Sistemas de equações lineares

Prévia do material em texto

Geometria analítica 
Sistemas de equações lineares 
Definição 
Equação linear 
𝑎1. 𝑥1 + 𝑎2. 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏 
Onde a1, an e b são constantes reais 
 
Sist. de equação linear 
𝑆 = {
𝑎1 . 𝑥1 + 𝑎2 . 𝑥2 … + 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏
…
𝑎1 . 𝑥1 + 𝑎2 . 𝑥2 … + 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏
 
Um sistema de eq. Linear pode ser 
escrito em forma de matriz: 
A= [
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛
… … …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛
]. [
𝑥1
…
𝑥𝑛
] = [
𝑏1
…
𝑏𝑛
] 
Conjunto Solução 
S= [
𝑠1
…
𝑠𝑛
] 
 
 
 
 
 
Resolução de sist. 
Operação sobre as 
linhas 
 Trocar a posição de duas linhas 
 Multiplicar uma linha por um 
escalar ≠ 0 
 Somar uma linha um múltiplo 
escalar de outra linha 
Redução do sistema 
Método de Gauss-Jordan (Gaujó): 
“Aplicar operações elementares nas 
linhas até que fique na forma 
escalonada reduzida” 
→ Reduzir até a matriz apresentar a 
característica de matriz identidade 
OBS: Se uma matriz satisfaz a e c, 
mas não satisfaz b e d falamos que 
ela está escalonada 
→ Sistema linear incompatível =Sem 
solução 
→ Sistema compatível 
determinado= 1 solução 
→ Sistema compatível 
indeterminado = + de uma solução 
Matriz inversa 
→ Todo número real a não nulo, 
possui um inverso multiplicativo, ou 
seja, existe um número b tal que ab=1 
→ Esse número é único é chamado 
de 𝑎−1 
→ Nem todas as matrizes A não 
nulas possuem inversas, mesmo entre 
as matrizes quadradas 
AB = BA = In 
→ Para AB e BA iguais e bem 
definidas as matrizes tem que ser 
quadradas 
Propriedades 
 Se A é invertível entaõ 𝐴−1 
também é 
 
 Se A= (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛e B= (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 
são matrizes invertíveis então AB 
é invertível e 
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1. 𝐴−1 
 
 Se A= (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛 é invertível 
então 𝐴𝑡é invertível 
(𝐴𝑡)−1 = (𝐴−1)𝑡 
 
Teorema 
→ Sejam A e B matrizes nxn 
 Se AB = In então BA = In 
 Se BA = In então AB = In 
Método para a 
inversão 
𝐴 = [
−2 1
0 2
 |
1 0
0 1
] 
→ Transformar até o lado 
esquerdo virar uma matriz 
identidade 
→ Se alguma linha é nula então 
a matriz não é invertível 
 
Teorema 
→ O sistema associado AX = B 
tem única solução, se e somente 
se, A é invertível., nesse caso 
𝑆 → X = 𝐴−1. 𝐵