Transferência de Calor e Equações Diferenciais

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ui
z 
Sc
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Equação Geral da Condução
● Para um sistema unidimensional demonstrou-
se:
qx=−k A
∂T
∂ x ∣x
● Para um sistema multidimensional o fluxo de 
calor é vetorial:
q , ,=qx
, ,⋅iq y
, ,⋅jq z
, ,⋅k
=−k ∂T
∂ x ∣x⋅i−k ∂T∂ y ∣y⋅j−k ∂T∂ z ∣z⋅k=k⋅∇⋅T
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Fluxo de Calor na Direção 
Normal à Superfície
● Para o fluxo de calor saindo de uma 
superfície (ou isoterma):
qn=−k An
∂T
∂n∣n
e representa o fluxo de calor 
na direção normal
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Equação de Difusão de Calor
● Balanço de Energia na seção do Cubo:
dx
Área
 
A
qx qxdqx
⋅A⋅dx⋅c p⋅
∂T
∂ t

E˙ A
=qx
E˙ e
−qxdqx
E˙ s
q˙ A⋅dx
E˙G
sendo dqx=−
∂
∂ x k A ∂T∂ x ⋅dx
⋅A⋅dx⋅c p⋅
∂T
∂ t
= ∂
∂ x k ∂T∂ x A⋅dxq˙ A⋅dx
⋅c p⋅
∂T
∂ t
= ∂
∂ x k ∂T∂ x q˙
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Equação Multidimensional de Difusão 
de Calor – Sistema Cartesiano
● Equação Geral:
⋅c p⋅
∂T
∂ t
= ∂
∂ x k ∂T∂ x  ∂∂ y k ∂T∂ y  ∂∂ z k ∂T∂ z q˙ (2.13)
● Equação Geral:
● Equação para Condutividade Constante
1

k / c p
∂T
∂ t
=∂
2T
∂ x2
∂
2T
∂ y2
∂
2T
∂ z2
 q˙
k
 (2.15)
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Equação Multidimensional de Difusão 
de Calor – Outros Sistemas
● Sistemas Cilíndricos:
⋅c p⋅
∂T
∂ t
=1
r
∂
∂ r k⋅r ∂T∂ r  1r2 ∂∂ k ∂T∂  ∂∂ z k ∂T∂ z q˙
 (2.20)
● Sistemas Esféricos:
⋅c p⋅
∂T
∂ t
= 1
r2
∂
∂ r k⋅r2 ∂T∂ r  1r2 sin2 ∂∂ k ∂T∂ 
1
r2 sin
∂
∂k⋅sin ∂T∂q˙ (2.23)
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Solução de Equações 
Diferenciais
● Qualquer equação 
diferencial pode resolver 
um problema 
determinando o 
“comportamento” da 
função solução. 
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 0  0.2  0.4  0.6  0.8  1
y
t
Solução Geral:
y t =5⋅exp x −2⋅xC1
Solução Específica:
y t=0=2
● A solução característica 
de um determinado do 
problema só pode ser 
obtida com o 
conhecimento das suas 
“Condições de Contorno” 
do problema. 
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Condições de Contorno Típicas
● Com relação ao tempo:
– Condição inicial
● Com relação à condução:
– Condição de 1ª Espécie (Dirichlet)
– Condição de 2ª Espécie (Neumann)
– Condição de 3ª Espécie (Robin)
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Condição Inicial
● Para qualquer problema que envolva transitório é 
necessário conhecer o perfil da grandeza analisada em 
pelo menos um instante de tempo.
t=0
x
t=0T  x , t=0=50
t=0T  x , t=0=−2⋅x2−3x38 ou 
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Condição de 1ª Espécie 
Condição Pré-Estabelecida 
Condição de Dirichlet
● Condição na qual a grandeza (temperatura, por 
exemplo) é conhecida numa dada posição.
x
x=0T  x=0, t =70
x=LT  x=L , t =50
70
50
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Condição de 2ª Espécie
Condição de Fluxo
Condição de Neumann
● Caracteriza a condição no qual a derivada da 
grandeza é estabelecida. É denominada condição 
de Fluxo por estar associada ao fluxos (fluxo de 
calor, por exemplo).
x
x=0q ' '=−k⋅dT
dx
 dT
dx ∣x=0=−q ' 'k
q ' '=150W
m2
k=10W/ m K
x=0 dT
dx ∣x=0=−15010
Obs: - Muito cuidado com sentido do eixo x!!!!
 - Caso de Fluxo Nulo!!!!
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Condição de 3ª Espécie
Condição de Convecção
Condição de Robin
● Condição típica de problemas de transferência de 
calor e aplicável nos casos depende tanto da 
variável como da sua 1ª derivada.
≫x=0h⋅T ∞−T x=0, t =−k
d T
d x ∣x=0h ,T ∞
≫x=Lh⋅T  x=L , t −T ∞=−k
d T
d x ∣x=L
h ,T ∞
x
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Propriedades Físicas da Matéria
● Condutividade Térmica – k
● Massa Específica – ρ
● Calor Específico a Pressão Constante – cp
● Difusividade Térmica – α
● Viscosidade Cinemática (ν) ou Dinâmica (μ) 
● Coeficiente de Expansão Volumétrica (β)
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Características da 
Condutividade Térmica
● pode ser calculada experimentalmente 
fazendo uso da Lei de Fourier:
● pode ser:
– isotrópico (igual em todas as direções)
– anisotrópico
k=− q
, ,
dT / dx
k x≠k y≠k z
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Condutividade Térmica
Diferentes mecanismos de acordo com a natureza:
– Sólidos
● metálicos (condutores elétricos)
● cerâmicas
– Fluidos
● líquidos
● gases
– Material Isolante
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Distribuição de valores da 
condutividade térmica
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Condutividade Térmica de 
Sólidos
A condutividade térmica pode ser escrita como 
uma composição de dois fatores:
onde: 
● kr representa a transferência de energia pela 
rede de ligações atômicas/moleculares
● ke representa a transferência de energia por 
transferência de elétrons entre átomos.
k s=k ek r
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Comportamento da Condutividade 
Térmica com a Temperatura
Quartzo Fundido
Ferro
Ceramicos
Tungstenio
Aco Inoxidavel
Prata
Platina
Aluminio Ouro
Oxido de Aluminio
Cobre
 500
 400
 300
 200
 150
 100
 80
 60 50
 35
 20
 15
 10
 8
 6 5
 4
 3
 2
 1
 4000 3000 2000 1500 1000 800 600 500 400 300 200 150 100
Co
nd
ut
iv
id
ad
e T
er
m
ica
 [W
/m
.K
]
Temperatura [K]
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Condutividade Térmica em 
Fluidos
● Fluidos = ligações moleculares muita mais 
fracas que dos sólidos (menor condutividade)
Sólido Líquido Gás
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Condutividade Térmica em 
Gases
● Transferência de energia em gases ocorre 
basicamente por colisões (Teoria Cinética dos 
gases)
k l=n⋅c⋅ onde 〚n= número de moléculas / volumec= vel. média das moléculas=percurso médio das moléculas
●PRESSÃO: n aumenta e λ diminuem – k sem mudança significativa
●TEMPERATURA: c aumenta – k aumenta com a temperatura!!!!
Efeitos em função do aumento de:
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Comportamento da Condutivida-
de Térmica de Alguns Gases
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0  200  400  600  800  1000
Co
nd
ut
iv
id
ad
e T
er
m
ica
 [W
/m
.K
]
Temperatura [K]
Ar
Heli
o
Hid
rog
eni
o
Dioxido de
 Carbono
R­12
Vapor d
'agua(1 
atm)
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Condutividade Térmica em 
Líquidos
● o mecanismo que explica a condução em 
líquidos não metálicos é mais complexo e 
ainda não está bem estabelecido.
● de maneira geral para os líquidos: 
– a condutividade térmica aumenta com aumento 
de temperatura (excessões: água e glicerina)
– a condutividade diminui com o aumento do peso 
molecular
● metais fundidos têm condutividade térmica 
muito maior que os outros líquidos
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Condutividade Térmica em 
Líquidos
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 200  250  300  350  400  450  500  550  600Co
nd
ut
iv
id
ad
e T
er
m
ica
 [W
/m
.K
]
Temperatura [K]
Amonia
Oleo de Motor
R­12
Glicerina
Agua
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Sistemas de Isolamento Térmico
● São compostos normalmente por uma 
combinação de dois materiais (gás + fibras ou 
pó ou flocos)
● O conceito de Condutividade Térmica Efetiva 
é utilizado. Neste caso, a condutividade 
aparente é função de diversos parâmetros: 
caminho percorrido pelo fluxo e as diversas 
formas de transferência de calor internas
● Isolamento Celular: nome dado ao isolante 
quando existe uma matriz rígida.
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Difusividade Térmica
● O rearranjo das equações de condução levam ao 
aparecimento de uma relação entre outras propriedades 
que denominamos Difusividade Térmica (α):
● esta propriedade permite avaliar a “velocidade” com que 
o calor se difunde em um dado material.
● útil em problemas que envolvem condução transiente
= k
c p