Lista 01 de Exercicios Estado Solido

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Física do estado sólido
Professor: Emmanuel Favre-Nicolin
4a lista de exercícios : vibrações da rede e propriedades térmicas
1. Vibrações da rede quadrada. Considere vibrações transversais de uma rede quadrada constituída por linhas e colunas com átomos idênticos. Seja o deslocamento normal ao plano da rede do átomo na coluna de número l e na linha número m (v. Fig. 4.13). A massa de cada átomo é M, e C é a constante da força para átomos vizinhos mais próximos. (a) Mostra que a equação do movimento é dada por (um desenho dos átomos com os respectivos indícios pode ser de uma grande ajuda para evitar erros iniciais)(b) Suponha soluções da forma onde R é o espaçamento entre átomos vizinhos mais próximos. Mostre que a equação do movimento é sarisfeita se
Esta é a relação de disperção do problema. (c) Mostre que a região do espaco K para a qual existem soluções independentes pode ser considerada como um quadrado de lado . Esta é a primeira zona de Brillouin. Trace em função de para com (direção [10]) e para(direção [11])
2. Rede monoatômica linear. Considere uma onda longitudinal que se propaga numa rede monoatômica linear de átomos com massa M, espaçamento e interação entre vizinhos mais próximos igual a(as outras interações são consideradas nulas). (a) Mostre que a energia total da onda é dada por onde s assume valores para todos os átomos. (b) Substituindo por nesta expressão, verificar que a média temporal da energia total por átomo é dada por , onde na última etapa, utilizamos a relação de dispersão para este problema.
3. Equação de onda contínua. Mostre que, para comprimentos de onda longos (), a equação do movimento se reduza equação de onda contínua de meios elásticosonde v est a velocidade do som.
4. Base de 2 átomos. Para o problema da rede linear com 2 átomos na base visto durante as aulas precedentes, encontra de novo os 2 ramos da relação de dispersão de cada átomos da rede, usandoe respectivamente para o primeiro e segundo átomo da base. Encontre a razão de amplitudes para os dois ramos, para . Mostra que nesse caso as duas redes se comportam como se estivessem desacopladas: uma rede permanece em repouso enquanto a outra se move.
5. Anomalia de Kohn. Para metais, podemos supor que a constante da força interplanar na equaçãoentre o plano de indício s e s+p seja da forma onde e são constantes e varia segundo números inteiros. Use a equação para encontrar a equação para encontrare. Prove que é infinito quando ; existe uma dobra vertical na curva de dispersão de fônons.
6. Singularidade na densidade dos modos. (a) Da relação de dispersão deduzida para uma rede monoatômica linear com N átomos (), sendo a interação produzida pelos vizinhos mais próximos, mostre que a densidade dos modos em é dada por onde é a freqüência máxima. (b) Suponha que o ramo ótico dos fônons possua a forma , nas vizinhanças de em 3 dimensões. Mostre que para , e pour . Neste caso a densidade de modos é descontínua.
7. Média quadratica da dilatação térmica da célula do cristal. (a) Estime par 300 K a média quadrática da dilatação térmica para uma célula primitiva do sódio. Considere o módulo volumétrico igual a . Observe que a temperatura de Debye de 158K é menor do que 300K, de modo que a energia térmica é da ordem de . Indicação : O parâmetro da célula convencional do sódio . A estrutura do sódio é CCC. Considere a energia correspondente a um grau de liberdade por átomos do volume considerado como fonte da dilatação térmica. (b) Use este resultado para estimar a média quadratica da flutuação térmica para o parâmetro da rede.
8. Capacidade calorífica de uma rede unidimensional. (a) Mostre que a capacidade calorífica de uma rede monoatômica unidimensional na aproximação de Debye é proporcional a para baixas temperaturas onde é a temperatura de Debye a uma dimensão definida pela relação onde é a distância interatômica ea constante de Boltzmann.(b) Considere um cristal dielétrico constituído por camadas de átomos, com camadas adjacentes muito fracamente ligadas umas com as outras. Que forma devemos esperar para o limite da capacidade calorífica em temperatura muito baixas?