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um detector com velocidade v ( e, portanto. com parâmetro de ve­
locidade f3 = v!c). a freqüência.fmedida pelo detector é dada por 
. -� 
J = .ri, ·v T+íi. (37-31) 
Se a fonte está se aproximando do detector os sinais da Eq. 37-31 
devem ser invertidos. 
No caso de observações astronômicas o efeito Doppler é me­
dido cm comprimentos de onda. Para velocidades muito menores 
que e a Eq. 37-31 se torna 
1.6.AI 
V =--e. 
À.o 
(37-36) 
onde ,.iA ( = À. - A0 ) é o deslocamento Doppler do comprimento 
de onda produzido pelo movimento. 
Efeito Doppler Transversal Se o movimento relativo da 
fonte luminosa é perpendicular à reta que liga a fonte ao detec­
tor. a freqüência .f medida pelo detector é dada por 
f = 1;, \li - {32. (37-37) 
Esse efeito Doppler transversal se deve à dilatação dos tempos. 
1 A Fig. 37-16 mostra dois relógios situados no referencial 
estacionário S ( eles estão sincronizados nesse referencial) e 
um relógio situado no referencial móvel S'. Os relógios C 1 e 
e; indicam 1 = O no momento em que passam um pelo outro. 
Quando os relógios e; e C2 passam um pelo outro (a) qual dos 
relógios indica o menor tempo? (b) Qual dos relógios indica o 
tempo próprio? 
FIG. 37-16 Pergunta 1. 
2 A Fig. 37-17 mostra dois relógios no referencial estacionário 
S' ( eles estão sincronizados nesse referencial) e um relógio situ­
ado no referencial móvel S. Os relógios C 1 e e; indicam t = O no 
momento cm que passam um pelo outro. Quando os relógios C 1 
e e; passam um pelo outro (a) qual dos relógios indica o menor 
tempo? (b) Qual dos relógios indica o tempo próprio? 
s 
,-�-, 
(., C' 
.. 1 2 
FIG. 37-17 Pergunta 2. 
Perguntas 
Momento e Energia As seguintes definições de momen­
to linear p. energia cinética !( e energia total E de uma partícu­
la de massa 111 são válidas para qualquer velocidade fisicamente 
possível: 
p = ymv (momento relativístico). 
E= mc 2 + K = ymc2 (energia total),
K = mc 2 (y - 1) (energia cinética). 
(37�2) 
(37-47.37--k J 
(37-52) 
onde y é o fator de Lorentz e mc2 é a energia de repouso da partí­
cula. Essas equações levam às relações 
e 
(pc)2 = K 2 + 2Kmc2• 
E2 = (pc )2 + (mc1)2. 
(37-54) 
(37-55) 
Em uma reação química ou nuclear o Q da reação é o nega­
tivo da variação da energia de repouso do sistema: 
(37-50) 
onde M; é a massa total do sistema antes da reação e M1é a massa 
total depois da reação. 
3 O plano de réguas e relógios da Fig. 37-18 é semelhante ao 
da Fig. 37-3. A distância entre os centros dos relógios ao longo do 
eixo x é I segundo-luz, o mesmo acontece ao longo do eixo y e to­
dos os relógios foram sincronizados usando o método descrito na 
Seção 37-3. Quando o sinal de sincronismo de t = O proveniente 
da origem chega (a) ao relógio A, (b) ao relógio B e (c) ao reló­
gio C, que tempo deve ser registrado nesses relógios? Um evento 
ocorre na posição do relógio A no instante em que o relógio in­
dica 10 s. (d) Quanto tempo o sinal do evento leva para chegar 
a um observador que está parado na origem? (e) Que tempo o 
observador deve atribuir ao evento? 
FIG. 37-18 Pergunta 3. 
4 João parte de Vênus em uma espaçonave com destino a Marte 
e passa por Maria, que se encontra na Terra, com uma velocidade 
relativa de 0,5c. (a) João e Maria medem o tempo total da viagem 
entre Vênus e Marte. Qual dos dois mede um tempo próprio? 
(b) No caminho João envia um pulso de laser para Marte. João e
Maria medem o tempo de viagem do pulso. Qual dos dois mede
um tempo próprio?
5 Uma barra se move com velocidade constante v ao longo do 
eixo x do referencial S, com a maior dimensão da barra paralela 
ao eixo x. Um observador estacionário em relação ao referencial 
S mede o comprimento L da barra. Qual das curvas da Fig. 37-
&J Capítulo 37 1 Relatividade
19 pode representar o comprimento L (o eixo vertical do gráfico) 
em função do parâmetro de velocidade /3? 
o 0,2 0,4 0,6 
/3 
0,8 
FIG. 37-19 Perguntas 5 e 7. 
6 A Fig. 37-20 mostra uma nave (cujo referencial é S') passando 
por um observador (cujo referencial é S). Um próton é emitido 
com uma velocidade próxima da velocidade da luz ao longo da 
maior dimensão da nave, da proa para a popa. (a) A distância 
espacial Lix' entre o local em que o próton foi emitido e o local 
de impacto é uma grandeza positiva ou negativa? (b) A distância 
temporal Lit' entre esses eventos é uma grandeza positiva ou ne­
gativa? 
y' 
YL' 1 S' Próton� ..... --�··--\. s 
:_J,_ t ... ' ./�' X -......ill......---------....,...'---"----X' 
FIG. 37-20 Pergunta 6 e Problema 64. 
7 O referencial S' passa pelo referencial S a uma velocidade v 
ao longo da direção comum dos eixos x' ex, como na Fig. 37-9. 
Um observador estacionário no referencial S' mede um intervalo 
de 25 s em seu relógio de pulso. Um observador estacionário do 
referencial S mede o intervalo de tempo correspondente, M. Qual 
das curvas da Fig. 37-19 pode representar M (o eixo vertical do 
gráfico) em função do parâmetro de velocidade {3? 
8 Um astronauta está a bordo de uma espaçonave e detecta 
sinais transmitidos por quatro naves de salvamento que estão 
se aproximando ou se afastando em linha reta. Os sinais têm a 
mesma freqüência própria /0. As velocidades e direções das na­
ves de salvamento em relação ao astronauta são (a) 0,3c se apro­
ximando; (b) 0,6c se aproximando; ( c) 0,3c se afastando; ( d) 0,6c 
se afastando. Coloque as naves de salvamento na ordem das fre­
qüências recebidas pelo astronauta, começando pela maior. 
9 A Fig. 37-21 mostra um dos quatro cruzadores estelares que 
participam de uma competição. Quando cada cruzador chega à 
linha de partida lança uma pequena nave de salvamento em dire­
ção à linha de chegada. O juiz da prova está parado em relação às 
linhas de partida e de chegada. As velocidades vc dos cruzadores 
em relação ao juiz e as velocidades v., das naves de salvamento em 
relação aos cruzadores são as seguintes: (1) 0,70c, 0,40c; (2) 0,40c, 
0,70c; (3) 0,20c, 0,90c; ( 4) 0,50c, 0,60c. (a) Sem fazer nenhum cál­
culo no papel, coloque as naves de salvamento na ordem das velo­
cidades em relação ao juiz, começando pela mais veloz. (b) Ainda 
sem fazer nenhum cálculo no papel, coloque as naves de salva­
mento na ordem das distâncias entre a linha de partida e a linha de 
chegada medidas pelos pilotos, começ;mdo pela maior. (e) Cada 
cruzador envia um sinal para sua nave de salvamento com uma 
certa freqüência fo no referencial do cruzador. Mais uma vez sem 
fazer nenhum cálculo no papel, coloque as naves de salvamento 
na ordem das freqüências detectadas, começando pela maior. 
1 
1 
1 
1 Linha de partida
1 
FIG. 37-21 
Linha de chegada 
Pergunta 9. 
10 A energia de repouso e a energia total de três partículas, ex­
pressas em termos de uma certa unidade A, são, respectivamente, 
(1) A e 2A; (2) A e 3A; (3) 3A e 4A. Sem fazer nenhum cálculo
no papel, coloque as partículas na ordem (a) da massa; (b) da
energia cinética; ( c) do fator de Lorentz; ( d) da velocidade, come­
çando pelo maior valor.
11 A Fig. 37-22 mostra o triângulo da Fig. 37-15 para seis par­
tículas; os segmentos de reta 2 e 4 têm o mesmo comprimento. 
Coloque as partículas na ordem (a) da massa; (b) do módulo do 
momento; (c) do fator de Lorentz, começando pelo maior valor. 
(d) Determine quais são as duas partículas que têm a mesma
energia total. (e) Coloque as três partículas de menor massa na
ordem da energia cinética, começando pela maior.
FIG. 37-22 Pergunta 1 l. 
Problemas 
• - •• • O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema 
� Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física, de Jearl Walker, Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
se�ão 37-5 A Relatividade do Tempo 
•1 O tempo médio de vida de múons estacionários é 2,2000 µs. 
O tempo médio de vida dos múons de alta velocidadeproduzidos
por um certo raio cósmico é 16,000 JLS no referencial da Terra.
Determine, com cinco algansmos significativos, a velocidade em 
relação à Terra dos múons produzidos pelo raio cósmico.
•2 Determine, com oito algarismos significativos, qual deve ser
o parâmetro de velocidade f3 para que o fator de Lorentz y seja
(a) 1,010 000 O; (b) 10,000 000; (c) 100,000 00; (d) 1000,000 O.
.. 3 Uma partícula instável de alta energia entra em um detector 
e deixa um rastro com 1,05 mm de comprimento, viajando a uma 
velocidade de 0,992c, antes de decair. Qual é o tempo de vida pró­
prio da partícula? Em outras palavras, quanto tempo a partícula le­
varia para decair se estivesse em repouso cm relação ao detector? 
.. 4 O referencial S' passa pelo referencial S a uma velocidade 
v ao longo da direção comum dos eixos x' ex, como na Fig. 37-
9. Um observador estacionário no referencial S' mede um certo
intervalo de tempo em seu relógio de pulso. Um observador esta­
cionário do referencial S mede o intervalo de tempo correspon­
dente, tlt. A Fig. 37-23 mostra a variação de M com o parâmetro
de velocidade f3 no intervalo O::,; f3 :s: 0,8. A escala do eixo vertical
é definida por M" = 14,0 s. Qual é o valor de tlt para v = 0,98c?
<l 
FIG. 37-23 Problema 4. 
••5 No livro e no filme O Planeta dos Macacos, astronautas em 
hibernação viajam para o futuro distante, uma época em que a ci­
vilização humana foi substituída por uma civilização de macacos.
Considerando apenas a relatividade restrita, determine quantos
anos os astronautas viajariam, no referencial da Terra, se dor­
missem durante 120 anos, de acordo com o referencial da espa­
çonave, enquanto viajavam com uma velocidade de 0,9990c, pri­
meiro para longe da Terra e depois de volta para nosso planeta .
.. 6 De volta para o futuro. Suponha que um astronauta é 20 ,00 
anos mais velho que a filha. Depois de passar 4.000 anos (no seu 
referencial) viajando pelo universo com velocidade constante, em 
uma viagem de ida e volta, descobre, ao chegar à Terra, que está 
20,00 anos mais moço que a filha. Determine o parâmetro deve­
locidade f3 da nave do astronauta em relação à Terra. 
.. 7 Um astronauta faz uma viagem de idade e volta em uma es­
paçonave, partindo da Terra e viajando em linha reta e com velo­
cidade constante durante 6 meses e voltando ao ponto de partida 
da mesma forma e com a mesma velocidade. Ao voltar à Terra o 
astronauta constata que 1000 anos se passaram. (a) Determine, 
com oito algarismos significativos, o parâmetro de velocidade f3 
da espaçonave do astronauta. (b) Faz alguma diferença se viagem 
não for em linha reta? 
seção 37-6 A Relatividade das Distâncias 
•8 Uma régua no referencial S' faz um ângulo de 30º com o
eixo x'. Se a régua está se movendo paralelamente ao eixo x do
referencial S com uma velocidade de 0,90c em relação ao refe­
rencial S, qual é o comprimento da régua no referencial S? 
•9 Uma barra se move paralelamente ao eixo x do referencial
S a uma velocidade de 0,630c. com a maior dimensão ao longo
deste eixo. O comprimento de repouso da barra é 1.70 m. Qual é
o comprimento da barra no referencial S?
•10 Um elétron com f3 = 0,999 987 está se movendo ao longo
do eixo de um tubo evacuado com um comprimento de 3,00 m
do ponto de vista de um observador Sem repouso em relação ao
tubo. Para um observador S' em repouso em relação ao elétron,
é o tubo que está se movendo com velocidade v ( = {3c ). Qual é o
comprimento do tubo para o observador S'?
•11 Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é 130 m
passa por uma base espacial a uma velocidade de 0,740c. (a) Qual
é o comprimento da nave no referencial da base? (b) Qual é o
intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a
passagem da proa e a passagem da popa da espaçonave?
.. 12 Uma barra se move com velocidade constante v ao longo cio 
eixo x do referencial S, com a maior dimensão ela barra paralela ao 
eixo x. Um observador estacionário no referencial S mede o com­
primento Lda barra. A Fíg. 37-24 mostra o valor de L em função do 
parâmetro de velocidade f3 para O :s: f3 ::,; 0,8. A escala do eixo verti­
cal é definida por Lª = l,00 m. Qual é o valor de L para v = 0,95c? 
Ln 
E 
--< 
o 0,4 0,8 
/3
FIG. 37-24 Problema 12. 
••13 O centro da Via Láctea fica a cerca de 23 000 anos-luz de
distância da Terra. (a) Com oito algarismos significati\·os. qual é
o parâmetro de velocidade de uma espaçonave que viaja esses
23 000 anos-luz (medidos no referencial da galáxia) em 30 anos
(medidos no referencial da espaçonave)? (b) No referencial da
espaçonave, qual é distância percorrida em anos-luz?
..14 O comprimento de uma espaçonavc em um certo referen­
cial é metade do comprimento de repouso. (a) Com três algaris­
mos significativos, qual é parâmetro de velocidade f3 ela espaço­
nave no referencial do observador? (b) Qual é a relação entre a 
iij:i Capítulo 37 1 Relatividade
rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no refe­
rencial do observador? 
••15 Um astronauta parte da Terra e viaja com uma velocidade
de 0,99c em direção à estrela Vega, que está a 26,00 anos-luz de
distância. Quanto tempo terá passado, de acordo com os relógios
da Terra, (a) quando o astronauta chegar a Vega: (b) quando os
observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta
chegou a Vega? (c) Qual é a diferença entre o tempo de viagem
ele acordo com os relógios ela Terra e o tempo ele viagem de
acordo com o relógio de bordo?
seção 37-8 Algumas Conseqüências das 
Equações de Lorentz 
•16 O referencial inercial S' está se movendo com uma veloci­
dade de 0,60c em relação ao referencial S (Fig. 37-9). Além disso,
x = x' = O no instante r = t' = O. Dois eventos são registrados.
No referencial S o evento 1 ocorre na origem no instante t = O e
o evento 2 ocorre no ponto x = 3,0 km no instante t = 4,0 µs. De
acordo com o observador S', em que instante ocorre (a) o evento 
l e (b) o evento 2? ( c) Os dois observadores registram os eventos 
na mesma ordem? 
•17 Um experimentador dispara simultaneamente duas lâm­
padas de flash, produzindo um grande clarão na origem cio seu
referencial e um pequeno clarão no ponto x = 30,0 km. Um ob­
servador que está se movendo com uma vclociclacle de 0,250c no
sentido positivo cio eixo x também observa os clarões. (a) Qual é
o intervalo de tempo entre os dois clarões, ele acordo com o ob­
servador? (b) De acordo com o observador, qual cios dois clarões
ocorreu primeiro?
•18 Para um certo observador S um evento aconteceu no eixo x
cio seu referencial nas coorclenaclas x = 3,00 x l 08 111, t = 2,50 s. O
observador S ' está se movendo no sentido positivo cio eixo x com
uma velocidade ele 0,400c. Além disso, x = x' = O no instante t =
t' =O.Determine as coordenadas (a) espacial e (b) temporal cio
evento no referencial ele S'. Quais seriam as coordenadas (e) es­
pacial e (d) temporal do evento no referencial ele S' se o observa­
dor S1 estivesse se movendo com a mesma velocidade no sentido
negativo do eixo x?
•19 Na Fig. 37-9 as origens cios dois referenciais coincidem cm
t = t' = O e a velocidade relativa é 0,950c. Dois mícrometcoritos
colidem nas coordenadas x = 100 km e t = 200 µs de acordo com
um observador estacionário no referencial S. Determine as coor­
denadas (a) espacial e (b) temporal da colisão ele acordo com um
observador estacionário no referencial S'.
.. 20 O observador S1 passa pelo observador S movendo-se ao 
longo ela direção comum dos eixos x' ex, como na Fig. 37-9, e le­
vando três réguas: a régua 1, paralela ao eixo x', a régua 2, para­
lela ao eixo y', e a régua 3, paralela ao eixo z'. Mede no relógio 
de pulso um intervalo ele 15,0 s, que para o observador S corres­
ponde a um intervalo de 30,0 s. Dois eventos ocorrem durante a 
passagem. De acordo com o observador S o evento 1 ocorre em 
x1 = 33,0 m e 1 1 = 22,0 ns, e o evento 2 ocorreem x2 = 53,0 me 
t2 = 62,0 ns. De acordo com o observador S, qual é o compri­
mento (a) ela régua 1, (b) ela régua 2 e (e) ela régua 3? De acordo 
com o observador S', ( d) qual é a distância espacial e (e) qual é a 
distância temporal entre os eventos 1 e 2? (f) Qual dos dois even­
tos aconteceu primeiro, ele acordo com o observador S'? 
.. 21 Um relógio está se movendo ao longo do eixo x com uma 
velocidade de 0,600c e indica o instante t = O ao passar pela ori­
gem. (a) Calcule o fator ele Lorentz cio relógio. (b) Qual é a lei­
tura cio relógio ao passar pelo ponto x = 180 m? 
.. 22 Como na Fig. 37-9, o referencial S' passa pelo referencial 
S com uma certa velocidade. A Fig. 37-25 mostra a distância tem­
poral entre dois eventos no referencial S, !lt, em f unção da distân­
cia espacial entre os mesmos eventos no referencial S', Lix', para 
O s; Lix 1 < 400 m. A escala do eixo vertical é definida por b.t0 = 
6,00 µs. Qual é o valor da distância temporal entre os dois even­
tos no referencial S', b.t'? 
o 200 
t.x' (rn) 
400 
FIG. 37-25 Problema 22. 
.. 23 Na Fig. 37-9 o observador S detecta dois clarões. Um 
grande clarão acontece em x 1 = 1200 m e, 5,00 µs mais tarde, um 
clarão acontece em x2 = 480 m. De acordo com o observador S' 
os dois clarões acontecem na mesma coordenada x '. (a) Qual é o 
parâmetro ele velocidade de S'? (b) S' está se movendo no sen­
tido positivo ou negativo cio eixo x? De acordo com S', (e) qual 
cios dois clarões acontece primeiro? (d) Qual é o intervalo de 
tempo entre os dois clarões? 
.. 24 Na Fig. 37-9 o observador S observa dois clarões. Um 
grande clarão acontece cm x 1 = 1200 m e, pouco depois, um clarão 
acontece em x2 = 480 m. O intervalo ele tempo entre os clarões é 
/11 = t2 - t 1 • Qual é o menor valor de !1t para o qual os dois clarões 
podem ocorrer na mesma coordenada x' para o observador S'? 
.. 25 lnversiio relativística da ordem de dois eventos. As Figs. 
37-26a e 37-26b mostram a situação (usual) em que um referen­
cial S' passa por um referencial S, na direção positiva comum dos
eixos x e x', movendo-se com velocidade constante v em relação
a S. O observador 1 está cm repouso no referencial Se o observa­
dor 2 está em repouso no referencial S1 • As figuras também mos­
tram eventos A e B que ocorrem nas seguintes coordenadas do
espaço-tempo, expressas nos dois referenciais:
Evento 
Jl 
B 
Referencial S
(x/1, 111) 
(xl/, ti! ) 
Referencial S'
(x�, t;1 ) 
(x;1 , t;1) 
No referencial S, o evento A ocorre antes do evento B, com uma 
distância temporal ê.t = 18 - IA = 1,00 µs e uma distância espacial 
Lix = x13 - x11 = 400 111. Seja b.t' a distância temporal cios eventos 
de acordo com o observador 2. (a) Escreva uma expressão para 
�--+--------x 
1---0-; 
X·
' 
'.\ 
�-+---!----X' 
�--+----------1!-----X 
(a) hento A (b) Evento B 
FIG. 37-26 Problemas 25, 26, 62 e 63. 
t':i.t' em termos do parâmetro de velocidade {3 ( = vlc) e dos dados 
do problema. Faça um grático de ôt' em função de {3 para os se­
guintes intervalos: 
(b) O ::s {3 ::s 0,01 
(c) 0,1 :S f3 :S 1
(baixas velocidades, O ::s v :5 O,Olc) 
(altas velocidades, O,lc :5 v :5 e) 
(d) Para que valor de f3 a distância temporal ôt' é nula? Para que
faixa de valores de f3 a seqüência dos eventos A e B para o ob­
servador 2 (e) é a mesma que para o observador I e (f) não é a 
mesma que para o observador 1? (g) O evento A pode ser a causa 
do evento B ou vice-versa? Justifique sua resposta. 
.. 26 Para os sistemas de coordenadas da Fig. 37-26, os eventos 
A e B ocorrem nas seguintes coordenadas dos espaço-tempo: no 
referencial S, (xA , tA) e (x8, t8); no referencial S', (xA , LÁ) e (xn, t1).
No referencial S, ót = t8 - tA = l,00 µ.,s e � = x8 - xA = 
400 m. (a) Escreva uma expressão para�· em termos do parâ­
metro de velocidade f3 e dos dados do problema. Faça um gráfico 
de ôx' em função de f3 para duas faixas de valores: (b) O :5 f3 ::s 
0,01 e (c) 0,1 :S {3 :S 1. (d) Para que valor de f3 a distância espacial 
ô.x' é mínima? (e) Qual é o valor dessa distância mínima? 
seção 37-9 A Relatividade das Velocidades 
•27 A galáxia A está se afastando da Terra com uma velocidade 
de 0,35c. A galáxia B, situada na direção diametralmente oposta, 
está se afastando de nós com a mesma velocidade. Que múlliplo 
de e corresponde à velocidade de recessão medida por um obser­
vador da galáxia A ( a) para a nossa galáxia; (b) para a galáxia B? 
•28 O sistema estelar Q 1 está se afastando da Terra com uma
velocidade de 0,800c. O sistema estelar Q2, que está na mesma di­
reção que o sistema Q 1 e se encontra mais próximo da Terra, está 
se afastando da Terra com uma velocidade de 0,400c. Que múlti­
plo de e corresponde à velocidade ele Q2 do ponto de vista de um 
observador estacionário em relação a Q 1? 
•29 Uma partícula está se movendo ao longo do eixo x' do re­
ferencial S' com uma velocidade ele 0,40c. O referencial S' está se 
movendo com uma velocidade de 0,60c em relação ao referencial 
S. Qual é a velocidade da partícula no referencial S?
•30 Na Fig. 37-11 o referencial S' está se movendo cm relação ao 
referencial S com uma velocidade de 0,62cÍ, enquanto uma partí­
cula se move paralelamente aos eixos coincidentes x ex'. Para um 
observador estacionário em relação ao referencial S' a partícula 
está se movendo com uma velocidade de 0,47cÍ. Em lermos de e, 
qual é a velocidade da partícula para um observador estaciomírio 
em relação ao referencial S de acordo (a) com a transformação re­
lativística e (b) de acordo com a transformação clássica? Suponha 
que, para um observador estacionário em relação ao referencial S'
a partícula está se movendo com uma velocidade de -0,47cÍ. Qual 
é, nesse caso, a velocidade da partícula para um observador esta­
cionário em relação ao referencial S de acordo (c) com a transfor­
mação relativística e (d) de acordo com a transformação clássica? 
.. 31 Uma esquadrilha de espaçonaves com 1,00 ano-luz de com­
primento (no seu referencial de repouso) está se movendo com 
uma velocidade de 0,800c em relação a uma base espacial. Uma 
nave mensageira viaja da retaguarda à vanguarda da esquadrilha 
com uma velocidade de 0,950c em relação à base espacial. Quanto 
tempo leva a viagem (a) no referencial da nave mensageira, (b) no 
referencial da esquadrilha e ( e) no referencial da base espacial? 
.. 32 Na Fig. 37-27a uma partícula P está se movendo parale­
lamente aos eixos x e x' dos referenciais S e S' com uma certa 
velocidade em relação do referencial S. O referencial S' está se 
movendo paralelamente ao eixo x do referencial S com uma ve-
Problemas 1m 
locidade v. A Fig. 37-27b mostra a velocidade u' da partícula em 
relação ao referencial S' para O :5 v ::s 0,5c. A escala do eixo verti­
cal é definida por u� = 0,800c. Determine o valor deu' (a) para 1· 
= 0,90c e (b) para v - e.
Ís J['' 
LX [��, 
(a) 
o 0,2r 
(b) 
FIG. 37-27 Problema 32. 
0,4r. 
\' 
.. 33 Uma espaçonavc cujo comprimento próprio é 350 m está 
se movendo com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. 
Um rnicrometeorito, também com uma velocidade de 0,82c nesse 
referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. 
Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela espaçonave, 
do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonavc? 
seção 37-10 O Efeito Doppler para a Luz 
•34 Certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia da 
constelação da Virgem são 0,4 % maiores que a luz correspon­
dente produzida por fontes terrestres. (a) Qual é a velocidade ra­
dial dessa galáxia em relação à Terra? (b) A galáxia está se apro­
ximando ou se afastando da Terra? 
•35 Supondo que a Eq. 37-36 possa ser aplicada, determine 
com que velocidade um motorista teria que passar por um sinal
vermelho para que ele parecesse verde. Tome 620 nm como o 
comprimento de onda da luzvermelha e 540 nm corno o compri­
mento de onda da luz verde. 
•36 A Fig. 37-28 mostra um gráfico da intensidade em função 
do comprimento de onda da luz emitida pela galáxia NGC 7319, 
que está a aproximadamente 3 X 108 anos-luz da Terra. O pico 
mais intenso corresponde à radiação emitida por átomos de oxi­
gênio. No laboratório essa emissão tem um comprimento de onda 
À= 513 nm; no espectro ela eal:hia NGC 7319, porém, o compri­
mento de onda foi deslocado para À = 525 nm por causa do efeito 
Doppler (na verdade, todas as emissões da galáxia NGC 7319 
aparecem deslocadas). (a) Qual é a velocidade radial da galáxia 
NGC 7319 em relação à Terra? (b) A galáxia está se aproximando 
ou se afastando do nosso planeta? 
800 
200 
i..:1 L'iÀ.= +l� nm 
Comprimento--
de onda no 
laboratório 
NGC 7319 
O�������������������_, 
400 450 500 550 600 650 700 
Comprimento de onda (nm) 
FIG. 37-28 Problema 36. 
7!l0 
j1:I1j Capítulo 37 1 Relatividade
•37 Uma espaçonave que está se afastando da Terra com uma ve­
locidade de 0,900c transmite mensagens com uma freqüência (no
referencial da nave) de 100 MHz. Para que freqüência devem ser
sintonizados os receptores terrestres para captar as mensagens?
•38 Uma lâmpada ele sódio está se movendo em círculos em
um plano horizontal com uma velocidade constante ele 0,100c,
enquanto emite luz com um comprimento ele onda próprio A0 =
589,00 nm. Um detector situado no centro de rotação da lâmpada
é usado para medir o comprimento de onda da luz emitida pela
lâmpada, e o resultado é A. Qual é o valor ela diferença A - A11?
.. 39 Uma espaçonave está se afastando ela Terra a uma velo­
cidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave emite luz 
com um comprimento de onda de 450 nm ele acordo com os pas­
sageiros. Determine ( a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, 
verde, amarela ou vermelha) da luz emitida pela nave cio ponto 
de vista ele um observador terrestre. 
seção 37-12 Uma Nova Interpretação da Energia 
•40 Determine a menor energia necessária para transformar
um núcleo de 12C ( cuja massa é 11,996 71 u) em três núcleos de 
4He (que possuem uma massa de 4,001 51 u cada um). 
•41 Determine o trabalho necessário para aumentar a veloci­
dade ele um elétron (a) ele 0,18c para 0,19c e (b) de 0,98c para
0,99c. Observe que o aumento de velocidade é o mesmo (O,Olc)
nos dois casos.
•42 As massas das partículas envolvidas na reação p + 19F----->
a + 160 são as seguintes:
m(p) = 1,007825 U, 
m(F) = 18,998405 u, 
Calcule o Q da reação. 
m(a) = 4,002603 u, 
m(O) = 15,994915 u. 
•43 A massa de um elétron é 9,109 381 88 X 10- 31 kg. Determine,
com seis algarismos significativos, (a) o valor de y e (b) o valor
de {3 para um elétron com uma energia cinética K = 100,000
Me V.
•44 Qual é o trabalho necessário para que a velocidade ele um
elétron aumente de zero para (a) 0,500c; (b) 0,990c e (c) 0,9990c?
.. 45 Qual deve ser o momento de uma partícula ele massa m
para que a energia total da partícula seja 3,00 vezes maior que a 
energia de repouso? 
.. 46 A massa de um elétron é 9,109 381 88 x 10-31 kg. 
Determine os seguintes valores, com oito algarismos significati­
vos, para a energia cinética dada: (a) y e (b) {3 para K = 1,000 000 
O keV; (c) y e (d) {3 para K = 1,000 000 O Me V; (e) y e (f) {3 para 
K = 1,000 000 O GeV. 
.. 47 Enquanto você lê esta página um próton proveniente do 
espaço sideral atravessa a página da esquerda para a direita com 
uma velocidade relativa v e uma energia total de 14,24 nJ. No seu 
referencial, a largura da página é 21,0 cm. (a) Qual é 3 largura da 
página no referencial cio próton? Determine o tempo que o pró­
ton leva para atravessar a página (b) no seu referencial e (c) no 
referencial do próton. 
.. 43 (a) A energia liberada pela explosão ele 1,00 mo! de TNT 
é 3,40 MJ. A massa molar do TNT é 0,227 kg/mo!. Que peso de 
TNT seria necessário para liberar uma energia de 1,80 X 10 14 J? 
(b) Esse peso poderia ser carregado em uma mochila ou seria ne­
cessário usar um caminhão? (c) Suponha que na explosão de uma
bomba de fissão 0,080'Yo ela massa físsil seja convertida em ener­
gia. Que peso de material físsil seria necessário para liberar uma
energia de 1,80 X 10 14 J? ( d) Esse peso poderia ser carregado em 
uma mochila ou seri3 necessário usar um caminhão? 
.. 49 Uma certa partícula ele mass3 m tem um momento cujo 
módulo é me. Determine o valor (a) de {3; (b) de y; (e) da razão 
KIE0 . 
.. 50 Determine o valor de {3 para uma partícula (a) com K = 
2.00E0; (b) com E = 2.00E0. 
u51 Os astrônomos acreditam que os quasars são núcleos de 
galáxias ativas nos primeiros estágios de formação. Um quasar 
típico irradia energia a uma taxa de 1041 W. Com que rapidez a 
massa ele um quasar típico está sendo consumida para produzir 
essa energia? Expresse a resposta em unidades de massa solar 
por ano, onde uma unidade de massa solar (l ums = 2,0 x l03º 
kg) é a massa cio Sol. 
.. 52 (a) Sem é a massa de uma partícula, pé o módulo cio mo­
mento da partícula e K é a energia cinética ela partícula, mostre que 
(pc)2 - K" 
111 = 2Kc2 
(b) Mostre que para baixas velocidades o lado direito dessa expres­
são se reduz a m. (e) Se a energia cinética de uma partícula é K =
55,0 Me V e o módulo cio momento é p = 121 Me V /e, quanto vale a
razão mim,. entre a massa da partícula e a massa do elétron?
..53 Um comprimido ele aspirina tem uma massa ele 320 mg. 
A energia correspondente a essa massa seria suficiente para fa­
zer um automóvel percorrer quantos quilômetros? Suponha que 
o automóvel faz 12,75 km/Le que o calor de combustão ela gaso­
lina utilizada é 3,65 X 107 J/L.
054 Determine os seguintes valores, com quatro algarismos 
significativos, para uma energia cinética de 10,00 Me V: (a) 'Y e (b) 
{3 para um elétron (E0 = 0,510 998 Me V); (c) y e (d) {3 para um 
próton (E0 = 938,272 Me V); (e) 'Y e (f) {3 para uma partícula a
(E0 = 3727,40 Me V). 
..55 Na Seção 28-6 mostramos que uma partícula de carga q
e massa 111 se move em uma circunferência de raio r = mvllqlB
quando sua velocidade v é perpendicular a um campo magnético 
uniforme Ê. Vimos também que o período T cio movimento é in­
dependente ela velociclac\e escalar v. Os dois resultados são apro­
ximadamente corretos se v � e. No caso de velocidades relativís­
ticas devemos usar a equação correta para o raio: 
/J "fr
rlV r=--=--
lqlB lqlR. 
(a) Usando essa equação e a definição de período (T = 2w/v),
encontre a expressão correta para o período. (b) O período T é
independente ele v? Se um elétron ele 10,0 Me V está se moven­
do em uma trajetória circular em um campo magnético uniforme
com um módulo de 2,20 T, determine (e) o raio da trajetória de
acordo com o modelo clássico do Capítulo 28, ( d) o raio correto,
(e) o período do movimento ele acordo com o modelo clássico do
Capítulo 28 e (f) o período correto.
..56 A massa cio múon é 207 vezes maior que a massa do elé­
tron e o tempo médio de vicia ele um múon em repouso é 2,20 µ,s . 
Em um certo experimento, múons que estão se movendo cm re­
lação a um laboratório têm um tempo ele vida médio ele 6,90 µ,s.
Para esses múons, determine o valor ( a) de {3; (b) de 1( e (e) de p
(em Me V/e). 
.. 57 Um píon é criado em uma colisão de alta energia entre 
uma partícula dos raios cósmicos e uma partícula da parte supe-
rior da atmosfera terrestre. 120 km acima do nível do mar. O píon possui urna energia total E de 1.35 X 10,; Me V e está se moven­do verticalmente para baixo. No referencial de repouso do píon o píon decai 35,0 ns após ser criado. Em que altitude acima do nível do mar, do ponto de vista de um observador terrestre, ocorre esse decaimento? A energia de repouso do píon é 139,6 Me V. .. 58 Aplique o teorema binomial (Apêndice E) ao lado es­querdo da Eq. 37-52, usada para calcular a energia cinética de uma partícula. (a) Conserve os primeiros dois termos da expan­são paramostrar que a energia cinética pode ser escrita na forma aproximada K = (primeiro termo) + (segundo termo). O primeiro termo é a expressão clássica da energia cinética: o se­gundo é a correção de primeira ordem da expressão clássica. Su­ponha que a partícula é um elétron. Se a velocidade v do elétron é c/20, determine o valor (b) da expressão clássica e ( c) da correção de primeira ordem. Se a velocidade do elétron é 0,80c, determi­ne o valor ( d) da expressão clássica e (e) da correção de primeira ordem. (f) Para que parâmetro de velocidade f3 a correção de pri­meira ordem é igual a 10º/t, do valor da expressão clássica? ... 59 Uma partícula alfa com uma energia cinética de 7,70 Me V colide com um núcleo de 14N em repouso, e as duas partículas se transformam em um núcleo de 170 e um próton. O próton é emiti­do a 90° com a direção da partícula alfa incidente e tem uma ener­gia cinética ele 4,44 Me V As massas das partículas envolvidas são as seguintes: partícula alfa, 4,00260 u; 14N, 14,00307 u; próton, 1,007825 u; 170, 16,99914 u. Determine, em megaelétrons-volts, (a) a energia cinética do núcleo de oxigênio e (b) o Q da reação. (Sugestüo: As velocidades das partículas são muito menores que e.) 
Problemas Adicionais 
60 Na Fig. 37-29a a partícula P se move paralelamente aos ei­xos x e x' dos referenciais S e S' com uma certa velocidade em relação ao referencial S. O referencial S' se move paralelamente ao eixo x cio referencial S com velocidade v. A Fig. 37-29/J mostra a velocidade u' da partícula em relação ao referencial S' para O 
'.S v :S 0,5c.A escala do eixo vertical é definida por u;, = -0,800c. Determine o valor deu' (a) para v = 0,80c e (b) para v - e. 
)t' Y[':S'
•!' 
X x' 
(a) (b) 
FIG. 37-29 Problema 60. 
V 
61 Jatos su.perluminais. A Fig. 37-30a mostra a trajetória de uma nuvem de gás ionizado expelida por uma galáxia. A nu­vem viaja com velocidade constante v cm uma direção que fazum ângulo e com a reta que liga a nuvem à Terra. A nuvem emite de tempos em tempos clarões luminosos, que são detectados na Terra. A Fig. 37-30a mostra dois desses clarões, separados por um intervalo de tempo tem um referencial estacionário próximo dos clarões. Os clarões aparecem na Fig. 37-30b como imagens em um filme fotográfico. A distância aparente D.,P percorrida pela nu-
Problemas IIEJIIII vem entre os dois clarões é a projeção da trajetória da nuvem em uma perpendicular à reta que liga a nuvem à Terra. O intervalo de tempo aparente TªP entre os dois eventos é a diferença entreos tempos de chegada dos raios luminosos associados aos dois clarões. A velocidade aparente da nuvem é, portanto, VªP = Da/ Tap· Quais são os valores de (a) D0P; (b) Tap'I A resposta deve ser expressa em função de v, te e. (c) Determine V,,r para v = 0,980ce 8 = 30,0° . Quando os jatos superluminais (mais velozes que a luz) foram descobertos pareciam violar a teoria da relatividade restrita. mas logo os astrônomos se deram conta de que podiam ser explicados pel;-i geometria da situação (Fig. 37-30a) sem ne­cessidade de supor que havia corpos se movendo mais depressa que a luz. 
,(
Trajetória da nm·ern de gás ionizado r', y1arào 1
� .,. '·"'"� -;: 
·�
,__ __ D,, -----"}'.:::
�Raios� ',, 
luminosos na 
direção da Terra 
(a) 
t 
( 
Clarão 1 Clarão 2 
(b) 
FIG. 37,30 Problema 61. 
62 Distância temporal entre dois eventos. Os eventos A e Bocorrem nas seguintes coordenadas espaço-temporai,; nos refe­renciais da Fig. 37-26: no referencial S, (xA , IA) e (xB, 18); no re­ferencial S', (XÁ, t;...) e (xú, t;). No referencial S, !:::.t = t11 - IA =1,00 µ,s e !:::.x = xH - X,1 = 240 m. (a) Escreva uma expressão para 
!J.t' em termos do parâmetro de velocidade {3 e dos dados cio pro­blema. Faça um gráfico de !:::.t' em função de f3 (b) para O s f3 s 
0,01 e (c) para 0,1 '.S f3 s 1. (d) Para que valor de f3 o valor de M' é mínimo? (e) Qual é esse valor mínimo? (f) Um dos dois eventos pode ser a causa do outro? Justifique sua resposta. 
63 Distância espacial entre dois eventos. Os eventos A e B ocor­rem nas seguintes coordenadas espaço-temporais nos referenciais da Fig. 37-26: no referencial S, (x11 h) e (x8 ,t11); no referencial S'.
(XÁ, t;1) e (x8, r;J). No referencial S, D.t = t8 - tA = 1,00 µ.s e !:::.x =x11 - X;1 = 240 m. (a) Escreva uma expressão para�, cm termos do parâmetro de velocidade f3 e cios dados do problema. Faça um gráfico de !:::.x' em função de f3 (b) para O s f3 s 0,01 e ( c) para O, l s f3 s 1. ( d) Para que valor de f3 o valor de !:::.x' é nulo? 
64 A Fig. 37-20 mostra urna nave (cujo referencial é S') pas­sando por um observador (cujo referencial é S) com velocidade 
Capítulo 37 1 Relatividade 
v = 0,950CÍ. Um próton é emitido com uma velocidade de 0,980c 
ao longo da maior dimensão da nave, da proa para a popa. O com­
primento próprio da nave é 760 m. Determine a distância tempo­
ral entre o momento em que o próton foi emitido e o momento 
em que chegou à popa da nave (a) de acordo com um passageiro 
da nave e (b) de acordo com um observador estacionário no re­
ferencial S. Suponha que o percurso do próton, em vez de ser da 
proa para a popa, seja da popa para a proa. Nesse caso, qual é a 
distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido 
e o momento em que chegou à popa da nave (c) de acordo com 
um passageiro da nave e (d) de acordo com um observador esta­
cionário no referencial S? 
65 O problema do carro na garagem. Mário acaba de comprar 
a maior limusine do mundo, com um comprimento próprio Lc = 
30,5 m. Na Fig. 37-31a o carro aparece parado em frente a uma 
garagem com um comprimento próprio L3 = 6,00 m. A garagem 
possui uma porta na frente (que aparece aberta na figura) e 
uma porta nos fundos (que aparece fechada). A limusine é ob­
viamente mais comprida que a garagem. Mesmo assim, Alfredo, 
que é o dono da garagem e conhece alguma coisa de mecânica 
relativística, aposta com Mário que é possível guardar a limu­
sine na garagem com as duas portas fechadas. Mário, que parou 
de estudar física na escola antes de chegar à teoria da relativi­
dade, afirma que isso é impossível, sejam quais forem as circuns­
tâncias. 
Para analisar o plano de Alfredo, suponha que um eixo ele 
referência Xc seja instalado no carro, com x" = O no pára-choque 
traseiro, e que um eixo de referência x.i: seja instalado na garagem, 
com Xg = O na porta dianteira. Em seguida, a limusine de Mário 
se aproxima da porta da frente ela garagem a uma velocidade ele 
0,9980c ( o que na prática, naturalmente, é impossível). Mário está 
em repouso no referencial x,; Alfredo está em repouso no refe­
rencial x.i:. 
Existem dois eventos a considerar. Evento 1: quando o pára­
choque traseiro passa pela porta da frente da garagem a porta é 
fechada. Vamos tomar o instante em que esse evento ocorre como 
sendo o instante inicial tanto para Mário como para Alfredo: 
t.i: 1 = t,, 1 = O.Esse evento ocorre no ponloxc = x.� = O.AFig.37-316 
mostra o evento 1 do ponto de vista de Alfredo (referencial xg). 
Evento 2: quando o pára-choque dianteiro chega à porta dos fun­
dos da garagem a porta é aberta. A Fig. 37-31 e mostra o evento 2 
do ponto de vista de Alfredo. 
De acordo com Alfredo, (a) qual é o comprimento da linrn­
sim:? Quais são as coordenadas (h) x32 e (c) ti:2 do evento 2? (d) 
(a) 
X t �21 -+=��--x,, 
o o 
1-
o o 
(0 (� 
FIG. 37-31 Problema 65. 
por quanto tempo a limusine permanece no interior da garagem 
com as duas portas fechadas? 
Considere agora a situação do ponto de vista ele Mário (refe­
rencial xc)· Nesse caso, é a garagem que passa pela limusine com 
uma velocidade de -0,9980c. De acordo com Mário, (e) qual é o 
comprimento da limusine? Quais são as coordenadas (f) xa e (g) 
tc2 do evento 2? (h) A limusine chega a passar algum tempo no in­
terior da garagem com as duas portas fechadas? (i) Qual dos dois 
eventos acontece primeiro? U) Faça um esboço dos eventos 1 e 2do ponto ele vista de Mário. (k) Existe uma relação causal entre 
os dois eventos, ou seja, um dos eventos é a causa do outro? (1) 
Finalmente, quem ganhou a aposta? 
66 O referencial S' passa pelo referencial S com uma certa ve­
locidade, como na Fig. 37-9. Os eventos 1 e 2 estão separados por 
uma distância 6..x', de acordo com um observador em repouso no 
referencial S'. A Fig. 37-32 mostra a distância 6.x entre os dois 
eventos de acordo com um observador em repouso no referencial 
S em função de 11t', para O s; !1t' s 10. A escala do eixo vertical é 
definida por 6.x11 = 10,0 m. Qual é o valor ele 11x'? 
l',,x" 
o 4 8 
1',,t' (ns) 
FIG. 37-32 Problema 66. 
67 Outra abordagem para as transformações de velocidades. 
Na Fig. 37-33 os referenciais B e C se movem em relação ao re­
ferencial A na direção comum dos eixos x. Podemos representar 
as componentes x das velocidades ele um referencial em relação 
a outro através ele um índice duplo. Assim, por exemplo, v AB é a 
componente x ela velocidade de A em relação a B. Os parâmetros 
ele velocidade podem ser representados ela mesma forma: f3AB ( = 
v AB!c ), por exemplo, é o parâmetro ele velocidade correspondente 
a v AB· (a) Mostre que 
/3 _ /311n 
+ /3nc
AC -
. 1 + /3,11!/3nc 
Seja M/\R a razão (1 - /3/\B)!(l + f3A8) e sejam MRc e MAc razões 
análogas. (b) Mostre que a relação 
l\111c = M,1BMnc 
é verdadeira demonstrando a partir dessa relação a equação do 
item (a). 
- ---
FIG. 37-33 Problemas 67, 68 e 69. 
68 Continuaçüo do Problema 67. Use o resultado cio item (h) 
do Problema 67 para analisar o movimento ao longo de um único 
eixo na seguinte situação: o referencial A da Fig. 37-33 é asso­
ciado a uma partícula que se move com velocidade +0,500c em 
relação ao referencial B, que se move em relação ao referencial C 
com uma velocidade de +O.SOOc. Determine (a) o valor de MAc: 
(b) o valor de /3,1c: (c) a velocidade da partícula em relação ao
referencial C.
69 Continuaçâu do Problema 67. Suponha que o referencial 
C da Fig. 37-33 está se movendo em relação a um observador D 
(que não aparece na figura). (a) Mostre que 
(b) Agora aplique esse resultado geral a um caso particular. Três
partículas se movem paralelamente a um único eixo no qual está
estacionado um observador. Os sinais positivo e negativo indicam
o sentido cio movimento ao longo desse eixo. A partícula A se
move em relação à partícula B com um parâmetro ele velocidade
/3,1 8 = +0,20.A partícula B se move em relação à partícula C com
um parâmetro de velocidade f38c = -0,40. A partícula C se move
em relação ao observador D com um parâmetro de velocidade
f3cn = +0,60. Qual é a velocidade da partícula A em relação ao
observador D? (Este método de resolver o problema é muito
mais rápido que usar a Eq. 37-29.)
70 A energia total de um próton que está passando por um la­
boratório é 10,611 nJ. Qual é o valor do parâmetro de velocidade 
(3'? Use a massa do próton com nove algarismos significativos que 
aparece no Apêndice B. 
71 Se interceptamos um elétron com uma energia total de 
1533 Me V proveniente de Vega. que fica a 26 anos-luz da Terra, 
qual foi a distância percorrida, em anos-luz, no referencial do 
elétron? 
72 Um píon é criado na parte superior da atmosfera da Terra 
quando um raio cósmico colide com um núcleo atômico. O píon 
assim formado desce em direção à superfície da Terra com uma 
velocidade de 0,99c. Em um referencial no qual estão cm repouso 
os píons decaem com uma vicia média de 26 ns. No referencial da 
Terra, que distância um píon percorre (em média) na atmosfera 
antes de decair? 
73 Qual é o momento em Me V/e de um elétron com uma ener­
gia cinética de 2,00 Me V? 
74 Determine o parâmetro de velocidade ele uma partícula que 
leva 2,0 anos a mais que a luz para percorrer uma distância de 6,0 
anos-luz. 
75 Qual é o trabalho necessário para acelerar um próton de 
uma velocidade de 0,9850c para uma velocidade de 0,9860c? 
76 Um avião cujo comprimento em repouso é 40,0 m está se 
movendo com urna velocidade de 630 m/s cm relação à Terra. 
(a) Qual é a razão entre o comprimento do avião do ponto de
vista de um observador terrestre e o comprimento próprio? (b)
Quanto tempo o relógio do avião leva para atrasar 1,00 µ,s em
relação aos relógios terrestres? (Use nos cálculos a teoria da rela­
tividade restrita.)
77 Para girar cm volta da Terra em uma órbita ele baixa altitude 
um satélite deve ter uma velocidade de aproximadamente 2,7 X 
104 km/h. Suponha que dois satélites nesse tipo ele órbita girem 
em torno da Terra em sentidos opostos. (a) Qual é a velocidade 
relativa dos satélites ao se cruzarem, de acordo com a equação 
clássica ele transformação de velocidades? (b) Qual é o erro rela­
tivo cometido no item (a) por não ser usada a equação relativís­
tica de transformação de velocidades? 
Problemas 
78 Um transmissor de radar Testá em repouso em um referen­
cial S' que se move para a direita com velocidade vem relação ao 
referencial S (Fig. 37-34). Um contador mecânico (que pode ser 
considerado um relógio) do referencial S', com um período •u (no 
referencial S'), faz com que o transmissor T emita pulsos de radar 
que se propagam com a velocidade ela luz e são recebidos por R. 
um receptor cio referencial S. (a) Qual é o período T do contador 
do ponto de vista do observador A, que está em repouso no re­
ferencial S? (b) Mostre que no receptor R o intervalo de tempo 
entre os pulsos recebidos não é T nem To, mas 
ÊTN = To ---. C V 
(c) Explique por que o receptor R e o observador A, que estão
em repouso no mesmo referencial, medem um período diferente
para o transmissor T. (Sugestão: Um relógio e um pulso de radar
não são a mesma coisa.)
s 
(' 
\ 
\ 
S' 
T 
FIG. 37-34 Problema 78. 
V 
79 Uma partícula de massa m tem uma velocidade c/2 em rela­
ção ao referencial inercial S.A partícula colide com uma partícula 
igual em repouso no referencial S. Qual é a velocidade, em rela­
ção a S, de um referencial S' no qual o momento total das duas 
partículas é zero? Este referencial é conhecido como referencial 
do centro de momento. 
80 Uma partícula elementar produzida em um experimento de 
laboratório percorre 0,230 mm no interior cio laboratório, com 
uma velocidade relativa ele 0,960c, antes de decair (transformar­
se em outra partícula). (a) Qual é o tempo ele vida próprio da 
partícula? (b) Qual é a distância percorrida pela partícula no seu 
referencial ele repouso? 
81 Determine o valor (a) de K, (b) ele E e (e) de p (em GeV/c) 
para um próton que está se movendo a uma velocidade de 0,990c. 
Determine (d) K, (e) E e (f) p (em Me V/e) para um elétron que 
está se movendo a uma velocidade de 0,990c. 
82 No desvio para o vermelho ela luz ele uma galáxia distante 
uma certa radiação, que tem um comprimento de onda de 434 nm 
quando é observada em laboratório, passa a ter um comprimento 
ele onda de 462 nm. (a) Qual é a velocidade radial da galáxia em 
relação à Terra? (b) A galáxia está se aproximando ou se afas­
tando da Terra? 
83 (a) Que diferença de potencial aceleraria um elétron até a 
velocidade e de acordo com a física clássica? (b) Se um elétron 
for submetido a essa diferença de potencial, qual será sua veloci­
dade final? 
84 O raio da Terra é 6370 km e a velocidade orbital do planeta é 
30 km/s. Suponha que a Terra passe por um observador com essa 
velocidade. Qual é a redução cio diâmetro da Terra na direção do 
movimento, do ponto de vista do observador? 
Capítulo 37 1 Relatividade
85 Uma cspaçonave em repouso em um certo referencial S
sofre um incremento de velocidade de 0,50c. Em seguida a nave 
sofre um incremento de 0,50c em relação ao novo referencial de 
repouso. O processo continua até que a velocidade da nave em 
relação ao referencial original S seja maior que 0,999c. Quantos 
incrementas são necessários para completar o processo?86 Um cruzador dos forons, que está em rota de colisão com 
um caça dos reptulianos, dispara um míssil na direção da outra 
nave. A velocidade do míssil é 0,980c em relação à nave dos rep­
tulianos, e a velocidade do cruzador dos forons é 0,900c. Qual é a 
velocidade do míssil em relac,;ãu au <.:ruzadur? 
87 Uma partícula proveniente do espaço sideral se aproxima 
da Terra ao longo do eixo de rotação do planeta com uma veloci­
dade de 0,80c, vinda do norte, e outra partícula se aproxima com 
uma velocidade de 0,60c, vinda do sul (Fig. 37-35). Qual é a velo­
cidade relativa de aproximação das partículas? 
88 (a) Qual é a energia liberada pela explosão de uma bomba 
de fissão contendo 3,0 kg de material [íssil? Suponha que 0,10% 
da massa do material físsil são convertidos em energia. (b) Que 
massa de TNT teria que ser usada para liberar a mesma quanti­
dade de energia? Suponha que um mo! de TNT libera 3,4 MI de 
energia ao explodir. A massa molecular do TNT é 0,227 kg/mol. 
(e) Para a mesma massa de explosivo, qual é a razão entre a ener­
gia liberada cm uma explosão nuclear e a energia liberada em
uma explosão de TNT?
J:
º
' 
Pólo norte 
. l_geográfico 
geogrMico 
Pólo sul i
0,60c 
FIG. 37-35 Problema 87. 
 
2. (a) We find β from γ β= −1 1 2/ : 
 
( )22
1 11 1 0.14037076.
1.0100000
β γ= − = − = 
 
(b) Similarly, ( ) 21 10.000000 0.99498744.β −= − = 
 
(c) In this case, ( ) 21 100.00000 0.99995000.β −= − = 
 
(d) The result is ( ) 21 1000.0000 0.99999950.β −= − = 
 
3. In the laboratory, it travels a distance d = 0.00105 m = vt, where v = 0.992c and t is the 
time measured on the laboratory clocks. We can use Eq. 37-7 to relate t to the proper 
lifetime of the particle t0: 
 
( )
2
20
02
 1 1 0.992
0.9921 /
t v dt t t
c cv c
⎛ ⎞= ⇒ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠−
 
 
which yields t0 = 4.46 × 10–13 s = 0.446 ps. 
 
4. From the value of ∆t in the graph when β = 0, we infer than ∆to in Eq. 37-9 is 8.0 s. 
Thus, that equation (which describes the curve in Fig. 37-23) becomes 
 
0
2 2
8.0 s
1 ( / ) 1
tt
v c β
∆∆ = =− − . 
 
If we set β = 0.98 in this expression, we obtain approximately 40 s for ∆t. 
 
5. We solve the time dilation equation for the time elapsed (as measured by Earth 
observers): 
∆ ∆t t= −
0
21 0 9990( . )
 
 
where ∆t0 = 120 y. This yields ∆t = 2684 y 32.68 10 y.≈ × 
 
6. Due to the time-dilation effect, the time between initial and final ages for the daughter 
is longer than the four years experienced by her father: 
 
tf daughter – ti daughter = γ(4.000 y) 
 
where γ is Lorentz factor (Eq. 37-8). Letting T denote the age of the father, then the 
conditions of the problem require 
 
Ti = ti daughter + 20.00 y , Tf = tf daughter – 20.00 y . 
 
Since Tf − Ti = 4.000 y, then these three equations combine to give a single condition 
from which γ can be determined (and consequently v): 
 
44 = 4γ ⇒ γ = 11 ⇒ β = 2 3011 = 0.9959. 
 
should be admitted that this is a fairly subtle question which has occasionally precipitated 
debates among professional physicists. 
 
7. (a) The round-trip (discounting the time needed to “turn around”) should be one year 
according to the clock you are carrying (this is your proper time interval ∆t0) and 1000 
years according to the clocks on Earth which measure ∆t. We solve Eq. 37-7 for β : 
 
22
0 1y1 1 0.99999950.
1000y
t
t
β ⎛ ⎞∆⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
(b) The equations do not show a dependence on acceleration (or on the direction of the 
velocity vector), which suggests that a circular journey (with its constant magnitude 
centripetal acceleration) would give the same result (if the speed is the same) as the one 
described in the problem. A more careful argument can be given to support this, but it 
 
8. Only the “component” of the length in the x direction contracts, so its y component 
stays 
sin 30 (1.0 m)(0.50) 0.50my y′ = = ° = =A A A 
 
while its x component becomes 
 
2 21 (1.0 m)(cos30 ) 1 (0.90) 0.38m.x x β′ = − = ° − =A A 
 
Therefore, using the Pythagorean theorem, the length measured from S' is 
 
( ) ( )22 2 2(0.38 m) (0.50 m) 0.63m.x y′ ′ ′= + = + =A A A 
 
9. The length L of the rod, as measured in a frame in which it is moving with speed v 
parallel to its length, is related to its rest length L0 by L = L0/γ, where γ β= −1 1 2/ and 
β = v/c. Since γ must be greater than 1, L is less than L0. For this problem, L0 = 1.70 m 
and β = 0.630, so 
( ) ( )220 1 1.70 m 1 0.630 1.32 m.L L β= − = − = 
 
10. The contracted length of the tube would be 
 
( )2 20 1 3.00 m 1 (0.999987) 0.0153m.L L β= − = − = 
 
11. (a) The rest length L0 = 130 m of the spaceship and its length L as measured by the 
timing station are related by Eq. 37-13. Therefore, 
 
( ) ( )220 1 ( / ) 130 m 1 0.740 87.4 m.L L v c= − = − = 
 
(b) The time interval for the passage of the spaceship is 
 
∆t L
v
= = × = ×
−87 4
300 10
394 10
8
7.
.
.m
0.740 m / s
s.b gc h 
If we set β = 0.95 in this expression, we obtain approximately 0.25 m for L. 
 
12. From the value of L in the graph when β = 0, we infer that Lo in Eq. 37-13 is 0.80 m. 
Thus, that equation (which describes the curve in Fig. 37-24) with SI units understood 
becomes 
 ( )2 20 1 ( / ) 0.80 m 1L L v c β= − = − . 
 
 
13. (a) Let d = 23000 ly = 23000 c y, which would give the distance in meters if we 
included a conversion factor for years → seconds. With ∆t0 = 30 y and ∆t = d/v (see Eq. 
37-10), we wish to solve for v from Eq. 37-7. Our first step is as follows: 
 
0
2 2
23000 y 30 y ,
1 1
tdt
v ββ β
∆∆ = = ⇒ =− − 
 
at which point we can cancel the unit year and manipulate the equation to solve for the 
speed parameter β. This yields 
 
( )2
1 0.99999915.
1 30 / 23000
β = =
+
 
 
(b) The Lorentz factor is 21/ 1 766.6680752γ β= − = . Thus, the length of the galaxy 
measured in the traveler’s frame is 
 
0 23000 ly 29.99999 ly 30 ly.
766.6680752
LL γ= = = ≈ 
 
14. (a) We solve Eq. 37-13 for v and then plug in: 
 
2 2
0
11 1 0.866.
2
L
L
β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
 
 (b) The Lorentz factor in this case is ( )2
1 2.00
1 /v c
γ = =
−
. 
 
2 2
1 1 7.09.
1 1 (0.99)
γ β= = =− − 
 
Thus, ∆t0 = (26.26 y)/(7.09) = 3.705 y. 
 
15. (a) The speed of the traveler is v = 0.99c, which may be equivalently expressed as 
0.99 ly/y. Let d be the distance traveled. Then, the time for the trip as measured in the 
frame of Earth is 
∆t = d/v = (26 ly)/(0.99 ly/y) = 26.26 y. 
 
(b) The signal, presumed to be a radio wave, travels with speed c and so takes 26.0 y to 
reach Earth. The total time elapsed, in the frame of Earth, is 
 
26.26 y + 26.0 y = 52.26 y . 
 
(c) The proper time interval is measured by a clock in the spaceship, so ∆t0 = ∆t/γ. Now 
 
 
16. The “coincidence” of x = x' = 0 at t = t' = 0 is important for Eq. 37-21 to apply 
without additional terms. We label the event coordinates with subscripts: (x1, t1) = (0, 0) 
and (x2, t2) = (3000 m, 4.0 × 10–6 s). 
 
(a) We expect (x'1, t'1) = (0, 0), and this may be verified using Eq. 37-21. 
 
(b) We now compute (x'2, t'2), assuming v = +0.60c = +1.799 × 108 m/s (the sign of v is 
not made clear in the problem statement, but the Figure referred to, Fig. 37-9, shows the 
motion in the positive x direction). 
 
8 6
3
2 2 2
6 8
6
2 2 2
3000 m (1.799 10 m/s)(4.0 10 s) 2.85 10 m
1 1 (0.60)
4.0 10 s (0.60)(3000 m) /(2.998 10 m/s) 2.5 10 s
1 1 (0.60)
x vtx
t x ct
β
β
β
−
−
−
− − × ×′ = = = ×− −
− × − ×′ = = = − ×− −
 
 
(c) The two events in frame S occur in the order: first 1, then 2. However, in frameS' 
where 2 0t′ < , they occur in the reverse order: first 2, then 1. So the two observers see the 
two events in the reverse sequence. 
 
We note that the distances x2 – x1 and 2 1x x′ ′− are larger than how far light can travel 
during the respective times 2 1 2 1( ( ) 1.2 km and | | 750m)c t t c t t′ ′− = − ≈ , so that no 
inconsistencies arise as a result of the order reversal (that is, no signal from event 1 could 
arrive at event 2 or vice versa). 
Similarly, let tb be the time and xb be the coordinate of the big flash, as measured in frame 
S. Then, the time of the big flash, as measured in frame S', is 
 
.bb b
xt t
c
β⎛ ⎞′ = γ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
Subtracting the second Lorentz transformation equation from the first and recognizing 
that ts = tb (since the flashes are simultaneous in S), we find 
 
3
5
8
( ) (1.0328)(0.250)(30 10 m)' 2.58 10 s
3.00 10 m/s
s bx xt
c
γβ −− ×∆ = = = ×× 
where ' ' 'b st t t∆ = − . 
 
(b) Since ∆t' is negative, tb' is greater than ts' . The small flash occurs first in S'. 
 
17. (a) We take the flashbulbs to be at rest in frame S, and let frame S' be the rest frame of 
the second observer. Clocks in neither frame measure the proper time interval between 
the flashes, so the full Lorentz transformation (Eq. 37-21) must be used. Let ts be the time 
and xs be the coordinate of the small flash, as measured in frame S. Then, the time of the 
small flash, as measured in frame S', is 
 
s
s s
xt t
c
β⎛ ⎞′ = γ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
where β = v/c = 0.250 and 
 
γ = − = − =1 1 1 1 0 250 103282 2/ / ( . ) .β . 
 
 
 
(d) Similarly, 
 
( )( )
( )
8 8
2 2
2.50s 0.400 3.00 10 m / 2.998 10 m/s
3.16s.
1 0.400
vxt t
c
γ + × ×⎛ ⎞′ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −
 
 
18. The “coincidence” of x = x' = 0 at t = t' = 0 is important for Eq. 37-21 to apply 
without additional terms. In part (a), we apply these equations directly with 
 
v = +0.400c = 1.199 × 108 m/s, 
 
and in part (c) we simply change v v→ − and recalculate the primed values. 
 
(a) The position coordinate measured in the S' frame is 
 
( ) ( )( )( )
8 8
5
2 2
3.00 10 m 1.199 10 m/s 2.50s
2.7 10 m 0,
1 1 0.400
x vtx x vtγ β
× − ×−′ = − = = = × ≈− −
 
 
where we conclude that the numerical result (2.7 × 105 m or 2.3 × 105 m depending on 
how precise a value of v is used) is not meaningful (in the significant figures sense) and 
should be set equal to zero (that is, it is “consistent with zero” in view of the statistical 
uncertainties involved). 
 
(b) The time coordinate measured in the S' frame is 
 
( )( )
( )
8 8
2 2 2
2.50s 0.400 3.00 10 m / 2.998 10 m/s/ 2.29s.
1 1 0.400
vx t x ct t
c
βγ β
− × ×−⎛ ⎞′ = − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ − −
 
 
(c) Now, we obtain 
 ( )( )
( )
8 8
8
2 2
3.00 10 m 1.199 10 m/s 2.50 s
6.54 10 m.
1 1 0.400
x vtx β
× + ×+′ = = = ×− −
 
 
19. The proper time is not measured by clocks in either frame S or frame S' since a single 
clock at rest in either frame cannot be present at the origin and at the event. The full 
Lorentz transformation must be used: 
 
' ( ) and ' ( / )x x vt t t x cγ γ β= − = − 
 
where β = v/c = 0.950 and 
 
γ β= − = − =1 1 1 1 0 950 3202562 2/ ( . ) . . 
Thus, 
 ( )3 8 6
5
' ( ) (3.20256) 100 10 m (0.950)(2.998 10 m/s)(200 10 s)
1.38 10 m 138km.
x x vtγ −= − = × − × ×
= × =
 
 
(b) The temporal coordinate in S’ is 
 
3
6
8
4
(0.950)(100 10 m)' ( / ) (3.20256) 200 10 s
2.998 10 m/s
3.74 10 s 374 s .
t t x cγ β
µ
−
−
⎡ ⎤×= − = × −⎢ ⎥×⎣ ⎦
= − × = −
 
 
(e) Eq. 2′ in Table 37-2 gives 
 ( ) ( )22 1
9 8
/ /
(2.00) 40.0 10 s (0.866)(20.0 m) /(2.998 10 m/s)
35.5 ns .
t t t t v x c t x cγ γ β
−
′ ′ ′∆ = − = ∆ − ∆ = ∆ − ∆
⎡ ⎤= × − ×⎣ ⎦
= −
 
 
In absolute value, the two events are separated by 35.5 ns. 
 
(f) The negative sign obtained in part (e) implies event 2 occurred before event 1. 
 
20. The time-dilation information in the problem (particularly, the 15 s on “his 
wristwatch… which takes 30.0 s according to you”) reveals Lorentz factor is γ = 2.00 
(see Eq. 37-9), which implies his speed is v = 0.866c. 
 
(a) With γ = 2.00, Eq. 37-13 implies the contracted length is 0.500 m. 
 
(b) There is no contraction along direction perpendicular to the direction of motion (or 
“boost” direction), so meter stick 2 still measures 1.00 m long. 
 
(c) As in part (b), the answer is 1.00 m. 
 
(d) Eq. 1′ in Table 37-2 gives 
 
( ) 8 92 1 (2.00) 20.0 m (0.866)(2.998 10 m/s)(40.0 10 s)
19.2 m
x x x x v tγ −′ ′ ′ ⎡ ⎤∆ = − = ∆ − ∆ = − × ×⎣ ⎦
=
 
 
21. (a) The Lorentz factor is 
 
γ = − = − =
1
1
1
1 0 600
125
2 2β ( . ) . . 
 
(b) In the unprimed frame, the time for the clock to travel from the origin to x = 180 m is 
 
t x
v
= = × = ×
−180 100 10 6m
(0.600)(3.00 10 m / s)
s .8 . 
 
The proper time interval between the two events (at the origin and at x = 180 m) is 
measured by the clock itself. The reading on the clock at the beginning of the interval is 
zero, so the reading at the end is 
 
t t' .
.
.= = × = ×
−
−
γ
100 10
125
8 00 10
6
7s s . 
 
22. From Eq. 2 in Table 37-2, we have 
 
∆t = v γ ∆x′/c² + γ ∆t′. 
 
The coefficient of ∆x′ is the slope (4.0 µs/400 m) of the graph, and the last term 
involving ∆t′ is the “y-intercept” of the graph. From the first observation, we can solve 
for β = v/c = 0.949 and consequently γ = 3.16. Then, from the second observation, we 
find 
6
72.00 10 s' 6.3 10 s .
3.16
tt γ
−
−∆ ×∆ = = = × 
 
∆x = x2 – x1 = –720 m. 
 
If we set ∆x' = 0 in Eq. 37-25, we find 
 
0 720 500 10 6= − = − − × −γ γ( ) ( .∆ ∆x v t vm s)c h 
 
which yields v = –1.44 × 108 m/s, or / 0.480v cβ = = . 
 
(b) The negative sign in part (a) implies that frame S' must be moving in the –x direction. 
 
(c) Eq. 37-28 leads to 
 
∆ ∆ ∆t t v x
c
' . ( .
( .
= −FHG
I
KJ = × −
− × −
×
F
HG
I
KJ
−γ γ2 6
8
85 00 10
144 10
2 998 10
s m / s)( 720 m)
m / s)2
 
 
which turns out to be positive (regardless of the specific value of γ). Thus, the order of 
the flashes is the same in the S' frame as it is in the S frame (where ∆t is also positive). 
Thus, the big flash occurs first, and the small flash occurs later. 
 
(d) Finishing the computation begun in part (c), we obtain 
 
6 8 8 2
6
2
5.00 10 s ( 1.44 10 m/s)( 720m)/(2.998 10 m/s)' 4.39 10 s .
1 0.480
t
−
−× − − × − ×∆ = = ×− 
 
23. (a) In frame S, our coordinates are such that x1 = +1200 m for the big flash, and x2 = 
1200 – 720 = 480 m for the small flash (which occurred later). Thus, 
 
 
24. We wish to adjust ∆t so that 
 
( )0 ' ( 720 m )x x v t v tγ γ= ∆ = ∆ − ∆ = − − ∆ 
 
in the limiting case of | |v c→ . Thus, 
 
6
8
720m 2.40 10 s .
2.998 10 m/s
x xt
v c
−∆ ∆∆ = = = = ×× 
 
 
 
Note the limits of the vertical axis are +2 µs and –2 µs. We note how “flat” the curve is 
in this graph; the reason is that for low values of β, Bullwinkle’s measure of the temporal 
separation between the two events is approximately our measure, namely +1.0 µs. There 
are no non-intuitive relativistic effects in this case. 
 
(c) A plot of ∆t′ as a function of β in the range 0.1 1β< < is shown below: 
 
 
 
25. (a) Using Eq. 2′ of Table 37-2, we have 
 
6
2 8
(400 m)' 1.00 10 s
2.998 10 m/s
v x xt t t
c c
β β−⎛ ⎞∆ ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = γ ∆ − = γ ∆ − = γ × −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
where the Lorentz factor is itself a function of β (see Eq. 37-8). 
 
(b) A plot of ∆t′ as a function of β in the range 0 0.01β< < is shown below: 
 
(as the speed approaches that of light) becomes progressively more negative. For the 
lower speeds with 
∆t′ > 0⇒ tA′ < tB′ ⇒ 0 0.750β< < , 
 
according to Bullwinkle event A occurs before event B just as we observe. 
 
(f) For the higher speeds with 
 
∆t′ < 0 ⇒ tA′ > tB′ ⇒ 0.750 1β< < , 
 
according to Bullwinkle event B occurs before event A (the opposite of what we observe). 
 
(g) No, event A cannot cause event B or vice versa. We note that 
 
∆x/∆t = (400 m)/(1.00 µs) = 4.00 ×108 m/s > c. 
 
A signal cannot travel from event A to event B without exceeding c, so causal influences 
cannot originate at A and thus affect what happens at B, or vice versa. 
 
(d) Setting 
6
8
(400 m)' 1.00 10 s 0
2.998 10 m/s
xt t
c
β β−⎛ ⎞∆⎛ ⎞∆ = γ ∆ − = γ × − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , 
 
leads to 
8 6(2.998 10 m/s)(1.00 10 s) 0.7495 0.750
400m
c t
x
β
−∆ × ×= = = ≈∆ . 
 
(e) For the graph shown in part (c), that as we increase the speed, the temporal separation 
according to Bullwinkle is positive for the lower values and then goes to zero and finally 
 
26. (a) From Table 37-2, we find 
 
( ) ( )
2
[400 m (1.00 s)]
400 m (299.8 m)
1
x x v t x c t cγ γ β γ β µ
β
β
′∆ = ∆ − ∆ = ∆ − ∆ = −
−= −
 
 
(b) A plot of 'x∆ as a function of β with 0 0.01β< < is shown below: 
 
 
 
(c) A plot of 'x∆ as a function of β with 0.1 1β< < is shown below: 
 
 
 
(d) To find the minimum, we can take a derivative of ∆x′ with respect to β, simplify, and 
then set equal to zero: 
 
2 3/ 22
0
(1 )1
d x d x c t x c t
d d
β β
β β ββ
⎛ ⎞′∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ −−⎝ ⎠
 
8 6(2.998 10 m/s)(1.00 10 s) 0.7495 0.750
400 m
c t
x
β
−∆ × ×= = = ≈∆ 
 
(e) Substituting this value of β into the part (a) expression yields ∆x′ = 264.8 m 
265 m≈ for its minimum value. 
This yields 
 
27. (a) One thing Einstein’s relativity has in common with the more familiar (Galilean) 
relativity is the reciprocity of relative velocity. If Joe sees Fred moving at 20 m/s 
eastward away from him (Joe), then Fred should see Joe moving at 20 m/s westward 
away from him (Fred). Similarly, if we see Galaxy A moving away from us at 0.35c then 
an observer in Galaxy A should see our galaxy move away from him at 0.35c, or 0.35 in 
multiple of c. 
 
(b) We take the positive axis to be in the direction of motion of Galaxy A, as seen by us. 
Using the notation of Eq. 37-29, the problem indicates v = +0.35c (velocity of Galaxy A 
relative to Earth) and u = –0.35c (velocity of Galaxy B relative to Earth). We solve for 
the velocity of B relative to A: 
 
2
' / / ( 0.35) 0.35 0.62
1 / 1 ( 0.35)(0.35)
u u c v c
c uv c
− − −= = = −− − − , 
or | '/ | 0.62.u c = 
 
2
' / / 0.8 0.4 0.588
1 / 1 (0.8)(0.4)
u u c v c
c uv c
− −= = =− − 
 
in a direction away from Earth. 
 
28. Using the notation of Eq. 37-29 and taking “away” (from us) as the positive direction, 
the problem indicates v = +0.4c and u = +0.8c (with 3 significant figures understood). We 
solve for the velocity of Q2 relative to Q1 (in multiple of c): 
 
 
29. We assume S' is moving in the +x direction. With u' = +0.40c and v = +0.60c, Eq. 37-
29 yields 
u u v
u v c
c c
c c c
c= ++ =
+
+ + =
'
' /
. .
( . )( . ) /
. .
1
0 40 0 60
1 0 40 0 60
0812 2 
 
30. (a) We use Eq. 37-29: 
 
v v u
uv c
c c c= ++ =
+
+ =
'
'/
. .
( . )( . )
. ,
1
0 47 0 62
1 0 47 0 62
0842 
 
in the direction of increasing x (since v > 0). In unit-vector notation, we have 
ˆ(0.84 )iv c=G . 
 
(b) The classical theory predicts that v = 0.47c + 0.62c = 1.1c, or ˆ(1.1 )iv c=G 
 
(c) Now v' = –0.47c iˆ so 
 
v v u
uv c
c c c= ++ =
− +
+ − =
'
'/
. .
( . )( . )
. ,
1
0 47 0 62
1 0 47 0 62
0 212 
or ˆ(0.21 )iv c=G 
 
(d) By contrast, the classical prediction is v = 0.62c – 0.47c = 0.15c, or ˆ(0.15 )iv c=G 
 
(b) In the armada’s rest frame (called Sa), the velocity of the messenger is 
 
v v v
vv c
c c
c c c
ca
a
'
/
. .
( . )( . ) /
. .= −− =
−
− =1
0 95 080
1 0 95 080
0 6252 2 
 
Now, the length of the trip is 
 
0 1.0 ly' 1.60 y .
' 0.625
Lt
v c
= = = 
 
(c) Measured in system S, the length of the armada is 
 
L L= = − =0 210 1 080 0 60γ . ( . ) . ,ly ly 
 
so the length of the trip is 
 
0.60ly 4.00 y .
0.95 0.80m a
Lt
v v c c
= = =− − 
 
31. (a) In the messenger’s rest system (called Sm), the velocity of the armada is 
 
v v v
vv c
c c
c c c
cm
m
'
/
. .
( . )( . ) /
. .= −− =
−
− = −1
080 0 95
1 080 0 95
0 6252 2 
 
The length of the armada as measured in Sm is 
 
20
1 (1.0 ly) 1 ( 0.625) 0.781 ly .
LL
vγ= = − − =′ 
 
Thus, the length of the trip is 
 
t L
v
' '
| ' |
. .= = =0 781 125ly
0.625c
y . 
 
32. The Figure shows that u′ = 0.80c when v = 0. We therefore infer (using the notation 
of Eq. 37-29) that u = 0.80c. Now, u is a fixed value and v is variable, so u′ as a function 
of v is given by 
2
0.80'
1 / 1 (0.80) /
u v c vu
uv c v c
− −= =− − 
 
which is Eq. 37-29 rearranged so that u′ is isolated on the left-hand side. We use this 
expression to answer parts (a) and (b). 
 
(a) Substituting v = 0.90c in the expression above leads to u′ = − 0.357c ≈ − 0.36c. 
 
(b) Substituting v = c in the expression above leads to u′ = −c (regardless of the value of 
u). 
 
 
∆t d
u
= = × = ×
−
' .
.350
2 94 10
12 108
6m
m / s
s . 
 
33. Using the notation of Eq. 37-29 and taking the micrometeorite motion as the positive 
direction, the problem indicates v = –0.82c (spaceship velocity) and u = +0.82c 
(micrometeorite velocity). We solve for the velocity of the micrometeorite relative to the 
spaceship: 
u u v
uv c
c c c'
/
. ( . )
( . )( . )
.= −− =
− −
− − =1
082 082
1 082 082
0 982 
 
or 2.94 × 108 m/s. Using Eq. 37-10, we conclude that observers on the ship measure a 
transit time for the micrometeorite (as it passes along the length of the ship) equal to 
 
34. (a) Eq. 37-36 leads to a speed of 
 
8 6 6(0.004)(3.0 10 m/s) 1.2 10 m/s 1 10 m/s.v c∆λ= = × = × ≈ ×λ 
 
(b) The galaxy is receding. 
 
35. We obtain 
620 nm 540 nm 0.13 .
620 nm
v c c c∆λ −⎛ ⎞= = =⎜ ⎟λ ⎝ ⎠ 
 
36. (a) Eq. 37-36 leads to 
 
8 612.00nm (2.998 10 m/s) 7.000 10 m/s.
513.0nm
v c∆λ= = × = ×λ 
 
(b) The line is shifted to a larger wavelength, which means shorter frequency. Recalling 
Eq. 37-31 and the discussion that follows it, this means galaxy NGC is moving away 
from Earth. 
 
37. The spaceship is moving away from Earth, so the frequency received is given directly 
by Eq. 37-31. Thus, 
 
f f= −+ =
−
+ =0
1
1
100 0 9000
1 0 9000
22 9ββ (
.
.
.MHz) 1 MHz . 
 
38. We use the transverse Doppler shift formula, Eq. 37-37: f f= −0 21 β , or 
 
1 1 1 2λ λ0
= − β . 
We solve for λ − λ0 : 
 
λ − λ λ0 0 2 2
1
1
1 589 00 1
1 0100
1 2 97= − −
F
HG
I
KJ
= − −
L
N
MM
O
Q
PP = +β ( . ( . ) . .mm) nm 
0
1 1 0.20 
1 1 0.20
c cf f ββ 0
− −= ⇒ =+ λ λ + 
which implies 
λ = (450 nm) 1+ 0.20
1
nm .− =0 20 550. 
 
(b) This is in the yellow portion of the visible spectrum. 
 
39. (a) The frequency received is given by 
 
 
40. From Eq. 28-37, we have 
 
[ ]2 23(4.00151u) 11.99671u (0.00782u)(931.5MeV/u)
7.28Mev.
Q Mc c= −∆ = − − = −
= − 
 
Thus, it takes a minimum of 7.28 MeV supplied to the system to cause this reaction. We 
note that the masses given in this problem are strictly for the nuclei involved; they are not 
the “atomic” masses that are quoted in several of the other problems in this chapter. 
 
41. (a) The work-kinetic energy theorem appliesas well to relativistic physics as to 
Newtonian; the only difference is the specific formula for kinetic energy. Thus, we use W 
= ∆K where K = mec2(γ – 1) (Eq. 37-52), and mec2 = 511 keV = 0.511 MeV (Table 37-3). 
Noting that 
∆K = mec2(γf – γi), 
we obtain 
 
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 1 1511keV
1 1 1 0.19 1 0.18
0.996 keV 1.0 keV.
e
f i
W K m c β β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∆ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ≈
 
 
(b) Similarly, 
 
( ) ( ) ( )2 2
1 1511keV 1055keV 1.1 MeV.
1 0.99 1 0.98
W ⎛ ⎞= − = ≈⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
 
 
We see the dramatic increase in difficulty in trying to accelerate a particle when its initial 
speed is very close to the speed of light. 
 
Q M c= − = − − =∆ 2 0 008712 9315 812. . .u MeV / u MeV.b gb g 
 
42. The mass change is 
 
∆M = − = −4 002603 1007825 0 008712. . .u +15.994915u u +18.998405u u.b g b g 
 
Using Eq. 37-50 and Eq. 37-46, this leads to 
 
 
43. (a) From Eq. 37-52, γ = (K/mc2) + 1, and from Eq. 37-8, the speed parameter is 
β γ= −1 1 2/ .b g Table 37-3 gives mec2 = 511 keV = 0.511 MeV, so the Lorentz factor is 
 
100MeV 1 196.695.
0.511MeV
γ = + = 
(b) The speed parameter is 
 
( )2
11 0.999987.
196.695
β = − = 
 
Thus, the speed of the electron is 0.999987c, or 99.9987% of the speed of light. 
 
44. (a) The work-kinetic energy theorem applies as well to Einsteinian physics as to 
Newtonian; the only difference is the specific formula for kinetic energy. Thus, we use 
Eq. 37-52 
W = ∆K = mec2(γ – 1) 
 
and mec2 = 511 keV = 0.511 MeV (Table 37-3), and obtain 
 
2
2 2
1 11 (511keV) 1 79.1 keV .
1 1 (0.500)
eW m c β
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥− −⎝ ⎠ ⎣ ⎦
 
 
(b) W =
−
−F
HG
I
KJ
=0 511 1
1 0 990
1 311
2
.
.
.MeV MeV.b g
b g
 
 
(c) W =
−
−F
HG
I
KJ
=0 511 1
1 0 990
1 10 9
2
.
.
.MeV MeV.b g
b g
 
 
45. We set Eq. 37-55 equal to (3.00mc2)2, as required by the problem, and solve for the 
speed. Thus, 
( ) ( ) ( )2 22 2 29.00pc mc mc+ = 
 
leads to 8 2.83 .p mc mc= ≈ 
 
we obtain 
 
2
1.0000000keV1 1 1.00195695 1.0019570.
510.9989keVe
K
m c
γ = + = + = ≈ 
 
(b) Therefore, the speed parameter is 
 
2 2
1 11 1 0.062469542.
(1.0019570)
β γ= − = − = 
 
(c) For 1.0000000 MeVK = , we have 
 
2
1.0000000MeV1 1 2.956951375 2.9569514.
0.5109989MeVe
K
m c
γ = + = + = ≈ 
 
(d) The corresponding speed parameter is 
 
21 0.941079236 0.94107924.β γ −= − = ≈ 
 
(e) For K = 1.0000000 GeV, we have 
 
2
1000.0000MeV1 1 1957.951375 1957.9514.
0.5109989MeVe
K
m c
γ = + = + = ≈ 
 
(f) The corresponding speed parameter is 
 
21 0.99999987β γ −= − = 
 
46. (a) Using K = mec2 (γ – 1) (Eq. 37-52) and 
 
mec2 = 510.9989 keV = 0.5109989 MeV, 
 
46. (a) Using K = mec2 (γ – 1) (Eq. 37-52) and 
 
mec2 = 510.9989 keV = 0.5109989 MeV, 
 
v c c= − FHG
I
KJ =1
1 0 99994
2
γ . . 
 
Therefore, in our reference frame the time elapsed is 
 
 100 8
0.21 m 7.01 10 s
(0.99994)(2.998 10 m/s)
Lt
v
−∆ = = = ×× . 
 
(c) The time dilation formula (Eq. 37-7) leads to 
 
10
0 7.01 10 st tγ −∆ = ∆ = × 
 
Therefore, according to the proton, the trip took 
 
∆t0 = 2.22 × 10–3/0.99994c = 7.40 × 10–12 s. 
 
47. (a) The strategy is to find the γ factor from E = 14.24 × 10–9 J and mpc2 = 1.5033 × 
10–10 J and from that find the contracted length. From the energy relation (Eq. 37-48), we 
obtain 
9
2 10
14.24 10 J 94.73.
1.5033 10 Jp
E
m c
γ
−
−
×= = =× 
 
Consequently, Eq. 37-13 yields 
 
30 21 cm 0.222 cm 2.22 10 m.
94.73
LL γ
−= = = = × 
 
(b) From the γ factor, we find the speed: 
 
 
48. (a) From the information in the problem, we see that each kilogram of TNT releases 
(3.40 × 106 J/mol)/(0.227 kg/mol) = 1.50 × 107 J. Thus, 
 
(1.80 × 1014 J)/(1.50 × 107 J/kg) = 1.20 × 107 kg 
 
of TNT are needed. This is equivalent to a weight of ≈ 1.2 × 108 N. 
 
(b) This is certainly more than can be carried in a backpack. Presumably, a train would 
be required. 
 
(c) We have 0.00080mc2 = 1.80 × 1014 J, and find m = 2.50 kg of fissionable material is 
needed. This is equivalent to a weight of about 25 N, or 5.5 pounds. 
 
(d) This can be carried in a backpack. 
(c) The kinetic energy is 
 
( ) ( )2 2 2 01 2 1 0.414 0.414 .K mc mc mc E= γ − = − = = 
 
which implies 0/ 0.414K E = . 
 
49. (a) We set Eq. 37-41 equal to mc, as required by the problem, and solve for the speed. 
Thus, 
mv
v c
mc
1 2 2− =/ 
 
leads to 1/ 2 0.707.β = = 
 
(b) Substituting 1/ 2β = into the definition of γ, we obtain 
 
γ = − = − = ≈
1
1
1
1 1 2
2 141
2 2v c/ /
. .b g 
 
 
50. (a) We set Eq. 37-52 equal to 2mc2, as required by the problem, and solve for the 
speed. Thus, 
2 2
2
1 1 2
1
mc mcβ
⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
leads to 2 2 / 3 0.943.β = ≈ 
 
(b) We now set Eq. 37-48 equal to 2mc2 and solve for the speed. In this case, 
 
2
2
2
2
1
mc mcβ =− 
leads to 3 / 2 0.866.β = ≈ 
 
51. Since the rest energy E0 and the mass m of the quasar are related by E0 = mc2, the rate 
P of energy radiation and the rate of mass loss are related by 
 
P = dE0/dt = (dm/dt)c2. 
Thus, 
dm
dt
P
c
= = ×
×
= ×2
41
8 2
241 10
2 998 10
111 10W
m / s
kg / s.
.
.
c h
 
 
Since a solar mass is 2.0 × 1030 kg and a year is 3.156 × 107 s, 
 
dm
dt
= × ××
F
HG
I
KJ ≈111 10
3156 10
2 0 10
1824
7
30.
.
.
kg / s s / y
kg / smu
smu / y.c h 
 
 
(b) At low speeds, the pre-Einsteinian expressions p = mv and K mv= 12 2 apply. We note 
that pc K>> at low speeds since c v>> in this regime. Thus, 
 
m
mvc mv
mv c
mvc
mv c
m→ − ≈ =b g c hc h
b g
c h
2 1
2
2 2
1
2
2 2
2
1
2
2 22 2
. 
 
(c) Here, pc = 121 MeV, so 
 
m
c
= − =121 55
2 55
1056
2 2
2b g . .MeV / c
2 
 
Now, the mass of the electron (see Table 37-3) is me = 0.511 MeV/c2, so our result is 
roughly 207 times bigger than an electron mass, i.e., / 207em m ≈ . The particle is a muon. 
 
52. (a) Squaring Eq. 37-47 gives 
 
E mc mc K K2 2
2 2 22= + +c h 
 
which we set equal to Eq. 37-55. Thus, 
 
( ) ( ) ( ) ( )2 22 222 2 2 2 22 .2pc Kmc mc K K pc mc m Kc−+ + = + ⇒ = 
 
53. The energy equivalent of one tablet is 
 
mc2 = (320 × 10–6 kg) (3.00 × 108 m/s)2 = 2.88 × 1013 J. 
 
This provides the same energy as 
 
(2.88 × 1013 J)/(3.65 × 107 J/L) = 7.89 × 105 L 
 
of gasoline. The distance the car can go is 
 
d = (7.89 × 105 L) (12.75 km/L) = 1.01 × 107 km. 
 
This is roughly 250 times larger than the circumference of Earth (see Appendix C). 
 
(c) Using mpc2 = 938.272 MeV, the Lorentz factor is 
 
γ = 1 + 10.00 MeV/938.272 MeV = 1.01065 1.011≈ . 
 
(d) The speed parameter is 
 
21 0.144844 0.1448.β γ −= − = ≈ 
 
(e) With mαc2 = 3727.40 MeV, we obtain γ = 10.00/3727.4 + 1 = 1.00268 1.003≈ . 
 
(f) The speed parameter is 
 
21 0.0731037 0.07310β γ −= − = ≈ . 
 
54. From Eq. 37-52, γ = (K/mc2) + 1, and from Eq. 37-8, the speed parameter is 
β γ= −1 1 2/ .b g 
 
(a) Table 37-3 gives mec2 = 511 keV = 0.511 MeV, so the Lorentz factor is 
 
10.00MeV 1 20.57,
0.5110MeV
γ = + = 
 
(b) and the speed parameter is 
 
( ) ( )
2
2
11 1/ 1 0.9988.
20.57
β γ= − = − = 
 
55. Using the classical orbital radius formula 0 / | |r mv q B= , the period is 
 
0 02 / 2 / | | .T r v m q Bπ π= = 
 
In the relativistic limit, we must use 
 
0| | | |
p mvr r
q B q B
γ γ= = = 
which yields 
0
2 2
| |
r mT T
v q B
π πγ γ= = = 
 
(b) The period T is not independent of v. 
 
(c) We interpret