dado os planos r1: x-y+z+1=0 e r2:x+y-z-1=0 determine o plano que contem intersecao deles e e ortogonal ao vetor (1,1,1)

Nesse exercício vamos estudar interseção entre planos e vetor normal.

Para começar, vamos isolar \(z\) nos dois planos:

\(z=-x+y-1\\ z=x+y-1\)

Igualando as duas equações, temos:

\(-x+y-1=x+y-1\Rightarrow x=0\Rightarrow y=z+1\)

Particularmente o ponto \(P=(0,1,0)\) pertence a essa reta. Além disso, lembremos que os coeficientes da equação de um plano são dados pelo seu vetor normal:

\(ax+by+cz=d\Rightarrow x+y+z=d\)

Substituindo o ponto \(P\) nessa equação do plano, temos:

\(0+1+0=d\Rightarrow x+y+z=1\)

Portanto temos que a equação do plano procurado é:

\(\boxed{x+y+z=1}\)