Gabarito Calculo II

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Gabarito 
Questão 1 
A noção de integrais definidas de função de uma variável pode ser estendida para funções de 
duas ou mais variáveis. Para o cálculo de integrais duplas é fundamental identificar duas ordens 
distintas de integração, o que torna imprescindível a identificação dos limites de integração 
corretos para as variáveis x e y envolvidas de modo a caracterizar corretamente a região de 
integração. Considere a região retangular R= [-1,1]x[0,1] e a função f(x,y)= y². Assinale a 
alternativa que indica a representação correta da integral em questão. 
 
A) CORRETA 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
Uma construtora constatou que a variação do custos (reais) em relação a quantidade de casas 
populares construídas é dada pela função 
 
Sabendo que se a construtora construir nenhuma casa ela tem um custo de 27 mil reais, analise 
os itens que seguem. 
I- A construtora tem um custo de 54 mil reais para construir duas casas populares. 
II- A função que descreve o custo (reais) em relação a quantidade de casas construídas é 
 
III- A construtora tem um custo de aproximadamente 32 mil reais para construir uma casa 
popular. 
Assinale a alternativa correta. 
 
A) Apenas os itens II e III estão corretos. - CORRETA 
 
B) Apenas os itens I e II estão corretos. 
 
C) Apenas o item I está correto. 
 
D) Apenas o item III está correto. 
 
E) Apenas o item II está correto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 
Sabe-se que as integrais de funções de uma variável tem aplicações na economia e na física por 
exemplo. Podemos utilizar as integrais para encontrar a distância percorrida, quando 
conhecemos a velocidade de um veículo. Com base nessas informações analise a situação a 
seguir. 
A taxa de variação do deslocamento - ou seja, a velocidade - de um veículo em uma avenida, 
considerando um intervalo de 0 a 8 segundos, é descrita por 
 
onde t (tempo) é medido em segundos e v (velocidade), em metros por segundo. 
Assinale a alternativa que contem a distância percorrida por esse veículo no intervalo de 0 a 8 
segundos. 
 
A) 288 m. 
 
B) 224 m. (CORRETA) 
 
C) 160 m. 
 
D) 176 m. 
 
E) 36 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 4 
O gradiente de uma função f, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais 
da função. Com base em informações sobre esse vetor, assinale a alternativa que contém o 
vetor gradiente da função f(x,y) = 3x + 2y. 
 
 A) O vetor gradiente é (2, 3). 
 
B) O vetor gradiente é (0, 2). 
 
C) O vetor gradiente é (3x, 2y) 
 
D) O vetor gradiente é (0, 0). 
 
E) O vetor gradiente é (3, 2) - (CORRETA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 
Analisar o domínio de funções de duas ou mais variáveis reais é essencial para compreendermos 
características das funções em análise. Com base em informações sobre domínio de funções de 
duas variáveis reais associe a primeira coluna, funções, com a segunda coluna, domínio das 
funções. 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta. 
 
A) I.1; II.2; III.3. 
 
B) I.2; II.1; III.3. 
 
C) I.3; II.1; III.2. (CORRETA) 
 
D) I.1; II.3; III.2. 
 
E) I.3, II.2; III.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 6 
Quando estudamos funções de duas ou mais variáveis reais podemos encontrar as derivadas 
parciais, que são muito utilizadas para o estudo de taxas de variação. Com base em 
informações sobre derivadas parciais, analise a função que segue 
 
Assinale a alternativa que contém a derivada de segunda ordem hba. 
 
A) hba (a,b) = 4ab. (CORRETA) 
 
B) hba (a,b) = 2ab. 
 
C) hba (a,b) = 0. 
 
D) hba (a,b) = 2a2b. 
 
E) hba (a,b) = 4ab – 40ª 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 7 
Um dos procedimentos necessário ao realizar o estudo de problemas de otimização é encontrar 
o ponto (a,b) tal que fx(a,b) = fy(a,b) = 0, a esse ponto denominamos de ponto crítico da 
função. Considere a função f(x,y) = x2 +y2 + 4x +4y, assinale a alternativa que contém o ponto 
crítico dessa função. 
 
A) (-2, -2). (CORRETA) 
 
B) (2,2). 
 
C) (0,0). 
 
D) (-1,2). 
 
E) (-1,-1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 8 
Um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de um eixo no plano é 
denominado sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido utilizamos as integrais 
definidas, assim é fundamental identificar a função a ser integrada e o limite de integração. 
Assim, deseja-se calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo x da região 
delimitada pelas curvas 
 
Assinale a alternativa que indica corretamente a integral que deve ser empregada para o cálculo 
do volume do sólido em questão. 
 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) (CORRETA) 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9 
Em matemática é comum utilizarmos outras coordenadas, além das cartesianas, para 
resolvermos determinados problemas. Temos relações entre esses tipos de sistemas de 
coordenadas, por exemplo, conseguimos mudar de coordenada cartesiana para polar ou de 
polar para cartesiana. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta 
corretamente as coordenadas cartesianas (x,y) do ponto A sabendo que suas coordenadas 
polares são . 
 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) (CORRETA) 
 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10 
Além de auxiliar no cálculo de área de regiões sob curvas, as integrais de funções de uma 
variável real podem ser aplicadas para o cálculo de volume de sólidos de rotação. Assim faz-se 
necessário a identificação da função a ser integrada e da região de integração. Logo deseja-se 
determinar o volume da região R delimitada pela curva 
 
quando rotacionada em torno do eixo X. 
Assinale a alternativa que indica corretamente a integral que deve ser empregada para o cálculo 
do volume do sólido em questão. 
 
A) 
 
 
B) 
 
 
C) 
 
 
D) (CORRETA) 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 11 
Em uma empresa o lucro é dado pela seguinte função 
 
Em que x e y são a quantidade de produtos vendidos. Sabendo que no mês de maio houve uma 
variação do lucro em relação a quantidade de produtos vendidos, assinale a alternativa que 
contém a variação do lucro em relação a quantidade de produtos x. 
 
A) Lx(x,y) = 50x2 + 80yx3. 
 
B) Lx(x,y) = 100xy. 
 
C) Lx(x,y) = 100xy + 120y2x2. (CORRETA) 
 
D) Lx(x,y) = 100xy + 160yx2. 
 
E) Lx(x,y) = 100x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 12 
A variação da produção de um determinada peça metálica (em unidades) em relação ao tempo 
(horas) ocorre de acordo com a função 
 
Sabe-se que em uma hora são produzidas 3 peças. 
Assinale a alternativa que contém a quantidade de peças produzidas em 2 horas. 
 
A) 8 peças. 
 
B) 13 peças. (CORRETA) 
 
C) 10 peças. 
 
D) 6 peças. 
 
E) 15 peças.