Questão resolvida - Uma partícula está sobre a ação de uma força dada por F(x,y)=-yi+xj. Esta partícula se move sobre a circunferência de equação x²+y²=4, dando uma volta completa no sentido anti-horário. Nessas circunstâncias, calcule o trabalho realizado pelo campo sobre a ... - Cálculo - IFRJ

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma partícula está sobre a ação de uma força dada por . Esta F x, y = - y + x( ) i j
partícula se move sobre a circunferência de equação , dando uma volta x² + y² = 4
completa no sentido anti-horário. Nessas circuntâncias, calcule o trabalho realizado 
pelo campo sobre a partícula.
 
Resolução:
 
Queremos encontrar o trabalho que um campo de força faz para mover uma partícula por 
sobre a circunferência de raio 2;
 
Vamos usar o teorema de Green que diz que;
 
Pdx + Qdy = - dA
C
∫ ∫∫ 𝜕Q
𝜕x
𝜕P
𝜕y
O trabalho da partícula é dado pelo produto escalar;
 
W = ⋅ d = -y, x ⋅ dx, dy
C
∫ F r
C
∫ ( ) ( )
Resolvedo o produto escalar, fica;
 
-y, x ⋅ dx, dy = - ydx + xdy
C
∫ ( ) ( )
C
∫
 
 
x
y
2
Partícula
2
-2
-2
sentido 
anti-horário
𝜃
r
Usando o teorema de Green, podemos transformar a integral de linha em - ydy + xdx
C
∫
uma inegral dupla, para isso, vamos primeiro achar: ; e 
𝜕Q
𝜕x
𝜕P
𝜕y
 
Q = x = 1 e P = - y = - 1 →
𝜕Q
𝜕x
→
𝜕P
𝜕y
 
Agora, chegamos a igualdade de Green;
 
- ydx + xdy = 1 - -1 dA 1 + 1 dA 2dA
C
∫ ∫∫( ( )) →∫∫( ) →∫∫
Agora, tranformamos as variáveis para corrdenadas polares. A variação da área dA é dada 
por; , o raio varia de de 0 a 2 e o ângulo vária de 0 a , sendo estes os limites dA = rdrd𝜃 2𝜋
de integração, com isso, a integral dupla fica;
 
2dA = 2rdrd𝜃 = d𝜃 = 2 - 0 d𝜃 = 4d𝜃∫∫
0
∫
2𝜋 2
0
∫
0
∫
2𝜋2r
2
2 2
0 0
∫
2𝜋
( )2 ( )2
0
∫
2𝜋
 
W = 4𝜃 W = 4 ⋅ 2𝜋- 0 W = 4 ⋅ 2𝜋 W = 8𝜋 
2𝜋
0
→ ( ) → →
 
 
(Resposta )