espelhos - 2 ano

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Espelhos esféricos
Os espelhos esféricos são calotas esféricas poli-
das cuja superfície refletora pode ser côncava ou 
convexa.
 � Se a superfície refletora da calota for interna, 
tem-se um espelho côncavo.
Superfície refletora interna. Representação de um 
espelho côncavo.
 � Se a superfície refletora da calota for externa, 
tem-se um espelho convexo.
Superfície refletora externa. Representação de 
um espelho convexo. 
  Elementos dos espelhos 
esféricos
No esquema abaixo são apresentados alguns 
elementos dos espelhos esféricos que servem de 
guia para o traçado dos raios e a determinação 
de imagens.
a V
R
Cep
F
calota
 � Centro de curvatura (C): centro da superfície 
esférica associada à curvatura do espelho.
 � Vértice (V): localizado no centro da calota esfé-
rica (centro do espelho).
 � Foco principal (F): situado entre o centro de 
curvatura e o vértice do espelho, exatamente 
no ponto médio do segmento XXX CV . A distância 
de F a V é chamada distância focal (f ).
 � Eixo principal (ep): reta que passa por C e V.
 � Raio de curvatura (R): raio da superfície esfé-
rica que gerou a calota.
 � Ângulo de abertura (a): ângulo de abertura 
do espelho.
  Raios notáveis
A construção de uma imagem formada por um 
espelho esférico é obtida de um conjunto de raios 
cujas trajetórias após a reflexão são conhecidas pre-
viamente. São os chamados raios notáveis.
 � Todo raio de luz que incide em um espelho pa-
ralelamente ao eixo principal reflete-se numa 
mesma direção passando pelo foco principal.
VFC
CFV
espelho côncavo
espelho convexo
 � Todo raio de luz que incide em um espelho 
passando pelo foco principal reflete-se parale-
lamente ao eixo principal.
VC F
CFV
N
espelho côncavo
espelho convexo
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121
Es
pe
lh
os
 e
sf
ér
ic
os
 � Todo raio de luz que incide em um espelho passando 
pelo centro de curva reflete-se sobre si mesmo.
VFC
N
CFV
N
espelho côncavo
espelho convexo
 � Todo raio de luz que incide sobre o vértice do espe-
lho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal.
VF a
a
C
CFVa
a
espelho côncavo
espelho convexo
  Formação de imagens em 
espelhos esféricos
Espelho côncavo
 � Objeto localizado antes do centro de curvatura.
O
i
VC F
 ∙ Imagem real.
 ∙ Tamanho: menor que o objeto.
 ∙ Orientação: invertida.
 � Objeto localizado no centro de curvatura.
O
i
VC F
 ∙ Imagem real.
 ∙ Tamanho: igual ao do objeto.
 ∙ Orientação: invertida.
 � Objeto localizado entre o centro de curvatura e o 
foco.
O
i
VC F
 ∙ Imagem real.
 ∙ Tamanho: maior que o objeto.
 ∙ Orientação: invertida.
 � Objeto localizado no foco.
O
VC F
 ∙ Imagem imprópria (imagem no infinito)
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122
 � Objeto localizado entre o foco e o vértice.
O i
C F V
 ∙ Imagem virtual.
 ∙ Tamanho: maior que o objeto.
 ∙ Orientação: direita.
Espelho convexo
Os espelhos convexos produzem apenas um tipo de 
imagem, proporcionando redução de imagens e aumen-
to no campo visual.
O
i
F C
V
 ∙ Imagem virtual.
 ∙ Tamanho: menor que o objeto.
 ∙ Orientação: direita.
  Estudo analítico dos espelhos 
esféricos
O estudo analítico dos espelhos esféricos é feito 
em um sistema de referência, denominado referen-
cial de Gauss. Nele as posições do objeto e de sua 
imagem podem ser caracterizadas por abscissas, bem 
como as respectivas alturas podem ser associadas 
às ordenadas.
C
y
f
F
x
p p’
y’
Em relação ao referencial de Gauss, valem as seguin-
tes convenções:
 � p – abscissa do objeto: indica a posição do objeto.
 p . 0: o objeto está ao lado da luz incidente – obje-
to real.
 p , 0: o objeto está do outro lado do espelho, por 
isso é chamado de objeto virtual.
 � p’ – abscissa da imagem. Indica a posição da imagem.
 p’ . 0: a imagem está ao lado da luz incidente – ima-
gem real. 
 p’ , 0: a imagem está do outro lado – imagem virtual.
 � f – distância focal: indica se o espelho é côncavo ou 
convexo.
 f . 0: o foco está ao lado da luz incidente – o foco é 
real, e trata-se de um espelho côncavo. 
 f , 0: o foco está do outro lado do espelho – o foco é 
virtual, e o espelho é convexo.
 � y – altura do objeto, medida no eixo y. 
y . 0: o objeto está acima do eixo principal.
y , 0: o objeto está abaixo do eixo principal.
 � y’ – altura da imagem, medida no eixo y.
y’ . 0: a imagem está acima do eixo principal.
y’ , 0: a imagem está abaixo do eixo principal.
Se y’ e y têm sinais contrários, a imagem é invertida 
em relação ao objeto.
Equação de Gauss (ou dos espelhos 
esféricos)
A equação de Gauss estabelece uma relação entre a 
distância focal f do espelho esférico e as respectivas abs-
cissas do objeto p e da imagem p’.
 1 __ 
f
 5 1 __ 
p
 1 1 __ 
p’
 
Aumento linear transversal
A equação do aumento linear A estabelece uma rela-
ção entre as alturas do objeto y e da imagem y’ e as res-
pectivas abscissas p e p’ do objeto e da imagem.
A 5 
y’
 __ y 5 2 
p’
 __ p 
Se A . 0, a imagem é direita; se A , 0, a imagem é 
invertida.
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Es
pe
lh
os
 e
sf
ér
ic
os
Questões
To
da
s 
as
 q
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st
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s 
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or
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in
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s 
de
 q
ue
 fa
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m
 p
ar
te
. 1. (UFRN) Os carros modernos usam diferentes tipos de espelhos retrovisores, 
de modo que o motorista possa melhor observar os veículos que se aproxi-
mam por trás dele. As fotos 1 e 2 abaixo mostram as imagens de um veículo 
estacionado, quando observadas de dentro de um carro, num mesmo instan-
te, através de dois espelhos: o espelho plano do retrovisor interno e o espelho 
externo do retrovisor direito, respectivamente.
Foto 1
Foto 2
A partir da observação dessas imagens, é correto concluir que o espelho ex-
terno do retrovisor direito do carro é:
a) convexo e a imagem formada é virtual. 
b) côncavo e a imagem formada é virtual. 
c) convexo e a imagem formada é real. 
d) côncavo e a imagem formada é real. 
2. (Unemat-MT) Uma mulher, em pé, enquanto retoca a maquiagem, observa os 
detalhes ampliados do seu rosto diante de um espelho esférico. 
Quanto ao tipo de espelho usado e a distância entre a pessoa e o espelho, é 
correto afirmar:
a) Convexo; menor que a distância focal do espelho.
b) Convexo; maior que a distância focal do espelho.
c) Côncavo; igual à distância focal do espelho.
d) Côncavo; menor que a distância focal do espelho.
e) Côncavo; maior que a distância focal do espelho.
3. (Cefet-BA) Nos telescópios refletores que utilizam espelhos esféricos, a luz prove-
niente de uma estrela incide no espelho primário — a objetiva do telescópio — e, 
em seguida, é refletida no espelho secundário — a ocular do telescópio —, através 
da qual a imagem da estrela pode ser observada. Nessas condições, o espelho se-
cundário deve estar situado:
a) no foco da ocular.
b) no foco da objetiva.
c) no centro de curvatura da ocular.
d) no centro de curvatura da objetiva.
e) além do centro de curvatura da objetiva.
4. (Uespi) Um espelho esférico convexo possui distância focal, em módulo, 
igual a 40 cm. Um objeto é colocado a 160 cm do espelho. A que distância do 
espelho, em módulo, se encontra a sua imagem?
a) 16 cm b) 32 cm c) 48 cm d) 66 cm e) 72 cm
1. Alternativa a
A imagem é formada pelo prolongamento dos 
raios refletidos.
2. Alternativa d
Para ver a imagem aumentada e direita, o es-
pelho precisa ser côncavo e o objeto deve estar 
antes do foco.
3. Alternativa b
Os raios de luz vindos do infinito são paralelos 
e se encontram no foco. Devemos colocar a 
ocular nessa posição.
4. Alternativa b
Espelho convexo, foco de sinal negativo. 
Substituindo os dados fornecidos na equação 
de Gauss:
 1 _ f 5 
1 __ p 1 
1 ___ p' 
2 1 _____ 240 5 
1 ____ 160 1 
1 ___ p' Æ 
1 ___ p' 5 
24 2 1 _________ 160 
p’ 5 2 32
A imagem se encontra a uma distância em mó-
dulo de 32 cm.
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5. (Uespi) Um estudante posiciona um objeto a 1 cm de um espelho esférico 
côncavo, de distância focal igual a 0,5 cm. A imagem que ele observa é:
a) real e localizada a 0,5 cm do espelho.
b) virtual e localizada a 0,5 cm do espelho.
c) real e localizada a 1 cm do espelho.
d) virtual e localizada a 1 cm do espelho.
e) real e localizada a 2 cm do espelho.
6. (Uespi) Um lápis de altura 16 cm encontra-se diante de um espelho esférico 
convexo, com distância focal de valor absoluto 40 cm. A imagem do lápis tem 
a mesma orientação deste e altura igual a 3,2 cm. A que distância do espelho 
encontra-se o lápis?
a) 10 cm b) 20 cm c) 40 cm d) 140 cm e) 160 cm
7. (Uespi) Um palito é fixado perpendicularmente ao eixo central de um espelho 
esférico côncavo. Ambos, o palito e a sua imagem real, encontram-se à dis-
tância de 30 cm do espelho. Pode-se concluir que tal espelho possui distância 
focal de:
a) 15 cm b) 30 cm c) 45 cm d) 60 cm e) 75 cm
8. (Cefet-MG) A figura abaixo representa um objeto à frente de um espelho 
esférico convexo de raio de curvatura de 60 cm. Se esse objeto está em re-
pouso a 20 cm do vértice sobre o eixo principal do espelho e, em seguida, 
oscila em torno da posição inicial com amplitude de 10 cm, então as má-
ximas distâncias à direita e à esquerda em relação à imagem inicial serão, 
respectivamente, em cm, iguais a:
20 cm
10 cm 10 cm
a) 3,0 e 4,5 b) 3,0 e 7,5 c) 4,5 e 7,5 d) 7,5 e 12 e) 12 e 15 
9. (UEA-AM) Um holofote refletor é constituído por uma lâmpada incandescente 
e dois espelhos esféricos coaxiais dispostos frente a frente em suas super-
fícies refletoras. Um espelho (E1) refletirá a luz emitida pela lâmpada para 
frente com raios paralelos ao eixo principal. O outro espelho (E2) refletirá a 
luz da lâmpada sobre ela mesma.
eixo principal
lâmpada
E2
E1
Dessa forma, ambos os espelhos devem ser __________ e a lâmpada incandescen-
te deve ser colocada no __________ de E1 e no ___________ de E2. 
A alternativa que preenche, correta e respectivamente, as lacunas é:
a) côncavos; centro de curvatura; foco.
b) côncavos; foco; centro de curvatura.
c) côncavos; foco; foco.
d) convexos; foco; centro de curvatura.
e) convexos; centro de curvatura; foco. 
5. Alternativa c
Se f 5 0,5 cm então, o objeto foi colocado sobre 
o centro de curvatura. A imagem formada pelo 
espelho côncavo será real, invertida e igual.
6. Alternativa e
Primeiro calculamos a ampliação:
 i __ o 5 
p'
 ___ p Æ 
3,2
 ____ 16 5 2 
p'
 ___ p 
 
p'
 ___ p 5 2 
1 __ 5 Æ p' 5 2 
p
 __ 5 
Substituindo na equação de Gauss:
 1 _ f 5 
1 __ p 1 
1 ___ p' 
 1 ______ 
240 5 
1 __ p 1 
1 _____ 
2 
p
 __ 5 
 Æ 1 ______ 
240 5 
1 2 5 ______ p 
p 5 (2 40) ? (2 5) ä p 5 160
O espelho se encontra a 160 cm do lápis
7. Alternativa a
Se o palito e sua imagem real estão a 30 cm 
do espelho, é porque o palito estava sobre o 
centro de curvatura, logo, f 5 15 cm.
8. Alternativa a
O espelho é convexo, a imagem será virtual. 
Primeiramente calculamos a distância que a 
imagem ficará do espelho. Se o objeto está a 
20 cm do espelho:
 1 _ f 5 
1 __ p 1 
1 ___ p' 
 1 ______ 
230 5 
1 ___ 20 1 
1 ___ p' Æ 
1 ___ p' 5 
22 2 3 _________ 60 
p’ 5 212
A imagem fica a 12 cm do espelho.
Calculamos a imagem para o objeto a 10 cm do 
espelho:
 1 _ f 5 
1 __ p 1 
1 ___ p' 
 1 ______ 
230 5 
1 ___ 10 1 
1 ___ p' Æ 
1 ___ p' 5 
21 2 3 _________ 30 
p’ 5 27,5
A imagem fica a 7,5 cm do espelho.
Calculamos a imagem para o objeto a 30cm do 
espelho:
 1 _ f 5 
1 __ p 1 
1 ___ p' 
 1 ______ 
230 5 
1 ___ 30 1 
1 ___ p' Æ 
1 ___ p' 5 
21 2 1 ________ 30 
p’ 5 215
A imagem fica a 15 cm do espelho.
Logo, as máximas distâncias à direita e à es-
querda são, respectivamente, 3,0 e 4,5 cm.
9. Alternativa b
Foco de E 1 : pois os raios refletidos devem ser 
paralelos ao eixo óptico.
Centro de curvatura de E 2 : pois os raios refle-
tidos devem retornar sobre si mesmos.
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125
Es
pe
lh
os
 e
sf
ér
ic
os
10. (Uern) Um carro se aproxima por trás de uma moto numa estrada reta. 
O espelho retrovisor da moto é esférico convexo e tem raio de curvatura 
igual a 10 m. Quando o carro está a 50 m da moto, sua imagem vista pelo 
motoqueiro, no retrovisor, é:
a) real e menor. 
b) virtual e menor. 
c) real e maior. 
d) virtual e maior. 
11. (UFJF-MG) A luz de um feixe paralelo de um objeto distante atinge um grande 
espelho, de raio de curvatura R 5 5,0 m, de um poderoso telescópio, como 
mostra a figura abaixo. Após atingir o grande espelho, a luz é refletida por um 
pequeno espelho, também esférico e não plano como parece, que está a 2 m 
do grande. 
grande
espelho
pequeno
espelho
C F
2 m
Sabendo que a luz é focalizada no vértice do grande espelho esférico, faça o 
que se pede nos itens seguintes.
a) O objeto no ponto F, para o pequeno espelho, é real ou virtual? Justifique 
sua resposta.
b) Calcule o raio de curvatura r do pequeno espelho.
c) O pequeno espelho é côncavo ou convexo? Justifique sua resposta.
12. (UFRJ) Um dispositivo para a observação da imagem do Sol é constituído por 
dois espelhos esféricos concêntricos e uma tela, como ilustra a figura a seguir. 
O espelho convexo tem raio de curvatura R1 igual a 12 cm e o espelho côncavo 
tem raio de curvatura R2 igual a 30 cm.
raios solares
d
tela
R1
R2
C
Calcule o valor da distância (d) entre a tela e o centro de curvatura C, comum 
aos dois espelhos, quando a imagem do Sol se forma com nitidez sobre a tela.
10. Alternativa b
Como o espelho é convexo, a imagem formada sempre 
deve ser menor, direita e virtual.
11. Gabarito a) Virtual, b) 2 1,33 m, c) convexo
a. Virtual, pois é formado pelo prolongamento dos 
raios.
b. Conforme os dados do problema:
 1 _ f 5 
1 __ p 1 
1 ___ p' 
 1 _ f 5 
1 ______ 
20,5 1 
1 __ 2 Æ 
1 _ f 5 
24 1 1 _________ 2 
f 5 2 2 __ 3 
Logo o raio de curvatura é igual R > 2 1,33 m.
c. Convexo, o foco é negativo.
12. Gabarito 10 cm
Observando a figura a seguir, vemos que o objeto virtual 
estará a 24 cm do espelho côncavo, que tem distância 
focal de 15 cm.
30 cm
12 cm
Tela
24 cm
C
d
R1
R2
 1 _ f 5 
1 __ p 1 
1 ___ p' 
 1 ___ 15 5 
1 ___ 24 1 
1 ___ p' Æ 
1 ___ p' 5 
24 2 15 _________ 360 
p’ 5 40
A tela deverá estar a 40 cm do espelho côncavo, logo, 
como o raio de curvatura é de 30 cm, a distância d, 
que é a diferença entre os valores citados, é de 10 cm.
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