9 - Construções Geométricas - Concordâncias e Tangências

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Unidade Curricular: Desenho Técnico
Horário: 19h às 22h
Prof.: Felipe Bussolotto
Carga Horária: 60h
Aula: Construções Geométricas – Tangências e Concordâncias
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Tangência
Diz-se que uma reta é tangente a uma circunferência quando tem um só ponto comum com esta
circunferência ou seja, quando sua distância ao centro da mesma é igual ao raio. Assim, teremos
sempre a tangente perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
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TANGÊNCIA: operação que nos permite traçar tangentes. E assim podemos traçar:
a - Retas tangentes a circunferências dadas.
b - Circunferências tangentes a retas dadas.
c - Circunferências tangentes entre si.
Traçados
Traçar uma tangente a uma circunferência dada, passando por um ponto T nela situado.
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- Traça-se a circunferência de centro O, marcando nela um ponto qualquer T.
- Une-se O a T, prolongando-o por T.
- Traça-se t perpendicular a OT, que será a tangente pedida.
Traçados
De um ponto P situado fora de uma circunferência dada, traçar duas tangentes a ela. Dados: r = 2 cm , OP 
= 5,4 cm.
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- Una o ponto P ao ponto O e determine o ponto médio M do segmento PO.
- Centro em M e raio MO traça-se um arco auxiliar que cortará a circunferência em T e T’, pontos de tangência.
- Une-se P a T’, e P a T prolongando-os, e temos as tangentes pedidas.
Traçados
Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências sabendo-se que seus centros, (OO’) distam 6,0 
cm, e possuem os respectivos raios: r = 2,5 cm, r’ = 1,2 cm.
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Traçados
Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências sabendo-se que seus centros, (OO’) distam 6,0 
cm, e possuem os respectivos raios: r = 2,5 cm, r’ = 1,2 cm.
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- Sobre uma reta auxiliar x, determinam-se os centros O e O’ 
distantes 6cm.
- Traçam-se as respectivas circunferências de raios r e r’.
- Com centro em O traça-se uma circunferência auxiliar de raio 
r’’ = r - r’ (obtido graficamente),
- Centro em M, ponto médio de OO’, traça-se um arco que irá 
cortar a circunferência auxiliar em 1 e 2.
- Une-se O a 1 e O a 2, prolongando-os e determinando A e B 
(pontos de tangência na circunferência O).
- Por O’ traça-se uma paralela a OA e a OB, determinando C e 
D (pontos de Tangência na circunferência O’).
- Unindo A a C, e B a D tem-se as tangentes pedidas.
Traçados
Traçar tangentes interiores e comuns a duas circunferências de raios diferentes.
Dados: r = 2,8 r’ = 1,5 OO’ = 6,0 (centímetros).
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Traçados
Traçar tangentes interiores e comuns a duas circunferências de raios diferentes.
Dados: r = 2,8 r’ = 1,5 OO’ = 6,0 (centímetros).
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- A construção é idêntica 
à anterior, mudando 
apenas o raio da 
circunferência auxiliar r” 
= r + r’ . O’C // O2 e 
O’D // OA.
Traçados
Traçar uma circunferência de raio r= 15mm tangente aos lados de um ângulo dado.
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- Traça-se x’ // x e y’ // y na 
distância r (raio dado), 
determinando no cruzamento de 
x’ com y’ o ponto O.
- Traça-se OT perpendicular y e 
OT’ perpendicular x
- Centro em O e raio r, traça-se a 
circunferência pedida.
- T e T’ são os pontos de 
tangência.
Traçados
Traçar uma circunferência que passe por um ponto P e que seja tangente a uma reta no ponto
M. P situa-se fora da reta.
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- Pelo ponto M levanta-se y, perpendicular 
a reta dada.
- Traça-se x, mediatriz de MP, 
determinando o ponto O na perpendicular.
- Centro em O e raio OM, traça-se a 
circunferência pedida.
Traçados
Traçar uma circunferência de raio r = 1,5 cm, que seja tangente simultaneamente a uma reta r
e uma outra circunferência dada, de tal forma que o ponto P, seja o ponto de tangência entre as
circunferências.
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Traçados
Traçar uma circunferência de raio r = 1,5 cm, que seja tangente simultaneamente a uma reta r
e uma outra circunferência dada, de tal forma que o ponto P, seja o ponto de tangência entre as
circunferências.
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- Une-se O a P, prolongando-o.
- Pelo ponto O levanta-se um perpendicular a reta r, 
determinando o ponto A sobre a circunferência.
- Une-se A a P, prolongando-o até determinar B 
sobre r.
- Traça-se a mediatriz de PB que irá cruzar com o 
prolongamento de AP determinando O’.
- Centro em O’ e raio O’P, traça-se a circunferência 
pedida.
Traçados
Traçar duas circunferências de raio = 1 cm, que sejam tangente interior e exterior
respectivamente a uma circunferência , em um ponto P dado.
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Traçados
Traçar duas circunferências de raio = 1 cm, que sejam tangente interior e exterior
respectivamente a uma circunferência , em um ponto P dado.
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- Prolonga-se a união dos pontos O e P, 
determinando a reta r.
- Centro em P, abertura igual a 1cm, determina-se 
os pontos O’ e O” sobre r.
- Centro O’, raio = 1 cm, traça-se a circunferência 
interna pedida.
- Centro O”, mesma abertura, traça-se a 
circunferência externa pedida.
Concordância
Concordar duas linhas, de mesma espécie ou de espécies diferentes, é reuni-las de tal
forma, que se possa passar de uma para a outra, sem ângulo, inflexão nem solução de
continuidade. Exemplos:
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Princípios da concordância
Como veremos nos problemas que se seguirão, a concordância entre arcos de círculo e
retas, e entre arcos e arcos, se baseiam em dois princípios fundamentais:
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a - Para que uma reta e um arco 
estejam em concordância é 
necessário que:
1º - O centro do arco e o ponto de 
concordância entre eles estejam 
sobre uma mesma perpendicular.
2º - A reta seja tangente ao arco no 
ponto de concordância. Exemplo:
Princípios da concordância
Como veremos nos problemas que se seguirão, a concordância entre arcos de círculo e
retas, e entre arcos e arcos, se baseiam em dois princípios fundamentais:
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b - Para que dois arcos estejam em 
concordância é necessário que:
1 º - Seus centros e o ponto de concordância 
estejam sobre uma mesma linha reta.
2º - Sejam tangentes entre si no ponto de
concordância. Exemplo:
Traçados
Concordar um segmento de reta AB, em B, com um arco de circunferência de raio r = 20 mm.
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Traçados
Concordar um segmento de reta AB, em B, com um arco de circunferência de raio r = 20 mm.
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- Levanta-se uma reta s perpendicular pelo 
ponto B.
- Sobre s, a partir de B, transporta-se o raio 
dado, determinando o centro O.
-Centro em O e raio OB = r, traça-se o arco 
pedido.
Traçados
Concorde um arco de circunferência com a semi-reta Ax no ponto A, de tal forma que ele contenha um
ponto B qualquer, não pertencente a semi-reta.
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Traçados
Concorde um arco de circunferência com a semi-reta Ax no ponto A, de tal forma que ele contenha um
ponto B qualquer, não pertencente a semi-reta.
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- Por A levanta-se uma reta r perpendicular a 
Ax.
- Traça-se a mediatriz de AB, determinando O 
em r.
- Centro em O e raio OA, traça-se o arco 
pedido.
Traçados
Concordar um arco de circunferência de raio = 15 mm com duas retas perpendiculares entre si.
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Traçados
Concordar um arco de circunferência de raio = 15 mm com duas retas perpendiculares entre si.
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- Com raio r, e centro no ponto de concorrência 
das perpendiculares, traça-se um arco auxiliar 
que determinará 1 em x e 2 em y.
- Centro em 1 e 2, mesmo raio, determina-se 
O.
- Centro em O, mesmo raio, traça-se o arco 12, 
fazendo a concordância pedida.
Traçados
Concordar um arco de circunferência de raio dado r = 1,5 cm, com duas retas que se cruzam a
120º.
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Traçados
Concordar um arco de circunferência de raio dado r = 1,5 cm, com duas retas que se cruzam a
120º.
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- Traçam-se as retas x e y, formando um ângulo de 120°.
- Traçam-se x’ // x e y’ // y na distância r (raio dado), as 
quais se cruzam em O.
- Por O traçam-se perpendiculares às retas dadas,
determinando C e C’, que serão os pontos de 
concordância.
- Centro em O, raio OC, descreve-se o arco CC’, fazendo a
concordância pedida
Traçados
Concordar duas semi-retas //, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois arcos iguais. 
Sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas eos arcos não se encontram no mesmo 
alinhamento.
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Traçados
Concordar duas semi-retas //, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois arcos iguais. 
Sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas e os arcos não se encontram no mesmo 
alinhamento.
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- Por A e B tiram-se perpendiculares, r e s.
- Une-se A a B e determina-se M, ponto médio de AB
- Determina-se mediatriz de AM que cortará r em O’.
- Determina-se mediatriz de MB que cortará sr em O.
- Cento em O e O’, raio OA descreve-se os arcos das 
curvas pedidas
OBSERVAÇÃO:
- A união dos centros O e O’ passa obrigatoriamente pelo
ponto de concordância dos arcos, ponto M.
Traçados
Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas concordantes e de 
mesmo sentido. (Também conhecido como arco aviajado).
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Traçados
Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas concordantes e de 
mesmo sentido. (Também conhecido como arco aviajado).
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- Pelos pontos A e B, traçam-se perpendiculares aos segmentos.
- Traçam-se as bissetrizes dos ângulos retos A e B, que se cruzarão 
no ponto 1.
- Por 1, traça-se uma reta paralela aos segmentos , determinando O 
e O’ sobre as perpendiculares.
- Centro em O, raio OB = O1, traça-se o arco B1.
- Centro em O’, raio O’A = O’1, e traça-se o arco A1.
Traçados
Concordar duas retas convergentes/divergente por meio de dois arcos de circunferência concordantes entre si 
e de mesmo sentido. Dados: Pontos de concordância: Ponto A sobre a reta x Ponto C sobre a reta y.
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Traçados
Concordar duas retas convergentes/divergente por meio de dois arcos de circunferência concordantes entre si 
e de mesmo sentido. Dados: Pontos de concordância: Ponto A sobre a reta x Ponto C sobre a reta y.
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- Pelas extremidades A e B de x e y, levantam-se as perpendiculares r e s .
- Centro em A, raio qualquer, determina-se o ponto O sobre r.
- Centro em B, mesma abertura, determina-se o ponto 1 em s.
- Traça-se a mediatriz de O1, que cortará a reta s em O’.
- Une-se O’ a O prolongando-se.
- Centro em O’, raio O’B, descreve-se um arco que encontrará o
prolongamento de OO’ no ponto C (ponto de concordância entre os arcos).
- Centro em O, raio OC = OA, completa-se a concordância com o arco CA.
Concordância externa
Traçar um arco de circunferência de raio r” dado, concordante com duas circunferências de raios r e r’,
conhecidos. Dados r” =5,3 cm, r = 2,0 cm, r’ = 1,0 cm e OO’ = 6,2 cm.
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- Traçam-se as circunferências dadas com 
centros O e O’, distantes 6,2 cm.
- Centro em O, raio r”- r, descreve-se um 
arco auxiliar.
- Centro em O’ e raio r”- r’, descreve-se 
outro arco que cortará o primeiro em O”.
- Une-se O” a O e O” a O’, prolongando-os 
até cortarem as circunferências em A e B.
- Centro em O”, e raio O”A = O”B, traça-
se o arco AB, que é a concordância 
pedida.
Concordância interna
Traçar um arco de circunferência de raio r” dado, concordante com duas circunferências de raios r e r’,
conhecidos. Dados r” =5,3 cm, r = 2,0 cm, r’ = 1,0 cm e OO’ = 6,2 cm.
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- O processo de construção é idêntico ao 
caso anterior.
- Modificando-se apenas o seguinte: O 
ponto O” é determinado pelo cruzamento 
dos arcos de centros O e O’ e raios r” + r 
e r” + r’.
Concordância interna e externa
Traçar um arco de circunferência de raio r” dado, concordante com duas circunferências de raios r e r’,
conhecidos. Dados r” =5,3 cm, r = 2,0 cm, r’ = 1,0 cm e OO’ = 6,2 cm.
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- O processo de construção é idêntico ao 
1º caso, modificando-se apenas o 
seguinte: O ponto O” é determinado pelo 
cruzamento dos arcos de centros O e O’ e 
raios r” - r e r” + r’.
Exercícios
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ATENÇÃO: OS PONTOS 2, 5 
e 8 SÃO PONTOS DE 
CONCORDÂNCIA E DEVEM 
SER IDENTIFICADOS, BEM 
COMO OS CENTROS DOS 
ARCOS
CONSIDERE OS PONTOS 
DADOS NA 
EXTREMIDADE DE CADA 
SEGMENTO
Exercícios
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- Concorde os pontos 1 e 3 
através de DOIS ARCOS 
IGUAIS E DE SENTIDOS 
CONTRÁRIOS
Exercícios
37
- Concorde os pontos 4 e 6 
através de DOIS ARCOS DE 
MESMO SENTIDO sabendo-
que o arco que nasce no ponto 
6 tem 25 mm de raio.
Exercícios
38
- Concorde os pontos 7 e 9 
através de DOIS ARCOS DE 
MESMO SENTIDO.
Exercícios
39
- Concorde UM ARCO com as 
circunferências dadas, 
determinando os pontos 10 e 
11.