En Mn×n(R) considera los subespacios: S1 = { A ∈ Mn×n(R) : A es una matriz simétrica } S2 = { A ∈ Mn×n(R) : A es una matriz antisimétrica } Demue...

Para mostrar que Mn×n(R) = S1 + S2, precisamos demonstrar duas coisas: que todo elemento de Mn×n(R) pode ser escrito como a soma de um elemento de S1 e um elemento de S2, e que essa soma é única. Primeiro, vamos mostrar que todo elemento de Mn×n(R) pode ser escrito como a soma de um elemento de S1 e um elemento de S2. Dado uma matriz A em Mn×n(R), podemos decompor A em duas partes: uma parte simétrica e uma parte anti-simétrica. A parte simétrica de A é dada por (A + A^T)/2, onde A^T é a transposta de A. A parte anti-simétrica de A é dada por (A - A^T)/2. Podemos verificar que (A + A^T)/2 é uma matriz simétrica e (A - A^T)/2 é uma matriz anti-simétrica. Portanto, A pode ser escrito como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica, ou seja, A está na soma de S1 e S2. Agora, vamos mostrar que essa soma é única. Suponha que A está na soma de S1 e S2, ou seja, A = B + C, onde B é uma matriz simétrica e C é uma matriz anti-simétrica. Podemos escrever B como (B + B^T)/2 e C como (C - C^T)/2. Substituindo na equação A = B + C, temos (B + B^T)/2 + (C - C^T)/2 = A. Simplificando, obtemos (B + C + B^T - C^T)/2 = A. Como B + C + B^T - C^T é uma matriz simétrica, podemos escrever essa matriz como D + D^T, onde D é uma matriz simétrica. Portanto, temos (D + D^T)/2 = A, o que implica que A é a soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica. Portanto, a soma de S1 e S2 é única. Concluímos que Mn×n(R) = S1 + S2, e essa soma é uma soma direta, pois a soma é única. Portanto, a alternativa correta é a letra e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.