Método Empírico Camada Limite

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Me´todo Empı´rico Camada Limite Placas Cilindros Esferas
Convecc¸a˜o Forc¸ada Externa
Vicente Luiz Scalon
Faculdade de Engenharia/UNESP-Bauru
Disciplina: Transmissa˜o de Calor
Me´todo Empı´rico Camada Limite Placas Cilindros Esferas
Suma´rio
Me´todo Empı´rico
Camada Limite
Teoria de Prandtl
Soluc¸a˜o de Blasius
Convecc¸a˜o Laminar externa a Placas Planas
Regime Laminar
Convecc¸a˜o Mista
Convecc¸a˜o externa a cilindros
Convecc¸a˜o externa a esferas
Me´todo Empı´rico Camada Limite Placas Cilindros Esferas
Principais objetivos:
neste capı´tulo sera˜o usadas expresso˜es analı´ticas/empı´ricas
para determinar o coeficiente de pelı´cula
sera˜o apresentados conceitos de camada limite para a
soluc¸a˜o analı´tica
sera˜o estudadas diversas geometrias externas e as
expresso˜es adequadas para obtenc¸a˜o do coeficiente de
pelı´cula;
todas as expresso˜es sa˜o baseadas na adimensionalizac¸a˜o
apresentada anteriormente:
Nux = f(~x∗,Re,Pr) e Nu = f(Re,Pr)
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Me´todo Empı´rico
e´ uma das principais formas utilizadas na determinac¸a˜o do
coeficiente de pelı´cula
os resultados sa˜o obtidos normalmente utilizando
resisteˆncias ele´tricas
com a poteˆncia ele´trica fornecida e o conhecimento das
temperaturas do fluido e superfı´cie determina-se o h
os resultados para o escoamento sa˜o enta˜o plotados usando
os adimensionais Nu, Re e Pr
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Regio˜es da Camada Limite
Me´todo Empı´rico Camada Limite Placas Cilindros Esferas
Primo´rdios da Camada Limite
Princı´pio da camada limite foi proposto por Ludwig Prandtl
em um Congresso Internacional de Matema´tica em 1904
A ide´ia consiste em separar o escoamento em duas regio˜es
distintas:
Regia˜o da Camada Limite regia˜o pro´xima ao corpo onde os
efeitos da viscosidade sa˜o determinantes.
Regia˜o de Corrente Livre regia˜o mais afastada onde os
efeitos viscosos podem ser desprezados;
a prova da efetividade do modelo so´ veio alguns anos mais
tarde, em 1908, quando Paul Richard Heinrich Blasius (um
orientado de Prandtl) conseguiu determinar o coeficiente de
arrasto sobre a placa plana com muita precisa˜o e usando
estes princı´pios.
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Soluc¸a˜o de Blasius
Soluc¸a˜o de Blasius obteve soluc¸a˜o para escoamento laminar
ao longo de uma placa plana
se baseia no princı´pio da Similaridade do campo de
velocidades:
converte-se um problema bidimensional em unidimensional
u = f(x, y) e´ convertido em um problema u = f(η)
a soluc¸a˜o do problema de convecc¸a˜o depende tanto da
soluc¸a˜o do escoamento como do campo de temperaturas
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Equac¸o˜es Fundamentais Simplificadas pela Hipo´tese de
Camada Limite
Equac¸a˜o da quantidade de movimento em x:
u
∂u
∂x
+ v
∂u
∂y
= ν · ∂
2u
∂y2
Equac¸a˜o da Continuidade:
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0
Equac¸a˜o da energia:
u · ∂T
∂x
+ v · ∂T
∂y
= α
∂2T
∂y2
Varia´vel de similaridade (η):
δ(x) ∝
√
νx
u0
⇒ η = y
δ(x)
= y
√
u0
νx
e
u
u0
= φ(η) = f ′(η)
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Equac¸o˜es Similares da Camada Limite Hidrodinaˆmica
Da equac¸a˜o da continuidade tem-se:
v =
1
2
√
u0 · ν
x
[
η · f ′(η)− f(η)]
Equac¸a˜o da quantidade de movimento em x:
f(η) · f ′′(η) + 2f ′′′(η) = 0
Condic¸o˜es de contorno:
em y = 0⇒ u = 0 ou seja η = 0⇒ f ′(η) = 0
em y = 0⇒ v = 0 ou seja η = 0⇒ f(η) = 0
em y →∞⇒ u = u0 ou seja η →∞⇒ f ′(η) = 1
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Soluc¸a˜o da Camada Limite Hidrodinaˆmica
Tabela de Soluc¸a˜o
η f(η) f ′(η) = u/u0 f
′′(η)
0 0 0 0,332
...
...
4,8 3,085 0,988 0,022
5,2 3,482 0,994 0,011
...
...
6,8 5,079 1,000 0,000
=⇒f ′(η) = u
u0
= 0,99 quando η = 5,0
δ = 5
√
ν · x
u0
=
5 · x√
Rex
O valor de f ′′(0) tambe´m e´ um paraˆmetro importante. pois ele
informa o coeficiente de atrito local da placa:
Cf,x = 2× f ′′(0)×
√
Rex = 0,664 ·
√
Rex
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Equac¸o˜es Similares da Camada Limite Te´rmica
Define-se uma temperatura adimensionalizada:
T − Ts
T∞ − Ts = θ(ηt) onde ηt =
y
δt(x)
e δt(x) ≈
√
α · x
u0
Equac¸a˜o da quantidade de movimento em x:
θ′′(η) +
Pr
2
· f(η) · θ′(η) = 0
Condic¸o˜es de contorno:
em y = 0⇒ T = Ts ou seja η = 0⇒ θ(η) = 0
em y →∞⇒ T = T∞ ou seja η →∞⇒ θ(∞) = 1
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Transfereˆncia de calor na placa plana
Da mesma forma que no anterior e´ preciso encontrar o valor de θ′(0):
uma regressa˜o destes valores em func¸a˜o do Prandtl e´ dada por:
θ′(0) = 0,332 · Pr 13
o fluxo de calor:
h(Ts−T∞) = q′′ = −k · ∂T
∂y
= −k ·(T∞−Ts)∂θ
∂y
= k ·(Ts−T∞)
r
u0
ν · xθ
′(η)
o coeficiente local de transfereˆncia de calor na parede (η = 0):
h =
(
√
x)2
x
k ·
r
u0
ν · xθ
′(η)|η=0 == k
x
·
r
u0 · x
ν
· θ′(0)
na forma adimensional:
Nux = 0,332 ·
√
Rex · Pr 13
o coeficiente me´dio pode ser obtido por integrac¸a˜o: Nux = 2 ·Nux
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Convecc¸a˜o Laminar externa a Placas Planas
utilizando propriedades do fluido avaliadas a
Tf = (Ts + T∞)/2
Escoamento laminar ao longo de uma placa aquecida
(ReL < 5× 105):
Nux = 0,664 · Pr1/3 · Re1/2x
Para o caso da placa sujeita a um fluxo de calor constante
(escoamento laminar):
qp · x
k(Tp − T∞) = 0,453 · Pr
1/3 · Re1/2x
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Convecc¸a˜o Mista externa a Placas Planas
utiliza-se propriedades do fluido avaliadas a Tf = (Ts + T∞)/2
o coeficiente de pelı´cula turbulento local e´ dado por:
Nux = 0, 0296 · Re4/5x · Pr1/3
Escoamento misto considerando parte laminar e parte turbulento:
hL =
1
L
„Z xt
x=0
hl,x · dx+
Z L
x=xt
ht,x · dx
«
Assim sendo o valor me´dio sobre a laca e´ dado por:
NuL = Pr
1
3 [0,037 · Re4/5L − (0,037 · Re4/5t − 0,664 ·
√
Ret)| {z }
A
]
Admitindo a transic¸a˜o de laminar para turbulento: Ret = 5× 105
NuL =
“
0,037 · Re4/5L − 871
”
Pr
1
3
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Escoamento externo a cilindros -Valor Local
Me´todo Empı´rico Camada Limite Placas Cilindros Esferas
Escoamento externo a cilindros -Valor Me´dio
Com propriedades do fluido avaliadas a Tf = (Ts + T∞)/2,
Expressa˜o de Hilpert
NuD = C Re
n
Df Pr
1/3 sendo:
ReDf C n
0,4 - 4 0,989 0,330
4 - 40 0,911 0,385
40 - 4000 0,683 0,466
4000 - 40000 0,193 0,618
40000 - 400000 0,02666 0,805
Expressa˜o de Churchill e Bernstein
Nud = 0,3 +
0,62 · Re1/2Df · Pr1/3[
1 +
(0,4/Pr)2/3]1/4 ·
[
1 +
(
Re
28200
)5/8]4/5
va´lida quando ReDf · Pr > 0,2.
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Com a propriedades avaliadas a T∞ exceto Prs que e´ avaliado a Ts
Expressa˜o de Zhukauskas - va´lida para faixa de
0,7 ≤ Pr ≤ 500
NuD = C Re
n
D Pr
n
„
Pr
Prs
« 1
4
sendo:
se Pr ≤ 10⇒ n = 0,37 e
Pr > 10⇒ n = 0,36.
ReD C m
1− 40 0,75 0,4
40− 1000 0,51 0,5
1000− 2× 105 0,26 0,6
2× 105 − 106 0,076 0,7
Me´todo Empı´rico Camada Limite Placas Cilindros Esferas
Convecc¸a˜o em torno de uma esfera
propriedades do fluido avaliadas a T∞,
propriedade µw avaliada a` temperatura de parede
faixa de Re 3,5 < ReD < 76000:
Nu = 2 + (0,4 · Re1/2D + 0,06Re2/3D )Pr0,4
(
µ
µw
)1/4
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	Camada Limite
	Teoria de Prandtl
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	Convecção Laminar externa a Placas Planas
	Regime Laminar
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