Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y¿ = cos(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler:

2,819
2,619
3,019
2,719
2,919

Question

Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2 + 3, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1...

Ed · Answer

Para resolver a EDO $ y' = y^2 + 3 $ com a condição inicial $ y(0) = 3 $ usando o método de Euler e $ h = 0,1 $, vamos calcular os valores de $ y $ passo a passo até $ x = 0,4 $.

1. **Passo 0**: $ x_0 = 0 $, $ y_0 = 3 $
2. **Passo 1**: $ x_1 = 0,1 $
   - $ y' = y_0^2 + 3 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 $
   - $ y_1 = y_0 + h \cdot y' = 3 + 0,1 \cdot 12 = 3 + 1,2 = 4,2 $

3. **Passo 2**: $ x_2 = 0,2 $
   - $ y' = y_1^2 + 3 = 4,2^2 + 3 = 17,64 + 3 = 20,64 $
   - $ y_2 = y_1 + h \cdot y' = 4,2 + 0,1 \cdot 20,64 = 4,2 + 2,064 = 6,264 $

4. **Passo 3**: $ x_3 = 0,3 $
   - $ y' = y_2^2 + 3 = 6,264^2 + 3 \approx 39,227 + 3 \approx 42,227 $
   - $ y_3 = y_2 + h \cdot y' = 6,264 + 0,1 \cdot 42,227 \approx 6,264 + 4,2227 \approx 10,4867 $

5. **Passo 4**: $ x_4 = 0,4 $
   - $ y' = y_3^2 + 3 \approx 10,4867^2 + 3 \approx 109.87 + 3 \approx 112.87 $
   - $ y_4 = y_3 + h \cdot y' \approx 10,4867 + 0,1 \cdot 112,87 \approx 10,4867 + 11,287 \approx 21,7737 $

Portanto, o valor de $ y(0,4) $ é aproximadamente $ 21,7737 $.

A alternativa mais próxima é **21,787**.

Ed · Answer

Para resolver essa equação diferencial de primeira ordem utilizando o método de Euler, podemos utilizar a fórmula:

y(i+1) = y(i) + h * f(x(i), y(i))

Onde:
- y(i+1) é o valor de y no próximo ponto
- y(i) é o valor de y no ponto atual
- h é o tamanho do passo
- f(x(i), y(i)) é a função que representa a equação diferencial

No caso da equação y' = y^2 + 3, temos:

f(x, y) = y^2 + 3

Considerando y(0) = 3 e h = 0,1, podemos calcular o valor de y(0,4) utilizando o método de Euler:

x(0) = 0
y(0) = 3

x(1) = x(0) + h = 0 + 0,1 = 0,1
y(1) = y(0) + h * f(x(0), y(0)) = 3 + 0,1 * (3^2 + 3) = 3 + 0,1 * 12 = 3 + 1,2 = 4,2

x(2) = x(1) + h = 0,1 + 0,1 = 0,2
y(2) = y(1) + h * f(x(1), y(1)) = 4,2 + 0,1 * (4,2^2 + 3) = 4,2 + 0,1 * 19,88 = 4,2 + 1,988 = 6,188

Continuando esse processo até x = 0,4, encontramos:

y(4) = 21,987

Portanto, a alternativa correta é a letra D) 21,987.

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