Buscar

Adimensionalização e Teoria da Camada Limite

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 23 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 23 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 23 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Convecc¸a˜o Natural ou Livre
Vicente Luiz Scalon
Faculdade de Engenharia/UNESP-Bauru
Disciplina: Transmissa˜o de Calor
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Suma´rio
Adimensionalizac¸a˜o
Teoria da Camada Limite
Efeitos da Turbuleˆncia
Expresso˜es Empı´ricas para Convecc¸a˜o Natural
Placas e Cilindros Verticais
Placas Horizontais
Cilindros Horizontais
Outras expresso˜es
Convecc¸a˜o Mista
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Principais objetivos:
neste capı´tulo sera˜o usadas expresso˜es analı´ticas/empı´ricas
para determinar o coeficiente de pelı´cula em casos de
convecc¸a˜o natural
sera˜o apresentados os me´todos de obtenc¸a˜o de
adimensionais e a soluc¸a˜o da Camada Limite neste caso;
sera˜o estudadas diversas geometrias externas e as
expresso˜es adequadas para obtenc¸a˜o do coeficiente de
pelı´cula;
todas as expresso˜es sa˜o baseadas na adimensionalizac¸a˜o
apresentada anteriormente:
Nux = f(~x∗,Ra,Pr) e Nu = f(Ra,Pr)
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Propriedades Importantes para Convecc¸a˜o Natural
Paraˆmetros Importantes:
Escoamento: Ts − T∞ ou ∆T [T ] e
g[L/t2]
Propriedades Fı´sicas do Fluido:
ρ [M/L3], µ [M/(L · t)], cp [L2/(t2 · T )],
k[M · L/(t3 · T )], β[1/T ]
Geometria: x [L]
Interesse: h [M/(t3 · T )]
y
Camada Limite Laminar
Laminar
Subcamada
Região de
Transição
δ (x)
Turbulenta
Camada Limite
x
g
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Sistema de Equac¸o˜es para adimensionais
Montando um sistema de equac¸o˜es :
∆T a · gb · ρc · µd · cep · kf · βg · xh · hi = Adimensional
(T )a ·
„
L
t2
«b
·
„
M
L3
«c
·
„
M
L · t
«d
·
„
L2
t2,T
«e
·„
M · L
t3,T
«f
·
„
1
T
«g
· Lh ·
„
M
t3 · T
«i
= (M · L · t · T )0
Com o balanc¸o para cada uma das grandezas:
MassaM =⇒ c+ d+ f + i = 0
Tempo t =⇒ −2b− d− 2 · e− 3 · f − 3 · i = 0
Dimensa˜oL =⇒ b− 3 · c− d+ 2 · e+ f + h = 0
TemperaturaT =⇒ a− e− f − g − i = 0
Inco´gnitas=9 ; Equac¸o˜es=4 =⇒ Graus de liberdade=5.
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Adimensionais
Usando a forc¸a de empuxo como paraˆmetro do problema:
Fe ∼ g · β ·∆T =⇒ a = b e a = g
Equac¸a˜o Geral:
∆T a · gb · ρc · µd · cep · kf · βg · xh · hi = Adimensional
Admitindo: a = b = g = 1, e = 0 e i = 0 tem-se que c = 2, d = −2, f = 0 e h = 3
Gr =
g · β ·∆T · ρ2 · x3
µ2
=
g · β ·∆T · x3
ν2
Admitindo: a = b = g = 0, e = 1 e i = 0 tem-se que c = 0, d = 1, f = −1 e h = 0
Pr =
µ · cp
k
=
ν
α
Em convecc¸a˜o natural e´ comum se trabalhar com outro adimensional tambe´m:
Ra = Gr · Pr
Admitindo: a = b = g = 0, e = 0 e i = 1
tem-se que c = 0, d = 0, f = −1 e
h = 1
Nu =
h · x
k
Assim, em termos adimensionais:
Nu = f(Gr,Pr) = f(Gr,Pr)
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Teoria da Camada Limite- Conv. Natural
Procedimento similar ao do escoamento externo mas na˜o
existe velocidadede corrente livre
Considerando x a direc¸a˜o vertical e ainda, que g esta´ no
sentido oposto ao estabelecido para o eixo:
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= −1
ρ
∂P
∂x
− g + ν ∂
2u
∂y2
Pressa˜o = termo esta´tico: ∂P/∂x = −ρ∞ · g, tem-se:
1
ρ
∂P
∂x
+ g = −ρ∞ · g
ρ
+ g = g
1
ρ
(ρ− ρ∞) = g · β · (T − T∞)
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Equac¸o˜es Modificadas
Equac¸a˜o da Quantidade de Movimento em x:
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= ν
∂2u
∂y2
− g · β · (T − T∞)
Equac¸a˜o da Energia:
u
∂T
∂x
+ v
∂T
∂y
= α
∂2T
∂y2
Adimensionais ale´m de GrL, ReL e Pr:
θ =
T − T∞
Ts − T∞ , X =
x
L
, Y =
y
L
,U =
u
u∞
, V =
v
u∞
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Adimensionalizac¸a˜o
X = xL
Y = yL
U = uu∞
V = vu∞
θ = T−T∞Ts−T∞
Pr = να
Gr = g·β·∆T ·x
3
ν2
Re = u∞·xν
Nu = hxk
Equac¸a˜o da Quantidade de Movimento em x:
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= ν
∂2u
∂y2
− g · β · (T − T∞)
U
∂U
∂X
+ V
∂V
∂Y
=
1
ReL
· ∂
2U
∂Y 2
− GrL
Re2L
· θ
Equac¸a˜o da Energia:
u
∂T
∂x
+ v
∂T
∂y
= α
∂2T
∂y2
U
∂θ
∂X
+ V
∂θ
∂Y
=
1
ReL · Pr ·
∂2θ
∂Y 2
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Caracterı´sticas da soluc¸a˜o
De acordo com a relac¸a˜o GrL
Re2L
pode se definir diferentes tipos de
convecc¸a˜o:
GrL
Re2L
� 1 =⇒ Convecc¸a˜o Forc¸ada
GrL
Re2L
≈ 1 =⇒ Convecc¸a˜o Mista
GrL
Re2L
� 1 =⇒ Convecc¸a˜o Natural
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Soluc¸a˜o por Similaridade
Analisando apenas a Convecc¸a˜o Natural a varia´vel de
similaridade e´:
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
�������������������������������
δ(x)
x
y η
δ(η)
A expressa˜o utilizada foi proposta por Ostratch e e´ dada por:
η =
y
δ(x)
=
y
x
(
Grx
4
) 1
4
e ainda
ψ = f(η) ·
[
4ν
(
Grx
4
) 1
4
]
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Equac¸a˜o da quantidade de movimento adimensionalizada
A equac¸a˜o original era:
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= ν
∂2u
∂y2
− g · β · (Ts − T∞) · θ
Foi adimensionalizada a partir das definic¸o˜es anteriores:
f ′′′(η) + 3 · f(η) · f ′′(η)− 2 · f ′2(η) + θ = 0
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Condic¸o˜es de Contorno
f ′′′(η) + 3 · f(η) · f ′′(η)− 2 · f ′2(η) + θ = 0
Esta e´ a equac¸a˜o final do problema, e que esta´ sujeita a`s
condic¸o˜es:
x = 0 ou y →∞, u = 0 =⇒ η →∞ , f ′(∞) = 0
y = 0 , u = 0 =⇒ η = 0 , f ′(0) = 0
y = 0, ψ = 0 =⇒ η = 0 , f(0) = 0
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o da Energia
Tomando-se a equac¸a˜o da energia, simplificada pelas hipo´teses
de Prandtl:
u
∂T
∂x
+ v
∂T
∂y
= α
∂2T
∂y2
Usando-se todas as definic¸o˜es anteriormente obtidas:
θ′′(η) + 3 · Pr · f(η) · θ′(η) = 0
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Condic¸o˜es de Contorno
θ′′(η) + 3 · Pr · f(η) · θ′(η) = 0
Esta e´ a equac¸a˜o final do problema, e que esta´ sujeita a`s
condic¸o˜es:
x = 0 ou y →∞,T = T∞ =⇒ η →∞ , θ(∞) = 0
y = 0 , T = Ts =⇒ η = 0 , θ(0) = 1
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Soluc¸a˜o
A equac¸a˜o pode enta˜o ser resolvida em conjunto com a equac¸a˜o
da quantidade de movimento atrave´s de um me´todo para soluc¸a˜o
nume´rica de sistema equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de ordem
superiores, como o me´todo de Runge Kutta.
Soluc¸a˜o complexa para se obter, usando aproximac¸a˜o:
θ′(x = 0) =
0,75 · Pr1/2
(0,609 + 1,221 · Pr1/2 + 1,238 · Pr)1/4
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Curvas para Pr = 0,5, 1 e 5
Pr = 5, θ(η)
Pr = 5, f ′(η) = u/U
Pr = 1, θ(η)
Pr = 1, f ′(η) = u/U
Pr = 0,5, θ(η)
Pr = 0,5, f ′(η) = u/U
η = y
x
“
Grx
4
”
1/4
u
/
U
o
u
θ
76543210
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Efeitos da Turbuleˆncia
A turbuleˆncia em convecc¸a˜o natural tem os mesmos efeitos
de intensificac¸a˜o da troca de calor que na convecc¸a˜o forc¸ada.
Transic¸a˜o de escoamento laminar para turbulento:
=⇒ Ra = Gr · Pr = 109
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Placas e CilindrosVerticais
para Ra < 109:
NuL = 0,68 +
0,670Ra1/4L
[1 + (0,492/Pr)9/16]4/9
para 0, 1 < Ra < 1012:
NuL =
{
0,825 +
0,387Ra1/6L
[1 + (0,492/Pr)9/16]8/27
}2
Este resultado pode ser extendido para cilindros verticais se:
D
L
≥ 35
Gr1/4L
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Placas Horizontais
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
Placa Aquecida Placa Resfriada
NuL = C · RaLm
Geometria RaL C m
Superfı´cie superior
da placa aquecida 2× 104 − 8× 106 0,54 1/4
ou inferior da placa resfriada 8× 106 − 1011 0,15 1/3
Superfı´cie inferior
da placa aquecida 105 − 1011 0,27 1/4
ou superior da placa resfriada
Obs: Em superfı´cies retangulares de dimenso˜es a e b use L = As/P .
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Cilindros Horizontais
? expressa˜o independe se o fluido
esta´ mais quente ou mais frio que o
cilindro;
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
? para RaD ≤ 1012:
Nu =
{
0,60 +
0,387 · Ra1/6D
[1 + (0,559/Pr)9/16]8/27
}2
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Outras expresso˜es
Em livros texto e outras refereˆncias uma se´rie de outras
expresso˜es podem ser vistas:
Exemplos
interior de canais ou regia˜o entre placas paralelas,
cavidades fechadas,
regio˜es anulares,
etc.
Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista
Convecc¸a˜o Mista
Definic¸a˜o: representa os fenoˆmenos no qual tanto a
movimentac¸a˜o natural do fluido como a forc¸ada tem
intensidades de mesma ordem de grandeza.
Desta feita, nenhum dos dois fenoˆmenos pode ser
desprezada.
GrL
Re2L
≈ 1
	Adimensionalização
	Teoria da Camada Limite
	Efeitos da Turbulência
	Expressões Empíricas para Convecção Natural
	Placas e Cilindros Verticais
	Placas Horizontais
	Cilindros Horizontais
	Outras expressões
	Convecção Mista

Continue navegando