Trigonometria 1 e 2

Prévia do material em texto

Trigonometria: Teste 01
		1.
		Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30 e 60,  hipotenusa igual a L e catetos igual a L2L2 e L(√3)2L(3)2.  Indique a opção correta para o cos 30:
	
	
	
	√2222;
	
	
	√3232;
	
	
	1313;
	
	
	√3333.
	
	
	3232;
	
Explicação:
Hipotenusa = L .  Cateto menor = L/2 oposto ao ângulo menor 30º . Cateto maior = L(√3)/2 oposto ao ângulo maior 60º . ..Então cateto adjacente a  30º = L(√3)/2   e  cos 30° = L(√3)/2 / L  =  (√3)/2  .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Num triângulo retângulo ABC a hipotenusa é AB  forma o ângulo A com o lado AC. Marque a opção correspondente ao valor da razão  BC / AC .
	
	
	
	sec A          
	
	
	cos A     
	
	
	tg A      
	
	
	 cotg A
	
	
	sen A        
	
Explicação:
O cateto BC é oposto ao ângulo A .  A relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo A = BC/AC = tg A.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Num triângulo retângulo ABC o maior lado AB mede 12m e forma um ângulo A de 30 graus com o lado AC. Qual a medida em metros do lado BC?
	
	
	
	4V 3 
	
	
	6V2 
	
	
	 6V3
	
	
	12V3  
	
	
	   6
	
Explicação:
sen 30º =  BC/ AB     ½  = BC / 12      BC = 6 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Num triângulo retângulo isósceles os catetos são iguais . Se a hipotenusa mede 4 metros, qual a medida dos catetos em metros ?
	
	
	
	2
	
	
	2 raiz de 3
	
	
	4 raiz de 2
	
	
	4 raiz de 3
	
	
	2 raiz de 2
	
Explicação:
Usando Pitágoras , se a hipotenusa é a , e os catetos são  b e c  temos a2 = b2 + c2  ..
Como a=4 e   b = c  , resulta  42 = 16 = 2b2   .. daí b2 = 8 .
Então  b= c=  V8 = 2V2.  
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30 e 60,  hipotenusa igual a L e catetos igual a L2L2 e L(√3)2L(3)2.  Indique a opção correta para o sen 30:
	
	
	
	√2222
	
	
	√3333
	
	
	1212
	
	
	1313
	
	
	√3232
	
Explicação:
Hipotenusa = L . Cateto menor = L/2 oposto ao ângulo menor 30º . Cateto maior = L V3/2 oposto ao ângulo maior 60º . ..
Então seno 30º = cateto menor / hipotenusa   = (L/2) /L = 1 /2 . 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30 e 60,  hipotenusa igual a LL e catetos igual a L2L2 e L(√3)2L(3)2.  Indique a opção correta para o cos 60:
	
	
	
	1212;
	
	
	√2222;
	
	
	√3333.
	
	
	1313;
	
	
	√3232;
	
Explicação:
Hipotenusa = L . Cateto menor = L/2 oposto ao ângulo menor 30º . Cateto maior = L V3/2 oposto ao ângulo maior 60º . Então cateto adjacente a 60º = L/2 e cos 60º = (L/2) /L = 1 /2 . 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. Portanto o outro lado medirá ?
	
	
	
	O outro lado medirá 8 cm.
	
	
	O outro lado medirá 6 cm.
	
	
	O outro lado medirá 3 cm.
	
	
	O outro lado medirá 2 cm.
	
	
	O outro lado medirá 10 cm.
	
Explicação:
 A diagonal e os lados do retângulo formam um triângulo retângulo  . A diagonal é a hipotenusa e os lados são os catetos.
Aplicando Pitágoras fica  :  10²  =  8² + x²    ...  100 = 64  + x²   ... x² = 36   ...  x = 6 cm . O valor negativo - 6  não atende  como medida do lado .
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Num triângulo retângulo ABC a hipotenusa AB forma o ângulo A com o lado AC. Marque a opção correspondente ao valor da razão AC / BC .
	
	
	
	sen A
	
	
	sec A
	
	
	cotg A
	
	
	cos A
	
	
	tg A
	
Explicação:
A hipotenusa é AB e portanto os catetos são AC e  BC . O ângulo A fica no vértice A , oposto ao lado BC . Então  AC /BC  pedida é a relação entre a o cateto AC e o cateto BC que é oposto ao ângulo A.   Trata-se do inverso da tangente de A , portanto é a cotangente de A. 
Teste 02
		1.
		João deseja apoiar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que ela forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede João deve apoiar a escada no solo?
	
	
	
	6 metros
	
	
	12 metros
	
	
	8 metros
	
	
	10 metros
	
	
	4 metros
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa com 8m. A distância d no piso, até a parede,  é o cateto adjacente ao ângulo 60º da escada com o piso . A altura na parede  é o outro cateto.  
Então, com esses dados pode-se usar :  cosseno 60º = cateto adjacente / hipotenusa .
Daí, substiuindo os dados :  1/2 = d / 8  , donde, igualando os produtos cruzados,  resulta :  2d = 8   e   d = 4m .
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma aeronave levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, a aeronave se encontra a uma altura de:
	
	
	
	7 Km
	
	
	6Km
	
	
	8 Km
	
	
	4 Km
	
	
	5 Km
	
Explicação:
A altura H é o cateto oposto ao ângulo de 30º.  A aeronave  percorre 8 km subindo , é a hipotenusa. .
Então sen 30º = H/ 8   ... 1/2 =  H/8 ..   H = 8/2=4 km 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma escada de 6,5 metros de comprimento esta apoiada em um muro de 6 metros de altura. Determine a que distância do muro essa escada se encontra apoiada.
	
	
	
	2,5 metros do muro.
	
	
	2 metros do muro
	
	
	5 metros do muro.
	
	
	1 metro do muro
	
	
	3 metros do muro.
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa a com 6,5m. A altura do muro 6m  é um cateto b.  A distância c no piso, da escada até o muro , é o outro cateto ..
Então, sabendo a hipotenusa e um cateto , para calcular o outro cateto c pode-se usar Pitágoras:  Hipotenusa a² = cateto b² + cateto c².
Daí, substiuindo os dados :  6,5²  = 6²  + c²  , donde  c² = 42,25 - 36 = 6,25 
Então  c = raiz quadrada de 6,25 =  ( e  só interessa a raiz positiva) = 2,5 m. .
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Um poste tem uma altura aproximada de 3√33 , perpendicular ao solo, e é fixado por cabos de aço esticados, com uma ponta presa no seu topo e a outra presa no solo a 3 metros da base do poste. Qual o ângulo que cada cabo faz com o solo ?
	
	
	
	75 graus
	
	
	15 graus
	
	
	60 graus
	
	
	30 graus
	
	
	45 graus
	
Explicação:
Deve fazer um desenho sobre o enunciado que forma um triângulo retângulo . O cateto oposto ao ângulo A pedido é a altura = 3raiz3 . O cateto adjacente é a distância = 3 . Então podemos usar , por definição, tg do ângulo A = 3 raiz3 /3  =  raiz3.   Como pela tabela tg 60º = raiz3  , então o ângulo A = 60º .
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma escada deve ser apoiada na parede, formando um ângulo de 60º com o solo, de modo a alcançar 17 m de altura na parede .Qual deve ser a distância no solo , entre os pés da escada e a parede ? Considerar V3 =1,7.
	
	
	
	10V3
	
	
	20V3
	
	
	10
	
	
	30
	
	
	20    
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa , a altura 17 é o cateto  oposto a 60º e a distância x no solo é o outro cateto que queremos calcular.
Para calcular um cateto, conhecendo o outro , podemos usar a tangente do ângulo oposto.
Então tg 60 =  17 / x ou V3 = 17 /x    ou 1,7 = 17 /x donde x = 17 /1,7 = 10 ... x = 10 metros.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere um observador, de altura desprezível , vê o topo do prédio sob um ângulo de 60 graus quando sua distância até o prédio é de 30 metros da base e logo em seguida o mesmo observador começa a caminhar em sentido contrário ao prédio, x metros, onde volta observar o topo do prédio sob um ângulo de 30 graus. Determine o valor de x , em metros, percorrido pelo observador.
	
	
	
	25
	
	
	15
	
	
	60
	
	
	80
	
	
	30
	
Explicação:
Fazendo um desenho observamos que há um primeiro triângulo retângulo com hipotenusa igual à primeira linha de visada com 60º em relação ao solo até o topo do prédio , cuja altura H é um cateto oposto aos 60º,  e a distância no solo até o prédio é outro cateto com 30m .  .Assim H / 30 = tg 60º = raiz3  ... donde H = 30 raiz3 ...
Quando de desloca x metros forma-se novo triângulo retângulo , sendo a nova linha de visada a hipotenusa fazendo 30º com o solo que éo novo cateto com medida  30 + x .  O outro cateto é a altuta H do prédio já calculada = 30raiz3 .   Assim  a relação entre os catetos 30raiz3 / (30 +x) = tg 30º  = raiz3/3..
Então:  30 raiz3 = (30 +x ) . raiz3 /3  ...  30 = (30 + x) /3  ...  90 = 30 + x   ... .x = 60m .
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma criança no alto de um escorrega larga uma bola que percorre 5 metros até chegar ao chão (plano horizontal), sabendo que o alto do escorrega tem 3 metros de altura em relação ao chão, a distância percorrida pelo seu pai que se encontrava na base do escorrega (abaixo da criança) para pegar a bola no final do escorrega é de:
	
	
	
	3,94 metros.
	
	
	100 metros.
	
	
	4 metros.
	
	
	7 metros.
	
	
	1 metro.
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que o escorrega é a hipotenusa com 5m. A altura 3m é um cateto b.  A distância no chão é o outro cateto ,
Então, sabendo a hipotenusa e um cateto , para calcular o outro cateto c pode-se usar Pitágoras:  Hipotenusa a² = cateto b² + cateto c².
Substiuindo os dados :  5²  = 3²  + c²  , donde  c² = 25 - 9 = 16 
Então  c = raiz quadrada de 16  =  (como só interessa a raiz positiva) = 4 m.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma escada está apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ângulo de 45º. Portanto, forma-se um triângulo retângulo isósceles. Qual é o comprimento da escada?
	
	
	
	comprimento da escada é 9 m
	
	
	comprimento da escada é 10 m
	
	
	comprimento da escada é 3 m
	
	
	comprimento da escada é 2,83 m
	
	
	comprimento da escada é 5 m.
	
Explicação:
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa de comprimento L .  A altura do muro 2m é  o cateto.adjacente ao ângulo citado de 45º.
Então, com esses dados pode-se usar :  cosseno 45º = cateto adjacente / hipotenusa .
Daí, substiuindo os dados e usando raiz2 = 1,41 ( o resultado pode variar dependendo  dessa aproximação )
1,41  /2 = 2 / L  , donde,  igualando os produtos cruzados, 1,41 L = 4   e   L = 4 /1,41 = 2,83m aproximadamente.