Avaliação Final (Objetiva)Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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1A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das equações e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto as suas soluções. Desta forma, com relação à solução do sistema linear, assinale a alternativa CORRETA:
A
Admite somente duas soluções.
B
Admite infinitas soluções.
C
Não admite solução.
D
Admite apenas uma solução.
2O estudo das matrizes e determinantes possibilita uma série de regras que permitem o cálculo simplificado de várias situações. As propriedades operatórias destes conceitos podem, além de serem provadas por artifícios matemáticos formais, ser mostradas mediante exemplos numéricos. Sendo A, B e C matrizes reais de ordem n, utilize exemplos numéricos para analisar as opções e classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) AB = BA.
(    ) A+B = B+A.
(    ) det (AB) = det (A) . det (B).
(    ) det (A+B) = det (A) + det (B).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F - V.
B
F - F - V - V.
C
F - V - V - F.
D
F - V - F - F.
3Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente, escrever os elementos desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R³, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) {(2,3),(-1,4)}.
(    ) {(2,3,1),(-6,-9,-3),(0,0,1)}.
(    ) {(1,5,2),(3,11,2),(-4,-6,-4)}.
(    ) {(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)}.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - F - V.
B
V - F - V - F.
C
V - V - F - F.
D
F - V - V - F.
4Uma companhia de telefonia móvel decide ampliar seu sinal para pequenas cidades do interior do estado. Para o projeto piloto, determinou três cidades: A, B e C. No entanto, para fins de economia de custos, implantará apenas uma torre de sinal para suprir o sinal das três localidades, que são as cidades situadas conforme a imagem representativa a seguir. Sobre o ponto equidistante de A, B e C para o posicionamento ideal da torre de sinal, assinale a alternativa CORRETA:
A
(60,20).
B
(50,30).
C
(60,30).
D
(50,20).
5Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - V - F - V.
B
F - F - V - F.
C
V - F - F - F.
D
F - V - F - F.
6O plano cartesiano pode representar duas retas no plano de acordo com as seguintes posições: concorrentes ou paralelas. Essas posições são determinadas de acordo com a lei de formação de cada função do 1º grau, visto que essas funções possuem como representação geométrica uma reta. Em seguida, podemos analisar que os coeficientes angulares das retas determinam o posicionamento decorrente delas. Com relação às retas x - y - 4 = 0 e x + y - 2 = 0, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Se interceptam em um ponto, mas não são perpendiculares.
(    ) São paralelas.
(    ) São perpendiculares.
(    ) São coincidentes.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F - F.
B
F - F - V - F.
C
F - F - F - V.
D
F - V - F - F.
7As cônicas, a hipérbole, a parábola, a elipse e a circunferência possuem um aspecto singular: podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica. Sobre os conceitos fundamentais de cônicas, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - V.
B
F - V - F.
C
F - F - V.
D
V - V - F.
8Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos a resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares ou, ainda, o cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices. Baseado nas propriedades dos determinantes, analise as sentenças a seguir:
I- Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu determinante será nulo.
II- O determinante de uma matriz quadrada é sempre positivo.
III- O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta AT.
IV- Se uma matriz não for quadrada seu determinante será igual a zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I e II estão corretas.
B
As sentenças I e III estão corretas.
C
Somente a sentença III está correta.
D
As sentenças II e IV estão corretas.
9A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - V - F - F - V.
B
F - V - V - F - V.
C
V - F - V - V - F.
D
F - V - F - V - F.
10Ao realizar a análise vetorial de um plano, para conhecer sua equação característica, devemos conhecer um ponto que pertence a ele e um vetor normal a sua representação geométrica (vetor que forma 90° com o plano). A respeito da equação do plano que passa pelo ponto P(1,2,-1) e é normal ao vetor v = (1,3,2), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Sua equação é x + 2y - z + 5 =0.
(    ) É paralelo ao vetor u = (2,6,4).
(    ) O ponto A (0,0,5/2) pertence ao plano.
(    ) Intercepta o eixo X no ponto x = 5.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - V - V.
B
V - F - V - F.
C
F - F - V - V.
D
F - V - F - V.
11(ENADE, 2014) Considere uma parábola de foco F e de reta diretriz d. Denote por P um ponto pertencente à parábola e por D a sua projeção ortogonal na reta diretriz d. Representando por r a reta bissetriz do ângulo FPD, avalie as asserções a seguir e a relação da proposta entre elas:
I- A reta r é tangente à parábola o ponto P.
PORQUE
II- Para qualquer ponto Q pertencente à reta r, Q diferente de P, a distância de Q ao ponto D é maior que a distância de Q à reta d.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta de I.
B
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta de I.
D
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
12(ENADE, 2008) Considere o sistema de equações a seguir:
A
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
B
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
C
As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é umajustificativa correta da primeira.
D
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.