Questões sortidas de álgebra linear VIII

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Questões sortidas de álgebra linear VIII
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Autora:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
12 de outubro de 2021
annie.passeidireto@gmail.com
Quem sou eu?
Olá, meu nome é Annie e sou graduanda em geofísica pela Universidade Federal da Bahia e pré-
vestibulanda para o Instituto Tecnológico da Aeronáutica. Antes do pré-vestibular, era graduanda,
concomitantemente a geofísica, de engenharia elétrica pela Faculdade de Tecnologia e Ciência.
Atualmente, atuo como tutora de várias disciplinas e tenho certeza que podemos aprender muito.
Sendo assim, bons estudos!
Questão 1
Determine se o vetor w= (3, 1, 5) é combinação linear dos vetores u= (0, -2, 2) e
v = (1, 3, -1)
Para verificar se temos uma combinação linear, devemos ter dois números a e b(únicos) que
permitam a escrita de w em função de u e v.
(3, 1, 5) = a(0,−2, 2) + b(1, 3,−1)
Isso nos dá origem ao sistema,

b = 3
−2a+ 3b = 1
2a− b = 5
Para os sistema, temos os valores a = 4 e b = 3, portanto, w é uma combinação linear entre v
e u.
Questão 2
Na figura a seguir, −→u são vetores de um plano α, e −→w é um vetor normal ao plano α.
a) O produto interno entre −→u e −→v (−→u · −→v )
b) O produto interno entre −→v e −→u (−→v · −→u )
c) O produto misto entre −→u e −→v
d) O produto vetorial entre −→u e −→v (−→u ×−→v )
e) O produto vetorial entre −→v e −→u (−→v ×−→u )
Esta imagem representa o produto vetorial entre os vetores v e u. O resultado do
produto vetorial é dado por um vetor perpendicular ao plano dado pelos vetores operadores.
O sentido do vetor resultante, do produto vetorial, é dado pela regra da mão direita.
1
Figura 1: Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Produtovetorial/media/F icheiro :
Righthandrulecrossproduct.svg
Questão 3
Considerando na questão anterior que u = (-2, 1, 5) e v = (3, 0, -3), calcule w.
O produto vetorial entre v e u é dado por:
2
∣∣∣∣∣∣
i j k
3 0 −3
−2 1 5
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣0 −31 5
∣∣∣∣ i+ ∣∣∣∣ 3 −3−2 5
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ 3 0−2 1
∣∣∣∣ k
−→w = 3i+ 9j + 3k
Questão 4
Considere os vetores u = (3,2) e v = (4,-1) do R2. O resultado de (u.v) – ||v||
−→u · −→v = (3, 2) · (4,−1) = 3 · 4 + 2 · (−1) = 10
||−→v || =
√
42 + (−1)2 =
√
17
Portanto,
−→u · −→v − ||−→v || = 10−
√
17
Questão 5
Determine se o vetor w = (3, 3, 5) pertence ao SPAN (subespaço gerado) dos vetores
u = (0, -2, 2) e v = (1, 3, -1)
Para um vetor pertencer ao subespaço gerado por outros dois vetores ele deve ser uma combi-
nação dos mesmos. Assim, devemos ter dois números a e b, únicos, que permitam a escrita de w
em função de u e v.
(3, 3, 5) = a(0,−2, 2) + b(1, 3,−1)
Isso nos dá origem ao sistema,

b = 3
−2a+ 3b = 3
2a− b = 5
Não existem valores únicos para a e b que solucionem o sistema(b=3 e b=4), portanto, w não
é uma combinação linear entre v e u.
3