1. Denote por d(n) a quantidade de todos os divisores positivos de um inteiro positivo n (incluindo 1 e n). Prove que existem infinitos n, tais que...

O problema pede para provar que existem infinitos números inteiros positivos n, tais que n vezes d(n) é um número inteiro positivo.

Para provar isso, é possível construir uma série infinita de tais números inteiros positivos.

Uma forma de fazer isso é escolher números primos distintos p1, p2, p3, …, e definir n = p1 * p2 * p3 * … * pk, onde k é um inteiro positivo. Como cada número primo tem exatamente dois divisores positivos (1 e o próprio número), então d(n) = 2^k. Portanto, n vezes d(n) = 2^k * p1 * p2 * p3 * … * pk, que é um número inteiro positivo.

Como há infinitos números primos distintos, então há infinitos números inteiros positivos n que satisfazem a condição dada.