Função afim

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Função afim
A função afim é um tipo específico de função polinomial e, por este motivo, é também denominada função do 1° grau ou, ainda, função polinomial de grau 1. Mais rigorosamente definimos:
Uma função afim é uma função f:R→R cuja lei de formação é f(x) = ax + b, em que a d R, não nulo, é denominado coeficiente angular e b d R é denominado coeficiente linear.
O domínio e contradomínio de uma função afim podem ser intervalos de números reais.
Uma característica interessante da função afim é a forma do seu gráfico, que é uma reta.
Da geometria, sabe-se que para determinar uma reta bastam dois pontos. Logo, para esboçar o gráfico do exemplo anterior (e o de qualquer função afim) basta determinarmos dois pares ordenados, e não mais que isso.
Assim como podemos esboçar o gráfico de uma função afim a partir de sua lei de formação, também é possível determinar sua lei de formação a partir de seu gráfico. Para executar essa tarefa é necessário determinar a e b, de modo que a função f(x) = ax + b possua o gráfico desejado. Veja um exemplo:
Função afim crescente e função afim decrescente
Uma característica interessante de ser observada em uma função afim é se ela é crescente ou decrescente. Como essa característica é estudada para qualquer função, podemos compreendê-la de modo geral e, depois, ver como ela se aplica à função afim. De acordo com Thomas, Weir e Hass (2012, p. 6):
Seja f uma função definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos em I. 1) Se f(x2 ) > f(x1 ) sempre que x1 < f(x1 ) sempre que x1.
Simplificadamente, f(x) é crescente porque seus valores aumentam com o aumento dos valores de x; e g(x) é decrescente porque seus valores diminuem conforme os valores de x aumentam. 
Podemos denotar 
Δy= f (x2) – f(x1) (ou Δy= g(x2) – g(x1) , variação de y) e Δx= (x2) – (x1) (variação de x) e utilizar a razão Δy / Δx para avaliar se a função é crescente ou decrescente. 
Uma grande vantagem de utilizar a razão Δy / Δx é que ela está diretamente relacionada à lei de formação da função afim, sendo inclusive muito utilizada para determinar a lei de formação a partir do gráfico. Mais precisamente, dada uma função afim f(x) = ax + b, em relação aos seus coeficientes, temos:
a = Δy / Δx; se a > 0 a função é crescente e se a < 0 a função é decrescente; f (0) = a . 0 + b= b.
Ângulo associado a uma função afim
A toda função afim podemos associar um ângulo q que está diretamente relacionado ao seu gráfico. Esse ângulo pode ser medido a partir da horizontal, no sentido anti-horário, como ilustra a Figura 1.12.
Quando o gráfico é de uma função afim, há apenas duas possibilidades para o ângulo q formado com a horizontal: 0o < q < 90o (a exemplo do ângulo α da Figura 1.12); ou 90o < q < 180o (a exemplo do ângulo β da Figura 1.12). Se q = 0o, ou seja, se o gráfico for horizontal, a função é denominada constante e sua lei de formação é f(x) = b, em que b pertence a R (R conjunto dos números reais). Se q = 90o, ou seja, se o gráfico for vertical, não se trata de uma função, mas de uma relação.
Zero e sinal da função afim
Observe na Figura 1.13 que o gráfico de f(x) = ax + b cruza o eixo horizontal (eixo x) no ponto P. É perceptível que a ordenada de P é igual a 0, ou seja, y = 0. Mas e a abscissa de P, qual é seu valor? A abscissa de P é o que denominamos zero da função.
O zero de uma função f(x) é o valor x0 tal que f(x0) = 0.
De modo mais simples, para a região do plano cartesiano em que o gráfico de f(x) está acima do eixo das abscissas, isto é, f(x) tem valores maiores que zero, diz-se que o sinal da função é positivo. E para regiões em que f(x) < 0 , diz-se que a função tem sinal negativo.