Derivada de uma Função

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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
ACRÉSCIMOS E RAZÃO ENTRE ACRÉSCIMOS DE VARIÁVEIS
 Numa função do tipo y = f(x), y é chamado de variável dependente da função e x de variável independente. Veja a função abaixo.
 variável independente ou variável livre
 y = 2x + 5
 variável dependente ou valor da função
 Quando a variável independente x assume os valores x = x1 e x = x2 , 
o acréscimo de x é obtido pela expressão:
 (x = x2 – x1 
 Da mesma forma, a variável dependente y, assume valores y = y1 e y = y2 , cujo acréscimo de y é calculado por 
 (y = y2 – y1 
onde (y é chamado de acréscimo da variável dependente ou taxa de variação da função. 
Exemplo. Calcule:
O acréscimo da variável independente x , quando ela passa de x1 = 3 para o valor 
 x2 = 8. 
 Solução: (x = x2 – x1 ( (x = 8 – 3 ( (x = 5
O acréscimo da variável dependente ( (y ), correspondente ao acréscimo da variável independente ( (x ), quando x passa de x1 = 3 para x2 = 8. 
 Solução: se x1 = 3 ( y1 = 2.3 + 5 ( y1 = 11
 se x2 = 8 ( y2 = 2.8 + 5 ( y2 = 21
 (y = y2 – y1 ( 21 – 11 ( (y = 10 
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇAÕ
 Considerando x variando no intervalo [ x1 , x2 ], A taxa média de variação da função ou razão incremental de uma função y = f(x) definida e contínua nesse intervalo é dada pelo quociente: 
. Levando-se em conta o exemplo anterior, temos: 
 
Obs(01)
Se no lugar de y = 2x +5, tivermos f(x) = 2x +5 , então, (y = y2 – y1 pode ser dado por (f(x) ou mais simplesmente por (f = f(x2) – f( x1), e, no lugar de 
, escreveríamos: 
 
 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 2
Obs(02) 
Se (x é dado por (x = x2 – x1, então x2 = x1 + (x. Fazendo (x = h implica que 
x2 = x1 + h e (f(x) = f(x2) – f( x1) pode ser escrito por (f(x) = f(x1 + h) – f( x1).
Exercícios:
01) Calcule a taxa média de variação da função f(x) = 3x2 – 5, para x1 = 2 e (x = 8 
Solução: 
Lembrando que x2 = x1 + (x ( x2 = 2 + 8 e x2 = 10
 f(x1) = f(2) = 3 . 22 – 5 = 7 
 f(x2) = f(10) = 3 . 102 – 5 = 295 
(y = f(x2) – f(x1) ( (y = f(x1 +(x ) – f(x1) ( (y = f(10 ) – f(2) 
(y = 295 – 7 = 288 ( 
02) Calcule o acréscimo da função y = 2x2 – 4x + 5 e a correspondente razão incremental para x1 = 3 e (x = 5 
Solução: x2 = x1 + (x ( x2 = 3 + 5 ( x2 = 8
 y1 = 2. 32 – 4.3 + 5 = 11
 y2 = 2. 82 – 4.8 + 5 = 101
 (y = 101 – 11 = 90 ( 
03) Calcule a taxa média de variação da função y = x3 – 3x2 + x – 4 para x1 = –1 e x2 = 1
Solução: (x = ( x2 – x1 = 1 – (–1) = 2 
 y1 = (–1)3 – 3.(–1)2 + (–1) – 4 = –9
 y2 = 13 – 3.1 + 1 – 4 = – 5 
 (y = y2 – y1 = – 5 – ( –9) = – 5 + 9 = 4 ( 
CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
 Denomina-se derivada de uma função y = f(x) num ponto de abscissa x1, o limite 
 se existir e for finito, da razão 
quando 
 tende a zero.
 Para melhor fixar a idéia, vamos supor uma situação problema:
 Calcule a taxa média de variação da função y = x2 para um ponto x1 = 3 e 
 outro ponto x2 muito próximo de 3.
 
Solução:
 Para resolvermos este problema, vamos lembrar que em geral a razão 
 fornece uma taxa média de variação aproximada da grandeza y em relação à grandeza x. Se quisermos informações cada vez mais precisa sobre a taxa em que y varia com x a partir de um valor inicial de x, devemos tomar valores de 
cada vez menores e observar os valores correspondentes de 
. Fazendo isto obtém-se a seguinte tabela.
3,1
3
0,1
9,61
9
0,61
6,1
3,01
3
0,01
9,0601
9
0,0601
6,01
3,001
3
0,001
9,006001
9
0,006001
6,001
(
(
(
(
(
(
(
3
3
0
9
9
0
6
 Notamos que à medida que 
 diminui, a taxa 
dá informações cada vez mais precisa sobre a variação do valor de y próximo do valor de x = 3. Os valores da tabela indicam que quando 
 se torna menor, a razão 
se aproxima de um valor que parece ser 6, o que, a linguagem dos limites nos sugere escrever, 
 Este limite fornece a taxa média de variação da grandeza y em relação a grandeza x. Particularmente, para a abscissa x1 = 3, a taxa média de variação da função obtida nessas condições, denominamos de derivada da função y = x2 no ponto x1 = 3. 
Genericamente, a derivada de uma função pode ser obtida seguindo os seguintes passos 
 I – Consideramos a função e damos acréscimos às variáveis.
 II – Isola-se 
 e estabelece-se a razão incremental 
.
 III – Leva-se a razão ao limite quando 
( 0
Exemplo: 
Obter a expressão da derivada da função y = x2
I – Dando acréscimos:
II – Isola-se 
 e estabelece-se a razão incremental 
.
 substitui-se 
 por 
 donde 
A razão incremental é:
 simplifica-se 
 e tem-se 
.
III – Leva-se a razão ao limite quando 
( 0 e obtém-se a função derivada.
 que também pode ser expressa mais simplesmente por uma das notações:
 ; 
 ou 
.
 Para o nosso exemplo a função derivada de y = x2 é y’ = 2x, cujo valor no ponto x = 3, é y’(3) = 2 . 3 = 6, já calculado anteriormente. 
 REGRAS GERAIS DE DERIVAÇÃO
 Como é excessivamente longo o processo de obtenção da função derivada de uma função por meio da definição, deduz-se fórmulas que, construídas seguindo-se os passos já expostos, encontra-se rapidamente a derivada da função procurada. A expressão DERIVADA é costumeiramente empregada no lugar de Função derivada ou de Derivada de uma função. Doravante faremos uso dessas fórmulas ou regras: 
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE É NULA.
Se k é uma constante e f(x) = k, para todo x real, então f’(x) = 0, ou seja:
 ( 
exemplos: a) 
 b) 
 
 DERIVADA DA POTÊNCIA.
 ( 
 
Consequentemente, a derivada da função identidade é igual a unidade.
 ( 
DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO.
Se y = f(x), v = g(x) e k uma constante, vale a relação:
 ( 
Exemplo: a) 
 
 b) 
Em outros termos, diz-se que a derivada de uma constante ( k ) que multiplica uma função é o produto da constante ( k ) pela derivada da função.
DERIVADA DE UMA SOMA DE FUNÇÕES.
Se u = f(x) ; v = g(x) ; z = h(x) ; ... , vale a relação:
 ( 
Exemplo: a) 
Em outros termos, diz-se que a derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
DERIVADA DE UM PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES.
Se u = f(x) e v = g(x), vale a relação:
 ( 
Exemplo: Calcular a derivada de 
Solução: Fazendo 
 e 
 
 
 
 
 
Pela propriedade associativa do produto esta fórmula pode se estender para o produto de mais de duas funções, veja:
 ( 
DERIVADA DE UM QUOCIENTE DE FUNÇÕES.
Se u = f(x) e v = g(x), vale a relação:
 ( 
Dada a função 
, calcule sua derivada primeira 
Fazendo 
 
 
 
 
DERIVADA DE UMA RAIZ
Se u = f(x), vale a relação:
 ( 
Dada a função 
, calcule sua derivada primeira 
DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Se a é uma constante e u =f(x), vale a relação:( 
Obter a função derivada da função 
Se a base for o número e, basta substituir a por e na fórmula. Veja:
 ( 
 como 
 a fórmula fica expressa por: 
 ( 
Obter a função derivada da função 
DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Se u =f(x), vale a relação:
 ( 
Obter a função derivada da função 
.
Se a base do logaritmo for e, a expressão é dada por:
 ( 
, como 
 a fórmula fica expressa por:
 ( 
Obter a função derivada da função 
.
TEXTOS PARA LEITURA.
CUSTO MARGINAL
Uma fábrica produz x unidades de determinado produto por dia. O custo total diário da produção é y reais. y é uma função de x e é de se esperar que quando x cresça y também cresça. Estando a fábrica, numa certa época, produzindo x = 500 unidades por dia, e desejando produzir mais, deve ela procurar determinar a relação entre o aumento da produção, por exemplo, de uma unidade diária : (x = 1, e o correspondente aumento no custo da produção, (y . A razão (y/(x determina o que em Economia é chamado custo marginal do produto. Esta razão, em geral, depende do valor inicial de x. A partir do seu valor decide-se sobre a conveniência ou não de aumentar a produção.
 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Calcule a derivada das seguintes funções
a) f(x) = -1 h) f(x) = 2,718x2 – 4x + 2
f(x) = 3x - ( I) f(x) = - 5
 + x
c) f(x) = -2x4 - 3x3 + 2x2 - 5 j) f(x) = (
- 23x).( 3x - ()
d) f(x) = (
+ 2x2 - 5):(5x + 2) k) f(x) = 
e)) f(x) = 
 l) f(x) = 
f) f(x) = log (2x4) m) f(x) = loge (3x+2)
g) f(x) = e2x + 1 n) f(x) = 
2. Sendo f(x) = 
 calcule k = f’(2) - f’(-1).
3. Sendo g(x) = 
 determine M = g’(1/3) + g’(-2)
4. Para f(x) = 2x4 - x3 + 2x2 - 5 , calcule P = f’(2) – f’(-1) 
5. Sendo f(x) = (3x2 + 2)2 , calcule a razão entre f’(3) e f’(1). 
6. Resolver o exercício nº6 da página 156 do livro adotado
DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja a Função y = f(x) e y’ = f’(x) a sua função derivada.
Quando se deriva novamente a função y’ = f’(x), tem-se uma nova derivada, que é identificada como DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM da função f(x), ou simplesmente, derivada segunda, que é representada por y’’ ou f’’(x).
Derivando-se novamente a derivada de segunda ordem, tem-se a derivada de terceira ordem ou y’’’ e, assim sucessivamente, até a derivada de ordem n, que se lê derivada n-ésima da função.
Exemplo: Encontre a derivada de quarta ordem da função y = x5 + 2x4 – x3 -1 
 Solução: y’ = 5x4 + 8x3 – 3x2
y’’ = 20x3 + 24x2 – 6x
y’’’ = 60x2 + 48x - 6
yiv = 120 x + 48
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
A derivada de uma função f(x) num ponto x1, é igual ao coeficiente angular da reta t, tangente à curva da função f(x) , no ponto considerado. Observe o gráfico
Exemplo: Determinar a equação da reta tangente à curva f(x) = 3x2 – 2x, no ponto x = 1.
 Solução: m = f’(1) ( f’(x) = 6.x - 2 ( m = 6.1 – 2 ( m = 4
Equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) 
 y – yo = m ( x - xo)
 y - 1 = 4( x – 1) ( y = 4x – 3
CUSTO MARGINAL E RECEITA MARGINAL
Sendo conhecida a função custo C(x), para obter o custo marginal, basta calcular C’(x), ou seja, a derivada primeira da função custo. De modo semelhante, conhecida a função receita R(x), é possível determinar a receita marginal através da derivada primeira da função receita, isto é, R’(x).
Exemplos:
a) Dada a função custo total C(x) = 2x3 – x2 –3x +1, determinar a função do custo marginal.
 Solução: C’(x) = 6x2 –2x –3
Importante: Fazendo x = 20, temos C’(20) = 6.202 – 2.20 –3
 C’(20) = R$ 2357,00 
Este valor representa C(21) - C(20), ou seja o custo da vigésima primeira unidade do produto (este raciocínio vale também para receita marginal)
b) Dada a função receita total R(x) = – 2x2 + 4000x , determinar a função da receita marginal.
Solução: R’(x) = -4x + 4000 
Importante: Fazendo x = 100, temos R’(100) = - 4.100 + 4000
R’(100) = R$ 3600,00 
Este valor representa R(101) - R(100), ou seja o aumento de receita decorrente da venda da centésima primeira unidade do produto
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1 Dada a função f(x) = (
+ 2x2 - 10x) : ( 5x ) Determinar:
f’(1) =
f’’(-1) =
f’’’(2) =
fiv(-1) = 
2 Dada a função f(x) = x2 –3x +1 , determinar a equação da reta tangente a curva representada por esta função nos pontos:
x = 0 
x = -1
x = 2
x = 1
3. Uma indústria produz artefatos (pisos e azulejos) de cimento cuja função custo total é f(x) = x2 +30x +1. Determinar:
a função custo marginal
O custo de fabricação da 81ª unidade.
4. A função receita total de uma transportadora é R(x) = - 3x2 + 1200x. Determinar:
A função receita marginal
A receita decorrente da 11ª viagem
5. Ache a equação da reta y = x3+1, no ponto B (1 , 2 ).
6 Determine x , se a reta tangente à curva y = 2x2 – 8x + 1 é paralela ao eixo x.
7 Ache o ângulo que a reta tangente à curva y = x2 – 1 faz com o sentido positivo do eixo x no ponto x = ½. 
8. Resolver os exercícios da página 168, números 17 a 26, do livro adotado.
x
y
t
f(x)
(
 m = tg ( = f’(x1)
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