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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA GRANDE DOURADOS FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
#ATIVIDADE - 4
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PROFESSOR: Wilson Espindola Passos					 ANO:	2019
Aplicação de derivaras e máximos e minimos
1-Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno.
R: As dimensões são a, a e y com volume de 32m3
V = a2 . y = 32 
Y = 32 / a
A área total é A = 4 . a . y + a2 
A = 4 . a . y + 2 . a2
A = 4 . a . 32 / a2 + a2
A = 128 . a + a4 / a 
A= 128 + a3 / a
A = 3 . a2 . a – (128 + a3) / a2 = 0
 2 . a3 – 128 = 0 = 
 a = 4 e y = 2 
Com isso chega a conclusão das dimensões 4m, 4m e 2m 
2- Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima?
R: X: Comprimento
Y: largura 
As dimensões do cercados não podem ser negativas.
A = x . y 
2p = 2 x + 2 y 
2 x + 2 y = 1500
Y = 750 – x 
A = x . (750 – x) = 750 x – x 2 
A = f(x)
f(x) = 750 x – x2 
f(x) = 750 – 2 x 
x = 375 
Então f(x) atinge um valor máximo quando x = 375m e y = 750 – x = 750 – 375 = 375m, com isso as dimensões são 375m e cuja a área é máxima é de 140,625m2 . 
3- Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado?
R: 
O perímetro é de 20m e as dimensões do retângulo é de 10 – x e x.
A(x) = x(10 – x)
A(x) = 10x – x2
A área será máxima, quando a tangente tiver inclinação de zero
A(x) = 10 – 2x
10 – 2x = 0 
X = 5
Para aproveitar a área com os 20m de tela, a dona de casa deve fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m.
 
4- Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3.
Temos largura como = X e o Comprimento como = 3. X e a altura = y
Volume = V = 3 . x . x . y = 3 . x2 . y 
V = 3x2 . y,
V= 36m3
3x2 . y = 36 
3x2 . y = 36
Y = 36 / 3x2 = 12 / x2 
A área total é A = (3 . x .x +2 . x . y + 2 . 3 . x .y)
A = 3. X2 + 8 .x .y
Agora substituindo y pelo A
A(x) = 3 . x2 + 9 . x . 12 / x2 = 3 . x2 + 96 / x 
A(x) = 3 . x3 + 96 / x
Para encontrar máximo e mínimo 
A(x) = (9.x2) . x – (3x3 + 96) . 1 / x2
A(x) = -3x3 + 9x3 – 96 / x2 
A(x) = 6x3 – 96 / x2
A(x) = 0
A(x) = 6 . x3 – 96 = 0
X = 3√16 = 2 3√2 = 2,52 aproxim.
A altura é = y = 12 / x2 . y = 12 / 3√16, com isso y é = 4,76 metros 
Então as dimensões são: Comprimento, largura e altura iguais a: 7,56m, 2,52m e 4,76m.
5- O empresário Augusto deseja lançar um novo suco em lata no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 800 cm3. Qual deve ser a medida R do raio da base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínima?
A área do cilindro é A = 2 . π . r . h + 2 . π . r2
Volume do cilindro é V = π . r2 . h 
V = 800cm3
800 = π . r2 . h 
h = 800 / π . r2
A = 2 . π . r .800 / π . r2 + 2 . π . r = 1600 . π . r / π . r2 
A = 1600 + 2 . π . r3 / r
Igualar a zero e derivar a área
A(r) = ((6 . π . r2) . 6 – (1600 . 2 . π . r3 ).1)
A = (4 . π . r3 – 1600) / r2 = 0
3√1600 / 4 . π
3√1600 / 4 . π iremos substituir para h = 800 / π . r2 =
H 800 / π [3√1600 / 4 . π ]2 . 3√400/π / 3 √400 / r
h = 2 . 3√400 / π cm
Então as medidas de raio é 3√400 / π cm e 2 . 3√400 / π cm 
Que são: 5,3cm e 10,06cm então h = 2 . r 
6- Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16m. Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que sua dimensão seja máxima.
As dimensões são: m, 16 – 2x m, xm 
A área é A(x) = (16 – 2 . x). x 
Igualando a zero fica: 
A(x) = 16 . x + x2 
A(x) = 16 + 4 . x = 0
X = 4 
Então as dimensões são: 4m e 8m.
7- Sabendo-se que o custo total de produção de microondas por dia é de R$ e o preço unitário é de R$. Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja máximo?
O total de custo de produção de x micro-ondas é de R$ 
1 / 2 x + 70x + 50
Com o preço unitário é de R$(100 – x). 
Lucro = receita (R) – custo (C), onde a receita é = P(x) . x
C(x) = 1 / 2 . x2 + 70 . x + 50
P(x) = 100 – x 
R(x) = 100 . x – x2 
L(x) = R(x) – C(x) = (100. x – x2) – (1/2 . x2 + 70 . x + 50)
L(x) = 100 . x – x2 – 1/2. x2 – 70x – 50
L(x) = - 3 / 2 x2 + 30x – 50
Então derivando isso: 
L(x) = - 3/2 x2 + 30x – 50
L(x) = -3x + 30
L(x) = -3x + 30 = 0
X = 30/3 = 10, onde então é necessário fabricar 10 microondas por dia.
8- No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de venda maximizará o lucro? 
Sabendo que o lucro das vendas é de R$ 3,10 por pacote, o x = 310 – x centavos e a quantidade vendida é de 500 + 50x, o lucro será por lucro por unidade e quantidade vendida.
L = L(x) = (310 – x ).(500 + 50x )
L(x) = 155000 + 15500x – 500x – 50x2
L = L(x) = 155000 + 15000x – 50x2
Igualando a zero :
L(x) = 15000 – 100x 
L(x) = 15000 – 100x = 0
X = 150 
A derivada da segunda é de -100, com isso 150 é o máximo, então o preço de vender os pacotes é de R$ 3,00
9-Uma bola de basquete é lançada verticalmente para cima, por um menino, e tem posição s no decorrer do tempo t dadas pelas funções horárias s(t)=60t – 5t² (s em metros e t em segundos). Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima. E qual a altura máxima em relação ao solo?
Derivando a função S(t) = 60t – 5 . t2
S(t) = 10t – 60
Igualando a função a 0 
(t) = 10t – 60 = 0
(t) = 6 Segundos
A altura Máxima é: 
S(t) = 60t – 5 . t2 
S(t) – 60 . 6 – 5 . 62 
S(6) = 180 metros 
10-
Derivando s = Cos . t tem a velocidade S(t) = V(t)
S(t) = -sem . t
Substitui:
V(π/4 ) = - sem . π/4 = v (π/4) = √2 / 2 m/s
A aceleração:
Devirando V(t) = A(t)
V(t) = -sem . t = A(t) = - cos . t
Substitui:
A(t) = - cos . π/6 = √3 / 2 m/s3
11-
Derivando a função: Q(t) = 48t3 – 144t2
Igualando a zero 
483 – 144t2 = 0 que fica t = 3 
Q(0) = 0 e Q(3) = -324 A corrente atinge valor minimo em 3 segundos.
12-
A) Dt/dt = 0,1 (-40 + 2t)
Dt/dt = -4 + 0,2t)
Media de 5 e 6 é 5,5
Dt/dt = -4 + 0,2 . 5,5
Dt/ dt = -2,9
B) Dt/dt = -4 + 0,2 . 5
Dt/dt = -3
13- 
Volume = V = 4 / 3 π . r3
Raio = 0,5 
Dr/dt = 0,0001 
Dv/dt = 4 . π . r2 . dr / dt
Dv/dt = 4 . π . 0,52 . 0,0001
Dv/dt = 0,0001 π cm3/ dia
14-
V(r) = kr2 (R – r)
V(r) = kRr2 – kr3
V(r) = 2kRr – 3kr2
2kRr – 3kr2 = 0
Kr(2R – 3r3) = 0
Kr = 0 ou 2R – 3r = 0
Kr = 0 ou 3 . r = 2R
R = 2R / 3
V = (2R/3) = 4Kr3 / 27
15-
Igualando a função a zero: 
P = 100. t2 + 5t + 25 / t2 + 25
P = 100.(2t + 5) . (t2 + 25) – (t2 + 5t + 25) . 2t / (t2 + 25)2
P = 100. -5t2 + 125 / (t2 + 25) 2
P = 0
500 . 25 – t / (t2 + 25)2 = 0
25 – t2 = 0 
t2 = 25 
t = 5 
então em 5 anos a população será a maxima. 
16-
Derivando f(x)kx(20000 – x) 
F(x) = k . (20000 – x) + 1 . (kx)
-2kx + 20000k
2kx = 20000k
X = 10000 peixes