Deduza a fórmula de uma esfera utilizando integrais triplas
Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas.Com relação a isso, deduza a fórmula de uma esfera utilizando integrais triplas. Justifique cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
💡 2 Respostas
Guilherme Souza
Utilizando integrais triplas, demonstramos que, o volume de uma esfera de raio R é
Integral tripla
Para calcular o volume da esfera vamos utilizar integrais triplas, mas se utilizarmos o sistema de coordenadas 0xyz teremos uma integral mais complexa para resolver. Nesse caso, o problema é simplificado se utilizarmos coordenadas esféricas para descrever a integral tripla associada ao volume. De fato, fazendo a mudança de coordenadas, obtemos:
Observe que o ângulo pertence ao intervalo
para que cada ponto seja coberto uma única vez pelos parâmetros. Para resolver essa integral tripla, podemos escrever:
Bruna Caroline
Utilizando integrais triplas, demonstramos que, o volume de uma esfera de raio R é
Integral tripla
Para calcular o volume da esfera vamos utilizar integrais triplas, mas se utilizarmos o sistema de coordenadas 0xyz teremos uma integral mais complexa para resolver. Nesse caso, o problema é simplificado se utilizarmos coordenadas esféricas para descrever a integral tripla associada ao volume. De fato, fazendo a mudança de coordenadas, obtemos:
Observe que o ângulo pertence ao intervalo
para que cada ponto seja coberto uma única vez pelos parâmetros. Para resolver essa integral tripla, podemos escrever:
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