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Planejamento de Transportes 
Lista 01 – Modelagem de transportes 
Bons estudos ☺ 
1) Considere uma região dividida em quatro zonas de tráfego, cuja matriz 
origem/destino é representada a seguir. 
O/D 1 2 3 4 Geração 
1 249 126 370 80 825 
2 98 405 55 220 778 
3 210 58 222 420 910 
4 153 215 310 185 863 
Atração 710 804 957 905 
 
 
A partir da etapa de geração e atração de viagens do modelo sequencial, foram obtidas 
as seguintes projeções de viagens para o futuro: 
Zona Geração Atração 
1 1320 1236 
2 1045 1126 
3 1560 1465 
4 1450 1548 
(Caso necessário, fazer ajustes nas viagens atraídas) 
Pede-se: 
a) A partir do modelo de Fratar de distribuição de viagens, estime a matriz 
origem/destino futura com um erro máximo de 3%. 
 
b) A partir do modelo Gravitacional de distribuição de viagens e da distribuição de 
tempo de viagens dada a seguir, calibre a impedância e determine a matriz 
origem/destino futura com um erro máximo de 3% e dividindo os intervalos de tempo 
de 5 em 5 minutos. 
Tempo de viagem (min) 
O/D 1 2 3 4 
1 5 16 13 18 
2 16 7 20 12 
3 14 20 3 9 
4 18 12 8 4 
 
2) Um estudo de Planejamento de Transportes Urbanos está sendo realizado em uma 
cidade que foi dividida em quatro zonas de tráfego, cujas características de população, 
habitação e emprego são apresentadas a seguir: 
Zona População Habitações Empregos 
1 2760 1980 980 
2 4050 1740 840 
3 5065 2280 1020 
4 3950 2180 2250 
 
O planejamento será feito utilizando-se o modelo de Quatro Etapas (Modelo 
Sequencial). Para a primeira etapa (geração e atração de viagens), foram obtidas as 
equações a seguir a partir do modelo de regressão linear com os dados atuais: 
Planejamento de Transportes 
Lista 01 – Modelagem de transportes 
Bons estudos ☺ 
 
Geração de viagens: G = 120 + 1,55P + 0,132H 
Atração de viagens: A = 95 + 0,65P + 3,70E 
 
Com a finalidade de haver um equilíbrio na aplicação futura das equações acima (onde 
o número de viagens geradas deve ser igual ao número de viagens atraídas), altere, 
proporcionalmente, o número de viagens atraídas pela maior incerteza nos dados de 
empregos. Atualmente a matriz origem/destino é conforme a tabela a seguir. 
O/D 1 2 3 4 Geração 
1 160 563 1127 2254 4104 
2 505 110 1011 3033 4659 
3 784 1569 380 1569 4302 
4 1232 2463 3079 246 7020 
Atração 2681 4705 5597 7102 
 
 
Pede-se: 
a) A partir do modelo de Fratar de distribuição de viagens, estime a matriz 
origem/destino futura com um erro máximo de 5%. 
 
b) A partir do modelo Gravitacional de distribuição de viagens e da distribuição de 
tempo de viagens dada a seguir, calibre a impedância e determine a matriz 
origem/destino futura com um erro máximo de 15% e dividindo os intervalos de 
tempo de 5 em 5 minutos. 
Divida os tempos de viagem em 5 intervalos. 
Tempo de viagem (min) 
O/D 1 2 3 4 
1 6 11 18 22 
2 12 3 13 19 
3 15 13 5 7 
4 15 18 8 5 
 
c) Defina as matrizes de viagem, baseado na matriz gerada pelo método gravitacional, 
para os dois modos de transporte utilizados na região: o veículo particular e o 
ônibus. Para esta avaliação, considere como função utilidade a seguinte relação de 
cada um dos modos: 
 
Automóveis: U = - 3,8 - 0,07T 
Ônibus: U = - Ta - 0,12T 
 
Sendo: 
T – Tempo de viagem 
Ta – Tarifa de ônibus (R$4,20) 
 
d) Se a tarifa do ônibus aumentar em 15%, qual é a porcentagem de variação de 
probabilidade de escolha da alternativa? 
 
Planejamento de Transportes 
Lista 01 – Modelagem de transportes 
Bons estudos ☺ 
3) Suponha que tenhamos pela frente o problema mostrado na Figura 7-2. Buscamos a 
rota mais rápida entre Amarillo e Fort Worth, duas cidades do estado norte -americano 
do Texas. Cada ligação tem um determinado tempo de viagem entre os nós, e os nós 
são interseções rodoviárias. Pede-se para determinar o caminho mínimo pelo algoritmo 
de Dijkstra. 
 
 
4) A figura a seguir representa a rede estrutural entre duas zonas de tráfego e os valores 
sobre os arcos representam as distâncias. A função de desempenho de cada uma das 
ligações é definida como: T = t + 0,025q, onde “t” é o tempo de viagem (em minutos) 
em cada link considerando uma velocidade de fluxo livre de 80 km/h e “q” a quantidade 
de fluxo alocada. Deseja-se alocar um fluxo de 2200 veículos entre este par O/D 
utilizando o método de alocação incremental, considerando os caminhos com menores 
valores de “T”. 
 
5) Entre duas zonas de tráfego na hora de pico tem-se atualmente um fluxo de 2800 
veículos. Existem duas possibilidades de rotas entre essas zonas, e a função de 
desempenho da rota 1 é t = 8 + 2,5x, e a da rota 2 é t = 9 + 4,5x (“x” em 1000 veículos e 
“t” em minutos). 
 
Pede-se: 
a) A distribuição de fluxo sob o ponto de vista do “Sistema Otimizado”. 
 
b) Considerando que uma obra na rota 1 fará com que o tempo de viagem aumente 1 
minuto por cada 1000 veículos, determine a nova distribuição equilibrada. 
 
 
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Lista 01 – Modelagem de transportes 
Bons estudos ☺ 
 
6) Para a rede apresentada a seguir, são dadas as funções demanda e oferta, onde “q” é o 
fluxo de demanda e “t” é o tempo de viagem. Os nós 1, 3 e 4 geram e atraem viagens, 
enquanto o nó 2 é uma interseção. 
Demanda: 
Trecho 1-3: q = 2000 – 10t 
Trecho 4-3: q = 4000 – 15t 
Oferta: 
Trecho 1-2: t = 25 + 0,05q 
Trecho 2-3: t = 30 + 0,05q 
Trecho 4-2: t = 30 + 0,05q 
 
a) Quais são os tempos de viagem e os fluxos de equilíbrio em cada par O/D (1-3 e 4-
3)? 
 
b) Está prevista uma via paralela ligando, diretamente, o ponto 1 ao 3 com a função 
oferta abaixo, mas mantendo também as vias atuais. Qual é o novo fluxo de 
equilíbrio, a distribuição de viagens e o tempo de viagem de 1 para 3? (Desconsidere 
a demanda 4-3). 
 
Função oferta da nova ligação 1-3: t = 90 + 0,025q 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
4 
3 
2 
Planejamento de Transportes 
Lista 01 – Modelagem de transportes 
Bons estudos ☺ 
Respostas: 
1) 
a) 
 O/D 1 2 3 4 Geração 
1 434,9239 186,7598 559,7263 138,59 1320 
2 144,7466 507,617 70,35663 322,2798 1045 
3 377,3982 88,45192 345,5362 748,6138 1560 
4 281,7436 335,9696 494,4068 337,88 1450 
Atração 1238,812 1118,798 1470,026 1547,364 
b) 
O/D 1 2 3 4 Geração 
1 395,2471 158,9327 547,3231 218,4971 1320 
2 112,7268 424,9714 133,6122 373,6896 1045 
3 361,3785 124,3801 366,628 707,6134 1560 
4 130,0021 313,4741 637,6496 368,8742 1450 
Atração 999,3545 1021,758 1685,213 1668,674 
 
 
2) 
a) 
 O/D 1 2 3 4 Geração 
1 255,2582 548,3655 1296,903 2558,833 4659,36 
2 967,3595 128,6445 1396,92 4134,256 6627,18 
3 2070,244 2529,476 723,7907 2948,199 8271,71 
4 1567,764 1913,535 2826,204 222,758 6530,26 
Atração 4860,626 5120,02 6243,817 9864,047 
 
b) 
O/D 1 2 3 4 Geração 
1 549,1173 554,2987 1033,707 2522,237 4659,36 
2 1212,407 169,7937 1574,316 3670,663 6627,18 
3 1915,481 2026,797 329,2013 4000,231 8271,71 
4 1542,785 2480,737 2099,92 406,8173 6530,26 
Atração 5219,791 5231,627 5037,144 10599,95 
 
c) 
Automóvel 
O/D 1 2 3 4 
1 366,9135 399,7132 812,3228 2062,117 
2 886,3407 107,6722 1166,214 2914,983 
3 1454,828 1501,401 216,2887 2716,871 
4 1127,867 1949,45 1448,891 267,2832 
Planejamento de Transportes 
Lista 01 – Modelagem de transportes 
Bons estudos ☺ 
 
 
Ônibus 
O/D 1 2 3 4 
1 182,2039 154,5855 221,3838 460,1205 
2 326,0665 62,12147 408,1021 755,6809 
3 460,6522 525,3968 112,9126 1283,359 
4 414,9189 531,2872 651,0288 139,5341 
 
d) 
Variação 
O/D 1 2 3 4 
1 12,27% 10,81% 8,74% 7,62% 
2 10,51% 13,08% 10,21% 8,46% 
3 9,62% 10,21% 12,54% 11,98% 
4 10,51% 8,74% 11,69% 12,54% 
 
3) 
Iteração Nó 
fechado 
Nó 
aberto 
Custo Novo nó 
fechado 
Custo Ligação 
1 A B 90 B 90 AB 
2 A C 138 C 138 AC 
B C 156 
3 A D 348 E 174 BE 
B E 174 
C F 228 
4 A D 348 F 228 CF 
C F 228 
E I 258 
5 A D 348 I 258 EI 
C D 294 
E I 258 
F H 288 
6 A D 348 H 288 FH 
C D 294 
F H 288 
I J 384 
7 A D 348 D 294 CD 
C D 294F G 360 
H G 336 
Planejamento de Transportes 
Lista 01 – Modelagem de transportes 
Bons estudos ☺ 
I J 384 
8 D G 342 G 336 HG 
F G 360 
H G 336 
I J 384 
9 G J 486 J 384 IJ 
H J 414 
I J 384 
 
Caminho mínimo de A até J: A - B - E - I - J 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
a) 
Fluxo 1: 1943 viagens 
Fluxo 2: 857 viagens 
Tempo de viagem: 12,86 minutos 
 
b) 
Fluxo 1: 1700 viagens 
Fluxo 2: 1100 viagens 
Tempo de viagem: 13,95 minutos 
 
6) 
a) 
Fluxo 1-3: 448,65 viagens / 155,13 minutos (107,70 + 47,43) 
Fluxo 4-3: 1105,41 viagens / 192,97 minutos (107,70 + 85,27) 
(se considerar os fluxos independentes, teremos: 
1-3: 725 viagens em 127,5 minutos; 4-3: 1240 viagens e 184 minutos) 
 
b) 
Fluxo 1-3: 975 viagens 
Fluxo na via nova: 500 viagens 
Fluxo na via existente: 475 viagens 
Novo tempo de viagem: 102,5 min 
1100 
1100 
1100 
880 
220 220 
1100