quantificadas com base nos dados do comportamento efetivo dos 
indivíduos nos mercados dos bens e serviços em geral, podendo portanto serem 
utilizadas para explicar e mesmo simular ou projetar impactos de modificações 
que podem ocorrer devidos a eventos e intervenções nesses mesmos mercados.
Mas para isso necessitamos, como economistas, conhecer melhor a natureza e 
as propriedades dessas relações, o que só será possível através do aprofunda-
mento da análise teórica dos demais resultados teóricos dessa teoria.
E será justamente isso que faremos nas próximas aulas para concluir a análise 
dessa parte do curso.
Apêndice: Interpretação do valor do multiplicador de Lagrange *
Um resultado obtido no chamado Teorema do Envelope, estabelece que da 
maximização de qualquer função de Lagrange como, por exemplo, 
tem-se que
Em palavras: o valor corresponde à medida do impacto marginal no valordo 
nível máximo ou ótimo da utilidade do consumidor, propiciado 
pela sua renda I, ou seja, ao valor da Utilidade Marginal da Renda 
do Consumidor
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2L x ,x , u x ,x I Px P x = + − −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )* * * * * * * *1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 *dL x P ,P ,I ,x P ,P ,I , P ,P , I dU x P ,P ,I ,x P ,P ,I L x ,x ,
dI dI I
  
 =  

*
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Por outro lado, já vimos que pelas condições (1) e (2) de 1ª ordem da solução de 
maximização da utilidade, tem-se que
que tem justamente o mesmo sentido: o valor corresponde à utilidade 
marginal propiciada ao consumidor, por unidade de dispêndio da sua renda em 
qualquer um dos bens e serviços da sua cesta ótima de consumo.
 
*1 2
1 2
UMg UMg
P P
= = 
*
Fim
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