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Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Convecc¸a˜o Natural ou Livre Vicente Luiz Scalon Faculdade de Engenharia/UNESP-Bauru Disciplina: Transmissa˜o de Calor Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Suma´rio Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Efeitos da Turbuleˆncia Expresso˜es Empı´ricas para Convecc¸a˜o Natural Placas e Cilindros Verticais Placas Horizontais Cilindros Horizontais Outras expresso˜es Convecc¸a˜o Mista Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Principais objetivos: neste capı´tulo sera˜o usadas expresso˜es analı´ticas/empı´ricas para determinar o coeficiente de pelı´cula em casos de convecc¸a˜o natural sera˜o apresentados os me´todos de obtenc¸a˜o de adimensionais e a soluc¸a˜o da Camada Limite neste caso; sera˜o estudadas diversas geometrias externas e as expresso˜es adequadas para obtenc¸a˜o do coeficiente de pelı´cula; todas as expresso˜es sa˜o baseadas na adimensionalizac¸a˜o apresentada anteriormente: Nux = f(~x∗,Ra,Pr) e Nu = f(Ra,Pr) Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Propriedades Importantes para Convecc¸a˜o Natural Paraˆmetros Importantes: Escoamento: Ts − T∞ ou ∆T [T ] e g[L/t2] Propriedades Fı´sicas do Fluido: ρ [M/L3], µ [M/(L · t)], cp [L2/(t2 · T )], k[M · L/(t3 · T )], β[1/T ] Geometria: x [L] Interesse: h [M/(t3 · T )] y Camada Limite Laminar Laminar Subcamada Região de Transição δ (x) Turbulenta Camada Limite x g Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Sistema de Equac¸o˜es para adimensionais Montando um sistema de equac¸o˜es : ∆T a · gb · ρc · µd · cep · kf · βg · xh · hi = Adimensional (T )a · „ L t2 «b · „ M L3 «c · „ M L · t «d · „ L2 t2,T «e ·„ M · L t3,T «f · „ 1 T «g · Lh · „ M t3 · T «i = (M · L · t · T )0 Com o balanc¸o para cada uma das grandezas: MassaM =⇒ c+ d+ f + i = 0 Tempo t =⇒ −2b− d− 2 · e− 3 · f − 3 · i = 0 Dimensa˜oL =⇒ b− 3 · c− d+ 2 · e+ f + h = 0 TemperaturaT =⇒ a− e− f − g − i = 0 Inco´gnitas=9 ; Equac¸o˜es=4 =⇒ Graus de liberdade=5. Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Adimensionais Usando a forc¸a de empuxo como paraˆmetro do problema: Fe ∼ g · β ·∆T =⇒ a = b e a = g Equac¸a˜o Geral: ∆T a · gb · ρc · µd · cep · kf · βg · xh · hi = Adimensional Admitindo: a = b = g = 1, e = 0 e i = 0 tem-se que c = 2, d = −2, f = 0 e h = 3 Gr = g · β ·∆T · ρ2 · x3 µ2 = g · β ·∆T · x3 ν2 Admitindo: a = b = g = 0, e = 1 e i = 0 tem-se que c = 0, d = 1, f = −1 e h = 0 Pr = µ · cp k = ν α Em convecc¸a˜o natural e´ comum se trabalhar com outro adimensional tambe´m: Ra = Gr · Pr Admitindo: a = b = g = 0, e = 0 e i = 1 tem-se que c = 0, d = 0, f = −1 e h = 1 Nu = h · x k Assim, em termos adimensionais: Nu = f(Gr,Pr) = f(Gr,Pr) Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Teoria da Camada Limite- Conv. Natural Procedimento similar ao do escoamento externo mas na˜o existe velocidadede corrente livre Considerando x a direc¸a˜o vertical e ainda, que g esta´ no sentido oposto ao estabelecido para o eixo: u ∂u ∂x + v ∂u ∂y = −1 ρ ∂P ∂x − g + ν ∂ 2u ∂y2 Pressa˜o = termo esta´tico: ∂P/∂x = −ρ∞ · g, tem-se: 1 ρ ∂P ∂x + g = −ρ∞ · g ρ + g = g 1 ρ (ρ− ρ∞) = g · β · (T − T∞) Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Equac¸o˜es Modificadas Equac¸a˜o da Quantidade de Movimento em x: u ∂u ∂x + v ∂u ∂y = ν ∂2u ∂y2 − g · β · (T − T∞) Equac¸a˜o da Energia: u ∂T ∂x + v ∂T ∂y = α ∂2T ∂y2 Adimensionais ale´m de GrL, ReL e Pr: θ = T − T∞ Ts − T∞ , X = x L , Y = y L ,U = u u∞ , V = v u∞ Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Adimensionalizac¸a˜o X = xL Y = yL U = uu∞ V = vu∞ θ = T−T∞Ts−T∞ Pr = να Gr = g·β·∆T ·x 3 ν2 Re = u∞·xν Nu = hxk Equac¸a˜o da Quantidade de Movimento em x: u ∂u ∂x + v ∂u ∂y = ν ∂2u ∂y2 − g · β · (T − T∞) U ∂U ∂X + V ∂V ∂Y = 1 ReL · ∂ 2U ∂Y 2 − GrL Re2L · θ Equac¸a˜o da Energia: u ∂T ∂x + v ∂T ∂y = α ∂2T ∂y2 U ∂θ ∂X + V ∂θ ∂Y = 1 ReL · Pr · ∂2θ ∂Y 2 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Caracterı´sticas da soluc¸a˜o De acordo com a relac¸a˜o GrL Re2L pode se definir diferentes tipos de convecc¸a˜o: GrL Re2L � 1 =⇒ Convecc¸a˜o Forc¸ada GrL Re2L ≈ 1 =⇒ Convecc¸a˜o Mista GrL Re2L � 1 =⇒ Convecc¸a˜o Natural Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Soluc¸a˜o por Similaridade Analisando apenas a Convecc¸a˜o Natural a varia´vel de similaridade e´: ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� ������������������������������� δ(x) x y η δ(η) A expressa˜o utilizada foi proposta por Ostratch e e´ dada por: η = y δ(x) = y x ( Grx 4 ) 1 4 e ainda ψ = f(η) · [ 4ν ( Grx 4 ) 1 4 ] Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Equac¸a˜o da quantidade de movimento adimensionalizada A equac¸a˜o original era: u ∂u ∂x + v ∂u ∂y = ν ∂2u ∂y2 − g · β · (Ts − T∞) · θ Foi adimensionalizada a partir das definic¸o˜es anteriores: f ′′′(η) + 3 · f(η) · f ′′(η)− 2 · f ′2(η) + θ = 0 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Condic¸o˜es de Contorno f ′′′(η) + 3 · f(η) · f ′′(η)− 2 · f ′2(η) + θ = 0 Esta e´ a equac¸a˜o final do problema, e que esta´ sujeita a`s condic¸o˜es: x = 0 ou y →∞, u = 0 =⇒ η →∞ , f ′(∞) = 0 y = 0 , u = 0 =⇒ η = 0 , f ′(0) = 0 y = 0, ψ = 0 =⇒ η = 0 , f(0) = 0 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o da Energia Tomando-se a equac¸a˜o da energia, simplificada pelas hipo´teses de Prandtl: u ∂T ∂x + v ∂T ∂y = α ∂2T ∂y2 Usando-se todas as definic¸o˜es anteriormente obtidas: θ′′(η) + 3 · Pr · f(η) · θ′(η) = 0 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Condic¸o˜es de Contorno θ′′(η) + 3 · Pr · f(η) · θ′(η) = 0 Esta e´ a equac¸a˜o final do problema, e que esta´ sujeita a`s condic¸o˜es: x = 0 ou y →∞,T = T∞ =⇒ η →∞ , θ(∞) = 0 y = 0 , T = Ts =⇒ η = 0 , θ(0) = 1 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Soluc¸a˜o A equac¸a˜o pode enta˜o ser resolvida em conjunto com a equac¸a˜o da quantidade de movimento atrave´s de um me´todo para soluc¸a˜o nume´rica de sistema equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de ordem superiores, como o me´todo de Runge Kutta. Soluc¸a˜o complexa para se obter, usando aproximac¸a˜o: θ′(x = 0) = 0,75 · Pr1/2 (0,609 + 1,221 · Pr1/2 + 1,238 · Pr)1/4 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Curvas para Pr = 0,5, 1 e 5 Pr = 5, θ(η) Pr = 5, f ′(η) = u/U Pr = 1, θ(η) Pr = 1, f ′(η) = u/U Pr = 0,5, θ(η) Pr = 0,5, f ′(η) = u/U η = y x “ Grx 4 ” 1/4 u / U o u θ 76543210 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Efeitos da Turbuleˆncia A turbuleˆncia em convecc¸a˜o natural tem os mesmos efeitos de intensificac¸a˜o da troca de calor que na convecc¸a˜o forc¸ada. Transic¸a˜o de escoamento laminar para turbulento: =⇒ Ra = Gr · Pr = 109 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Placas e CilindrosVerticais para Ra < 109: NuL = 0,68 + 0,670Ra1/4L [1 + (0,492/Pr)9/16]4/9 para 0, 1 < Ra < 1012: NuL = { 0,825 + 0,387Ra1/6L [1 + (0,492/Pr)9/16]8/27 }2 Este resultado pode ser extendido para cilindros verticais se: D L ≥ 35 Gr1/4L Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Placas Horizontais ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� Placa Aquecida Placa Resfriada NuL = C · RaLm Geometria RaL C m Superfı´cie superior da placa aquecida 2× 104 − 8× 106 0,54 1/4 ou inferior da placa resfriada 8× 106 − 1011 0,15 1/3 Superfı´cie inferior da placa aquecida 105 − 1011 0,27 1/4 ou superior da placa resfriada Obs: Em superfı´cies retangulares de dimenso˜es a e b use L = As/P . Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Cilindros Horizontais ? expressa˜o independe se o fluido esta´ mais quente ou mais frio que o cilindro; ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ? para RaD ≤ 1012: Nu = { 0,60 + 0,387 · Ra1/6D [1 + (0,559/Pr)9/16]8/27 }2 Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Outras expresso˜es Em livros texto e outras refereˆncias uma se´rie de outras expresso˜es podem ser vistas: Exemplos interior de canais ou regia˜o entre placas paralelas, cavidades fechadas, regio˜es anulares, etc. Adimensionalizac¸a˜o Teoria da Camada Limite Turbuleˆncia Exp. Empı´ricas Convecc¸a˜o Mista Convecc¸a˜o Mista Definic¸a˜o: representa os fenoˆmenos no qual tanto a movimentac¸a˜o natural do fluido como a forc¸ada tem intensidades de mesma ordem de grandeza. Desta feita, nenhum dos dois fenoˆmenos pode ser desprezada. GrL Re2L ≈ 1 Adimensionalização Teoria da Camada Limite Efeitos da Turbulência Expressões Empíricas para Convecção Natural Placas e Cilindros Verticais Placas Horizontais Cilindros Horizontais Outras expressões Convecção Mista
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