Apostila parte 2

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Exemplo: Considere o fluxo laminar, permanente, unidirecional, de fluido incompres-
sível e Newtoniano, no espaço anular compreendido entre dois cilindros (de seção reta 
circular) concêntricos, o externo estático e o interno em movimento de rotação, Figura 
25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25: Esquema básico do viscosímetro de cilindro rotativo. 
 
O perfil de velocidades proposto se baseia na condição de não deslizamento. Obser-
ve-se que atrito deve ser transmitido da parede do cilindro interno até a parede do ci-
lindro externo; da face inferior do cilindro interno até o fundo do copo constituído pelo 
cilindro externo. 
 
Deste modo cortes perpendiculares ao eixo longitudinal do sistema iriam revelar dife-
rentes perfis de velocidade, isto é haveria um efeito de extremidade importante. Tal 
efeito pode ser desprezado se o sistema for longo o suficiente. Assumindo ser este o 
caso, escolhendo um sistema de coordenadas cilíndrico de eixo oz coincidente com o 
eixo de simetria (longitudinal) dos cilindros, Figura 26, se pode calcular o torque ne-
cessário para manter o sistema em regime permanente. 
 
Em geral vθ = vθ (t,r,z,θ) mas neste caso podem ser feitas algumas simplificações: 1 - 
regime permanente, vθ(r,z,θ); 2- simetria do fluxo em relação ao eixo oz, isto é vθ não 
se altera com θ, 0V r,z,t =θ∂
∂ θ ; 3 - desprezíveis os efeitos da extremidade, isto é, leva-
se em conta apenas regiões longe do fundo do aparelho e, portanto vθ = vθ (r). 
 
Analisando termo a termo a equação de conservação de Q.M., componente θ, 
equação E; Tabela II, 
0
t
V
=
∂
∂ρ θ ; regime permanente. 
0
r
V
v r =∂
∂ θ ; vr é nulo, fluxo unidirecional. 
0V
r
V
=
θ∂
∂ θθ ; condição de simetria. 
0
r
VVr
=
⋅ θ ; vr é nulo, fluxo unidirecional. 
Corte longitudinal 
 
Corte transversal 
ω 
R2 
ω Cilindro em 
rotação 
Estático 
Fluido 
 
Cilindro 
estático 
Fluido 
R1 
Vθ 
 
 
 
33 
0=
∂
∂
z
v
vz
θ ; vz é nulo, fluxo unidirecional. 
0
z
V
=
∂
∂ θ ; efeitos das extremidades são negligenciáveis. 
0p
r
1
=
θ∂
∂ ; condição de simetria. 
( ) 











∂
∂
∂
∂η θrV
rr
1
r
, termo que contem a informação requerida, como a velocidade varia 
ao longo do raio. 
0
V
r
1
2
2
=
θ∂
∂ θ ; condição de simetria. 
0V
r
2 r
2 =θ∂
∂ ; vr é nulo. 
0
z
V
2
2
=
∂
∂ θ ; efeitos de extremidade são desprezíveis. 
0=⋅ θρ g ; orientação do campo gravitacional em relação ao sistema. 
 
resulta ( ) 0rV
rr
1
r
=





∂
∂
∂
∂
θ , a qual representa a equação diferencial que descreve o fluxo. 
 
Figura 26: orientação realtiva do sitema físico e sistema de coordenadas. 
 
As condições de contorno pertinentes seriam: 
r = R1 (cilindro interno) vθ = ω[radianos/s]. R1[m] 
r = R2 (cilindro externo) vθ = 0. 
de modo que, integrando sucessivamente se encontra 
( ) 21
2
1 2
1
CC
r
rVeCrV
rr
+×==
∂
∂
θθ 
 
 
 
 
34 
As constantes podem ser encontradas aplicando-se as condições de contorno, de 
modo que: 
( ) ( )2221
2
1
12
2
2
1
2
1
2
2
2
22
2 RR
RCe
RR
RRC
−
=
−
−=
ωω
 
Por outro lado a tensão de cisalhamento que age em casca cilíndrica de raio r vale: 
2223
22 C
r
C
r
r
r
V
r
rr ×





=





−−=





∂
∂
−=
ηηητ θθ 
 
de modo que a força e o torque –força x braço da alavanca -- atuando sobre a mesma 
superfície valem: 
r
CL
rL
r
CLrF r 22
2 4222 ηpipiηpiτ θ =×=××= 
( )2122
2
2
2
12 44
RR
RRLr
r
CLT
−
×==
ω
piηηpi 
 
Isto é, o torque independe do valor de r, condição de equilíbrio mecânico para que o 
regime se mantenha permanente. 
 
Um viscosímetro pode ser construído, baseado nas deduções precedentes. Entretan-
to, do ponto de vista prático, o mesmo não pode ser feito longo o suficiente para que 
os efeitos de extremidade sejam de fato desprezíveis. Assume-se a validade de uma 
equação do tipo 
( )2122
2
2
2
14
RR
RRLT
−
×=
ω
piηα 
onde α representa uma constante de calibração do aparelho. Como se nota a constan-
te de calibração pode ser determinada para uma dada geometria, se houver a disponi-
bilidade de um líquido de viscosidade conhecida e algum método de medição do tor-
que. Idealmente a constante deve ser independente da velocidade de rotação. 
 
Lei de Stokes: considera-se o movimento relativo entre um fluido, incompressível e 
Newtoniano, em regime permanente e laminar, macroscopicamente unidirecional, e 
uma esfera, tal como indica a Figura 27. Um sistema de coordenadas esféricas, 
centrado na esfera pode ser utilizada para descrever o movimento do fluido. Pode-se 
mostrar que, para condição em que: 
η
ρ
=
VR2Re
 ≤ 1 
 
(onde representam: Re , o adimensional de Reynolds; R , o raio da esfera; ρ, a massa 
específica do fluido; η, a viscosidade do fluido; V , a velocidade relativa entre a esfera 
e o fluido), se desenvolve um campo de pressões dado por: 
θηρ cos
2
3 2
0 





−−=
r
R
R
VgzPP 
 
e um campo de velocidades específico, ao qual está associado o tensor: 
θητ θ sen2
3 4






=
r
R
R
v
r 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
Figura 27: Sistema de coordenada esférico, definido para o fluxo de um fluido em torno 
de uma esfera. 
 
Considerando a área de atuação de cada um destes esforços, a condição de simetria, 
e integrando sobre a superfície da esfera, r = R; resulta uma força de interação entre o 
fluido e esfera, devida unicamente ao movimento relativo: 
 
F = 6piηRV Re ≤ 1 ; Lei de Stokes. 
 
Exemplo: Determine o tempo de repouso, necessário para que uma inclusão esférica 
de alumina (ρ Al2O3 = 3000 kg/m3, R = 25µm) flutue até o topo de um banho de aço 
líquido (1600 0C, ρ aço = 7000 kg/m3, η = 7x10-3 Pa . s), de profundidade igual a 2m, 
Figura 28. Esta condição representa uma condição limite de flotação, para a qual não 
se consideram os efeitos benéficos oriundos do choques entre as inclusões, seguidos 
 
 
 
36 
de coalescimento das mesmas. Justamente por isto é instrutivo por ressaltar o efeito 
do tamanho da inclusão sobre a velocidade de ascensão. 
Neste caso o balanço de forças relativo ao movimento da esfera se escreve 
∑= forças Resultante ou 
→→→
++= impuxoesoOAl FEpzR
..
3
.
3
4
32
ρpi 
.
33
..
3 6
3
4
3
4
3
4
3232
zRgRgRzR açoOAlOAl ηpiρpiρpiρpi −+−= 
 
onde Fi representa a força de interação entre inclusão e o aço – esta pode ser 
estimada pela Lei de Stokes, mas é uma hipótese a verificar. Neste caso se escreve 
equação que pode ser facilmente integrada com as condições iniciais que expressam 
a situação mais desfavorável à limpeza interna do aço; em t=0 a inclusão se encontra 
no fundo da panela e estática, portanto : 0z;0z
.
== . 
 
 
 
Figura 28: Forças atuantes sobre uma inclusão imersa em aço líquido. 
 
Algumas possíveis soluções são esquematizadas na Figura 29. VT representa a 
velocidade terminal de ascensão da partícula, velocidade máxima possível de ser 
atingida durante a ascensão; portanto aquela que corresponde à aceleração nula: 
TaçoOAl RVgRgR piηρpiρpi 63
4
3
40 33
32
−+−= 
 
 
 
37 
)(
9
2
32
2
OAlAçoT gRV ρρη
−= 
 
O período de tempo necessário para se alcançar tal velocidade pode ser 
excessivamente longo, impraticável para as condições industriais, caso em que a 
trajetória da inclusão poderia ser -- facilmente – descrita após integração da equação 
diferencial 
 
Figura 29: Velocidade da inclusão ao longo da altura. 
 
precedente. Entretanto, no caso da solução (c) se realizar, se pode aproximar o 
movimento a um movimento não acelerado, com valor de velocidade: 
 ( )
32
2
9
2
OAlaçoT gRv ρρη
−= 
desde que a porção da trajetória onde ocorre a maior parte da aceleração seja 
pequena em relação à altura total de líquido. Então 
 ( ) ( ) s/m00077,0300070008,91025
1079
2
v
26
3T =−⋅×⋅××
=
−
−
 
 
que corresponde a um tempo de flutuação igual a [ ][ ] [ ]ssm
m
v
L
t
T
2571
/00077,0
2
=== 
Esta resposta permanece válida se o número de Reynoldsfor inferior a 1: 
caso contrário outra expressão para a força de interação precisa ser considerada. 
10385,0
107
00077,07000)1025(22
3
6
<=
×
××××
==
−
−
η
ρ vR
Re 
 
Exemplo: A análise anterior sugere tempos expressivos para que as inclusões se 
separem de um aço em repouso. Poderia ser o caso em que, ao invés de em repouso, o 
aço estivesse sendo agitado por meios eletromagnéticos ou por insuflação de gás, tal 
que a panela pudesse ser considerada um sistema perfeitamente agitado; neste tipo de 
sistema não existe gradientes e o conteúdo do mesmo é uniforme. Levando esta 
hipótese em consideração poderia ser escrito um balanço de conservação de inclusões 
(utilizando o volume de aço como Volume de Controle) na forma: 
 
Taxa de 
acumulação de 
inclusões no VC 
 
 
= 
Taxa de 
formação via 
reação química 
 
 
+ 
Taxa de remoção na 
interface metal / 
refratários 
 
 
+ 
Taxa de remoção 
na interface metal / 
escória 
 
Desprezando a formação de inclusões e sua retirada por acoplamento aos refratários; 
assumindo que a taxa de remoção na interface metal escória seja proporcional à 
 
 
 
38 
superfície de contato e à probabilidade de choque das inclusões contra esta última (isto 
é, à concentração de inclusões no aço), se pode escrever então: 
CAKV dt
dC
−= 
expressão que prevê um decaimento exponencial do conteúdo de inclusões. A se fiar 
nesta análise a agitação seria extremamente prejudicial no que toca ao grau de limpeza 
interna dos aços; entretanto é prática corriqueira agitar o aço para facilitar a separação 
das inclusões. 
 
Esta aparente contradição se explica. A agitação promove o choque e o coalescimento 
das inclusões (coalescimento de inclusões líquidas; formação de cachos ou clusters de 
inclusões sólidas), o que implica em maior tamanho médio das mesmas e melhor 
separação. 
 
Modelos podem ser construídos, para situações específicas, de modo a contabilizar o 
coalescimento e flotação de inclusões. Por exemplo, de acordo com a teoria de 
SAFFMAN&TURNER o numero de choques entre inclusões de duas classes, por e-
xemplo i e i+n , seria proporcional às concentrações de inclusões em cada classe, 
WnixNixN )()( + , onde W representa uma constante de proporcionalidade depen-
dente do mecanismo de choque atuante. Como sugere a Figura 30 o choque entre 
partículas de classe i com partículas de classe i+n dá ensejo ao nascimento de partí-
culas da classe k. 
 
 
 
Figura 30 – Esquemático de distribuição de tamanho de inclusões. 
 
Quando os choques são devidos unicamente à turbulência devida à agitação, a cons-
tante de proporcionalidade citada seria dada por 
0,5
.
µ
ε3
n)]xR(i[xR(i)α{1,31W 




++= 
 
onde ε [m2/s3] e µ [m2/s] representam, respectivamente, a taxa de dissipação de ener-
gia e a viscosidade cinemática do aço. Outros mecanismos podem estar ativos, por 
exemplo movimento browniano de inclusões pequenas; choques devidos à diferença 
 
 
 
39 
de velocidade de ascensão propiciada pelo empuxo que age sobre partículas de dife-
rentes diâmetros (contribuição de Stokes). Propõe-se, para este último mecanismo. 
 
xR(i)n)xR(i3n)}xR(i{xR(i)
9η
g∆ρ2π
2W −+++= 
 
Onde, ∆ρ representa a diferença entre as massas específicas do aço e inclusão, g a 
aceleração da gravidade e η a viscosidade dinâmica do aço. Então, W = ∑ Wi 
 
A análise seguinte diz respeito à aplicação deste modelo ao caso do desgaseificador 
RH. Neste reator, após o período de desgaseificação e de queima de carbono, o qual 
se dá por meio de oxigênio soprado por lança na câmara de vácuo, adiciona-se alumí-
nio para desoxidação. O resultado é um elevado conteúdo de inclusões que precisam 
ser removidas; promove-se então a circulação do aço entre panela e câmara de vá-
cuo, durante cerca de 10 minutos, para obter a separação desejada. 
 
De modo a contabilizar a separação das inclusões na interface metal/escória admite-
se que a panela pode ser sub-dividida em dois reatores, Figura 31; 1- o reator inferior, 
de mistura perfeita, onde ocorre o choque e coalescimento de inclusões de acordo 
com o modelo já descrito; 2- um reator superior, de volume restrito à proximidade da 
interface metal-escória, que perde todas as inclusões nele contido num dado intervalo 
de tempo de processamento. 
 
Como primeira aproximação se admite eficiência completa de captura de inclusões na 
interface. Além do mais, o volume deste reator virtual, e logo a quantidade de inclu-
sões efluentes, depende do tamanho de inclusão a ser considerado. Por exemplo in-
clusões maiores flotam mais rápido o que implica em reator mais profundo. 
 
 
Figura 31 – Divisão esquemática da panela em reator de coalescimento e de flotação. 
 
No reator de flotação as velocidades são significativamente menores, caracterizando 
um fluxo laminar, o que permite estimar a velocidade de flotação a partir da equação 
de Stokes. 
 
O reator em questão compreende uma panela de 315 toneladas de capacidade e a taxa 
de circulação é da ordem de 180 ton/min; a quantidade inicial de oxigênio (no instante de 
adição de alumínio) era de cerca de 600 ppm. Para este aparelho se obteve 
 
 
 
40 
 D0,0066S0,0162
100
Q
0,006960,008714]/sε[m 32 −−+= 
onde Q é a taxa de circulação(ton / min), S é o diâmetro da perna de subida (m) e D é 
o diâmetro da perna de descida(m). 
 
Uma comparação entre resultados industriais e modelo de choque-coalescimento de 
inclusões é mostrada na Figura 31. Se a circulação (que responde pela agitação do 
conteúdo da panela não se atingiria o grau de limpeza almejado). 
 
Figure 31 – Evolução do conteúdo médio de oxigênio; modelo vs industria. 
 
 
Entretanto, agitação excessiva pode promover turbulência junto à interface metal-escória, 
o que pode resultar em aumento do número de inclusões, Figura 32. Se, para as várias 
operações retratadas, os tempos médios de tratamento forem da mesma ordem de 
grandeza, então a variável no eixo das abcissas, ε . t [kJ/tonelada ] poderá ser tomada 
como uma medida direta do Aporte específico de Energia, ε [watts/tonelada], i.e. da 
intensidade de agitação. A figura sugere que, inicialmente, para valores pequenos e 
crescentes de intensidade de agitação o grau de limpeza interno do aço aumenta. Isto se 
deveria às correntes de convecção geradas pela injeção do gás, que arrastariam as 
inclusões na direção da camada de escória de cobertura, onde seriam absorvidas. 
Adicionalmente, das colisões entre inclusões de pequeno porte, também ensejada pela 
turbulência devida à injeção de gás, resultariam inclusões de maior tamanho capazes de 
ascender no líquido à maior velocidade. Entretanto, excesso de agitação poderia 
provocar turbulência em demasia na interface metal/escória de cobertura. No evento 
desta última não ser capaz de resistir aos esforços cisalhantes o efeito prático do 
excesso de agitação seria a emulsificação da escória. Deste modo o aço seria 
contaminado por inclusões advindas da escória. 
 
Exemplo: Uma das últimas possibilidades de flotação de inclusões em aço se 
encontra no distribuidor do lingotamento contínuo, Figura 33. Normalmente se 
emprega uma camada de escória de proteção por sobre o aço. As propriedades desta 
escória devem ser tais que atendam a uma série de objetivos: redução de perdas 
térmicas por condução e radiação; isolamento químico contra a atmosfera 
circundantes, de modo a reduzir o pick-up de nitrogênio e oxigênio, isto é, reoxidação 
e consequente formação de novas inclusões; capacidade de absorção de inclusões. 
 
 
 
 
41 
 
a
aço
P
Lg
RTn
ρ
ε += 1ln
*
; 
*
n (mols/s), vazão do gás; R (J/K.mol) constante dos gases; T 
(K) temperatura absoluta; açoρ (kg/m3) massa específica do aço; g (m/s2) aceleração da gra-
vidade; L (m) profundidade de injeção; aP (Pa) pressão ambiente ; t (s) tempo de agitação. 
Figura 32: Influência da energia de agitação sobre o nível delimpeza interno. 
 
 
Para atender este último objetivo, que se traduz em maior nível de limpeza interna do 
aço, a composição da escória precisa ser escolhida de modo que a mesma apresente 
algumas características, por vezes conflitantes: a emulsificação da camada de escória 
deve ser evitada, o que requer altos valores de tensão interfacial e altos valores de 
viscosidade; entretanto altos valores de viscosidade dificultam o misturamento entre a 
escória e as inclusões porventura capturadas. A escória deve ser líquida e de massa 
específica bastante diferente da massa específica do aço, para que se mantenha a 
sepação entre os dois líquidos. A escória deve apresentar afinidade química pela 
inclusão, o que indica, mais simplesmente, que a escória não pode ser saturada nos 
componentes da inclusão, caso em que não haveria força motriz termodinâmica para a 
dissolução da mesma. A temperatura influencia todas as variáveis citadas mas, modo 
geral, alterar a temperatura de processo de modo a controlá-la não representa uma 
opção viável. 
 
Deste modo resta ainda modificar a geometria interna do distribuidor (posicionar 
obstáculos direcionadores de fluxo) de modo a alterar a trajetória do aço (e logo das 
inclusões) tal que curtos circuitos sejam evitados. Pode-se estimar a eficiencia de 
flotação num distribuidor a partir de um balanço de conservação de inclusões, 
considerando o movimento composto da inclusão, Figura 34, 
 
 
 
 
 
42 
 
Figura 33: Esquema de um sistema de lingotamento contínuo. 
 
 
 
 
 
Figura 34: Composição de movimentos, na separaçào de inclusões. 
 
onde se admite, no sentido longitudinal que a velocidade de inclusão seja igual à 
velocidode média do aço, e na vertical igual à velocidade de ascensão em meio 
estático (Lei de Stokes, por exemplo). Não se considera choque das inclusões, 
seguido de aglomeração; não se considera a formação de novas inclusões bem como 
o crescimento devido à reação de reoxidação; de modo análogo não se leva em conta 
a interação entre inclusões e paredes refratárias. Então, Figura 35, um balanço de 
 
 
 
43 
inclusões contempla o fato que as mesmas atravessam uma área de seção reta igual 
a Hw em função do arraste pelo aço e que, eventualmente, uma fração destas 
 
 
 
 
Figura 35: Volume de controle para balanço de inclusões. 
 
ascendam até a área de interface ∆z.w, com velocidade Vasc. Matemáticamente o 
balanço se escreve: 
Cwzv
m
CmwH
s
mV
m
CmwH
s
mV
m
CmwHz
dt
d
asc
zzaçozaço
...
][.][.].[.. 323233
∆−
+




 −
××





−




 −
××





=











 −∆ ∆+
 
onde C representa a concentração de inclusões. Note-se que este tratamento admite 
que existe mistura perfeita no interior de cada volume infinitesimal de controle; neste a 
concentração é uniforme desde o fundo do distribuidor até a interface com a escória. 
Em regime permanente: 
CwzvCwHVCwHV asczzaçozaço .........0 ∆−−= ∆+ 
 
a qual corresponde à equação diferencial C.v
dz
dC
.H.V ascaço −= 
Integradando com as condições de contorno (z = 0 ;C = C0) e (z = L ;C = CS) resulta 
L
VH
V
C
C
aço
ascS ×−=
.
ln
0
 
De acordo com esta expressão a separação de iinclusões será tanto mais efetiva 
quanto: 1- maior a velocidade de ascensão, basicamente controlada pelo seu tamanho 
 
 
 
44 
desde que as outras variáveis estão usualmente fora de controle; 2 – maior o 
comprimento do distribuidor; 3- menor a distância a ser vencida até a camada de 
escória; 4- menor a velocidade de lingotamento, isto é maior o tempo de residência. 
 
Exemplo: em um tratamento muito comum, o distribuidor é considerado uma combi-
nação de Mistura Perfeita, de fluxo Piston e zona Morta, com características parciais 
destas. Um reator de Mistura Perfeita é aquele no interior do qual a intensidade de 
misturamento é tão pronunciada que inexistem gradientes da variável de interesse, 
Figura 36. Esta restrição não implica em ausência de variação ao longo do tempo. 
 
Quando uma quantidade finita e limitada de uma espécie química, alcunhada de tra-
çador, é adicionada na entrada do reator, esta se espalha instantaneamente no volu-
me do reator e se reporta diluída da na saída do reator. Portanto, tão logo é adiciona-
do, começa a sair do sistema. 
 
 
Figura 36: esquemático de reator de mistura perfeita. 
 
Um traçador, no contexto desta discussão, não altera o campo de velocidades pré-
existente no reator. Idealmente, o mesmo material que constitui a alimentação, com 
algum “gene” modificado. Por exemplo, um isótopo radioativo. Mais comumente em 
modelagem a frio, envolvendo água como fluido de trabalho, soluções salinas ou áci-
das; em aciaria, um metal de baixo ponto de fusão e solúvel, como: cobre. Ou uma 
inclusão pode ser considerada como traçador. 
 
Outro reator idealizado é o de fluxo em Piston. Geralmente, representado na forma 
tubular, com um piston a controlar o fluxo, figura 37, 
 
Figura 37: esquemático do reator de fluxo piston. 
 
para ressaltar a ausência de misturamento no sentido radial e longitudinal. Portanto, 
um traçador adicionado na entrada do reator só aparece, e se reporta de uma só vez 
na saída, após o intervalo de tempo requerido para o piston atravesse todo o compri-
 
 
 
45 
mento do reator. Então, após Q
VRT = , onde T representa o tempo nominal de resi-
dência. 
 
A zona morta corresponde a uma parte do volume útil do reator que pouco interage do 
ponto de vista físico-químico com as demais. Geralmente, associada a zonas de circu-
lação. 
 
Técnicas de modelagem física sugerem metodologias para a divisão do reator em fra-
ção de Fluxo em Piston, Mistura Perfeita e Zona Morta, por exemplo Figuras 38 e 39. 
 
 
Figura 38: Divisão do distribuidor em volumes característicos. 
 
Pelas próprias características de operação, zonas Mortas e de Mistura Perfeita são 
inevitáveis; em geral, procura-se determinar a configuração geométrica do distribuidor 
(barreiras, diques e inibidores de turbulência) capazes garantir fluxo pistonado. Fluxo 
pistonado é a característica que se procura para evitar mistura entre diferentes tipos 
de aço, para se maximizar a separação (flotação de inclusões). 
 
Figura 39: os vários reatores em um distribuidor 
 
Exemplo: Um distribuidor de capacidade nominal de 30 toneladas tem a forma apro-
ximada de um paralelepípedo, tal que o nível de aço seja H =1,2 m; a largura W = 0,8 
m e o comprimento L = 4,5 m; lingota com velocidade igual a 3 toneladas/minuto. Des-
te modo, o tempo nominal de residência seria dado por 
 
minutos10
oton./minut3
toneladas30
T == 
Este seria o tempo que uma inclusão teria disponível para se separar do aço e ser 
absorvida pela camada de escória se o distribuidor fosse um reator de Fluxo em Pis-
ton. Entretanto, modelagem física deste distribuidor, tendo sugerido que apenas 25% 
 
 
 
46 
do mesmo se comporta como fluxo em Piston indica que o tempo crítico para a flota-
ção não seria tão elevado. Após um período de tempo de cerca de 5,2T0,25 = mi-
nutos, inclusões não removidas por flotação seriam remetidas ao molde. Inclusões de 
alumina, de cerca de 50 µ m de diâmetro seriam separadas? Para responder a 
esta questão, vamos admitir validade da lei de Stokes, para o cálculo da velocidade 
terminal de ascensão da inclusão no aço: 
 
( )inclusãoaço
2
T 9
gR2
V ρρ
η
−= 
 
Adotando η = 6x 310 − Pa.s; açoρ = 7000 kg/m3; inclusãoρ = 3000 kg/m3, e desde que g 
= 9,81 m/s2 e R = 25 x 610 − m, se observa que TV = 9,08 x 
410 − m/s. Como o trajeto a 
ser percorrido é de 1,2 m, o tempo necessário para separação completa seria 
 
==
T
flotação V
H
t 22 minutos >> 2,5 minutos. 
 
Nestas condições parte das inclusões seria arrastada ao molde. A porção de aço isen-
ta de inclusões, pela ação da flotação, figura 40, pode ser estimada igualando-se os 
tempos de trajeto nas direções vertical e horizontal, isto é, 
=
T
f
V
H
150 s (2,5 minutos) ou =fH 0,136 m. 
 
 
Figura 40: divisãoesquemática do distribuidor. 
 
Segundo este raciocínio o tamanho crítico de inclusão seria 
( ) 2inclusãoaçoT R
1
ρρg2
ηH9
v
HT0,25
−
== ou 2
3-
R
1
4000x9,81x2
106x1,2x9
150 = 
Então, inclusões maiores que R ~ 75 µ m ( TV ~ 8x 310 − m/s;Re = 1,38) teriam a opor-
tunidade de serem completamente absorvidas pela camada de escória de cobertura. 
 
Este resultado se encontra ligeiramente acima do que se considera aceitável para a 
validade da lei de Stokes, Re << 1, de modo um valor mais preciso pode ser obtido 
com a utilização do fator de fricção. 
 
 
 
47 
 
Exemplo: Considere-se que as dimensões de um distribuidor sejam 1,5 (profundida-
de) x 0,8 (largura) x 4,5 (comprimento) m3 , e que o mesmo lingota a 5 ton/minuto. A 
primeira terça parte do distribuidor se comporta como um reator no qual existe mistura 
perfeita no sentido vertical, mas inexiste mistura no sentido longitudinal; o restante do 
mesmo como um reator no qual não existe mistura nas direções longitudinal e vertical. 
Qual a fração de inclusões de 45 mµ de diâmetro que é arrastada ao molde? A inclu-
são é de sílica, para a qual 2SiOρ = 2,32 g/cm3; considere para o aço η = 7 x 10-3 Pa.s. 
Na primeira porção do distribuidor(mistura perfeita) pode-se estimar a fração de inclu-
sões retiradas como: 
 
H
Vt vasof
e-1r
−
= 
onde ft representa o tempo de residência do aço nesta parte. 
 
Viscosidade dos fluidos mais comuns em metalurgia 
 
A viscosidade de um fluido foi originalmente definida a partir da proposição de Newton, 
para um fluxo laminar e unidirecional 
dx
dVy
yz ητ −= 
ou, “Tensão de cisalhamento = Viscosidade x Gradiente de velocidade”. Deste modo, 
em termos de dimensões se encontra, no sistema internacional: 
[ ]


















×=


















m
s
m
idadeVis
m
s
mKg
cos2
2
 
isto é, para unidade de viscosidade [ ] [ ]sPsmKg a11 ⋅=⋅⋅ −− . 
De modo análogo, para o sistema CGS, [g.cm-1.s-1] = Poise, o que permite estabelecer 
para fins de transformação, [kg.m-1.s-1] = [1000g . (100.cm)-1 . s-1] = 10[g.cm-1.s-1] isto é 
Pa . s = 10 Poise. 
A viscosidade da água a 200C e 1 atm de pressão vale 1centi-poise, 1cp, o que 
permite formar uma base a respeito da viscosidade relativa de gase e de outros 
fluidos. 
Um fluido é dito ser Newtoniano se a viscosidade do mesmo é função de Estado, ou 
seja, função apenas da Temperatura, Pressão e da Composição. Muitos fluidos ou 
misturas de importância industrial não o são; a Reologia trata dos casos mais comple-
xos, o que está fora do contexto destas anotações. 
 
Observa-se, experimentalmente, ser pequena a influência das variações de pressão 
sobre o valor da viscosidade. Os efeitos mais significativos são devidos à composição 
e temperatura. Independente do fato da verdadeira relação funcional entre viscosidade 
e temperatura (para uma dada compoisção do fluido) ser ou não do tipo exponencial é 
comum a apresentação de dados na forma de equação de Arrhenius: 
RT
E
e
∆
±
= .0ηη 
onde η representa a viscosidade; η0 um fator pré exponêncial; ∆E a energia de 
ativação do fluxo viscoso; R a constante dos gases; T a temperatura absoluta. 
Convencionalmente se escolhe o sinal do expoente de modo que a Energia de 
Ativação resulte positiva. 
 
 
 
48 
 
Viscosidade de gases 
A literatura apresenta valores experimentais de viscosidade de gases, na forma de 
Tabela ou Gráficos, por exemplo Figura 41. Observe: 1- que a viscosidade dos gases 
aumenta com o aumento de temperatura; 2- que ordem de grandeza de viscosidade 
dos gases ( ~ 3x10-2 cP) é duas vezes inferior à da água (1 cP) 
 
Figura 41: Viscosidade de alguns gases em pressões ordinárias. 
 
Embora seja perfeitamente válido retratar a dependência experimental entre 
viscosidade e temperatura por uma equação do tipo de Arrhenius, existem 
proposições para o cálculo da mesma. Por exemplo (Bird, Geiger) a teoria do Par 
Potencial, de Lennard-Jones, permite estimar a Energia Potencial correspondente à 
aproximação de duas partículas desde a distância infinita até uma distância genérica r, 
vide Figura 42, por meio da equação 













 σ
−




 σ
ε=
612
p
rr
4E , onde σ representa o distanciamento entre as partículas para Ep 
igual a zero, ε representa o valor mínimo de energia ou valor de equilíbrio, o qual o-
corre para interespaçamento igual a δ. 
 
Propõe-se calcular a viscosidade a partir de 
ησ
η
Ω
×
=
−
.
.1067,2][ 2
5 TMpoise 
onde representam: M , a massa atômica do gás [g/mol], Tabela VII; T , a temperatura 
absoluta [K]; σ , um parâmetro de Lennard-Jones [Angstrom], Tabela VII; Ωη = integral 
de colisão, também um parâmetro advindo da teoria, a ser obtido em função da tempe-
ratura e das características do gás, estas últimas expressas através do parâmetro de 
Lennard- Jones 
Bk
ε
, Tabela VII. A Tabela VIII permite estabelecer o relacionamento 
citado acima. 
 
 
 
 
49 
 
 
 
Figura 42 – Função Potencial de Lennard-Jones potential descrevendo a interação de 
duas moléculas não polares. 
 
TabelaVII Parâmetros de Lennard – Jones para alguns gases 
 
Parâmetros de 
 Lennard Jones 
Parâmetros de 
 Lennard Jones 
Substância Massa 
Molecular 
 g/mol 
σ [
0
A ] ε/KB [
0K] 
Substância Massa 
Molecular 
 g/mol 
σ [
0
A ] ε/KB [
0K] 
Gases leves Poliatômicos 
H2 2,016 2,915 38,0 Ar 28,97 3,617 97,0 
He 4,003 2,576 10,2 O2 32,00 3,433 113,0 
Gases Nobres N2 28,01 3,798 71,4 
Ne 20,183 2,789 35,7 CO 28,01 3,590 110,0 
Ar 39,944 3,418 124,0 CO2 44,01 3,996 190,0 
Kr 83,80 3,498 225,0 SO2 64,07 4,290 252,0 
Xe 131,3 4,055 229,0 F2 38,00 3,653 112,0 
 Cl2 70,91 4,115 357,0 
 Br2 159,83 4,268 520,0 
 CH4 16,04 3,822 137,0 
 
Tabela VIII Valores da Integral de colisão Ωη em função de KB.T/ε. 
KB .T/ε Ωη KB .T/ε Ωη 
0,3 2,785 6,0 0,8963 
0,4 2,492 8,0 0,8538 
0,5 2,257 10 0,8242 
0,6 2,065 20 0,7432 
0,7 1,908 40 0,6718 
0,8 1,780 60 0,6335 
0,9 1,675 80 0,6076 
1,0 1,587 100 0,5882 
2,0 1,175 200 0,5320 
4,0 0,9700 400 0,4811 
 
 
 
Exemplo: Seja estimar a viscosidade do oxigênio a 800 k. Da Tabela VII se tem MO2 = 
32,00 [g/mol], σ = 3,433 
0
A , e, ainda, sendo 
BK
ε
= 113, se obtém, para T = 800 K 
 
 
 
 
50 
T/(ε / kB) Ωη 
6 0,8963 
7,08 0,8734 (valor obtido por interpolação linear) 
8 0,8538 
Portanto, T = 800k, 
8734,0433,3
800321067,2]P[ 2
5
o2 ×
××
=η
−
, 
Existem fórmulas para o cálculo da viscosidade de gases compostos, isto é, soluções 
gasosas de dois ou mais constituintes. Uma que funciona razoavelmente bem sugere 
estimar 
2
1
2
1
ii
iii
mistura
MX
MX
∑
∑
=
ηη 
onde representam : i, o constituinte da fase gasosa ; Xi , a fração molar da espécie i; 
Mi , a massa atômica de i; ηi , a viscosidade da espécie i pura. 
 
Metais líquidos e suas ligas 
 
A viscosidade de metais (puros) pode se encontrada em diversas fontes de literatura, 
por exemplo Figura 43 e Tabela IX . Observe que parece bastante razoável caracteri-
zar a dependência η versus T na forma: 
RT
E
e RT
E
303,2
loglog; 00
∆
+==
∆+
ηηηη 
 
 e que a viscosidade dos metais decresce com o aumento de temperatura. 
 
 
Figura 43: Valores experimentais de viscosidade de metais 
 
 
 
51 
 
Na ausência destes dados propõe-se calcular a viscosidade de metais líquidos e puros 
[Geiger] a partir de Variáveis Reduzidas ou Adimensionais seguintes: 
Viscosidade Reduzida: 
MRT
N0
2
* ηδ
=η 
Temperatura Reduzida: 





 ε
=
B
*
K
TT 
Volume Reduzido: 3
*
n
1V
δ
= 
 
onde representam: η , a viscosidade do metal; δ , o espaçamento interatômico no cris-
tal a 0 k, vide Tabela X; N0 , o número de Avogadro, 6,02 x 1023;; M , a massa atômica; 
R, a constante dos gases; T, a temperatura absoluta; 
BK
ε , um parâmetro de Len-
nard-Jones, Tabela X; n, o número de átomospor unidade de volume. Sugere-se ain-
da que existe uma relação, Figura 44, do tipo 
BK
ε
 = 5,2 x Tfusão [K]. 
 
Figura 44: Relação entre temperatura de fusão de metais e parâmetros de Lennard-
Jones. 
 
Existiria ainda uma relação única, válida para todos os metais, interligando as variá-
veis reduzidas definidas acima, do tipo η* (v*)2 vs T* , tal como mostrado na Figura 45. 
Como indica o exemplo a seguir a aplicação do método não deve apresentar qualquer 
dificuldade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
3*2**
2**
)(
10226,0)(
10679,015129,0)(
TTT
V +−=η 
 
Figura. 45: Curva de correlação para viscosidade de metais líquidos. 
 
Tabela IX: Viscosidade de metais; mpη viscosidade no ponto de fusão; RT
E
o e
∆
= ηη 
 
Metal mpη 
 mili Pa.s 
oη 
Mili Pa.s 
E∆ 
kJ/mol Metal 
mpη 
 mili Pa.s
oη 
mili Pa.s 
E∆ 
kJ/mol 
Ag 3,88 0,4532 22,2 Nb - 
AI 1,30 0,1492 16,5 Nd - - 
As Ni 4,90 0,1663 50,2 
Au 5,0 1,132 15,9 Os - - 
B - P 1,71 - - 
Ba - - Pb 2,65 0,4636 8,61 
Be - - Pd - - - 
Bi 1,80 0,4458 6,45 Pr 2,80 - - 
Ca 1,22 0,0651 27,2 Pt - - - 
Cd 2,28 0,3001 10,9 Pu 6,0 1,089 5,59 
Ce 2,88 - Rb 0,67 0,0940 5,15 
Co 4,18 0,2550 44,4 Re - - - 
Cr - - Rh - - - 
Cs 0,68 0,1022 4,81 Ru - - - 
Cu 4,0 0,3009 30,5 S ~12 - - 
Fe 5,5 0,3699 41,4 Sb 1,22 0,0812 22,0 
Fr 0,765 - - Se 24,8 - - 
Ga 2,04 0,4359 4,00 Si 0,94 - - 
Gd - - Sn 1,85 0,5382 - 
Ge 0,73 - Sr - - - 
Hf - Ta - - - 
Hg 2,10 0,5565 2,51 Te ~2,14 - 
In 1,89 0,3020 6,65 Th - - - 
Ir - - Ti 5,2 - - 
K 0.51 0,1340 5,02 TI 2,64 0,2983 10,5 
La 2,45 - U 6,5 0,4848 30,4 
Li 0,57 0,1456 5,56 V - - - 
Mg 1,25 0,0245 30,5 W - - - 
Mn - - Yb 1,07 - - 
Mo - Zn 3,85 0,4131 12,7 
Na 0,68 0,1525 5,24 Zr 8,0 - - 
 
 
 
 
53 
Tabela X: Valores empiricamente determinados de δ e ε/KB 
 
Metais δ [Α] ε/KB Metais δ [Α] ε/KB 
Na 3,84 1970 Rb 5,04 1600 
K 4,76 1760 Ag 2,88 6400 
Li 3,14 2350 Cd 3,04 3300 
Mg 3,20 4300 In 3,14 2500 
Al 2,86 4250 Sn 3,16 2650 
Ca 4,02 5250 Cs 5,40 1550 
Fe 2,52 10900 Au 2,88 6750 
Co 2,32 9550 Hg 3,10 1250 
Ni 2,50 9750 PB 3,50 2800 
Cu 2,56 6600 Pu 3,10 5550 
Zn 2,74 4700 
 
Exemplo: Estime a viscosidade do alumínio a 10000C, sabendo-se que a massa 
específica do mesmo é da ordem de Alρ = 2700kg/m3. 
Da Tabela X, se obtém δ = 2,86 x 10-10
 
m e sendo Alρ l = 2700 kg/m3 , resulta: 
3
3
/]/[
]/[
mAldemols
molkg
mkg
M Al
Al
=
ρ
 e 
3
3
/]/[]/[
]/[
mátomosmolatomosN
molkg
mkg
M oAl
Al
=×
ρ
 
23
3 1002,61027
2700
××
×
=
−
n e ( )3102333
*
1086,21002,6
1027
2700
1
−
−
××





××
×
== δnV 
 
A mesma Tabela X, informa 4250=
BK
ε
, isto é, 
4250
1273
k
TT
B
*
=
ε
= , de modo que η* pode 
ser facilmente obtido da Figura 45, ou da relação 
3*2**
2**
)(
10226,0)(
10679,015129,0)(
TTT
V +−=η e, deste, o valor de viscosidade 
pretendido. 
 
 
Não existem proposições gerais, semelhantes à anterior, válidas para ligas metálicas, 
mas é possível encontrar valores experimentais para alguns casos específicos, vide 
por exemplo na Figura 46 dados do sistema Al - Si. 
Observe-se, do diagrama de fases, que o rápido aumento de viscosidade, a partir e 
abaixo de uma certa temperatura crítica, pode ser creditado ao aparecimento de cris-
tais provindos da solidificação. Abaixo desta temperatura crítica os dados são para 
viscosidade de uma mistura mecânica entre fase líquida e cristais dispersos na mes-
ma; portanto os valores de viscosidade aparente desta mistura são consideravelmente 
maiores e crescentes quando cresce a proporção de sólidos. Polpas e lamas são ma-
teriais comumente transportados em plantas metalúrgicas, de modo que situações 
como estas são de interesse prático. 
 
 
 
54 
 
 
 
Figura 46: Precipitação de cristais em ligas e a resultante viscosidade aparente. 
 
Escórias: As escórias mais comuns em metalurgia são aquelas em que a sílica toma 
parte importante. Portanto é comum realizar uma análise da influência da composição 
e temperatura tomando como ponto de partida a estrutura da sílica. Por exemplo a 
Figura 47 apresenta representações bi-dimensionais de um cristal perfeito de sílica e 
de sílica líquida. Observa-se que : 
•
 a “unidade estrutural” da sílica corresponde a um tetraedro onde os vértices são 
ocupados por átomos de oxigênio e o centro é ocupado por um átomo de silício; 
um átomo de oxigênio posicionado em um dado vértice é compartilhado por dois 
tetraedros, formando uma rede tri-dimensional. 
•
 a estrutura do líquido é semelhante à do sólido, apenas com a introdução de des-
continuidades (de ligações) em função da agitação térmica; quanto maior a tempe-
ratura maior o número de ligações entre tetraedros rompidas. 
resulta, em função da existência desta rede tridimensional, ainda que imperfeita, que a 
viscosidade da sílica líquida (e por consequência de escórias silicatadas) é alta, com-
parativamente a outros líquidos. 
 
 
 
55 
 
A Figura 48 apresenta um esquema relativo à introdução de um óxido básico na estru-
tura da sílica. Um óxido básico seria aquele capaz de se dissociar de acordo com a 
reação MO = M2+ + O2- , com relativa facilidade. A figura sugere que a adição do óxido 
básico é capaz de romper as ligações entre tetraedros, reduzindo o grau de polimeri-
zação da rede, e, em consequência diminuir os valores de viscosidade. 
A Tabela XI apresenta, também em forma esquemática, a sequência de despolimeri-
zação da rede em função da adição do óxido básico perfeito – aquele que se dissocia 
completamente. 
Note-se a progressiva desvinculação dos tetraedros, até que para a composição refe-
rente ao ortosilicato a escória seja estruturalmente constituída por SiO44- , M2+ . Ainda 
que, para razão O : Si > 4, seria possível encontrar O2- livre num banho constituído por 
SiO44- , M2+, O2-. 
Como a atividade de O2- é uma medida da basicidade implica, de acordo com este 
modelo de dissociação, que escórias básica seriam aquelas nas quais haveria ánion 
oxigênio livre, isto é, sempre que O:Si > 4; por outro lado escórias ácidas seriam a-
quelas para as quais O:Si < 4. A composição do ortosilicato representaria a situação 
limite, 2 MO . SiO2 . 
 
 
 
Figura 47: Representação esquemática da estrutura da sílica. 
 
 
 
56 
 
 
Figura 48: Representação qualitativa, bidimensional, dos efeitos da introdução de óxi-
do básico à estrutura da sílica. 
. 
Tabela XI: Relações estruturais em líquidos do tipo óxido-silicato 
 
átomos oxigênio 
átomos silício 
Fórmula molecular 
binária 
Estrutura Ion silicato equiva-
lent 
2:1 SiO2 todos vértices do 
tetraedro comparti-
lhados 
rede 3-D Infinita 
5:2 MO.2SiO2 uma ligação rompida, 
por tetraedro 
(Si6O15)6- ou 
(Si8O20)8- 
3:1 MO.SiO2 duas ligações rompi-
das, por tetraedro 
(Si3O9)6- ou 
(Si4O12)8- 
7:2 3MO.2SiO2 três ligações rompi-
das, por tetraedro 
(Si2O7)6- 
4:1 2MO.SiO2 
(ortosilicato) 
todas ligações rompi-
das 
tetraedros discretos 
(SiO4)4- 
 
Na realidade, para uma dada atividade de O2-, coexistem as várias unidades estrutu-
rais, a transformação seria gradativa, sem solução de continuidade. Por exemplo, de 
acordo com a teoria de MASSON, as reações seguintes seriam responsáveis pela 
destruição gradativa do polímero ( de fórmula geral )1(2 13 +− +nnn OSi ): 
 SiO44- + SiO44- = Si2O76- + O2- 
Si2O76- + SiO44- = Si3O108- + O2- 
 Si3O108- + SiO44- = Si4O1310- + O2- 
 
indicando a participação(relativa) maior das unidades estruturais mais simples com o 
aumento da basicidade. O conhecimento da atividade de O2-, isto é, da basicidade, 
bem como das constantes de equilíbrio permite calcular as atividades (concentrações) 
dos anions silicato. 
Por outro lado não existem óxidos básicos perfeitos, a dissociação sendo sempre par-
cial, o que sugere a necessidade de se medir o grau de basicidade-acidez dos mes-
 
 
 
57 
mos. A Tabela XII oferece uma base de classificação de óxidos, quanto à basicidade, 
com referência à interação eletrostática cátion - oxigênio. 
 
TabelaXII TIPOS DE LIGAÇÕES E FORÇA DE ATRAÇÃO ENTRE CÁTIONS E O2- 
Oxido 
( )2ac RR
z
+
 
fração iônica número de co-
ordenação 
Caráter do óxi-
do 
Na2O 0,18 0,65 6 6 to 8 rompedores de redes 
ou óxidos básicos 
BaO 0,27 0,65 8 8 to 12 || 
SrO 0,32 0,61 8 || 
CaO 0,35 0,61 6 || 
MnO 0,42 0,47 6 6 to 8 || 
FeO 0,44 0,38 6 6 || 
ZnO 0,44 0,44 6 || 
MgO 0,48 0,54 6 || 
BeO 0,69 0,44 4 || 
Cr2O3 0,72 0,41 4 Anfóteros 
Fe2O3 0,75 0,36 4 || 
Al2O3 0,83 0,44 6 4 to 6 || 
TiO2 0,93 0,41 4 || 
SiO2 1,22 0,36 4 4 formadores de redes 
ou óxidos ácidos 
P2O5 1,66 0,28 4 4 || 
 
Esta tabela é construída assumindo que a estabilidade estrutural do óxido pode ser 
medida pela força de atração eletrostática entre o cátion e o anion comum O2-, 
2
ea )rr(
ZF
+
α=
+
. Naturalmente quanto maior o valor de ( )2ea rr
z
+
 maior a afinidade M-O, 
menor o grau de dissociação, maior o grau de acidez do óxido. 
 
Após estas considerações se pode argumentar que um gráfico qualitativo expressando 
a dependência entre viscosidade/basicidade e a composição de um silicato seria do 
tipo mostrado na Figura 49. 
 
 
Figura 49: Variação esquemática de viscosidade e basicidade de um banho MO:SiO2. 
 
Valores de viscosidades de escórias estão disponíveis na literatura (por exemplo S-
LAG ATLAS, segunda edição, 1995; Thermochemistry for Steelmaking, Addison-
 
 
 
58 
Wesley, 1964) na forma gráfica, Figura 50. SiO2 é um óxido ácido por excelência, CaO 
é um óxido básico por excelência, enquanto o Al2O3 pode ser classificado como anfó-
tero. Isto significa que, em escórias relativamente básicas, a alumina se comporta co-
mo ácido, formador de rede. Nesta situação seria razoável agrupar SiO2 e Al2O3 como 
ácidos e CaO como básico; deste modo o grau de polimerização da rede, a viscosida-
de do líquido, seria definida pela quantidade relativa de CaO. Note-se, de fato, que as 
curvas de isoviscosidade se assemelham, grosseiramente, às curvas de iso-
composição em CaO. 
 
Existem também relações analíticas entre viscosidade, temperatura e composição da 
escória. Em geral estas relações empregam coeficientes que expressam o grau relati-
vo de acidez/basicidade de cada componente da escória, obtidos através da correla-
ção entre dados experimentais e composição. Muito comum é correlacionar a viscosi-
dade a um índice de basicidade, por exemplo a basicidade binária simples 
%CaO/%SiO2 , ou algum outro índice de basicidade de definição diversa. Em geral a 
faixa de composição em que estas expressões são aplicáveis é limitada, o que não 
conspira contra sua utilidade. Mais recentemente se introduziu o conceito de Basici-
dade Ótica de óxidos. Nesta escala o óxido de referência é o CaO, o qual apresenta 
basicidade ótica unitária De acordo com a proposição original a basicidade ótica é 
uma medida direta da facilidade do óxido em liberar elétrons, 
 
Figura 50: Curvas de isoviscosidade – Poise -- em sistemas ternários SiO2 – Al2O3 – 
CaO, a 1500 C. 
 
Λ(Basicidade Ótica) = capacidade do óxido em liberar elétrons 
 capacidade do CaO em liberar elétrons 
 
 
 
 
59 
e pode ser medida pelo desvio de freqüência da banda de absorção associada com a 
transição 6s-6p na região UV do espectro eletromagnético. A basicidade ótica assim 
medida é independente da temperatura. Nem todo óxido se mostra passível de ter sua 
basicidade ótica medida diretamente; deste modo em alguns casos a basicidade foi 
estimada por meio da relação que interliga a mesma à eletronegatividade de Pauling, 
26,0
74,0
−
=Λ
X
 (X representa a eletronegatividade de Pauling) e mesmo através de 
correlações com dados experimentais. Deste modo existe alguma divergência, para 
alguns óxidos, sobre qual valor de basicidade aplicar. Uma compilação, retirada do 
Slag Atlas, é apresentada na Tabela XII. 
 
 
Tabela XII : valores de basicidade ótica de alguns óxidos. 
Oxido 
Eletrone-
gatividade 
de Pauling 
Recomen-
dado Oxido 
Eletronega-
tividade de 
Pauling 
Recomen-
dado 
Li2O 1,0 1,0 P2O5 0,40 0,40 
Na2O 1,15 1,15 As2O3 
K2O 1,40 1,4 Sb2O3 
Rb2O SO3 0,33 
Cs2O 1,7 CrO 
BeO 0,605 MnO 0,59 1,0 
MgO 0,78 0,78 FeO 0,51 1,0 
CaO 1,0 1,0 Côo 0,475 0,95 
SrO 1,10 1,1 NiO 0,475 0,95 
BaO 1,15 1,15 CuO 0,43 0,9 
B2O3 0,42 0,42 ZnO 0,55 0,9 
Al203 0,60 0,605 CdO 0,51 
CO2 PbO 0,48 1,15 
SiO2 0,48 Cr2O3 0,8 
GeO2 Fe2O3 0,48 0,8 
TiO2 0,61 CaF2 0,43 ; 0,67 
VO2 
 
 
No caso de escórias a basicidade ótica pode ser calculada como 
ii
iii
escória Xn
Xn
Σ
ΛΣ
=Λ 
onde representam : Xi , a fração molar do óxido i; Ni , o número de átomos de oxigênio 
por mol de óxido i; Λi , a basicidade ótica de i. 
 
Argumenta-se que correlações envolvendo propriedades físico-químicas de escórias 
apresentam faixa de aplicabilidade maior, são mais precisas, se realizadas em termos 
de basicidade ótica, ao invés de outros índices. Por exemplo, Figura 51, 
 
1000/
)88,277,1exp(
44,015,0
1][ln
1
T
Poise corr
−Λ+−
+
Λ−
=η 
 
A basicidade ótica corrigida deve ser estimada recalculando a contribuição dos óxidos 
mais básicos, considerando a neutralização do elétron extra do AlO45-, por exemplo 
Na+ + AlO45- = NaAlO44-, a qual reduz a concentração efetiva de espécies destruidores 
de rede. A neutralização parcial citada acima seria necessária para a formação de 
espécies do mesmo estado de oxidação que o elemento estrutural de formação de 
rede SiO44-. 
 
 
 
 
60 
 
Figura 51: parâmetros para calculo de viscosidade 
 
Exemplo: A Figura 52 representa esquematicamente as possíveis espécies silicata-
das que podem estar presentes em uma escória a base de Sílica. Com base nestas 
espécies escreva as reações ( −44SiO e −2O participam das reações) que expressam a 
influencia de 
−2Oa sobre o processo de polimerização e justifique os efeitos sobre a 
viscosidade. Com base no parâmetro 2)/( ca RRz + classifique os óxidos MnO(0,83) e 
BaO(0,53) em ordem de basicidade crescente, e justifique esta classificação. 
 
Exemplo: Determine, para uma escória ternária CaO-Al2O3-SiO2, a 1773 oK, o valor 
de viscosidade quando a basicidade ótica vale 0,6. Identifique, nos binários dói siste-
ma CaO-SiO2-Al2O3 as composições referentes a este valor de basicidade ótica e 
trace então a curva de isoviscosidade. Compare os valores preditos e experimentais. 
Considere como valores de basicidade ótica 1,0 ; 0,605 e 0,48 para o CaO, Al2O3 e 
SiO2, respectivamente. 
 
 
Figura 52: anions em escória silicatada 
 
 
 
61 
 
TURBULÊNCIA 
Nos exemplos abordados até aqui foi sempre ressaltada uma característica dos fluxos: 
o de ser laminar. Parte considerável dos sistemas metalúrgicos envolve turbulência; 
como ficará claro ao regime turbulento se associam altas taxas de transporte de quan-
tidade de movimento, de calor, de massa. Deste modo turbulência, em alguns casos, é 
desejável. Portanto seria conveniente verificar se e como o tratamento dispensado aos 
fluxos laminares pode ser aproveitado para analisar fluxos turbulentos. 
Reynolds foi um dos pioneiros do estudo de fluxo turbulentos bem com da transição 
entre os regimes laminar e turbulento. Numa experiência clássica introduziu um filete 
de tinta junto ao eixo longitudinal de um tubo transparente e de seção reta constante o 
qual transportava água. No caso de fluxo laminar observou a ausência de intermistu-
ramento na direção radial; o filete se mantinha íntegro ao longo do tubo; no caso do 
fluxo turbulento existia dispersão radial e longitudinal da tinta, o filete gradualmente se 
desfazia. 
A Figura 53 é relativa a um experimento no qual um cilindro é acelerado no interior de 
um líquido estático (partículas suspensas no fluido permitem a visualização de “linhas 
de fluxo”). Quando a velocidade relativa fluido/cilindro é pequena – instantes iniciais da 
aceleração – o fluxo se mostra patentemente laminar; as linhas se fluxo se acomodam 
ao redor do cilindro, se partindo ao longo da linha central no ponto de impacto e vol-tando a se encontrar na parte de trás do mesmo. Nesta situação uma série de partícu-
las colocadas num dado ponto perto da parte frontal descreveria sempre a mesma 
trajetória, ou linha de fluxo. A partir de uma velocidade crítica o fluxo turbulento se ins-
taura. O conceito de linha de fluxo deixa de fazer sentido. Partículas colocadas suces-
sivamente em um dado ponto perto da parte frontal não descreveriam a mesma traje-
tória, embora um caminho médio pudesse ser definido após a repetição do experimen-
to por um número elevado de vezes. Redemoinhos ou vórtices aparecem junto à parte 
posterior do cilindro, e se mostram variáveis quanto ao tamanho, posição, intensidade; 
de fato, modo geral, redemoinhos podem ser criados e destruídos continuamente. 
 
 
Figura 53: Visualização de fluxo turbulento ao redor de um cilindro. 
 
De modo análogo a Figura 54 corresponde ao fluxo turbulento de um líquido em um 
canal. Como antes partículas, dispersas no fluido, permitem a visualização do fluxo; 
uma câmera fotográfica percorre um trajeto ao lado do canal, com velocidade constan-
te. Os experimentos permitem identificar a superposição de dois movimentos princi-
 
 
 
62 
pais: um movimento médio global do fluido ao longo do canal, caracterizado pela va-
zão média e área da seção reta; um movimento relativo rotatório de fluido, caracteri-
zado por redemoinhos, tal como se estes fossem transportados por convecção ao lon-
go do canal. Os redemoinhos ficam explícitos quando a velocidade de translação da 
câmera se faz igual à velocidade de convecção do mesmo. 
 
Figura 54 : Visualização de fluxo turbulento em um canal. 
Como se nota caracteriza-se fisicamente a estrutura do fluxo turbulento em termos da 
presença de redemoinhos, dinâmicos no espaço e tempo. 
 
Valores experimentais de velocidade longitudinal, medida em um ponto fixo, quando 
um fluido atravessa um tubo, em regime turbulento e macroscopicamente permanente, 
são apresentados na Figura 55. Como citado anteriormente, fluxos turbulentos são 
caracterizados pela presença de vórtices, os quais são, por natureza, dinâmicos no 
espaço e no tempo; portanto fluxos turbulentos são inerentemente transientes. Neste 
caso, por “fluxo turbulento e macroscopicamente permanente” se quer indicar um no 
qual a vazão média no tubo é mantida constante. Os dados desta figura foram obtidos 
pra número de Reynolds da ordem de 6500VRe
_
=
η
×ρ×
=
D
 e revelam a aparente 
erraticidade, caocidade da função vx ao longo do tempo. Note-se como as flutuações 
em velocidade podem ser da mesma ordem de grandeza que o valor médio de veloci-
dade. 
Este comportamento pode ser qualitativamente explicado, Figura 56, admitindo a 
translação de redemoinhos ao longo do tubo, à medida que as medições prosseguem. 
Do ponto de vista mecânico ao vetor velocidade média do fluido se superpõe a veloci-
dade de rotação relativa ao vórtice. Portanto quando um redemoinho girando no senti-
do anti-horário atinge o sensor este marca um valor de velocidade menor que o médio; 
quando um redemoinho girando no sentido horário atinge o sensor este marca um 
valor de velocidade maior que o médio. 
 
Como se verá os redemoinhos podem ser responsabilizados pelo transporte 
convectivo {Q.M., Calor, Massa} na direção radial, o que justifica a dispersão 
observada. 
 
As equações de Navier Stokes e da continuidade continuam sendo aplicáveis a fluxos 
turbulentos. Entretanto a presença de vórtices (por natureza tridimensionais, 
dinâmicos no espaço e tempo) exclui, modo geral, uma solução analítica. Portanto a 
solução é via de regra numérica, embora em alguns casos sejam possíveis 
aproximações que permitem o cálculo de valores médios. Estas aproximações 
envolvem o emprego de modelos macroscópicos de turbulencia e não serão tratadas 
aqui. 
 
 
 
63 
 
 
 
Figura 55: variação de velocidade instantânea em ponto fixo de medição, no interior de 
um fluxo em regime turbulento. 
 
 
 
 Movimento macroscópico na direção OX 
 
 Composição de movimentos e 
 Redemoinhos dinâmicos 
 
 
Figura 56: Superposição de movimentos num fluxo turbulento 
 
 
 
 
64 
Existem outras complicações. Observa-se, num fluxo turbulento, vórtices de tamanhos 
variados; em outras palavras uma distribuição de tamanhos ou um Espectro de 
Vórtices. Considera-se que os redemoinhos deste espectros atuam em conjunto, tal 
como num conjunto de engrenagens acopladas, Figura 57. Um processo turbulento é 
um processo dissipativo de energia. Portanto se faz necessário o aporte constante de 
energia mecânica para sustentar a turbulência (de outro modo a turbulência decai, 
desaparece); eventualmete esta energia é transformada em calor. 
 
 
 
Figura 57: Acoplamento de redemoinhos. 
 
Admite-se então que a energia mecânica, cedida por alguma fonte externa aos 
maiores redemoinhos, se transmite até os menores redemoínhos, de tamanho 
microscópico, onde se dá dissipação em calor, por efeito viscoso. 
Neste caso, para se descrever a estrutura do fluxo turbulento, se requer refinar a 
malha de integração até que a mesma seja mais fina que o menor redemoinho a ser 
descrito. Esta tarefa se mostra inviável no caso de sistemas macroscópicos, por 
exemplo : fluxo no interior de gás e liquido no interior de um Alto Forno, num LD, num 
conversor de refino de mate de cobre. Por extensão, notadamente inviável quando se 
procura descrever o movimento do ar atmosférico, das gotículas dispersas, da nuvens, 
necessário para a previsão do tempo. Como o método numérico exige, modo geral, 
esquemas iterativos nos quais os valores das variáveis em um dado estágio de 
simulação sejam armazenados nos nós da malha, a capacidade de computação 
(memória para armazenamento e velocidade de cálculo) exigida seria proibitiva. 
A turbulência não é um processo caótico, probabilístico; a turbulência é um processo 
determinístico no sentido em que existem e se conhecem as equações capazes de 
descrever a estrutura do mesmo. Isto é, sendo conhecidas exatamente as condições 
iniciais e de contorno. A determinação experimental do valor exato de qualquer 
variável é impossível; em qualquer processo de medição existem, sempre, erros 
aletórios e fixos. A equação de conservação de quantidade de movimento é do tipo 
não linear, o que indica que alguns dos coeficentes das variáveis envolvidas não são 
constantes e isto impõe dificuldades adicionais. Compare-se, por exemplo o cálculo do 
fluxo de calor undirecional e em regime permanente através de uma parede plana 
simples: condutibilidade térmica constante vs condutividade térmica dependente da 
temperatura. No caso de fluxos turbulentos as equações descritivas, não lineares, se 
mostram extremamente sensíveis aos valores impostos de condições iniciais e de 
contorno. Como sugere a Figura 58 os erros inerentes à determinação dos valores de 
contorno e iniciais se propagam durante o processo de cálculo; existem incertezas 
quanto aos dados de entrada, existem incertezas quanto aos resultados. Na situações 
normais a incerteza é aceitável. 
 
 
 
65 
 
Figura 58: Propagação de erros em sistemas comuns de Engenharia 
 
No caso de sistemas sistemas dinâmicos não lineares, turbulência, a propagação dos 
erros é catastrófica, Figura 59. Portanto seria preciso conhecer quase com exatidão os 
valores de condições de contorno e iniciais, para tornar os erros aceitáveis. Como o 
fluxo é turbulento as condições de contorno e iniciais devem ser transientes se se 
deseja reproduzir a exata natureza do mesmo; também esta transiência se transmite, 
via procedimento de cálculo, à resposta. 
 
 
Figura 59: Propagação de erros no caso de turbulência. 
 
Como resultado a Simulação Numérica Direta (SND), que consiste da resolução 
numérica das equações de conservação de quantidade de movimento e da 
continuidade, para fluxos turbulentos,só é viável em sistemas de pequenas 
dimensões. Na maior parte dos casos a Engenharia, por consequência, se contenta 
em conhecer valores médios correspondentes ao fluxo, em lugar do valor real, 
instântaneo. 
 
 
 
66 
Exemplo: Como demonstração da instabilidade de algumas soluções matemáticas, 
mesmo as mais simples, considere o problema da população de peixes em um poço . 
Pode-se argumentar que quanto maior a população do ano anterior maior a 
probabilidade de acasalamento e procriação; por outro lado(de acordo com Malthus) 
quanto maior a população maior será a competição por alimentos e outros insumos, o 
que representa um freio natural ao crescimento desordenado. Portanto um modelo 
simples, que permite calcular a população de um ano, 1ix + a partir da população do 
ano anterior, ix , seria tal como )x1(xKx ii1i −=+ . Utilize uma planilha para 
construir gráficos que fronecem a população anual, para valores diferentes de K. 
 
 
Este tratamento envolve a aplicação do Operador Média sobre todos os termos das 
equações que descrevem o fenômeno em estudo. Se A(t) representa uma variável 
qualquer, função de t, então, por definição, o Operador Média aplicado sobre a mesma 
produz como resultado: 
∫
−
=
2
1
)(1
12
_
t
t
dttA
tt
A 
 
onde 
_
A representa o valor médio de A(t) no intervalo t1 < t < t2 . A partir deste valor 
médio se pode calcular a Flutuação de A(t) em torno da média, isto é 
Valor real, instântaneo = Valor médio + Flutuação 
A'A A 
_
+= 
Decorre da aplicação do Operador Média sobre ambos os membros da equação 
precedente 
'AAA +=
−
=
'AA + = 'AA + ou 'A =zero 
que a média das Flutuações é igual a zero. Para se atingir este resultado levou-se em 
consideração duas propriedades do Operador: 
1- a propriedade Distributiva, isto é, ” a média de uma soma é igual à soma das 
médias das parcelas ”; 
2- “ a média de uma constante é igual à própria constante”. 
 
Outras propriedades do Operador média seriam: 
3- “ a média do produto entre uma constante e uma variável é igual ao produto da 
constante pela média da variável” 
4- os operadores média e derivada são intercambiáveis na ordem, ou “a média da 
derivada de uma função é igual à derivada da média”. 
 
Considere-se então o fluxo turbulento de um fluido Newtoniano e incompressível, para 
o qual se deseja determinar os valores médios de variáveis, como P...V,V,V zyx . As 
equações de continuidade e Navier Stokes podem ser alteradas pela aplicação do 
operador média. Por exemplo a equação de continuidade pode ser reescrita em 
termos de Valor Médio e Flutuações: 
)( zyx V
z
V
y
V
xt ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
− ρρ 
( ) ( ) ( ))( ''' zzyyxx VV
z
VV
y
VV
xt
+
∂
∂
++
∂
∂
++
∂
∂
=
∂
∂
− ρρ 
 
 
 
 
67 
Aplicando o Operador Média sobre ambos os membros da equação, considerando as 
propriedades já citadas do operador se encontra, por exemplo, 
( ) xxx
x
xxxxxx V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
V
x
VV
x ∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
'
'
'''
 
 
o que nos conduz a que a equação da continuidade em termos de valores médios 
mantém a mesma forma da equação original, 
zyx V
z
V
y
V
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=0 
 
 
De modo análogo, equação de Navier-Stokes, em termos de valores instântaneos: 
xxzxyxxxx gVVV
z
VV
y
VV
x
P
x
V
t
ρηρρ +∇+






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂ 2
 
 
fornece, por exemplo, 
( )( )[ ] [ ]
''''
''''''
.
yxxyyxyx
yxxyyxyxyyxxyx
VV
y
VV
y
VV
y
VV
y
VVVVVVVV
y
VVVV
y
VV
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=+++
∂
∂
=++
∂
∂
=
∂
∂
ρρρρ
ρρρ
 
 
e então, 
''''
''''
yxxyyxyx
yxxyyxyx
VV
y
VV
y
VV
y
VV
y
VV
y
VV
y
VV
y
VV
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ρρρρ
ρρρρ
 
 
ou 
''
yxyxyx VVy
VV
y
VV
y ∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ ρρρ 
 
Portanto é fácil notar que, quando este procedimento é aplicado a todos os termos, os 
termos em produto de flutuações não se anulam, de modo que a equação de Navier-
Stokes adquire a forma, 






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
+∇+






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
''''''
2
zxyxxx
xxzxyxxxx
VV
z
VV
y
VV
x
gVVV
z
VV
y
VV
x
P
x
V
t
ρρρ
ρηρρ
 
 
 
 Termo em Dissipação de Energia 
 
 
Não fossem estes termos extras em flutuações a equação em termos de valores 
médios seria idêntica à original, de modo que a mesma metodologia empregada para 
a descrição de fluxos laminares poderia ser empregada para a determinação de 
 
 
 
68 
valores médios em fluxos turbulentos. Claramente o termo em dissipação não pode 
ser desprezado pois as flutuações são a tradução matemática da turbulência; algum 
tipo de formulação deve ser proposta para permitir que seja avaliado. 
A contribuição turbulenta permite definir os tensores de Reynolds, relativos às 
flutuações, por exemplo 
''
yxxy
tturbulento
xy vvρ=ℑ=ℑ , etc 
e daí, por definição, um parâmetro denominado Viscosidade Turbulenta: 
dy
VdVV xturbulentayxtyx .'' ηρ −==ℑ 
 
Observe-se que: 
1- a viscosidadade laminar, ou molecular, η , é uma propriedade de estado do fluido, 
função da Temperatura, Pressão, composição e estado físico 
2- a viscosidade turbulenta, ηturbulenta, não é propriedade de estado do fluido,mas 
propriedade do campo de velocidades do fluxo, de modo que seu valor não é, em 
geral, conhecido a priori. 
 
Apesar desta restrição a consideração de ηturbulenta permite rescrever a equação de 
Navier Stokes como: 
xx
turbulentaarla
zxyxxxx
gV
VV
z
VV
y
VV
x
p
x
V
t
ρηη
ρρ
+∇+
+






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
2min )(
 
 
 
onde, também por definição se encontra a Viscosidade Efetiva, 
turbulentaarminlaefetiva η+η=η ou tef η+η=η . 
Este algebrismo nos permite reencontrar a forma original da equação de Navier 
Stokes, porém em termos de valores médios. Tal algebrismo não representa nenhuma 
solução pois a viscosidade efetiva, ou a turbulenta, não é conhecida. 
 
Resulta que, de modo a determinar o campo de velocidades em regime turbulento se 
faz necessário fornecer um Modelo de Viscosidade Turbulenta, um conjunto de 
equações que permita calcular ηt em termos de valores médios. 
 
Por exemplo o modelo k - ε, onde k representa a energia cinética de turbulência, 




 ++ 2'z
2'
y
2'
x VVV2
1
, e ε representa a taxa de dissipação de energia fornece 
onde Cη simboliza uma constante empírica, ajustável. 
ε
ρη η
2
..
KCt = 
O modelo k - ε fornece equações diferenciais para o cálculo destas grandezas, em 
termos de valores médios, e portanto o procedimento de cálculo, ITERATIVO, se 
assemelha a: 
 
1 – Definição de um campo inicial de velocidades médias; este campo pode ser 
arbitrário porém deve ser proximo da solução de modo a apressar a convergência; 
2 – Resolução simultânea das equações de Continuidade, de Navier-Stokes e do 
Modelo de viscosidade, para a determinação um “novo” campo de velocidades 
médias; 
3 – Repetição da etapa 2 até convergência. 
 
 
 
69 
 
Exemplo: A Figura 60 apresenta o campo de velocidades médias no interior da panela 
de contendo aço líquido, o qual se encontra agitado por meio de insuflação de gás 
inerte. O elemento injetor se encontra posicionado no fundo da panela, no centro ou 
deslocado do centro a 1/3 do raio. Destacam-se como produtos do modelo de 
turbulência, a direção de cada vetor velocidade, seu sentido e magnitude. Poderiam 
ser fornecidos também mapas de K e ε. 
 
 
 
 
Figura 60: Campo de velocidades no interior de panela com insuflação de gás inerte, 
calculado com auxílio do modelo K-ε. 
 
Modelos baseados em equações diferenciais para avaliação da viscosidade turbulenta 
são geralmente denominados modelos MICROSCÓPICOS. Podem ser oferecidos 
modelos MACROSCÓPICOS de viscosidade turbulenta. Por exemplo SAHAI e 
GUTHRIE realizaram medições do campo de velocidades no interior de uma panela 
(modelos de panelas, contendo vários líquidos – água, metal de WOOD, silicone...) 
agitados por gás, Figura 61. Osvalores de velocidade medidos por sensores 
colocados em vários pontos da panela se mostraram função de parametros como: 
• Geometria da panela: L , a altura de líquido; D, o diâmetro da panela. 
• Propriedades do fluido : ρ , a massa específica do líquido; η, a viscosidade do 
líquido. 
• Fluxo de gás de agitação : Q , a vazão do gás. 
 
Em seguida, para cada combinação de variáveis, os autores ajustaram o valor de ηt tal 
que as equações de continuidade e Navier-Stokes (em termos de valores médios) 
reproduzissem o campo medido. Análise dimensional e estatística deste confronto 
permitiu sugerir uma fórmula de cálculo de viscosidade turbulenta – em princípio válida 
apenas para este tipo de sistema- do tipo: 
3
1
3t
D
Qg
L105,5 






ρ×=η − 
onde todas as variáveis devem ser cotadas no Sistema Internacional. 
 
 
 
 
70 
Exemplo: Considerando dados típicos de aciaria como L = 2,8 m; ρaço = 7000 kg/m3; D 
= 3,0 m; Q = 1 Nm3/minuto; se encontra ηt ≅ 62 kg m-1 s-1 , valor que pode ser 
comparado à propriedade do fluido η = 7 x 10-3 kg m-1 s-1 , isto é, 410≅l
t
η
η
 
o que mostra ser, neste caso, a viscosidade turbulenta muito mais significativa que a 
laminar. Ressaltando portanto que o termo em dissipação não pode ser desprezado. 
 
 
 
 
 
Figura 61: Esquema experimental de Sahai e Guthrie. 
 
 
Pelos menos nos casos mais simples, como exemplificado acima, se torna possível 
mensurar o campo de velocidades, tanto em termos de valores médios como em ter-
mos de flutuações. Em um certo experimento sensores de velocidade foram imersos 
em água, contida em recipiente de forma cilíndrica e agitada por injeção de ar. Foram 
produzidas medidas de velocidade longitudinal, radial e azimutal as quais, após o tra-
tamento matemático descrito anteriormente, resultaram em valores médios e flutua-
ções; estas se mostraram dependentes de variáveis como diâmetro do cilindro, nível 
de líquido, posição do sensor e vazão de gás. Uma amostra dos resultados é apresen-
tada na Figura 62. Observe-se que embora a velocidade radial média seja pequena 
comparada com a velocidade longitudinal média as intensidades das flutuações nestes 
sentidos são da mesma ordem de grandeza; isto é as energias cinéticas de turbulên-
cia, “quadrado das flutuações em velocidade”, são aproximadamente iguais. De novo 
ressalta-se a importância das flutuações, típicas de regimes turbulentos 
 
De modo geral, em fluxos turbulentos se definem Propriedades de transporte tais 
como: 
 
ηt em termos de vx’ vy’ ; Mecânica dos Fluidos. 
kt em termos de vx’ T’ ; Transferência de Calor. 
Dt em termos de vx’ C’ ; Transferência de Massa. 
 
e sendo único o mecanismo de transporte (convectivo via vórtices) responsável por 
estas grandezas, se pode argumentar ser a contribuição turbulenta muito mais 
importante que a laminar, em todos os casos. 
 
 
 
71 
 
 
Figura 62: Energia cinética média vs Energia cinética de turbulência, em sistema 
particular. 
 
Exemplo: viste o site www.TMS.org, pertencente à The Minerals and Materials 
Society. Clique no link da JOM (Journal of Materials) e então procure por artigos do 
autor B.J. Thomas. Escolha aquele entitulado Transient Fluid Flow in a Continuous 
Steel-Slab Casting Mold ; Brian G. Thomas, Quan Yuan, S. Sivaramakrishnan, 
and S.P. Vanka (http://www.tms.org/pubs/journals/JOM/0201/Thomas/Thomas-
0201.html)