Lista 04 de Exercicios de Estado Solido

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Física do estado sólido
Professor: Emmanuel Favre-Nicolin
4a lista de exercícios : vibrações da rede e propriedades térmicas
1. Vibrações da rede quadrada. Considere vibrações transversais de uma rede quadrada constituída por 
linhas e colunas com átomos idênticos. Seja u l ,m o deslocamento normal ao plano da rede do átomo na 
coluna de número l e na linha número m (v. Fig. 4.13). A massa de cada átomo é M, e C é a constante da 
força para átomos vizinhos mais próximos. (a) Mostra que a equação do movimento é dada por (um desenho 
dos átomos com os respectivos indícios pode ser de uma grande ajuda para evitar erros iniciais)
M
d 2u l ,m
dt 2
=C [ u l1,mu l−1,m−2u l ,m u l ,m1u l ,m−1−2u l ,m] (b) Suponha soluções da forma 
u l , m=u 0exp[i lK x amK y a−t ] onde R é o espaçamento entre átomos vizinhos mais próximos. 
Mostre que a equação do movimento é sarisfeita se

2M =2C 2−cosK x a−cosK y a  Esta é a relação de disperção do problema. (c) Mostre que a região 
do espaco K para a qual existem soluções independentes pode ser considerada como um quadrado de lado 
2
a
. Esta é a primeira zona de Brillouin. Trace  em função de K para K =K x com 
K y=0 (direção [10]) e para K x=K y (direção [11])
2. Rede monoatômica linear. Considere uma onda longitudinal u s=ucos t −Ksa  que se propaga 
numa rede monoatômica linear de átomos com massa M, espaçamento a e interação entre vizinhos mais 
próximos igual a C (as outras interações são consideradas nulas). (a) Mostre que a energia total da onda é 
dada por E =
1
2
M∑s 
du
dt

2

1
2
C∑s u s−u s1
2 onde s assume valores para todos os átomos. (b) 
Substituindo u s por nesta expressão, verificar que a média temporal da energia total por átomo é dada por
1
4
M 2u21
2
C 1−cosKa u2=1
2
M 2u 2 , onde na última etapa, utilizamos a relação de dispersão 
2=
2C
M
1−cosKa  para este problema.
3. Equação de onda contínua. Mostre que, para comprimentos de onda longos ( ≫a ), a equação do 
movimento M
d2ul,m
dt2
=∑p≠0Cpuspus se reduza equação de onda contínua de meios elásticos
∂
2u
∂ t 2
=V 2
∂
2u
∂x 2
onde v est a velocidade do som.
4. Base de 2 átomos. Para o problema da rede linear com 2 átomos na base visto durante as aulas 
precedentes, encontra de novo os 2 ramos da relação de dispersão de cada átomos da rede, usando u s e 
v s respectivamente para o primeiro e segundo átomo da base. Encontre a razão de amplitudes 
u s
v s
 para 
os dois ramos, para K =

a
. Mostra que nesse caso as duas redes se comportam como se estivessem 
desacopladas: uma rede permanece em repouso enquanto a outra se move.
5. Anomalia de Kohn. Para metais, podemos supor que a constante da força interplanar C p na equação
M
d 2u s
dt 2
=∑p0C u sp−u s 
2 entre o plano de indício s e s+p seja da forma C p=A
sen p k 0a
pa
onde 
A e k 0 são constantes e p varia segundo números inteiros. Use a equação 
2=
2
M ∑p0
C p 1−cos pKa  para encontrar a equação para encontrar 
2 e
∂
2
∂K
. Prove que 
∂
2
∂K
é infinito quando K =k 0 ; existe uma dobra vertical na curva de dispersão de fônons.
6. Singularidade na densidade dos modos. (a) Da relação de dispersão deduzida para uma rede 
monoatômica linear com N átomos ( =
2
M ∑p0
C p 1−cos pKa  ), sendo a interação produzida pelos 
vizinhos mais próximos, mostre que a densidade dos modos em  é dada por D =
2N

1
m2−2
onde m é a freqüência máxima. (b) Suponha que o ramo ótico dos fônons possua a forma 
k =0−AK
2 , nas vizinhanças de K=0 em 3 dimensões. Mostre que 
D =
L
2

3

2
A3 /2
0− para 0 , e D =0 pour 0 . Neste caso a densidade de 
modos é descontínua.
7. Média quadratica da dilatação térmica da célula do cristal. (a) Estime par 300 K a média quadrática da 
dilatação térmica 
V
V
para uma célula primitiva do sódio. Considere o módulo volumétrico B igual a 
7×103 J.cm−3 . Observe que a temperatura de Debye de 158K é menor do que 300K, de modo que a 
energia térmica é da ordem de kBT . Indicação : O parâmetro da célula convencional do sódio 
aNa=4.29Å . A estrutura do sódio é CCC. Considere a energia correspondente a um grau de liberdade 
por átomos do volume considerado como fonte da dilatação térmica. (b) Use este resultado para estimar a 
média quadratica da flutuação térmica 
a
a
para o parâmetro da rede.
8. Capacidade calorífica de uma rede unidimensional. (a) Mostre que a capacidade calorífica de uma rede 
monoatômica unidimensional na aproximação de Debye é proporcional a 
T
D
 para baixas temperaturas
T≪D onde D é a temperatura de Debye a uma dimensão definida pela relação D=
ℏ
kB
=
ℏ0
kBa
onde a é a distância interatômica e kB a constante de Boltzmann.(b) Considere um cristal dielétrico 
constituído por camadas de átomos, com camadas adjacentes muito fracamente ligadas umas com as outras. 
Que forma devemos esperar para o limite da capacidade calorífica em temperatura muito baixas?