Questão resolvida - Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas ... deduza a fórmula de

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• Sabemos que para calcular o volume de sólidos regulares existem fórmulas padrões, 
e cada uma dessas fórmulas pode ser deduzida utilizando integrais triplas. Com 
relação a isso, deduza a fórmula de uma esfera utilizando integrais triplas. Justifique 
cada etapa da sua dedução, principalmente a definição dos limites de integração.
 
 
 
Resolução:
 
 Vamos nos valer da simetria esferica e usar coordenadas esfericas determinar esse volume. 
Consideremos que um volume infinitesimal em coordenadas esfericas é dado por;
 
dV = r sin θ drdθdϕ2 ( )
 
Sendo: um fator de escala na transformação de coordenadas cartesianas para r sin θ2 ( )
coordenadas esfericas e representam as variações infinitessimais das dr, dθ e dϕ
coordenadas.
 
 
(1)
 
Vamos integrar os 2 membros da equação 1, como se trata de uma equação em 3 eixos, fica;
 
V = r sin θ drdθdϕ∫∫∫ 2 ( )
 
Vamos definir os limites de integração da integral tripla de 2;
 
1° - Em relação ao eixo , o limite de integração vai de zero ao raio da esfera, ou seja, de a r 0
R
 
 
 
2° - Em relação ao eixo , vamos variar a reta varendo um ângulo de a , formando um θ r 0 𝜋
semi-círculo;
 
 
R
r
R
θ = 𝜋
r
(2)
3° - Por último, é preciso fazer com que esse semicírculo gire ao redor do eixo , r
necessitando dar uma volta completa no eixo angular , para formar o volume da esfera, ϕ
dessa forma, o limite nesse eixo vai de a ;0 2𝜋
 Portanto, a integral do volume fica;
 
V = r sin θ drdθdϕ
0
∫
2𝜋
0
∫
𝜋 R
0
∫ 2 ( )
 
Resolvendo a integral tripla, temos;
 
V = sin θ dθdϕ V = -cos θ dϕ V = -cos 𝜋 - -cos 0 dϕ
0
∫
2𝜋
0
∫
𝜋
R
3
3
( ) →
0
∫
2𝜋
R
3
3
( ( ))
𝜋
0
→
0
∫
2𝜋
R
3
3
( ( ) ( ( )))
V = - -1 + 1 dϕ V = 1 + 1 dϕ V = 2dϕ V = 1dϕ
R
3
3
0
∫
2𝜋
( ( ) ) →
R
3
3
0
∫
2𝜋
( ) →
R
3
3
0
∫
2𝜋
→
2R
3
3
0
∫
2𝜋
V = ϕ V = 2𝜋 - 0 V = ⋅ 2𝜋
2R
3
3 2𝜋
0
→
2R
3
3
( ) →
2R
3
3
 
V =
4𝜋R
3
3
 
 
R
θ = 𝜋
r
ϕ = 2𝜋
V = sin θ dθdϕ = - sin θ dθdϕ
0
∫
2𝜋
0
∫
𝜋r
3
3 R
0
( )
0
∫
2𝜋
0
∫
𝜋 R
3
3 0
3
( )3
( )
0
(Resposta)