Determine a interseção da reta que passa pela origem e tem vetor diretor V = i + 2j +k com o plano 2x + y + z = 5?

Reta r:

• Tem vetor diretor V = i + 2j + k: vetor (Vx, Vy, Vz) = (1, 2, 1).
• Passa pela origem: ponto (x₀, y₀, z₀) = (0, 0, 0).

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Portanto, as equações paramétricas da reta r são:

{ x = Vx⋅t + x₀ = 1⋅t + 0

→ { y = Vy⋅t + y₀ = 2⋅t + 0

{ z = Vz⋅t + z₀ = 1⋅t + 0

{ x = t (I)

→ { y = 2t (II)

{ z = t (III)

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Substituindo as equações (I), (II) e (III) na equação do plano, o valor de t é:

→ 2x + y + z = 5

→ 2⋅(t) + (2t) + (t) = 5

→ 2t + 2t + t = 5

→ 5t = 5

→ t = 1 (IV)

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Substituindo o valor de t = 1 nas equações (I), (II) e (III), o ponto P de interseção entre o plano e a reta é:

{ x = t = 1

→ { y = 2t = 2⋅1 = 2

{ z = t = 1

→ P(x, y, z) = P(1, 2, 1)

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Solução: ponto P(1, 2, 1).

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(2/3,-11/3,8)