LISTA EXERCÍCIOS derivadas parciais

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LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
1) Calcule, caso exista, os seguintes limites: 
a) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦
3𝑥2+𝑦2
 c)lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
𝑦4
𝑥4+3𝑦4
 
b) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
6𝑦𝑥3
2𝑥4+𝑦4
 d) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,0)
2𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2
 
2)Determine as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: 
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦 − 3𝑦3 3 + 5𝑥2𝑦 c)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦. 𝑒𝑥𝑦 
b)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥. 𝑙𝑛 1 + 𝑥2 + 𝑦2 d)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦
cos ⁡(𝑥2+𝑦2)
 
3) Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo: 
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑒𝑥𝑦
2
 
b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦 − 2𝑥2𝑦2 + 5𝑥𝑦 − 2𝑥 
 c)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 − 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) 
d)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑙𝑛 3𝑥2𝑦3 + 5𝑦 
4)Use a diferenciação implícita para determinar 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
. 
a) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 3𝑥𝑦𝑧 
b) 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 
5) Determine a equação do plano tangent ao gráfico da função𝑓 𝑥, 𝑦 =
4−𝑥𝑦
𝑥+𝑦
 no 
ponto (2,2,f(2,2)). 
6)Use a regra da cadeia para as funções abaixo e calcule 
𝜕𝑧
𝜕𝑡
 𝑒 
𝜕𝑧
𝜕𝑠
. 
a)𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2, 𝑥 = 3𝑡 − 𝑠, 𝑦 = 𝑡 + 2𝑠 
b)𝑧 = 𝑒
𝑦
𝑥 , 𝑥 = 2𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 4𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝑡 
7) A altura de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de 40 cm/min e raio 
descrescendo a uma taxa de 15 cm/min. Ache a taxa de variação do volume no 
instante em que a altura é 200 cm e o raio é 60 cm. 
 
8)O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em 
certo instante, as dimensões da caixa são l=1 m e w = h = 2m, l e w aumentam a uma 
taxa de 2m/s, ao passo que h diminui a taxa de 3m/s. Nesse instante, determine as 
taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando: 
a) o volume 
b)a área da superfície 
9)Calcule a derivada direcional da função no ponto dado na direção e sentido do vetor 
v: 
a)f(x,y)=xey + cos xy em P(2,0) com v=<3, -4> 
b)f(x,y)= 2xy – 3y2 em p(5,5) com v=<4, 3> 
10)Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em 
que isso ocorre: 
a)f(x,y)=y2/x em (2,4) b)f(x,y)=senxy em (1,0) 
11)Encontre os extremos locais das funções: 
a)f(x,y)=2xy -5x2 -2y2+4x-4 
b)f(x,y)=y2+xy-2x-2y+2 
12)Determine os valores máximo e mínimo absoluto de f no conjunto D: 
a) f(x,y)=2 +2x+2y –x2 –y2 na região triangular no primeiro quadrante limitada pelas 
retas x=0, y=0 e y=9-x. 
b)f(x,y)=4x +6y –x2- y2 , D={(x,y); 0≤x≤4, 0 ≤ y ≤ 5}.