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A D M I N I S T R A Ç Ã O , E C O N O M I A
E C I Ê N C I A S S O C I A I S E B I O L Ó G I C A S
7 a e d i ç ã o
Harshbarger • Reynolds
H324m Harshbarger, Ronald J.
 Matemática aplicada [recurso eletrônico] : administração,
 economia e ciências sociais e biológicas / Ronald J.
 Harshbarger, James J. Reynolds ; tradução: Ariovaldo
 Griesi, Oscar Kenjiro N. Asakura; revisão técnica: Helena
 Maria de Ávila Castro, Afrânio Carlos Murolo. – 7. ed. –
 Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2006.
 ISBN 978-85-8055-273-7
 1. Matemática aplicada. 2. Administração. 3. Economia.
 4. Ciências Sociais. 5. Ciências Biológicas. I. Reynolds,
 James J. II. Título.
CDU 51-7
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
88 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
A função na Pré-Aplicação é um exemplo de uma função especial, chamada fun-
ção linear. A função linear é defi nida como segue.
Função Linear Uma função linear é uma função da forma
y = f (x) = ax + b
onde a e b são constantes.
Interseções com os eixos Como o gráfi co de uma função linear é uma reta, são necessários somente dois 
pontos para determinar o seu gráfi co. É freqüentemente possível usar as interse-
ções com os eixos coordenados para desenhar a função linear. O(s) ponto(s) onde 
um gráfi co intercepta o eixo x é (são) chamado(s) ponto(s) de interseção com o 
eixo x, e a coordenada x desse(s) ponto(s) são a(s) interseção(ões) com o eixo x. 
Analogamente, o ponto onde o gráfi co de uma função intercepta o eixo y é o ponto 
de interseção com o eixo y, e a coordenada y do ponto é a interseção com o eixo y. 
Como qualquer ponto no eixo x tem coordenada y = 0 e qualquer ponto no eixo y 
tem coordenada x = 0, encontramos as interseções com os eixos como segue.
Interseções com os eixos (a) Para encontrar as interseções com o eixo y do gráfi co de uma equação, faça x = 0
 na equação e resolva a equação para y.
(b) Para encontrar as interseções com o eixo x, faça y = 0 e resolva a equação para x.
EXEMPLO 1 Interseções com os Eixos
Encontre as interseções com os eixos e desenhe o gráfi co de:
(a) 3x + y = 9
(b) x = 4y
SOLUÇÃO
(a) Para encontrar as interseções com o eixo y, faça x = 0 e resolva para y. 3(0) 
+ y = 9 nos dá y = 9, assim achamos que a interseção com o eixo y é 9. Para 
encontrar as interseções com o eixo x, faça y = 0 e resolva para x. 3x + 0 = 9 
nos dá x =3, assim encontramos que a interseção com o eixo x é 3. Usando as 
interseções com os eixos obtemos o gráfi co mostrado na Figura 1.14.
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
–10
–5
5
10
x
y
3x + y = 9(0, 9)
(3, 0)
(b) Fazendo x = 0 obtemos y = 0, e fazendo y = 0 obtemos x = 0, assim a única 
interseção do gráfi co com os eixos é o ponto (0, 0). É necessário um segundo 
ponto para desenhar a reta. Portanto, se fi zermos y = 1 em x = 4y, obtere-
mos x = 4 e teremos um segundo ponto (4, 1) no gráfi co. É interessante mar-
car um terceiro ponto como verifi cação. O gráfi co é mostrado na Figura 1.15.
Figura 1.14
1.3 Funções Lineares 89
–4 –1 1 2 3 4
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
x
x = 4y
(4,1)
(0, 0)
Observe que a equação desenhada na Figura 1.14 pode ser reescrita como
y = 9 – 3x ou f (x) = 9 – 3x.
Com essa forma funcional, vemos na Figura 1.14 que a interseção (3, 0) com o 
eixo x é o ponto onde o valor da função é zero. A coordenada x de tal ponto de-
nomina-se zero da função. Desse modo, vemos que as interseções da função com 
o eixo x coincidem com os seus zeros.
EXEMPLO 2 Depreciação
Uma propriedade comercial foi adquirida por $ 122.880 e depreciada por um pe-
ríodo de 10 anos. O seu valor y está relacionado ao número de meses de serviço x 
por meio da equação
4096x + 4y = 491.520
Encontre as interseções com os eixos x e y e use-os para esboçar o gráfi co da 
equação.
SOLUÇÃO
interseção com o eixo x: y = 0 nos dá 4.096x = 491.520
 x = 120
Assim, 120 é a interseção com o eixo x.
interseção com o eixo y: x = 0 nos dá 4y = 491.520
 y = 122.880
Desse modo, 122.880 é a interseção com o eixo y = 122.880. O gráfi co é mostrado 
na Figura 1.16 na página seguinte. Observe que as unidades nos eixos x e y são 
diferentes e que a interseção com o eixo y corresponde ao valor da propriedade 
depois de 0 mês da compra. Isto é, a interseção com o eixo y nos dá o preço de 
compra. A interseção com o eixo x corresponde ao número de meses que passa-
ram até o valor ser 0; isto é, a propriedade tem a sua depreciação total após 120 
meses ou 10 anos. Observe que somente valores positivos para x e y fazem sen-
tido nessa aplicação, assim somente a parte do gráfi co no Primeiro Quadrante 
é mostrada.
Figura 1.15
90 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
Meses
D
ól
ar
es
20 40 60 80 100 120 140
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
x
y
4.096x + 4y = 491.880
Apesar de ser fácil usar as interseções com os eixos para desenhar as equações 
lineares, nem sempre este é o melhor método. Por exemplo, retas verticais, retas 
horizontais ou retas que passem pela origem podem ter uma única interseção com 
os eixos e, se a reta tiver ambas as interseções com os eixos muito próximas da 
origem, usá-las pode resultar em gráfi cos pouco precisos.
Coefi ciente Angular de
uma Reta
 Observe que na Figura 1.16, conforme nos movemos sobre o gráfi co do ponto de 
interseção com o eixo y (0, 122.880) para o ponto de interseção com o eixo x (120, 0), o 
valor de y da reta varia de –122.880 unidades (de 122.880 para 0), enquanto o valor 
x varia 120 unidades (de 0 para 120). Desse modo, a taxa de variação dos valores 
dessa propriedade comercial é
−122 880
120
.
 = –1.024 dólares por mês.
Isso signifi ca que a cada mês o valor da propriedade muda de –$ 1.024 ou o valor 
decresce de $ 1.024/mês. Essa taxa de variação de uma função linear chama-se 
coefi ciente angular da reta que é o seu gráfi co (ver Figura 1.16). Para o gráfi co de 
função linear, a taxa de variação em y correspondente à variação em x mede o coe-
fi ciente angular da reta. Para qualquer reta não vertical, o coefi ciente angular pode 
ser encontrado usando quaisquer dois pontos da reta, como a seguir:
Coefi ciente Angular de 
uma Reta
Se uma reta não vertical passa pelos pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), seu coefi ciente 
angular, denotado por m, é encontrado usando
 
m y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
ou, de modo equivalente,
 
m y y
x x
=
−
−
1 2
1 2
O coefi ciente angular de uma reta vertical não é defi nido.
Observe que, para uma dada reta, o coefi ciente angular é o mesmo indepen-
dentemente dos dois pontos usados para seu cálculo; isto ocorre porque os lados 
correspondentes em triângulos semelhantes são proporcionais.
Figura 1.16
y
x
y2
P2(x2, y2)
y1
x1 x2
P1(x1, y1)
x2 − x1
y2 − y1
1.3 Funções Lineares 91
Podemos também escrever o coefi ciente angular usando a notação
m = Δ
Δ
y
x
 (Δy = y2 – y1 e Δx = x2 – x1)
onde Δy é lido como “delta y” e signifi ca “variação em y”, e Δx signifi ca “varia-
ção em x”.
EXEMPLO 3 Coefi cientes Angulares
Encontre o coefi ciente angular da
(a) reta �1 , passando por (–2, 1) e (4, 3)
(b) reta �2 , passando por (3, 0) e (4, –3)
SOLUÇÃO
(a) m = −
− −
= =
3 1
4 2
2
6
1
3( )
 ou, de modo equivalente, m =
−
− −
=
−
−
=
1 3
2 4
2
6
1
3
 Isso signifi ca que um ponto três unidades à direita e uma unidade acima de 
qualquer ponto da reta também está na reta. A reta �1 é mostrada na Figura 
1.17.
(b) m = − −
−
=
−
= −
0 3
3 4
3
1
3( )
 Isso signifi ca que um ponto uma unidade à 
direita e três unidade abaixo de qualquer 
ponto da reta também está reta. A reta 
�2 também é mostrada na Figura 1.17.
 Figura 1.17
Pela discussão anterior, vemos que o coefi ciente angular descreve a direção 
de uma reta como a seguir.
O R I E N TA Ç Ã O D A R E TA E S E U C O EF I C I E N T E A N G U L A R
1. O coefi ciente angular é positivo se a reta 
se inclina para cima quando nos movemos 
para a direita. A função é crescente.
m y
x
=
Δ
Δ
 > 0
2. O coefi ciente angular é negativo se a reta se inclina para 
baixo quando nos movemos para a direita. A função é de-
crescente.
m y
x
=
Δ
Δ
 < 0
(continua)
x
y
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
–4
–2
2
4
(–2, 1)
(4, 3)
(4, −3)
(3, 0)
�2
�1
m > 0
x
y
m < 0
x
y
92 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
O R I E N TA Ç Ã O D A R E TA E S E U C O E F I C I E N T E A N G U L A R ( c o n t i n u a ç ã o )
3. O coefi ciente angular de uma reta horizontal é 0, 
porque Δy = 0. A função é constante.
 m y
x
=
Δ
Δ
 = 0
4. O coefi ciente angular de uma reta vertical não é de-
fi nido, porque Δx = 0.
 m y
x
= Δ
Δ
 não é defi nido
Duas retas distintas, não verticais, que têm o mesmo coefi ciente angular são 
paralelas e, reciprocamente, duas retas paralelas não verticais têm o mesmo coefi -
ciente angular.
Retas Paralelas Duas retas distintas não verticais são paralelas se e somente se os seus coefi cientes 
angulares forem iguais.
Em geral, duas retas são perpendiculares se elas se interceptam formando ân-
gulos retos. Porém, este aspecto das retas perpendiculares pode estar oculto quando 
desenhamos as retas, a menos que as escalas dos eixos sejam as mesmas. Observe 
que as retas �1 e �2 da Figura 1.17 aparentam ser perpendiculares. Porém, as mes-
mas retas traçadas com escalas diferentes nos eixos não parecem perpendiculares. 
Para evitar sermos enganados por gráfi cos com escalas diferentes, utilizamos o 
coefi ciente angular para saber quando as retas são perpendiculares. Observe que 
o coefi ciente angular de �1, 13 , é o recíproco negativo do coefi ciente angular de �2, 
–3. De fato, como com as retas �1 e �2, quaisquer duas retas não verticais que sejam 
perpendiculares entre si têm coefi cientes angulares que são recíprocos negativos 
um do outro.
Coefi cientes Angulares de 
Retas Perpendiculares
Uma reta �1 com coefi ciente angular m, onde m ≠ 0, é perpendicular à reta �2 se 
e somente se o coefi ciente angular de �2 for –1/m. (Os coefi ciente angulares são 
recíprocos negativos.)
Como o coefi ciente angular de uma reta vertical não é defi nido, não podemos 
usar o coefi ciente angular em discussão das relações de paralelismo e perpendicu-
larismo que envolvam retas verticais. Duas retas verticais são paralelas e qualquer 
reta horizontal é perpendicular a qualquer reta vertical. 
PONTO DE CONTROLE 1. Determine o coefi ciente angular da reta que passa por (4, 6) e (28, –6).
2. Se uma reta tem coefi ciente angular m = 0, então a reta é _____________. Se 
uma reta não tem o coefi ciente angular defi nido, então a reta é __________.
3. Suponha que a reta 1 tenha coefi ciente angular m1 = 3 e que a reta 2 tenha 
coefi ciente angular m2.
 (a) Se a reta 1 é perpendicular à reta 2, determine m2.
 (b) Se a reta 1 é paralela à reta 2, determine m2.
Escrevendo Equações de Retas Se o coefi ciente angular de uma reta for m, então o coefi ciente angular entre 
um ponto fi xo (x1, y1) e qualquer outro ponto (x, y) na reta também é m. Isto é,
m não definido
y
m = 0
x
y
1.3 Funções Lineares 93
m y y
x x
= −
−
1
1
Isolando y – y1 obtemos a equação da reta na forma ponto-coefi ciente angular.
Forma Ponto-Coefi ciente 
Angular
A equação da reta passando pelo ponto (x1, y1) e com coefi ciente angular m pode 
ser escrita na forma ponto-coefi ciente angular
y – y1 = m ( x – x1)
EXEMPLO 4 Equações de Retas
Escreva a equação para cada reta que passa por (1, –2) e que
(a) tem coefi ciente angular 23 (b) não tem coefi ciente angular defi nido
(c) também passa pelo ponto (2, 3)
SOLUÇÃO
(a) Aqui, m = 23 , x1 = 1 e y2 = –2. A equação da reta é 
y x
y x
y x
− − = −
+ = −
= −
( ) ( )2 2
3
1
2 2
3
2
3
2
3
8
3
 Essa equação também pode ser escrita na forma geral como 2x – 3y – 8 = 0. 
A Figura 1.18 mostra o gráfi co dessa reta; o ponto (1, –2) e o coefi ciente angu-
lar estão destacados.
(b) Como m não é defi nido, não podemos usar a forma ponto-coefi ciente angu-
lar. Essa reta é vertical, de modo que todos os pontos dela têm a coordenada 
x igual a 1. Assim, a equação é x = 1. Observe que x = 1 não é uma função.
(c) Inicialmente use (1, –2) e (2, 3) para encontrar o coefi ciente angular.
m = − −
−
=
3 2
2 1
5( )
–4 –2 2
–6
–4
–2
2
4
x
y
(1, −2)
Δx = 3
Δy = 2
m = Δx
Δy
3
2
 = 
2x − 3y − 8 = 0
Figura 1.18
94 Capítulo 1 Equações e Funções Lineares
 Usando m = 5 e o ponto (1, –2) (o outro ponto poderia também ser usado), ob-
temos
 y – (–2) = 5(x – 1) ou y = 5x – 7
O gráfi co de x = 1 (do Exemplo 4 (b)) é uma reta vertical, conforme mostrado 
na Figura 1.19 (a); o gráfi co de y = 1 tem coefi ciente angular 0, e o seu gráfi co é uma 
reta horizontal, como mostrado na Figura 1.19 (b).
Em geral, as retas verticais não têm coefi cientes angulares defi nidos e a equação é 
da forma x = a, onde a é a coordenada x de cada ponto na reta. As retas horizontais têm 
m = 0 e a equação é da forma y = b, onde b é a coordenada y de cada ponto na reta.
EXEMPLO 5 Apreçamento
Os dados do U.S. Census Bureau indicam que o preço médio p de aparelhos de tele-
visão em cores pode ser expresso como uma função linear do números de aparelhos 
vendidos N (em milhares). Além disso, à medida que N aumenta de 1.000, p decresce 
de $ 10,40 e quando 6.485 (mil) aparelhos foram vendidos, o preço médio por apare-
lho era $ 504,39. Escreva a equação da reta determinada por essa informação.
SOLUÇÃO
Vemos que o preço p é uma função do número de aparelhos N (em milhares), as-
sim o coefi ciente angular é obtido por
m = = − = −variação em
variação em
 
 
p
N
10 40
1 000
0 0104,
.
,
Um ponto da reta é (N1, p1) = (6.485, 504,39). Usamos a forma ponto-coefi ciente 
angular adaptada às variáveis N e p.
 p – p1 = m(N – N1)
 p – 504,39 = –0,0104(N – 6485)
 p – 504,39 = –0,0104N – 67,444 
 p = –0,0104N + 571,834
A forma ponto-coefi ciente angular, com o ponto de interseção com o eixo y sendo 
(0, b), pode ser usada para deduzir uma forma especial de equação de uma reta.
y – b = m(x – 0)
 y = mx + b
Forma Coefi ciente 
Angular-Interseção
com o Eixo y
A forma coefi ciente angular-interseção com o eixo y da equação de uma reta com 
coefi ciente angular m e interseção com o eixo y b é
y = mx + b
Observe que se a equação linear tem a forma y = mx + b, então o coefi ciente de x 
é o coefi ciente angular e o termo constante é a interseção com o eixo y.
EXEMPLO 6 Produto Nacional Bruto
Na Pré-Aplicação observamos que a equação linear y = 352,2x + 2.703 expressa 
(aproximadamente) o produto nacional bruto (PNB) dos Estados Unidos, y, em 
bilhões de dólares, como uma função do número de anos após 1980, x.
x
-2
2
-2
2
x = 1
(a)
y
x
y
-2 2
-2
2 y = 1
(b)
Figura 1.19
lfilho
Retângulo
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esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
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